AULA 1 MATEMÁICA FINANCEIRA POS

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
JOSÉ ROBERTO DA COSTA JUNIOR
RESENDE, 03 de março de 2018
RENOVAÇÃO PRESENCIAL – EX-FIES
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Ramo da matemática aplicada, mais precisamente é aquele ramo da
matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo.
EMENTA
Juros simples e compostos; Taxas de juros efetivas e nominais; Valor
presente e futuro de um capital; Descontos; Sistemas de amortização - SAC e
PRICE; Séries de pagamentos;
Fluxos de caixa e projeções financeiras; Equivalência de fluxo de caixa;
Análise de investimentos: Valor presente líquido, Taxa interna de retorno e
payback; Uso da calculadora HP 12C.
FUNDAMENTOS E CONCEITOS BÁSICOS
REVISÃO ÚTIL DA MATEMÁTICA
PORCENTAGEM
RAZÃO
PROPORÇÃO
POTENCIAÇÃO
LOGARITMO
FUNDAMENTOS E CONCEITOS BÁSICOS
FUNDAMENTOS E CONCEITOS BÁSICOS
JURO (J ou j) - é a remuneração atribuída ao capital; valor do dinheiro no tempo; 
remuneração do capital empregado.
PRINCIPAL (P) ou CAPITAL ( C ) - também chamado de capital inicial. Valor monetário 
transacionado, ou ainda, capital inicial aplicado em alguma transação financeira. PV 
(Present Value = Valor Presente)
TAXA (i) - valor em percentual que incide sobre o principal em razão do tempo (n). É a 
relação juro/principal expressa em unidade de tempo, apresentada comumente de forma 
percentual, para a utilização em cálculos é utilizada de forma unitária.
ex: A taxa de juro de 3% ao mês significa que o juro mensal é igual a 0,03 do capital 
aplicado (principal).
FUNDAMENTOS E CONCEITOS BÁSICOS
MONTANTE (M ou S) - resultado da aplicação de um principal (P), aplicado a uma taxa
(i) de juros, durante (n) períodos. Também chamado de FV (valor futuro = future value).
TEMPO ou PERÍODO (n) – espaço temporal de determinada operação financeira,
apresentada sempre uma unidade de tempo.
FUNDAMENTOS E CONCEITOS BÁSICOS
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO - quando aplicamos um principal a determinada taxa, por
um determinado período de tempo, este principal poderá crescer segundo dois tipos de
capitalização, a saber:
capitalização simples (JUROS SIMPLES) e composta (JUROS COMPOSTOS).
Na capitalização simples somente o principal rende juros, isto é os juros não são
acrescidos ao principal para formar juros do período seguinte.
Capitalização composta – trata-se do tipo de juros sobre juros (estudaremos
detalhadamente em outro módulo).
JURO EXATO – trata-se do juro obtido considerando-se o ano calendário, ou ano civil.
Mês: 28, 29, 30 ou 31 dias.
Ano: 365 ou 366 dias.
JURO COMERCIAL – o juro é obtido considerando o ano de 360 dias e mês com 30 dias.
JUROS SIMPLES
Conceito – é aquele calculado apenas sobre o principal (capital inicial)
Cálculo de juros – conforme abaixo:
Principal: $ 1000
Taxa mensal de juro: 20% ao mês
Qual os juros após 1, 2, 3,..., n meses?
Após 1 mês J = 1000 x 0,2 x 1 = 200
Após 2 meses J = 1000 x 0,2 x 2 = 400 
Após 3 meses J = 1000 x 0,2 x 3 = 600 
Cálculo do Montante – conforme abaixo:
Montante é igual ao principal mais o juro, ou ainda: S = P + J
onde: S = P + J (lembre que J = P .i .n) => S = P + P .i .n => 
S = P (1 + i .n) => Fórmula Fundamental
TAXAS
TAXAS PROPORCIONAIS - duas taxas são proporcionais quando seus valores formam 
uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos a mesma unidade.
ex: 30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês. 
TAXAS EQUIVALENTES - duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
ex: um capital de $ 20.000 aplicado durante 6 meses à taxa de 4% ao mês ou aplicado 
durante 2 trimestres à taxa de 12% ao trimestre, produz o mesmo juro de $ 4.800
EXERCÍCIOS
1) Qual o juro de uma aplicação de $ 2.500, a 10% a.m., após três meses? ($ 750)
2) Calcular o juro de $50.000, a 3,6% ao ano, em 1 ano, 1 mês e 10 dias. ($2.000)
3) Calcular os juros de $1.250, à taxa de 1,25% ao mês, durante 1,25 meses. ($19, 53)
4) A que taxa o capital de $2.400 rende $108 de juros em 6 meses? (0,75% a. m.)
5) Qual a taxa anual de um capital de $75.600, em que 3 anos rendeu $22.680 de juros? (10%)
6) Quanto tempo um capital de $3000, à taxa de 2% a. m. rende um juro de $600? (10 meses)
7) Aplicando $1.000 à taxa de 0,3% ao dia, em quanto tempo obteremos juros de $1260? (420 dias)
8) Quantos meses um capital de $32.000, aplicado a 12% a.a., rende $4.800 de juros? (15meses)
9) Qual o capital que, em 2 anos, à 1,5% ao mês, rende juro de $93,60 de juros? ($260)
10) Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juro de $126.000 em 3 anos? (140.000
EXERCÍCIOS
11) Que tempo um capital deve ser aplicado à taxa de 2,5% a.m., para que o valor de juros seja igual 
principal? (40 meses)
12) O capital de $50.000 foi aplicado à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 54 dias. Determine o juro exato 
dessa aplicação. ($2.763, 42)
13) Aplicou-se $15.000 à taxa de 18% a.a. durante 54 dias. Qual o juro exato e comercial? ($396,90/ $405)
14) Se aplicarmos $8.000, à taxa mensal de 1,5%, quanto teremos no final de 18 meses? ($10.160)
15) Que principal é necessário para se ter um montante de $10.000, daqui a 6 semestres, à taxa de 12% 
a.s.? ($5.813,95)
16) Se aplicarmos $2.400 à taxa de 5% a.a., calcule o montante após 2 quadrimestres. ($2.480)
17) Aplicou-se $800, à taxa de 12% a.a, obtendo $1.184 como montante, qual o prazo de aplicação?
18) Qual a taxa que transforma $1.000 em $ 1.500 durante 20 meses? (2,5% a.m.)
19) Aplicamos $955.000, à taxa de 2,4% ao mês, rende $144.396 de juros. Calcule o prazo de aplicação em 
dias. (189 dias)
20) Aplicando $2.000, á taxa de 2% a.b., qual o montante após 2,5 quadrimestres? ($2.200)
DESCONTO SIMPLES
Valor referente a antecipação de um pagamento. Diferença entre o valor 
nominal de um título e seu valor atual.
Também chamado de abatimento, que se faz quando um título é pago 
antes do vencimento.
Existem dois tipos de descontos:
Desconto racional ou “por dentro” (não é muito utilizado no Brasil).
Desconto Comercial ou Bancário ou “ por fora” – utilizado nas operações 
comerciais e bancárias
d = N – A d = N. i. n A = N ( 1 – i.n)
d = valor do desconto
N = valor nominal
A = valor atual
DESCONTO SIMPLES EXERCÍCIOS
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de $ 3.000,00, com 
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? ($ 225,00) 
2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizado numa operação a 120 dias cujo 
valor nominal é de $ 1.000,00 e cujo o valor líquido é de $ 880,00 ? ( 3% ao mês)
3) Uma duplicata de $ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até seu vencimento, foi 
descontada por um banco à taxa de 2,70 % ao mês. Calcular o valo líquido entregue ou 
creditado ao cliente. ( $ 29.408,00)
4) determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de $ 
9.800,00, que sofreu um desconto comercial simples de $ 450,80, à taxa de 18 % ao 
ano. (92 dias)
5) Uma duplicata, no valor de $ 2.000,00, é resgatada 2 meses antes do vencimento, 
obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de 
desconto é de 10% ao mês, qual o valor descontado? ( $ 1.620,00)
DESCONTO SIMPLES EXERCÍCIOS
6) Um título de valor nominal de $ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se
a taxa mensal de desconto composto era de 10 %, o valor líquido desse título era?
($ 45.000,00)
7) À taxa de 60% a.a.e 1,5 bimestres antes do vencimento, o desconto simples foi de
$ 900,00. Qual o valor nominal? ( $ 6.000,00 )
8) Um título de valor nominal $ 5.627,00, à taxa de 27 % ao ano. Calcule o valor líquido
sabendo que foi descontado 72 dias antes do vencimento. ( $ 5.323,14)
9) Um título de $ 25.000,00 vence em dez meses, três meses antes do vencimento foi
descontado à taxa de 36% a.a., qualo valor pago, sabendo que esta operação foi feita
em desconto simples?
($ 22.750,00)
10) Um título de $ 25.000,00 será pago com 36% ao ano, vence em dez meses. Três
meses antes do vencimento, quanto valerá esse título descontado à taxa simples de
30% a.a.? ($ 30.062,50)
JUROS COMPOSTOS
Conceito – é aquele calculado de forma juro sobre juro. È aquele que calculado a 
partir do segundo período, será calculado sobre o montante referente ao período 
anterior.
Cálculo de juros – conforme abaixo:
Principal: $ 1000
Taxa mensal de juro: 20% ao mês
Qual os juros após 1, 2, 3,..., n meses?
Após 1 mês J = 1000 x 0,2 x 1 = 200 M = 1000 + 200 = 1.200
Após 2 meses J = 1200 x 0,2 x 1 = 240 M = 1200 + 240 = 1.440
Após 3 meses J = 1440 x 0,2 x 1 = 288 M = 1440 + 288 = 1.728
Cálculo do Montante – Montante é sempre igual ao principal mais o juro: S = P + J
Fórmula Fundamental
Sendo S = P + J e J = P . i, para cada um período, temos: Mn = C (1 + i) n
JUROS COMPOSTOS
TAXAS PROPORCIONAIS - duas taxas são proporcionais quando seus valores formam 
uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos a mesma unidade.
ex: 30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês. 
TAXAS EQUIVALENTES - duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
ex: um capital de $ 20.000 aplicado durante 6 meses à taxa de 4% ao mês ou aplicado 
durante 2 trimestres à taxa de 12% ao trimestre, produz o mesmo juro de $ 4.800
Obs: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.
TAXA NOMINAL – é aquela cujo período de capitalização não coincide com o período 
que a taxa de se refere.
ex: taxa de 26 % ao ano capitalizada semestralmente; juros de 18 % ao ano 
capitalizados mensalmente.
JUROS COMPOSTOS
1) Determinar o valor de resgate de um empréstimo de $ 50.000,00, com a taxa de 
juros compostos de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. ($ 77.566,41)
2) Determinar o valor de resgate de um investimento necessário para produzir um 
montante de $ 20.000,00, a uma taxa de juros de 3,2 % a.m., por um prazo de 4 
semestres. ($ 42.593,44)
3) Determinar o prazo necessário para um capital triplicar, a uma taxa de 25% a.a.
(4,92 anos = 5 anos)
4) Em que prazo um capital de $ 18.000 acumula um montante de $ 83.743 á taxa de 
15% a.m.?(11 meses)
5) Qual a taxa semestral de juros compostos que produz um montante de $ 79.000, a 
partir de um investimento de $ 50.000,00 no final de 10 anos? (2,31% a.s.)
JUROS COMPOSTOS EXERCÍCIOS
6) Calcular a taxa equivalente nos casos abaixo:
a) mensal - 12 % ao ano, 
b) trimestral - 4 % ao mês 
c) anual - 8 % ao trimestre
7) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de $ 2.500,00 produzir um 
montante de $ 4.489,64 durante um ano? (5% ao mês) 
8) O capital de $ 18.000,00 foi colocado por dois anos a 20% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. Qual o montante? ( $ 26.594,28)
9) Em que prazo uma aplicação $ 100.000,00 produzirá um montante de $ 146.853,00, 
à taxa de 12 % ao quadrimestre capitalizado mensalmente? ( 13 meses) 
10) Um empresário compra um equipamento no valor de $ 80.000,00, paga $ 20.000,00 
a vista e se compromete a pagar $ 55.000,00 em 4 meses. Sabendo-se que a taxa de 
juros compostos é de 2% a.m. determinar o pagamento a ser feito ao final do sexto mês 
para liquidar a dívida. ( $ 10.347,74) 
DESCONTO COMPOSTO
d = N – A A = N / (1+ i)n
1) Um título de valor nominal de $ 59.895,00 foi pago três meses antes do 
vencimento. Se a taxa mensal de desconto composto era de 10%, o valor líquido era? 
($ 45.000,00) 
2) Por um título, um Banco pagou $ 14.612,00. Qual o prazo de antecipação, dado que 
o desconto composto de $ 1.638,00, à taxa 3,36% a.m.? ( 4 meses)
3) Uma duplicata, no valor de $ 2.000,00, é resgatada 2 meses antes do vencimento, 
obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de 
desconto é de 10% ao mês, qual o valor descontado? ($ 1.620,00)
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Um devedor tem duas promissórias de $ 3.500,00 cada, uma com vencimento para 
daqui a dois meses e outra em cinco meses, desejando trocá-la por uma única dívida 
em quatro meses, qual o valor da nova dívida, à taxa composta de 3,15 % ao 
bimestre?