Livro Texto Unidade II (1)

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Unidade II
Unidade II
5 MEDIDAS OU PARÂMETROS ESTATÍSTICOS
O estudo que fizemos anteriormente diz respeito ao agrupamento de dados coletados e à 
representação gráfica de alguns deles. Cumpre agora estudarmos as medidas estatísticas. Esses 
valores nos darão a imagem sintetizada do comportamento de uma amostra, permitindo que, 
com relativamente poucas informações, possamos chegar a conclusões sobre essa amostra 
estudada.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas estatísticas. O primeiro grupo é formado 
pelas medidas de tendência central, também chamadas de medidas de posição, que informam a 
magnitude da amostra estudada. Essas medidas nos dão uma visão global da amostra sem se aterem às 
características individuais de seus elementos.
No entanto, como é necessário que tenhamos ideia das variações dos elementos da amostra em 
torno de suas medidas centrais, iremos estudar, também, um segundo grupo de medidas estatísticas: as 
medidas de dispersão, também chamadas de medidas de variabilidade.
5.1 Medidas de posição
As medidas de posição ou medidas de tendência central, como o próprio nome indica, 
preocupam‑se com definir uma posição central da amostra, ou seja, um valor que seja representativo 
do que é típico da amostra. Iremos trabalhar com as três principais medidas desse tipo: a média, a 
mediana e a moda.
5.1.1 Média
De todas as medidas de posição, a média é, seguramente, a mais usada. É chamada de 
média simples quando a frequência dos diversos valores é igual a 1, ou seja, cada valor 
aparece uma única vez na amostra, e de média ponderada quando os dados são dotados de 
certa frequência.
Existem vários métodos diferentes para calcularmos as médias. Iremos nos preocupar com a principal 
delas, a média aritmética. As demais (geométrica, quadrática e harmônica), além de serem muito menos 
utilizadas, seguem os mesmos princípios da média aritmética, apenas com a utilização de operações 
matemáticas diferentes.
A média aritmética é o resultado da soma dos valores de todos os elementos dividido pelo 
número total de elementos, ou seja, pela frequência total. Em outras palavras, se tivermos um 
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ESTATÍSTICA
conjunto de valores S = {x1, x2, x3,………xn}, a média aritmética desse conjunto será calculada por 
meio das fórmulas:
X
x x x x
N
n
=
+ + + +1 2 3 ....
Ou
X
x
N
i
=
Σ
Onde:
X é a média aritmética;
x1, x2, etc. são os diversos valores;
N é a quantidade total de elementos da amostra.
Exemplo 1. Calcular a média aritmética dos valores relacionados a seguir:
S = {2; 5; 7; 9; 10; 12; 16; 18}
Observe que são oito elementos de diferentes valores, portanto:
X
x
N
X Xi= ⇒ =
+ + + + + + +
⇒ =
Σ 2 5 7 9 10 12 16 18
8
9 9,
Exemplo de aplicação
1. Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos 
correspondentes a cada um. Os dados estão na tabela a seguir:
Tabela 25
12% 13% 18% 9% 10% 11%
13% 15% 16% 14% 8% 17%
A partir desse dado, podemos dizer que o rendimento médio dessas aplicações é de:
A) 13%
B) 12%
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C) 15%
D) 18%
E) 16%
Caso os valores sejam repetidos na amostra, ou seja, caso tenham uma frequência diferente 
de 1 (x1 com f1; x2 com f2 e assim por diante), então a fórmula para o cálculo da média 
aritmética é:
X
x f
f
i i
i
=
Σ
Σ
Este último conceito define a média ponderada; eventualmente, as frequências podem ser 
substituídas por “pesos” que conferem importância diferenciada a cada valor.
O exemplo a seguir mostra o cálculo para dados não agrupados em classe:
Exemplo 2. Calcular a média aritmética dos valores relacionados a seguir:
Tabela 26
Valor Frequência simples
xi fi
25 37
42 28
57 54
62 62
39 12
Como no exemplo anterior, o cálculo da média aritmética consiste na soma de todos os valores 
dividida pela quantidade total de elementos. Porém, cada um dos valores da tabela aparece certo 
número de vezes, diferente de 1; por exemplo, o valor 25 aparece 37 vezes, portanto precisamos 
somar 25 com ele mesmo 37 vezes; ou, de maneira mais direta, precisamos multiplicar 25 por 
37. A coluna C mostra todos os cálculos desse tipo. Quando somamos essa coluna, obtemos o 
valor 9.491, que corresponde à soma de todos os elementos da amostra (193 elementos). Assim, 
a média é:
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ESTATÍSTICA
Tabela 27
A B C = A x B
Valor Frequência simples Valor x Frequência
xi fi xi . fi
25 37 925
42 28 1176
57 54 3078
62 62 3844
39 12 468
ft 193 9491
X
x f
f
X Xi i
i
= ⇒ = ⇒ =
Σ
Σ
9491
193
49 2,
No caso de dados agrupados em classes, o processo de cálculo é idêntico ao anterior, com a diferença de 
que o valor a ser usado é o ponto médio de classe (lembre‑se de que já definimos esse valor anteriormente):
x pi mi=
O exemplo a seguir mostra‑nos, passo a passo, o cálculo da média aritmética ponderada para dados 
agrupados por classes:
Exemplo de aplicação
2. O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos 
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir, estão relacionados as informações referentes aos 
últimos 120 dias de produção.
Tabela 28
Número de defeitos diários Número de dias
6 20
7 23
8 21
9 18
10 16
12 13
13 5
14 3
15 1
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Nessas condições o número médio de defeitos diários é de aproximadamente:
A) 7,9
B) 10,0
C) 9,3
D) 8,0
E) 8,7
Exemplo 3. Dada a tabela de frequências a seguir, calcular a média aritmética.
Tabela 29
A B C D E = (C + D)/2 F = D x E
Classe 
Limites de classe
li ls
Frequência
simples
fi
Ponto
médio
de classe
pmi
Frequência
x ponto
médio
fi x pmi
1,0 3,0 |‑‑‑‑‑‑‑ 414,0 14,0 208,5 2.919,0
2,0 414,0 |‑‑‑‑‑‑‑ 825,0 19,0 619,5 11.770,5
3,0 825,0 |‑‑‑‑‑‑‑ 1.236,0 41,0 1.030,5 42.250,5
4,0 1.236,0 |‑‑‑‑‑‑‑ 1.647,0 53,0 1.441,5 76.399,5
5,0 1.647,0 |‑‑‑‑‑‑‑ 2.058,0 32,0 1.852,5 59.280,0
6,0 2.058,0 |‑‑‑‑‑‑‑ 2.469,0 27,0 2.263,5 61.114,5
7,0 2.469,0|‑‑‑‑‑‑‑ 2.880,0 20,0 2.674,5 53.490,0
8,0 2.880,0 |‑‑‑‑‑‑‑ 3.291,0 11,0 3.085,5 33.940,5
9,0 3.291,0 |‑‑‑‑‑‑| 3.702,0 8,0 3.496,5 27.972,0
∑= ft = 225,0 369.136,5
A tabela anterior apresenta os valores e cálculos necessários para determinarmos a média aritmética 
para uma amostra que estivermos descrevendo.
As áreas sombreadas da tabela mostram os cálculos necessários para a obtenção da média aritmética.
O uso de uma tabela para esses cálculos facilita as operações, além de estas serem mais facilmente 
trabalhadas em computador.
Nesse exemplo, somamos os valores de todos os elementos da amostra, ficando na seguinte situação: 
o valor da soma dos 225 elementos da amostra é 369136,5, portanto a média aritmética será de:
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X
x f
f
X Xi i
i
= ⇒ = ⇒ =
Σ
Σ
369136 5
225
1640 6
,
,
É importante observar as seguintes propriedades das médias aritméticas:
• a soma algébrica dos afastamentos (ou desvios, ou resíduos) de um conjunto de números tomados 
em relação à média é nula;
• se multiplicarmos ou dividirmos todas as informações por uma constante, a média aritmética 
ficará multiplicada ou dividida por essa constante;
• somando‑se ou subtraindo‑se uma constante de todos os valores de um conjunto de informações, 
a média aritmética ficará somada ou subtraída dessa constante;
• a soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é mínima (essa 
propriedade é muito importante para a definição de desvio‑padrão, que veremos mais à frente)
Exemplo de aplicação
3. Uma pequena agência de publicidade relacionou, na tabela a seguir, o custo das suas 120 últimas 
campanhas publicitárias:
Tabela 30
Classes Custo das campanhas publicitárias (limites)
Quantidade de campanhas 
publicitárias (frequência simples)
A R$ 5.000 |‑‑‑‑ R$ 10.000 12
B R$ 10.000 |‑‑‑‑ R$ 15.000 15
C R$ 15.000 |‑‑‑‑ R$ 20.000 18
D R$ 20.000 |‑‑‑‑ R$ 25.000 23
E R$ 25.000 |‑‑‑‑ R$ 30.000 25
F R$ 30.000 |‑‑‑‑ R$ 35.000 14
G R$ 35.000 |‑‑‑‑ R$ 40.000 13
Nessas condições, podemos afirmar que o custo médio das campanhas publicitárias dessa agência é 
de aproximadamente:
A) R$ 22.833,00
B) R$ 22.500,00
C) R$ 20.000,00
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D) R$ 25.833,00
E) R$ 20.833,00
5.1.2 Mediana
Conceitualmente, definimos mediana como o valor, em um conjunto de valores ordenados, que 
divide exatamente esse conjunto em duas metades, com 50% dos valores superiores à mediana e 50% 
inferiores. Essa definição precisa adaptar‑se ao número N de elementos da amostra:
• caso N seja um número ímpar, a mediana será o valor do elemento central (chamado de elemento 
mediano);
• caso N seja um número par, a mediana será a média aritmética simples dos dois elementos 
centrais (o elemento mediano passa a ser um elemento teórico intermediário). Veja no 
exemplo a seguir:
Exemplo 1. Dados os seguintes conjuntos de notas de alunos de Estatística, calcule a mediana:
Grupo A = {6,2; 4,2; 8,7; 6,4; 2,8; 9,1; 5,0; 3,9; 7,1}.
Para calcular a mediana é necessário colocar os dados em ordem crescente:
{2,8; 3,9; 4,2; 5,0; 6,2; 6,4; 7,1; 8,7; 9,1}
Como o número de elementos é ímpar (N = 9), a mediana será o valor do elemento central (o quinto 
elemento), ou seja, o valor da mediana será 6,2.
Poderíamos dar uma roupagem mais matemática ao cálculo utilizando as fórmulas a seguir, onde: 
Eme é o elemento mediano e Me a mediana:
E
N
E Eme me me=
+
=> =
+
=> =
1
2
9 1
2
5º
O valor do quinto elemento é a mediana:
Me = 6,2
Grupo B = { 8,4; 6,3; 9,2; 4,9; 6,5; 8,0}
Ordenando:
{4,9; 6,3; 6,5; 8,0; 8,4; 9,2}
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E
N
E Eme me me
o
=
+
=> =
+
=> =
1
2
6 1
2
3 5,
Evidentemente, não existe um elemento 3,5º. A mediana será a média aritmética entre o valor do 
terceiro e do quarto elemento:
Me
x x
Me Me=
+
=> =
+
=> =3 4
2
6 5 8 0
2
7 25
, ,
,
Cálculo semelhante se fará quando trabalhamos com dados agrupados, seja em classes ou não. 
Primeiro, veremos quando os dados não forem agrupados em classes. Nesse caso, o procedimento é 
semelhante ao feito no Exemplo 1, com a diferença de que precisaremos calcular a frequência acumulada 
crescente para permitir localizarmos o elemento mediano.
Exemplo de aplicação
4. Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos 
correspondentes a cada um. Os dados estão na tabela a seguir:
Tabela 31
12% 13% 18% 9% 10% 11%
13% 15% 16% 14% 8% 17%
A partir desse dado, podemos dizer que o rendimento mediano dessas aplicações é de:
A) 18%
B) 12%
C) 15%
D) 13%
E) 16%
O exemplo 2 mostra o cálculo em duas situações diferentes:
Exemplo 2. Calcular a mediana para os dados relacionados a seguir, relativos ao número de filhos 
por família moradora em determinada cidade.
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Unidade II
Tabela 32 – Cidade A
Número de filhos 
por família
Quantidade de familias 
na cidade Frequência 
acumulada crescente
Valor Frequência simples
xi fi fac 
0 15 15
1 18 33
2 12 45
3 8 53
4 5 58
5 3 61
6 1 62
Mais do que 6 1 63
Soma 63
Perceba que o número de elementos (N = 63) é ímpar, logo o elemento mediano será o 32º:
E Eme me=
+
=> =
63 1
2
32º
O 32º elemento tem o valor 18, isso porque, com os valores ordenados, os 15 primeiros referem‑se a famílias 
com 0 filho; o 16º ao 33º valor referem‑se a famílias com 1 filho, e assim por diante. Logo a mediana será:
Me = 18
Portanto, podemos afirmar que 50% das famílias têm um filho ou menos, e 50% das famílias têm 
um filho ou mais.
Tabela 33 – Cidade B
Número de filhos 
por família
Quantidade de famílias 
na cidade Frequência acumulada 
crescente
Valor Frequência simples
xi fi fac 
0 15 15
1 21 36
2 16 52
3 9 61
4 6 67
5 4 71
6 1 72
Mais do que 6 0 72
Soma 72
63
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ESTATÍSTICA
Perceba que o número de elementos (N = 72) é par, logo o elemento mediano seria o 36,5º, que, 
evidentemente, não existe.
E Eme me
o
=
+
=> =
72 1
2
36 5,
O 36º elemento tem o valor 1,e o 37º, o valor o valor 2, portanto o 36,5º seria um valor médio entre 
esses dois valores, ou seja, a mediana será:
Me Me=
+
=> =
1 2
2
15,
Portanto, podemos afirmar que 50% das famílias têm menos de 1,5 filho e 50% das famílias tem 
mais de 1,5 filho.
Exemplo de aplicação
5. O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos 
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos 
últimos 120 dias de produção.
Tabela 34
Número de 
defeitos diários Número de dias
6 20
7 23
8 21
9 18
10 16
12 13
13 5
14 3
15 1
Nessas condições, o número médio de defeitos diários é de aproximadamente:
A) 7,9
B) 10,0
C) 9,3
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Unidade II
D) 8,0
E) 8,7
O cálculo da mediana, quando trabalhamos com dados agrupados em classes, é mais trabalhoso 
porque conseguimos determinar o elemento mediano e a classe da qual o elemento faz parte, mas não 
o valor exato da mediana. A maneira de contornarmos esse inconveniente é utilizando os conceitos de 
interpolação.
 Lembrete
No nosso contexto, interpolar significa encontrar, dentro de uma faixa 
de valores, aquele valor que melhor corresponde às condições estabelecidas, 
normalmente situado entre dois outros valores conhecidos.
No caso do cálculo da mediana, o processo de interpolação gera a seguinte fórmula, que sempre 
iremos usar:
Me li
E f
f
hMe
me ac ant
Me
= +
−




×
Onde:
Me = Mediana.
lime = Limite inferior da classe que contém o elemento mediano (classe mediana).
Eme = Elemento mediano.
fac ant = Frequência acumulada crescente até a classe anterior à classe mediana.
fme = Frequência da classe mediana.
h = Amplitude da classe mediana.
O Exemplo 3, a seguir, demonstra o cálculo da mediana para uma distribuição de vendas em reais 
agrupadas por classe.
Exemplo 3. Calcular a mediana para a tabela a seguir, que apresenta a distribuição de vendas de 
determinada empresa.
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ESTATÍSTICA
Tabela 35
Classes 
número
Vendas mensais em R$ Quantidade de meses Frequência 
acumulada crescenteValor frequência
li ls fi fac 
1 R$ 50.000,00 |‑‑‑‑ R$ 80.000,00 12 12
2 R$ 80.000,00 |‑‑‑‑ R$ 110.000,00 18 30
3 R$ 110.000,00 |‑‑‑‑ R$ 140.000,00 27 57
4 R$ 140.000,00 |‑‑‑‑ R$ 170.000,00 26 83
5 R$ 170.000,00 |‑‑‑‑ R$ 200.000,00 21 104
6 R$ 200.000,00 |‑‑‑‑ R$ 230.000,00 18 122
7 R$ 230.000,00 |‑‑‑‑ R$ 260.000,00 12 134
8 R$ 260.000,00 |‑‑‑| R$ 290.000,00 9 143
TOTAL 143
O elemento mediano é dado por:
E Eme me=
+
=> =
143 1
2
72º
O 72º elemento está na quarta classe, que chamamos de classe mediana, ou seja, a mediana é um 
valor entre R$ 140.000,00 e R$ 170.000,00. Obteremos o resultado usando a fórmula da interpolação:
Me li
E f
f
hMe
me ac ant
Me
= +
−




× = +
−


 ×. .140 000
72 57
26
30 0000 157 307 69=> =Me . ,
Portanto, podemos afirmar que 50% das vendas mensais dessa empresa estão acima de R$ 
157.307,69, e 50%, abaixo desse valor.
Exemplo de aplicação
6. Uma pequena agência de publicidade relacionou, na tabela seguinte, o custo das suas 120 últimas 
campanhas publicitárias:
Tabela 36
Classes Custo das campanhas publicitárias Quantidade de campanhas publicitárias (frequência simples)
A R$ 5.000 ï‑‑‑‑ R$ 10.000 12
B R$ 10.000 ï‑‑‑‑ R$ 15.000 15
C R$ 15.000 ï‑‑‑‑ R$ 20.000 18
D R$ 20.000 ï‑‑‑‑ R$ 25.000 23
E R$ 25.000 ï‑‑‑‑ R$ 30.000 25
F R$ 30.000 ï‑‑‑‑ R$ 35.000 14
G R$ 35.000 ï‑‑‑‑ R$ 40.000 13
66
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13
Unidade II
Nessas condições podemos afirmar que o custo mediano das campanhas publicitárias dessa agência 
é de aproximadamente:
A) R$ 22.370
B) R$ 22.500
C) R$ 23.370
D) R$ 25.833
E) R$ 20.833
5.1.3 Moda
O conceito de moda é o mais simples entre as medidas estatísticas. Trata‑se do valor 
que mais vezes se repete numa distribuição de frequências, ou seja, aquele dotado de maior 
frequência.
O cálculo da moda para dados isolados ou para dados não agrupados em classes é imediato: decorre 
de simples observação, como mostra o Exemplo 1; já para dados agrupados necessitamos adotar algumas 
recomendações feitas por estatísticos renomados. No Exemplo 2, apresentamos um cálculo deste último 
tipo de distribuição.
Exemplo 1. Calcular a moda para os conjuntos de dados mostrados a seguir, referentes ao consumo 
de rolamentos (em unidades) em várias linhas de produção.
Linha A: {21; 22; 24; 24; 25; 25; 25; 27; 28}
A moda evidentemente é: Mo = 25
Linha B: {8; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12}
Neste conjunto temos duas modas: Mo = 9 e Mo = 11. Chamamos de amostra multimodal.
Linha C: {15; 18; 25; 32; 43; 50; 61}
Não existe um valor que se repita mais de uma vez. Temos uma amostra sem moda, ou seja, amodal.
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ESTATÍSTICA
Tabela 37
Quantidade de rolamentos 
conumidos
Número de vezes em que 
ocorreu o consumo
xi fi
Valor Frequência
8 18
10 25
12 32
13 45
15 28
16 21
17 12
21 8
A moda é o valor de maior frequência; portanto, para a linha D, teríamos Mo = 13
Exemplo de aplicação
7. Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos 
correspondentes a cada um. Os dados estão na tabela que segue:
Tabela 38
12% 13% 18% 9% 10% 11%
13% 15% 16% 14% 8% 17%
A partir desse dado, podemos dizer que o rendimento modal dessas aplicações é de:
A) 18%
B) 13%
C) 15%
D) 12%
E) 16%
8. O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos 
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos 
últimos 120 dias de produção.
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Unidade II
Tabela 39
Número de 
defeitos 
diários
Número 
de dias
6 20
7 23
8 21
9 18
10 16
12 13
13 5
14 3
15 1
Nessas condições, o número modal de defeitos diários é de aproximadamente:
A) 7,0
B) 6,0
C) 9,0
D) 8,0
E) 8,7
Exemplo 2. Calcular a moda para a distribuição de rendas familiaresapresentada na tabela 
a seguir.
Classes 
número
Rendas familiares mensais em R$ Quantidade de meses
Valor Frequência
li ls fi
1 R$ 650,00 |‑‑‑‑ R$ 1.100,00 16
2 R$ 1.100,00 |‑‑‑‑ R$ 1.550,00 21
3 R$ 1.550,00 |‑‑‑‑ R$ 2.000,00 28
4 R$ 2.000,00 |‑‑‑‑ R$ 2.450,00 31
5 R$ 2.450,00 |‑‑‑‑ R$ 2.900,00 18
6 R$ 2.900,00 |‑‑‑‑ R$ 3.350,00 16
7 R$ 3.350,00 |‑‑‑‑ R$ 3.800,00 12
Total 142
69
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M
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 R
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ESTATÍSTICA
Você pode notar que os valores se repetem mais na classe 4 (a frequência é a maior de todas), logo 
a moda deve ser um valor entre R$ 2.000,00 e R4 2.450,00. Mas exatamente qual é o valor da moda?
Normalmente esse cálculo pode ser feito por três recomendações diferentes: as formulas de Czuber, 
King e Pearson, que utilizaremos a seguir.
 Observação
Recomendação é diferente de equacionamento matemático. Decorre 
de estudos, normalmente empíricos, que apresentam validade prática, mas 
não exatidão matemática. São, portanto, aproximações.
Recomendação de Czuber
Para utilizarmos a recomendação de Czuber devemos inicialmente localizar a classe que tem maior 
frequência, a chamada classe modal. No nosso exemplo essa classe é a de número 4, como já falamos. 
Em seguida aplicamos a seguinte fórmula:
Mo li
f f
f f f f
hMo
Mo ant
Mo ant Mo post
= +
−
− + −






×
( )
( ) ( )
Onde:
Mo = Moda.
Limo = Limite inferior da classe modal.
fmo = Frequência da classe modal.
fant = Frequência da classe imediatamente anterior à classe modal.
fpost = Frequência da classe imediatamente posterior à classe modal.
h = Amplitude da classe modal.
No nosso exemplo, ficaria:
Mo Mo R= +
−
−( ) + −




× => =2 000
31 28
31 28 31 18
450 2 084 61.
( )
( )
$ . ,
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Unidade II
Recomendação de King
Como no cálculo anterior, para utilizarmos a recomendação de King, devemos inicialmente localizar 
a classe que tem maior frequência, a chamada classe modal. No nosso exemplo, essa classe é a de 
número 4, como já falamos. Em seguida, aplicamos a seguinte fórmula:
Mo li
f
f f
hMo
post
ant post
= +
+






×
Onde:
Mo = Moda.
limo = Limite inferior da classe modal.
fant = Frequência da classe imediatamente anterior à classe modal.
fpost = Frequência da classe imediatamente posterior à classe modal.
h = Amplitude da classe modal.
No nosso exemplo ficaria:
Mo Mo R= +
+



 × => =2 000
18
28 18
450 2 176 09. $ . ,
Recomendação de Pearson
No caso de Pearson, a recomendação parte de conceito diferente do adotado nas anteriores. Baseia‑se 
no uso da média e da mediana:
Mo Me X= × − ×3 2
Onde:
Mo = Moda.
Me = Mediana.
X = Média.
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ESTATÍSTICA
No nosso exemplo teríamos:
Me = R$ 2.094,36
X = R$ 2.123,59
Logo, a moda seria:
Mo = 3 x 2.094,36 ‑ 2 x 2.123,59 => Mo = R$ 2.035,90
Cada recomendação resultou em um valor diferente. Isso ocorre porque são recomendações que partem de 
considerações diferentes. A experiência nos ensina qual é a melhor recomendação a utilizar em cada caso prático.
Exemplo de aplicação
9. Uma pequena agência de publicidade relacionou na seguinte tabela o custo das suas 120 últimas 
campanhas publicitárias:
Tabela 40
Classes Custo das campanhas publicitárias (limites)
Quantidade de 
campanhas publicitárias 
(frequência simples)
A R$ 5.000 |‑‑‑‑ R$ 10.000 12
B R$ 10.000 |‑‑‑‑ R$ 15.000 15
C R$ 15.000 |‑‑‑‑ R$ 20.000 18
D R$ 20.000 |‑‑‑‑ R$ 25.000 23
E R$ 25.000 |‑‑‑‑ R$ 30.000 25
F R$ 30.000 |‑‑‑‑ R$ 35.000 14
G R$ 35.000 |‑‑‑‑ R$ 40.000 13
Nessas condições, podemos afirmar que o custo modal (pelo Método de King) das campanhas 
publicitárias dessa agência é de aproximadamente:
A) R$ 27.500
B) R$ 30.000
C) R$ 28.370
D) R$ 25.000
E) R$ 26.892
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Unidade II
O uso de cada uma dessas medidas depende da situação prática que se apresenta. Bruni (2007) 
apresenta uma série de vantagens e desvantagens de cada uma delas, as quais podem ser resumidas no 
quadro a seguir:
Quadro 2
Medida de posição Vantagens Desvantagens
Média
É de fácil compreensão, podendo ser 
calculada diretamente usando‑se calculadoras 
apropriadas.
É afetada por valores extremos da série, não 
representando com precisão a distribuição 
em que esses valores ocorrem com frequencia 
acentuada.
Depende de todos os valores da distribuição, 
usando todos os dados disponíveis.
É necessário conhecer todos os valores da 
distribuição.
Evidencia bastante estabilidade de amostra 
para amostra.
A média não tem, necessáriamente, existência 
real.
Possibilita a manipulação de dados, com 
cálculo de médias combinadas
Pode ser obtida uma média de número 
fracionario inexistente, por exemplo, 6,7 alunos.
Pode ser facilmente incluida em equações 
matemáticas
Mediana
Mesmo que alguns valores da série sejam 
modificados, ela pode manter‑se inalterada
Se for determinada a mediana dos grupos 
separados, não será encontrada a mediana do 
grupo.
Os valores extremos não interferem no seu 
resultado, por isso é indicada quando existem 
valores discrepantes.
Mesmo que os valores mais altos ou mais 
baixos da série não estejam definidos, ela pode 
ser determinada.
Pode ser utilizada para dados que têm a 
possibilidade de ser ordenados.
Moda
Caso algum valor da série seja modificado, não 
necessariamente a moda se alterará.
A moda tem de ter, necessariamente, um valor 
real, já que ela é representada por algum valor 
da série.
Os valores extremos não interferem no seu 
resultado. 
Quando utilizadas para calcular distribuições de 
classe aberta, não pode ser determinada a moda 
empregando‑se algum procedimento aritmético 
elementar.
Pode ser calculada em distribuições que 
possuam classe indeterminada.
Fonte: Bruni (2007).
5.2 Medidas de dispersão
As medidas de dispersão completam a informação contida nas medidas de posição, revelando 
o afastamento ou o desvio dos elementos do valor central. Quanto menor for a dispersão de uma 
amostra, maior será a qualidade da informação contida na medida de posição, ou, em outras palavras, 
menor a margem de erro que será assumida, considerando a medida de posição como representante 
de toda a amostra.
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ESTATÍSTICA
Essas medidas, também chamadas de medidas de variabilidade, caracterizam a homogeneidade ou 
heterogeneidade da amostra. Quanto menor o valor, mais homogênea a amostra será.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas de dispersão:
• medidas de dispersão absolutas: levam em conta a dispersão propriamente dita;
• medidas de dispersão relativas: levam em conta, simultaneamente, uma medida de posição 
e a medida de dispersão correspondente. São úteis para efetuarmos comparações entre 
amostras.
O objetivo deste tópico é tomarmos contato com ambos os grupos.
5.2.1 Medidas de dispersão absolutas
5.2.1.1 Amplitude total
A amplitude total (AT) já é nossa conhecida e é a mais elementar das medidas de dispersão. É 
extremamente fácil de ser calculada, mas de difícil interpretação, em especial quando os dados extremos 
são muito grandes ou muito pequenos. Portanto, é mais utilizada quando as distribuições apresentam 
certa homogeneidade. Por exemplo, suponha que tenhamos as valorizações mensais das ações de duas 
diferentes empresas, A e B, com os seguintes valores (dados em porcentagem):
Empresa A = {21,5; 18,0; 26,3; 32,4; 45,1; 18,6; 37,6}
Empresa B = {15,3; 19,7; 23,9; 16,7; 25,9; 14,6; 18,9; 25,8}
As amplitudes seriam, respectivamente, de 45,1 – 18,0 = 27,1% para as ações da empresa A e de 
25,9 – 14,6 = 11,3% para a empresa B. Em outras palavras, as variações máximas seriam de 27,1% para 
as ações da empresa A e de 11,3% para a empresa B. Logo, o risco de oscilação é maior para a empresa 
A do que para a empresa B.
5.2.1.2 Desvio médio
Definido como a média aritmética do módulo dos desvios dos elementos em relação à média destes.
 Lembrete
Módulo ou valor absoluto de um número é a distância deste número 
para zero, independentemente do sinal, ou seja, módulo de um número 
será o próprio número, se ele for positivo, ou seu simétrico (positivo), se 
for negativo.
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Unidade II
 Saiba mais
Os conceitos básicos sobre módulo ou valor absoluto podem ser revistos 
no seguinte artigo:
MIRANDA, D. Definição de módulo de um número real. Mundo Educação, 
Goiânia, [s.d.]. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/
definicao‑modulo‑um‑numero‑real.htm>. Acesso em: 6 dez. 2013.
Entende‑se por desvio a diferença entre o valor de um elemento da amostra e a média dessa mesma amostra:
d x Xi i= −
Portanto, o desvio médio será dado pela fórmula:
dm
d
N
i
n
i
=
=Σ 1| |
O exemplo a seguir deixará mais claro esse processo.
Exemplo 1. Calcular o desvio médio da amostra {18; 21; 22; 27; 28; 29; 32; 37}.
O primeiro passo será calcular a média aritmética desses valores e, em seguida, os desvios de cada um 
dos valores. Depois, somaremos o módulo desses valores dividindo‑os pelo número total de elementos 
da amostra. A tabela a seguir mostra passo a passo esses cálculos:
Tabela 41
Ordem dos 
elementos
Valores
xi
Desvios
di = xi - X
Módulo dos desvios
| di = xi - X |
1 18 18 ‑ 27 = ‑9 9
2 21 21 ‑ 27 = ‑6 6
3 22 22 ‑ 27 = ‑5 5
4 27 27 ‑ 27 = 0 0
5 28 28 ‑ 27 = 1 1
6 29 29 ‑ 27 = 2 2
7 33 33 ‑ 27 = 6 6
8 38 38 ‑ 27 = 11 11
Soma 216 0 40
Média ( X ) 216/8=27 Desvio médio (dm) 40/8 = 5
Observe que a soma dos desvios é zero. O próprio conceito de média (valor equidistante de todos os 
elementos da amostra) nos conduz a isso. O conceito de desvio médio só tem sentido quando utilizamos 
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ESTATÍSTICA
o módulo dos desvios. Para ficar mais claro, veja a seguir os cálculos feitos, utilizando‑se das fórmulas 
informadas:
Cálculo da média:
X
x
N
X Xi= ⇒ = ⇒ =
Σ 216
8
27
Cálculo do desvio médio:
dm
d
N
dm dmi
n
i
= => = => ==
∑ 1 40
8
5
| |
Quando trabalhamos com dados agrupados em classes ou não, utilizamos exatamente o mesmo 
processo de cálculo, evidentemente, com alterações nas fórmulas de cálculo, introduzindo o conceito 
de frequência simples, como mostramos a seguir:
dm
d f
f
i
n
i i
i
n
i
=
×
=
=
∑
∑
1
1
| |
Observar que, para dados agrupados em classes, o cálculo dos desvios é dado por:
d pm Xi i= −
Os exemplos a seguir demonstram esses cálculos.
Exemplo 2. Calcular o desvio médio da amostra de distribuição a seguir, relativa ao número de 
acidentes diários numa estrada federal.
Tabela 42 – Distribuição de acidentes por dia – Estrada X
Número de 
acidentes diários Dias pesquisados Valor x 
frequência Desvios
Módulo dos 
desvios
Módulo dos 
desvios x 
FrequênciaValor Frequência
xi fi xi.fi di = xi ‑ X | di = xi ‑ X | | di | x fi
0 12 0 ‑3,6 3,6 43,5
1 15 15 ‑2,6 2,6 39,4
2 28 56 ‑1,6 1,6 45,6
4 23 92 0,4 0,4 8,6
5 19 95 1,4 1,4 26,1
6 8 48 2,4 2,4 19,0
8 6 48 4,4 4,4 26,2
76
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M
 / 
CC
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 -
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 Ju
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- 
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20
13
Unidade II
10 4 40 6,4 6,4 25,5
11 2 22 7,4 7,4 14,7
12 1 12 8,4 8,4 8,4
Somas 118 428 257,0
Média 3,6 Desvio médio 2,2
dm
d f
f
dm dmi
n
i i
i
n
i
=
×
=> = => ==
=
∑
∑
1
1
257
118
2 2
| |
,
Exemplo 3. Calcular o desvio médio da amostra de distribuição a seguir, relativa ao tempo de mão 
de obra gasto com a manutenção dos aviões de uma empresa aérea.
Tabela 43 – Distribuição de horas de manutenção – Aero X
Classes
Limites de classes
Pontos 
médios 
de classe
Manutenções 
pesquisadas
Valor x 
frequência Desvios
Módulo dos 
desvios
Módulo dos 
desvios x 
frequência
Valor Frequência
li ls pmi fi pmi.fi di = xi - X | di = xi - X | | di | x fi
1 0 |‑‑‑ 3 1,5 26 39 ‑4,1 4,1 106,0
2 3 |‑‑‑ 6 4,5 20 90 ‑1,1 1,1 21,5
3 6 |‑‑‑ 9 7,5 16 120 1,9 1,9 30,8
4 9 |‑‑‑ 12 10,5 10 105 4,9 4,9 49,2
5 12 |‑‑| 15 13,5 6 81 7,9 7,9 47,5
Somas 78 435 255,1
Média 5,6 Desvio médio 3,3
dm
d f
f
dm dmi
n
i i
i
n
i
=
×
=> = => ==
=
∑
∑
1
1
255 1
78
3 3
| | ,
,
5.2.1.3 Variância
A definição de desvio médio leva em consideração os desvios dos elementos tomados à primeira 
potência. Matematicamente, demonstra‑se que os efeitos de desvio são mais bem‑representados 
quando tomados ao quadrado.
 Observação
Dois motivos justificam os desvios ao quadrado: a soma dos quadrados 
dos desvios tomados ao quadrado é mínima; e, elevando ao quadrado, 
resolvemos o problema de alguns desvios serem positivos e outros negativos, 
gerando soma algébrica zero.
77
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2/
20
13
ESTATÍSTICA
Essa consideração nos leva à definição das duas mais importantes medidas de variabilidade absolutas: 
a variância e o desvio‑padrão, que veremos em seguida.
A variância é o somatório dos desvios tomados ao quadrado, ou seja, é basicamente a mesma 
definição do desvio médio, alterando‑se apenas a potência dos desvios:
S
d
N
i
n
i2 1
2
1
=
−
=
∑
 Observação
O denominador N – 1 justifica‑se pelos chamados graus de liberdade, 
que podem ser entendidos com o número de espaços entre os dados. No 
decorrer do curso, utilizaremos a fórmula apresentada para amostras e a 
mesma fórmula com denominador igual a N para populações.
No caso em que estivermos trabalhando com dados agrupados, a fórmula, naturalmente, deverá 
incluir o conceito de frequência simples, ou seja:
S
d f
f
i
n
i i
i
n
i
2 1
2
1
1
=
×
−
=
=
∑
∑
Os Exemplos de 1 a 3 no próximo subtópico mostram o cálculo da variância nos vários casos possíveis.
5.2.1.4 Desvio‑padrão
O cálculo ou a análise da variância tem um grande inconveniente prático: apresenta unidades ao 
quadrado em relação à medida de tendência central. Por exemplo, suponha que queiramos descrever 
uma amostra de salários de uma empresa. Poderíamos afirmar que o salário médio da empresa é de 
1.340 reais, e a variância, de 11.025 reais ao quadrado.
Observe a estranheza que causa a unidade: “reais ao quadrado”. Sem falar do número extravagante 
que resultou dos cálculos. Para contornar esse problema, define‑se a mais utilizada das medidas de 
variabilidade: o desvio‑padrão.
Conceitualmente, o desvio‑padrão é a raiz quadrada da variância e é simbolizado pela letra S 
(maiúscula). Dessa forma, é calculado pelas fórmulas:
S
d
N
i
n
i
=
−
=
∑ 1 2
1
78
AD
M
 / 
CC
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13
Unidade II
para dados isolados e
S
d f
f
i
n
i i
i
n
i
=
×
−
=
=
∑
∑
1
2
1
1
para dados agrupados em classes ou não.
Nos Exemplos de 1 a 3 a seguir, são calculados os valores do desvio‑padrão e da variância, de 
maneira semelhante ao que foi feito anteriormente para o desvio médio. Observe que o cálculo obedece 
aos seguintes passos, em ambos os casos:
• calcular a média da distribuição;
• calcular os desvios de cada elemento;
• calcular o quadrado dos desvios;
• somar o quadrado dos desvios (usando o conceito de frequência, caso sejam dados agrupados);
• dividir a soma obtida pelo número de elementos menos 1, obtendo‑se a variância;
• extrair a raiz quadrada, obtendo‑se o desvio‑padrão.
Exemplo 1. Calcular a média e o desvio‑padrão da amostra {18; 21; 22; 27; 28; 29; 32; 37}.
Tabela 44
Ordem dos 
elementos
Valores
xi
Desvios
di = xi - X 
Desvios ao 
quadrado di
2
1 18 18 ‑ 27 = ‑9 81
2 21 21 ‑ 27 = ‑6 36
3 22 22 ‑ 27 = ‑5 25
4 27 27 ‑ 27 = 0 0
5 28 28 ‑ 27 = 1 1
6 29 29 ‑ 27 = 2 4
7 33 33 ‑ 27 = 6 36
8 38 38 ‑ 27 = 11 121
Soma 216 0 304
Média 216/8=27
Variância 304/7 = 43,4
Desvio‑padrão 6,6
79
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13
ESTATÍSTICA
Cálculo da média:
X
x
N
X Xi= ⇒ = ⇒ =
Σ 216
8
27
Cálculo da variância:
S
d
N
S Si
n
i2 1
2
2 2
1
304
8 1
43 4=
−
=> =
−
=> ==
∑
,
Cálculo do desvio‑padrão:
S
d
N
S S Si
n
i
=
−
=> =
−
=> = => ==
∑ 1 2
1
304
8 1
43 4 6 6, ,
Mo = 26.892
Exemplo de aplicação
10. As últimas dez ligações telefônicas para um call center duraram, em minutos, os seguintes 
valores:
Tabela 45
15 12 16 18 14
11 17 16 12 13
Para esses dados, podemos dizer que o valor aproximado do desvio‑padrão é:
A) 3,0
B) 3,2
C) 1,6
D) 2,4
E) 2,2
80
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Unidade II
Exemplo 2. Calcular a variância e o desvio‑padrão da amostra de distribuição a seguir, relativa ao 
número de acidentes diários numa estrada federal.
Tabela 46 – Distribuição de acidentes por dia – Estrada X
Número de 
acidentes diários Dias pesquisados
Valor 
x
 Frequência
Desvios Quadrado dos desvios
Quadrado 
dos desvios x 
FrequênciaValor Frequência
xi fi xi.fi di = xi ‑ X di
2 di
2 x fi
0 12 0 ‑3,6 13,2 157,9
1 15 15 ‑2,6 6,9 103,5
2 28 56 ‑1,6 2,6 74,1
4 23 92 0,4 0,1 3,2
5 19 95 1,4 1,9 35,8
6 8 48 2,4 5,6 45,0
8 6 48 4,4 19,1 114,7
10 4 40 6,4 40,6 162,5
11 2 22 7,4 54,4 108,7
12 1 12 8,4 70,1 70,1
Somas 118 428 875,6
Média 3,6 Variância 7,5
Desvio médio 2,7
Cálculo da variância:
S
d f
f
S Si
n
i i
i
n
i
2 1
2
1
2 2
1
875 6
118 1
7 5=
×
−
=> =
−
=> ==
=
∑
∑
,
,
Cálculo do desvio‑padrão:
S
d f
f
S S Si
n
i i
i
n
i
=
×
−
=> =
−
=> = => ==
=
∑
∑
1
2
1
1
875 6
118 1
7 5 2 7
,
, ,
Exemplo de aplicação
11. A CIPA de uma empresa relacionou o número de acidentes ocorridos nos últimos seis anos, 
montando a seguinte tabela:
81
AD
M
 / 
CC
TB
 -
 R
ev
isã
o:
 Ju
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 M
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ia
 M
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2/
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13
ESTATÍSTICA
Tabela 47
Número de acidentes por mês Número de meses
0 38
1 12
2 9
3 7
4 4
5 2
O desvio‑padrão dos acidentes nessa empresa é de:
A) 0,4
B) 0,5
C) 0,6
D) 0,7
E) 0,8
Exemplo 3. Calcular o desvio‑padrão da amostra de distribuição a seguir, relativa ao tempo de mão 
de obra gasto com a manutenção dos aviões de uma empresa aérea.
Tabela 48 – Distribuição das horas de manutenção – Aero X
Classes
Limites de 
classes
Pontos 
médios de 
classe
Manutenções
pesquisadas Valor x 
Frequência Desvios
Quadrado
dos 
desvios
Quadrado 
dos 
desvios x 
FrequênciaValor Frequência
li ls pmi fi pmi.fi di = xi - X di
2 di
2 x fi
1 0 |‑‑‑ 3 1,5 26 39 ‑4,1 16,6 432,2
2 3 |‑‑‑ 6 4,5 20 90 ‑1,1 1,2 23,2
3 6 |‑‑‑ 9 7,5 16 120 1,9 3,7 59,2
4 9 |‑‑‑ 12 10,5 10 105 4,9 24,2 242,4
5 12 |‑‑| 15 13,5 6 81 7,9 62,8 376,7
Somas 78 435 1133,5
Média 5,6 Variância 14,7
Desvio‑padrão 3,8
82
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Unidade II
Cálculo da variância:
S
d f
f
S Si
n
i i
i
n
i
2 1
2
1
2 2
1
11335
78 1
14 7=
×
−
=> =
−
=> ==
=
∑
∑
,
,
Cálculo do desvio‑padrão:
S
d f
f
S S Si
n
i i
i
n
i
=
×
−
=> =
−
=> = => ==
=
∑
∑
1
2
1
1
1133 5
78 1
14 7 3 8
,
, ,
O desvio‑padrão é a mais utilizada medida de dispersão, e, quando relacionada com a média, informa 
a quantidade de elementos da amostra ou da população que se situam em torno da média.
O mais comum, na Estatística, é que essa relação entre média e desvio‑padrão seja feita pela chamada 
distribuição normal, à qual nós voltaremos na disciplina Estatística Aplicada. Nessa relação, válida na 
maior parte dos casos práticos, há os seguintes intervalos:
• entre a média mais uma vez o desvio‑padrão e a média menos uma vez o desvio‑padrão, estão 
contidos 68% dos elementos da amostra ou da população;
• entre a média mais duas vezes o desvio‑padrão e a média menos duas vezes o desvio‑padrão, 
estão contidos 85% dos elementos da amostra ou da população;
• entre a média mais três vezes o desvio‑padrão e a média menos três vezes o desvio‑padrão, estão 
contidos 99,74% dos elementos da amostra ou da população;
• entre a média mais quatro vezes o desvio‑padrão e a média menos quatro vezes o desvio‑padrão, 
estão contidos 100% dos elementos da amostra ou da população.
Exemplo 4. Um estudo estatístico com 4.850 alunos de Administração da Produção de uma 
universidade mostrou que a nota final média deles foi de 5,3 com desvio‑padrão de 1,2. Quantos alunos 
tiveram médias finais entre 4,1 e 6,5?
Observe que as notas: 4,1 e 6,5 correspondem exatamente à média menos um desvio‑padrão 
(5,3 – 1,2 = 4,1) e à média mais um desvio‑padrão (5,3 + 1,2 = 6,5). Portanto, 68% dos alunos estão 
contidos nesse intervalo, ou seja: 68% de 4.850 são 3.298 alunos.
Como 60% de 4.850 é 3.298, podemos afirmar que essa é a quantidade de alunos que tiveram notas 
entre 4,1 e 6,5.
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ESTATÍSTICA
Exemplo de aplicação
12. Certa repartição pública anotou e relacionou os tempos de inspeção que faz nas empresas, 
chegando à seguinte distribuição de frequências:
Tabela 49
Tempo de inspeção em 
minutos
Número de inspeções 
realizadas
10 ï‑‑‑‑ 20 3
20 ï‑‑‑‑ 30 6
30 ï‑‑‑‑ 40 15
40 ï‑‑‑‑ 50 36
50 ï‑‑‑‑ 60 19
O desvio‑padrão do tempo de inspeção nessa repartição é:
A) 10,2
B) 9,5
C) 12,3
D) 11,9
E) 8,3
5.2.2 Medidas de dispersão relativas
A maneira mais comum de se informar de maneira sintética (resumida) dados quantitativos é por meio 
de uma medida de posição (média, mediana ou moda) em conjunto com uma medida de dispersão absoluta 
(desvio médio, variância ou desvio‑padrão). O mais comum é o par de informações média – desvio‑padrão.
Frequentemente, no entanto, é interessante utilizar as chamadas medidas de dispersão relativas, 
que analisam simultaneamente uma medida de posição e a mediada de dispersão correspondente. São 
especialmente interessantes essas medidas quando fazemos comparações entre amostras diferentes.
A rigor, podemos obter essas medidas, costumeiramente chamadas de coeficientes de variação, 
dividindo uma medida de dispersão por uma medida de posição; no entanto, as mais comuns são:
1. Coeficiente de variação de Pearson: divisão do desvio‑padrão pela média:
Cv
S
X
Cv
S
Xp p
= = ×ou 100
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Unidade II
2. Coeficiente de variação de Thorndike: divisão do desvio‑padrão pela mediana:
Cv
S
Me
Cv
S
Mep p
= = ×ou 100
O Exemplo 1 a seguir mostra uma aplicação dos coeficientes de variação, num caso de ordem prática.
Exemplo 1. Um especialista estudou, estatisticamente, dois tipos de investimentos, chegando às 
conclusões da tabela que segue. Qual é o investimento que apresenta menor risco?
Estatísticas
Aplicações
Observações
X Y
Retorno esperado 12% 20%
O especialista teria chegado a essas 
conclusões através de um estudo 
estatístico no qual pesquisou e resumiu 
os retornos ocorridos no passado, 
conforme vimos no item 3.1.1
Desvio‑padrão 9% 10%
Analogamente o especialista teria 
calculado o desvio‑padrão conforme 
vimos no item 3.2.1.4
Observe que se o especialista comparasse as aplicações somente com base em seus desvios padrões, ele 
preferiria a aplicação X, uma vez que essa aplicação tem um desvio‑padrão menor que Y (9% versus 10%). 
Essa comparação seria baseada no fato de que, sendo mais homogênea a aplicação A, “daria menos sustos”. 
No entanto, se ele calculasse e comparasse os coeficientes de variação, chegaria a conclusões diferentes:
Estatísticas
Aplicações
X Y
Retorno esperado 12% 20%
Desvio‑padrão 9% 10%
Coeficiente de Variação 
de Pearson 75% 50%
Cv Cvpa pa= × => =
9
12
100 75%
Cv Cvpb pa= × => =
10
20
100 50%
A comparação dos coeficientes de variação das aplicações mostra que o especialista estaria cometendo 
um erro sério se escolhesse a aplicação X em vez da aplicação Y, já que a dispersão relativa, ou risco, das 
aplicações, conforme refletida no coeficiente de variação, é menor para o ativo Y do que para o X (50% 
versus 75%). Evidentemente, o uso do coeficiente de variação para comparar o risco da aplicação é melhor 
porque este também considera o tamanho relativo, ou retorno esperado, das aplicações.
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ESTATÍSTICA
Exemplo de aplicação
13. A tabela a seguir relaciona médias e desvios‑padrões de três diferentes amostras de investimentos 
feitos por um aplicador financeiro:
Tabela 50
Investimento Rendimento médio Desvio-padrão
A 18,0% 6,0%
B 14,5% 4,9%
C 9,3% 5,0%
Acerca dessas informações, não podemos dizer que:
A) A maior rentabilidade média é a do investimento C.
B) O investimento que apresenta maior homogeneidade é o investimento B.
C) O melhor compromisso entre posição e variabilidade é o do investimento C.
D) O maior coeficiente de variação é o do investimento A e vale 33,3%.
E) O coeficiente de variação do investimento C é o menor e vale 25,9%.
14. Foram comparados os dados referentes a acidentes de trabalho em dois grupos de ramos 
diferentes de indústria. Nas 35 indústrias do ramo A foi notada uma taxa média de 2,62 acidentes por 
mil homens/hora de trabalho, com desvio‑padrão de 0,72. Nas 35 empresas das indústrias do ramo B 
foi notada taxa média de 3,10 acidentes por mil homens/hora de trabalho, com desvio‑padrão de 0,80. 
Com base nesses dados, informou‑se:
I – Em termos absolutos, as empresas do ramo A apresentaram menor variação na taxa de acidentes 
porque o desvio‑padrão delas é menor.
II – Em termos relativos, as empresas do ramo A também apresentam menor variação na taxa de 
acidentes, porque têm maior coeficiente de variação.
III – As empresas do ramo B apresentam menor variação relativa, pois têm menor coeficiente de 
variação.
Em relação a essas afirmativas, podemos garantir que:
A) Todas estãocorretas.
B) Estão corretas as afirmativas I e II.
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Unidade II
C) Estão corretas as afirmativas I e III.
D) Estão corretas as afirmativas II e III.
E) Todas estão erradas.
6 RELAÇÕES GRÁFICAS ENTRE AS MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Nos estudos e análises estatísticos, é interessante e importante visualizar as informações contidas 
nos dados por meio do uso dos diversos gráficos, assunto que tratamos na unidade I.
Quando utilizamos os histogramas, é facilmente perceptível que as frequências dos valores mais 
centrais tendem a ser maiores que as dos valores extremos. Esse comportamento nos permitirá tirar 
conclusões importantes no tópico da Estatística Indutiva, porque, via de regra, ocorre de modo repetitivo.
Observações do padrão de comportamento das distribuições mostram que grande parte delas tende 
a apresentar‑se da maneira conhecida como distribuição normal.
A figura 22 mostra o comportamento estatístico de uma distribuição de frequências relativa aos pesos 
de um grupo de pessoas qualquer. Observe que os pesos próximos da média têm maior frequência, e os 
mais afastados, menor frequência. Observe também a curva que se forma pela distribuição das colunas.
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Peso em quilos
Fr
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 s
im
pl
es
40
35
30
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5
0
Figura 23 – Pesos corporais
No curso de Estatística Aplicada, retornaremos ao assunto, quando diremos, por exemplo, que é 
pouco provável alguém ter peso acima de 100 kg ou abaixo de 35 kg, e utilizaremos essa curva para 
determinar qual é essa probabilidade, se houver.
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13
ESTATÍSTICA
Por ora, iremos nos preocupar com a variação de formatos desse tipo de curva, chamada de curva 
normal, curva de Gauss ou, ainda, de curva do sino.
Em teoria, espera‑se que essa curva tenha o comportamento mostrado nas curvas desenhadas em 
linha contínua nas Figuras 23 e 24. Na prática, porém, ocorrem deformações nessas curvas, demonstradas 
nas curvas pontilhadas das mesmas figuras. Essas deformações são chamadas, respectivamente, de 
assimetria (Figura 23) e curtose (Figura 24).
Média0
0 Variável
Fr
eq
uê
nc
ia
 si
m
pl
es Assimétrica positiva Assimétrica negativa
Simétrica
Figura 24 – Assimetria
Curva platicúrtica
Curva mesocúrtica
Curva leptocúrtica
Fr
eq
uê
nc
ia
 si
m
pl
es
Média Variável
Figura 25 – Curtose
6.1 Assimetria
A assimetria mede o quanto a distribuição se afasta da média. Esse afastamento pode ocorrer para a 
direita ou para a esquerda, gerando, respectivamente, as assimetrias positiva e negativa.
O grau de assimetria é dado, frequentemente, pelo chamado 1º coeficiente de Pearson:
As X MeS=
−
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Unidade II
Onde:
As = Coeficiente de assimetria.
X = Média.
Me = Mediana.
S = Desvio‑padrão.
Esse coeficiente pode assumir diferentes valores. De acordo com o sinal desses valores, a assimetria 
será numa direção, como se vê a seguir:
As = 0 – A distribuição é simétrica.
As > 0 – A distribuição é assimétrica positiva ou à direita.
As < 0 – A distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda.
Por esse critério, costuma‑se classificar as distribuições da seguinte maneira:
Caso As ≤ ‑1: assimétrica negativa forte.
Caso ‑1 < As < 0: assimétrica negativa fraca.
Caso As = 0: simétrica.
Caso 0 < As < 1: assimétrica positiva fraca.
Caso As ≥ 1: assimétrica positiva forte.
6.2 Curtose
A curtose mede o quanto a distribuição se alonga ou se achata em relação à curva teórica. A 
curva teórica é chamada de mesocúrtica; as mais alongadas, de leptocúrticas; e as mais achatadas, de 
platicúrticas.
O grau de curtose é dado, frequentemente, pelo coeficiente:
K
d f
f
S
i i
i
=
×
−
∑
∑
4
4 3
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ESTATÍSTICA
Onde:
K = Coeficiente de curtose.
di = Desvios.
fi = Frequências simples.
S = Desvio‑padrão.
Assim como na assimetria, também na curtose os coeficientes podem assumir diferentes valores. De 
acordo com o sinal desses valores, a assimetria será numa direção, como se vê a seguir:
K = 0: a distribuição é mesocúrtica.
K > 0: a distribuição é leptocúrtica.
K < 0: a distribuição é platicúrtica.
 Lembrete
Existem outras medidas de assimetria e curtose além das apresentadas 
aqui, mas que não são objeto do nosso curso.
Vamos usar o exemplo a seguir para demonstrar o cálculo da assimetria e da curtose de uma 
distribuição referente ao consumo de energia elétrica entre 1.245 famílias de determinada região.
Observando os resultados obtidos (expostos a seguir), notamos que a distribuição (e a curva dela 
decorrente) é assimétrica negativa fraca, ou seja, ligeiramente deslocada para a nossa direita, e que 
é platicúrtica, ou seja, achatada. A curva teria a aparência aproximada da figura que segue (a curva 
pontilhada é a do exercício; a cheia é a padrão):
Média Variável
Fr
eq
uê
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ia
 si
m
pl
es
Figura 26 – Assimetria e curtose
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Unidade II
Tabela 51
Classes 
número
Consumo 
mensal por número 
de famílias
Pontos 
médios 
de 
classe
Frequência 
acumulada 
crescente
Pontos 
médios x 
Frequências
Desvios
Desvios 
ao 
quadrado
Desvio 
ao 
quadrado 
x 
Frequências
Desvios à 
quarta 
potência
Desvios à quarta 
potência x 
Frequências
Valor Frequência
li | ‑‑‑‑ ls fi pmi fac pmi x fi di = xi ‑ X di
2 di
2 x fi di
4 di
4 x fi
1 0 | ‑‑‑‑ 50 158 25 158 3.950 ‑192 36.944 5.837.189 1.364.876.602 215.650.503.107
2 50 | ‑‑‑‑ 100 100 75 258 7.500 ‑142 20.223 2.022.335 408.984.000 40.898.400.046
3 100 | ‑‑‑‑ 150 112 125 370 14.000 ‑92 8.502 952.277 72.291.984 8.096.702.259
4 150 | ‑‑‑‑ 200 164 175 534 28.700 ‑42 1.782 292.180 3.174.048 520.543.855
5 200 | ‑‑‑‑ 250 175 225 709 39.375 8 61 10.623 3.685 644.833
6 250 | ‑‑‑‑ 300 280 275 989 77.000 58 3.340 935.149 11.154.389 3.123.228.929
7 300 | ‑‑‑‑ 350 84 325 1.073 27.300 108 11.619 975.991 134.999.655 11.339.970.993
8 350 | ‑‑‑‑ 400 63 375 1.136 23.625 158 24.898 1.568.577619.912.976 39.054.517.468
9 400 | ‑‑‑‑ 450 56 425 1.192 23.800 208 43.177 2.417.921 1.864.267.846 104.398.999.377
10 450
| 
‑‑‑‑ |
500 53 475 1.245 25.175 258 66.456 3.522.183 4.416.437.760 234.071.201.262
Somatórios 1.245 270.425 18.534.426 657.154.712.129
• Cálculo da média:
x f
f
i i
i
= =>= =>=
∑
∑
270 425
1 245
217 2
.
.
,
• Cálculo do desvio‑padrão:
S
d f
f
S S Si
n
i i
i
n
i
=
×
−
=> =
−
=> = => ==
=
∑
∑
1
2
1
1
18 534 426
1 245 1
14 899 1
. .
.
. 222 1,
• Cálculo da mediana:
— elemento mediano:
E
N
E Eme me me=
+
=> =
+
=> =
1
2
1 245 1
2
623
.
º
— mediana:
Me li
E f
f
h MeMe
me ac ant
Me
= +
−




× = +
−


 × =>200
623 534
175
50 == 225 4,
91
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ESTATÍSTICA
Cálculo da assimetria:
As
X
S
As As=
−
=> =
−
=> = −
Me 217 2 225 4
122 1
0 067
, ,
,
,
Portanto, a curva é fracamente assimétrica negativa.
• Cálculo da curtose:
K
d f
f
S
K K
i i
i
=
×
− => = − => = −
∑
∑
4
4 43
657 154 712 129
1245
122 1
3 0 6
. . .
( , )
, 225
Portanto, a curva é platicúrtica.
Exemplo de aplicação
15. Com relação à assimetria e à curtose das distribuições, foram feitas as seguintes afirmações:
I – Uma curva assimétrica positiva tem uma média superior à curva simétrica.
II – Curvas platicúrticas têm desvio‑padrão maior do que curvas leptocúrticas.
III – Curvas com coeficiente menor do que zero têm deslocamento para a esquerda em relação à 
curva simétrica.
IV – Análise da curtose consiste em estudar o achatamento ou o alongamento da distribuição.
Em relação a essas afirmações, podemos dizer que:
A) Todas estão incorretas.
B) Existe uma alternativa incorreta.
C) Existem duas alternativas incorretas.
D) Existem três alternativas incorretas.
E) Todas estão corretas.
16. Duas distribuições foram estudadas e chegou‑se aos seguintes coeficientes mostrados a seguir:
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Unidade II
Tabela 52
Distribuição Coeficiente de assimetria
Coeficiente de 
curtose
A ‑ 1,34 1,89
B 0,87 ‑1,34
A partir desses coeficientes, não podemos afirmar:
A) A distribuição A tem menor média do que se fosse simétrica e é mais achatada do que a mesocúrtica.
B) A distribuição B tem menor média do que se fosse simétrica e é mais achatada do que a mesocúrtica.
C) Ambas as distribuições não são simétricas nem mesocúrticas.
D) A curva A é mais alongada do que a curva B.
E) As duas curvas têm assimetrias opostas.
7 TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES
Em Estatística, quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma população a partir 
do conhecimento de uma amostra, ou, ao contrário, à previsão do comportamento esperado de uma 
amostra retirada de uma população conhecida, temos o cuidado de utilizar a palavra provavelmente 
antes de cada informação.
Assim, por exemplo, quando após uma pesquisa eleitoral o veículo de comunicação informa que se a 
eleição fosse naquele momento o candidato X teria 35% dos votos, ele quer dizer que provavelmente o 
candidato X tivesse essa quantidade de votos. É uma afirmação provável de ocorrer, não quer dizer que 
certamente ocorrerá. Uma tolerância nessa informação é esperada.
Neste tópico veremos o que significa e como são calculadas as probabilidades, ramo de estudo 
da Matemática, e não exatamente da Estatística. Inicialmente iremos verificar casos absolutamente 
teóricos e posteriormente evoluiremos para situações mais próximas da realidade.
Tentaremos utilizar o raciocínio lógico para resolver as questões e, no final do tópico, faremos uma 
revisão teórica, apresentando os conceitos e as fórmulas utilizadas na Teoria Elementar das Probabilidades. 
O importante é você dominar o mecanismo de cálculo da probabilidade.
7.1 Definições de probabilidades
Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Houaiss (2009), por exemplo, 
irá encontrar algo do tipo:
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ESTATÍSTICA
“Probabilidade: característica do que é provável; perspectiva favorável de que algo venha a ocorrer; 
possibilidade, chance.”
Como é fácil de notar, essa definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que temos de 
probabilidade; isso porque esse conceito é circular, ou seja, define‑se probabilidade utilizando‑se seus 
próprios termos.
Desenvolve‑se atualmente uma abordagem axiomática na definição de probabilidade, mantendo‑se 
seu conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em Geometria com as definições de ponto e 
reta.
Estatisticamente, no entanto, adotam‑se três abordagens diferentes na definição de probabilidades: 
a abordagem clássica, a abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva.
Antes de seguirmos, no entanto, na definição de probabilidade, é necessário definir alguns termos 
que serão utilizados.
• Experimento: significará, para nós, observar ou executar determinado processo sob certas 
circunstâncias controladas. Todas as nossas questões e problemas trabalhados em estatísticas são 
experimentos que devem ser corretamente definidos. Podemos citar alguns exemplos para clarear 
nosso entendimento. O comportamento das ações numa Bolsa de Valores; a produtividade de um 
processo; a variação de estoques ao longo de determinado período; o controle de qualidade dos 
produtos recebidos por um empresa; os resultados de um jogo, por exemplo, a Mega‑Sena, entre 
outros, são exemplos de experimentos.
• Experimento aleatório: são aqueles que, apesar de serem repetidos exatamente da mesma 
maneira, não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo: você pode jogar um 
dado exatamente da mesma maneira duas vezes, e nada garantirá que irá obter o mesmo resultado. 
Rigorosamente, experimentos aleatórios são, exclusivamente, jogos de azar. Em Administração, 
vamos trabalhar, normalmente, com experimentos aproximadamente aleatórios, os quais, apesar 
de apresentarem determinado grau de aleatoriedade, não são exclusivamente aleatórios. Por 
exemplo, o jogo de cartas conhecido como 21 é aleatório; já o “buraco” é aproximadamente 
aleatório.
 Saiba mais
A obra a seguir é um interessante estudo sobre o efeito do acaso 
(aleatoriedade) nas nossas vidas. Vale a pena ler:
MLODINOW, L. O andar do bêbado: como o acaso determina nossas 
vidas. Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
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Unidade II
• Espaço amostral (ou conjunto universoou espaço das probabilidades): é o conjunto formado 
por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de 
um jogo de um dado “honesto” é dado por:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O dado deve ser “honesto”; se não for, o experimento não será aleatório.
• Evento: é um determinado subconjunto formado por um ou mais elementos do espaço amostral. 
Por exemplo, num jogo de dados, o evento número primo é formado por:
E = {1, 2, 3, 5}
 Observação
Por definição, um número positivo será primo se for maior do que 1 e for 
divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Por essa definição, o número 1 seria 
primo, apesar de que, por conveniência, normalmente não é considerado 
como tal. Neste material, será incluído entre os números primos.
7.2 Cálculos das probabilidades elementares
Usando esses conceitos, podemos determinar estatisticamente o termo probabilidade.
• Abordagem clássica: probabilidade é a razão (divisão) entre o número de elementos (ou 
resultados) favoráveis a um determinado evento e o número total de elementos (ou resultados) 
do espaço amostral, ou seja:
P A
n A
n S
( )
( )
( )
=
Sendo:
P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.
n(A) o número de elementos favoráveis ao evento A.
n(S) o número total de elementos do espaço amostral.
Por exemplo:
Qual é a probabilidade de, ao jogarmos um dado “honesto”, obtermos um número primo?
E A n An meros primosú : , , , ( )= { }∴ =12 3 5 4 S n A= { }∴ =12 3 4 5 6 6, , , , , ( )
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P A
n A
n S
P A( )
( )
( )
( ) , , %= ⇒ = = =
4
6
0 667 66 7
• Abordagem como frequência relativa: probabilidade é a razão entre o número de vezes em que 
determinado resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório (ou aproximadamente 
aleatório) por um número elevado de vezes. Por exemplo: jogamos uma moeda mil vezes, e em 
512 dessas vezes saiu cara. Podemos dizer, por esta definição, que a probabilidade de sair cara 
nessa moeda é de 512/1000, ou seja, 51,2%. Esse raciocínio seria simbolizado da seguinte forma:
P A f
f
f
P A fRA
A
T
RA
( ) ( ) , , %= = ⇒ = = = =
512
1000
0 512 512
Esse resultado não é o mesmo que o calculado pela definição anterior (50%). Isso pode decorrer do 
fato de a moeda usada não ser “honesta” (portanto, com resultados aleatórios), ou do fato de o número 
de jogadas não ter sido suficientemente grande. Aumentando o número de jogadas, a probabilidade 
tenderá ao valor teórico de 50%, se a moeda for “honesta”.
• Abordagem subjetiva: ao contrário das definições anteriores, nesta, a probabilidade não é um 
valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência. Evidentemente essa 
probabilidade não é fruto de um “palpite, um chute”, mas algo embasado em dados objetivos, mas 
complementados por aspectos pessoais. É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 80% 
de chances de ocorrerem chuvas num determinado período. Esse tópico da Estatística é estudado 
em Análise Bayesiana de Decisão.
Durante nosso curso iremos utilizar as duas primeiras abordagens, de acordo com o campo 
de estudo em que estivermos. Deve‑se notar que a primeira abordagem é eminentemente teórica 
e pressupõe experimentos aleatórios em que os elementos são equiprováveis. Já na segunda 
abordagem podem ser introduzidos fatores diversos, característicos de determinadas situações não 
totalmente aleatórias.
Apesar de basicamente o cálculo de probabilidades envolver uma das duas relações descritas, existem 
axiomas, teoremas e propriedades que devem ser conhecidos para o correto uso da teoria. Antes de 
nos preocuparmos com a teoria envolvida, porém, iremos nos ater à lógica que permeia o cálculo de 
probabilidades. Para tanto, analisaremos as questões a seguir.
1. Uma moeda “honesta” é jogada uma única vez; qual é a probabilidade de que o resultado seja cara?
Pelo modo como o exercício é proposto, devemos calcular a probabilidade como uma razão entre o 
número de elementos favoráveis ao evento cara e o número total de elementos possíveis.
Número de elementos do evento cara: n(A) = 1, porque A = {cara}
Número de elementos total: n(S) = 2, porque S = {cara; coroa}
96
AD
M
 / 
CC
TB
 -
 R
ev
isã
o:
 Ju
lia
na
 M
ar
ia
 M
en
de
s -
 D
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am
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ão
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as
 M
an
sin
i -
 d
at
a 
13
/1
2/
20
13
 /
/ 
Ex
er
cí
ci
os
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 Ju
lia
na
 -
 D
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gr
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ão
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ár
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o 
- 
26
/1
2/
20
13
Unidade II
P A
n A
n S
P cara( )
( )
( )
( )= ⇒ =
1
2
2. Duas moedas “honestas” são jogadas simultaneamente; qual é a probabilidade de que pelo menos 
uma seja cara?
Neste caso, o espaço amostral tornou‑se ligeiramente mais complexo:
S = {CaraCara; CaraCoroa; CoroaCara; CoroaCoroa)
O evento pedido é:
E = {CaraCara; CaraCoroa; CoroaCara)
Logo, a probabilidade é:
P
n A
n S
P( )
( )
( )
( )pelo menos uma cara pelo menos uma cara= ⇒ = =
3
4
00 75 75, %=
 Observação
Do ponto de vista do cálculo de probabilidade, jogar simultaneamente duas 
moedas é o mesmo que jogar uma, anotar o resultado e depois jogar outra.
7.3 Árvores de decisões
O cálculo de probabilidades é, no fundo, um exercício de lógica, característica na qual, muitas vezes, 
reside sua dificuldade. Para facilitar esse raciocínio lógico, costuma‑se usar a árvore de decisões, que, 
por meio de uma sistemática de análise e síntese, conduz à compreensão do experimento. Trata‑se de 
uma ferramenta relativamente trabalhosa, mas costuma ser importante no entendimento de problemas 
mais complexos ou extensos. Por meio da continuação da sequência de exercícios, aprenderemos o 
funcionamento dessa ferramenta.
3. Quatro moedas são jogadas simultaneamente; qual é a probabilidade de que se obtenham pelo 
menos duas caras?
Ficou muito mais complexo estabelecer o espaço amostral e o evento solicitado. O princípio é o 
mesmo dos exercícios anteriores, mas, como o número de moedas aumentou, as dificuldades envolvidas 
também aumentaram.
Para facilitar nosso raciocínio, introduziremos a árvore de decisões e, na sequência, a análise 
combinatória.
97
AD
M
 / 
CC
TB
 -
 R
ev
isã
o:
 Ju
lia
na
 M
ar
ia
 M
en
de
s -
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 M
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13
/1
2/
20
13
 /
/ 
Ex
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 Ju
lia
na
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 D
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gr
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ão
: M
ár
ci
o 
- 
26
/1
2/
20
13
ESTATÍSTICA
A árvore de decisões consiste em representar graficamente todas as possibilidades de resultados 
dos experimentos aleatórios, de modo que não percamos nenhum evento e, ao mesmo tempo, 
compreendamos a mecânica do experimento.
Joga‑se uma
moeda “honesta”.
Os resultados
podem ser:
Coroa
Cara
Figura 27
A seguir está desenhada a árvore de decisões do experimento “jogar quatro moedas ‘honestas’ 
simultaneamente”. Com certeza, não esquecemos nenhum dos resultados possíveis.
Coroa
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Coroa
Joga‑se 
uma 
moeda 
“honesta” 
sucessiva‑ 
mente 4 
vezes
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Caminho 2
Caminho 4
Caminho 6
Caminho 8
Caminho 10
Caminho 12
Caminho 14
Caminho 16
Caminho 1
Resulta‑