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PONTES_Cap.2

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Pontes – Método de Leonhardt 1 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 raa rba rca rda 
L/2 
L/2 
a b c d 
     
     
 P = 1 
APOSTILA 2 
MÉTODO DE LEONHARDT 
 
I – ELEMENTOS PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO DE LEONHARDT: 
 
Notamos que diversos autores têm estudado o cálculo das grelhas de pontes, 
sempre com o objetivo de apresentar os coeficientes de distribuição com maior 
precisão que os da Teoria de Courbon. Assim podemos destacar os processos de 
Leonhardt, do professor Ferraz, Guyon, Massonett, etc.. 
 Leonhardt estuda o efeito de grelha aplicando a Teoria das Deformações 
Elásticas (Energia de Deformação) considerando apenas uma transversina central e 
supondo as vigas principais (longarinas) com momento de inércia constante e 
simplesmente apoiadas nos extremos. 
 
Aplicação do Método: 
 
 
 A B C D Estando a carga P no ponto a : 
 
 raa = quinhão de P que solicita a longarina A 
 rba = quinhão de P que solicita a longarina B 
 rca = quinhão de P que solicita a longarina C 
 rda = quinhão de P que solicita a longarina D 
 
 raa + rba + rca + rda = 1 
 
 A B C D 
    
 
 
Observamos que a transversina transmite para as outras vigas: (1 – raa) 
 
 ri,j i representa a longarina 
 j representa o ponto de aplicação da carga 
 
  Nota: No processo do professor Ferraz se aplica o desenvolvimento em série de 
Fourrier. Este processo também é seguido por Heinrich Trost, que 
apresenta tabelas e formulários para a solução das grelhas, levando-se 
em conta a resistência à torção na união entre vigas e transversinas. 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 2 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 rab rbb rcb rdb 
L/2 
L/2 
a b c d 
     
     
 P = 1 
 A B C D Estando a carga P no ponto b : 
 
 rab = quinhão de P que solicita a longarina A 
 rbb = quinhão de P que solicita a longarina B 
 rcb = quinhão de P que solicita a longarina C 
 rdb = quinhão de P que solicita a longarina D 
 
 rab + rbb + rcb + rdb = 1 
 
 A B C D 
    
 
 
 Pelo Teorema de Maxwell: rij = rji (vide Teoremas Gerais da Energia de 
Deformação). 
 Analogamente faríamos a análise dos coeficientes rij para a carga P=1 nas 
longarinas C e D. Podemos então escrever: 
 
 raa = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto a, que solicita a longarina A 
 rab = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto b, que solicita a longarina A 
 rac = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto c, que solicita a longarina A 
 rad = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto d, que solicita a longarina A 
 
 Observamos que os coeficientes raa, rab, rac, rad representam as ordenadas 
da linha de influência para a distribuição transversal para a longarina A, quando 
aplicamos um carregamento ao longo da transversina (qualquer que seja a posição 
da carga, teremos sempre a parcela que solicita a longarina A). 
 
 Analogamente teremos: 
 
 rba = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto a, que solicita a longarina B 
 rbb = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto b, que solicita a longarina B 
 rbc = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto c, que solicita a longarina B 
 rbd = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto d, que solicita a longarina B 
 
Portanto os coeficientes rba, rbb, rbc e rbd nada mais são do que as 
ordenadas da linha de influência para distribuição transversal, para a longarina B, 
quando aplicamos um carregamento ao longo da transversina. 
 A determinação exata dos coeficientes de distribuição transversal de carga é 
complicada, pois depende do número e posição das transversinas. 
 Para facilitar podemos como faz Leonhardt, supor a existência de uma só 
transversina no centro das vigas principais. 
 Pontes – Método de Leonhardt 3 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 As tabelas que dão os coeficientes de distribuição transversal estão em 
função do chamado Fator de Rigidez (). 
 
  = IT  L )
3 
 IL 2 
 
 onde: IT = momento de inércia da viga principal; 
 IL = momento de inércia de uma transversina central; 
 L = vão da viga principal; 
  = espaçamento entre as longarinas. 
 
 
  Observações importantes : 
 
1-) Quando a viga principal tem momento de inércia variável, o cálculo dos 
coeficientes de distribuição deve ser feito diretamente pelos processos das grelhas. 
De um modo aproximado, o problema poderá ser resolvido multiplicando-se o 
momento de inércia Ic no centro da viga principal pela relação V. 
 
 V  é a relação entre as flechas, no centro, devida a uma carga concentrada na 
viga sobre dois apoios de altura constante e na viga real; portanto 
substituímos a viga real por uma viga com momento de inércia igual a V IC. 
 
2-) Se houver várias transversinas, substituem-se estas por uma só transversina 
virtual com momento de inércia majorado pelo fator i dado pela tabela abaixo. 
 
no. de transversinas i 
1 ou 2 1,0 
3 ou 4 1,6 
5 ou mais 2,0 
 
 Portanto, o fator de rigidez na realidade seria:  = i . IT  L )
3 
 c .V ,IL 2 
 
 
 3-) Para as vigas contínuas com momento de inércia constante, podemos usar os 
fatores dados na Tabela 5 (em anexo) permitindo corrigir o momento de inércia 
da viga real, para efeito de uso das Tabelas de Coeficiente de Distribuição (vide 
anexo). 
 Pontes – Método de Leonhardt 4 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
1,00 
 = 3,5 
 = 3,5 
 = 3,5 
1,00 
L = 42,00 
7,00 
 12,50 m 
4-) Quando tivermos longarinas extremas mais reforçadas, não poderemos aplicar 
as Tabelas de 1 a 4. Neste caso, Leonhardt fornece dados para a obtenção dos 
coeficientes de distribuição transversal. 
 
Consultar: Método de Leonhardt para o cálculo de tabuleiros de pontes como grelha. 
(tabelas transcritas do trabalho do Eng. Francisco José de San Martin). 
 
 
 RESUMO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO: 
 
 Calcular o fator de rigidez  . Para isso determinar IT e IL, lembrando que deverá 
ser levado em conta o artigo 14.6.2.2 da NBR 6118 para a obtenção da largura 
colaborante da laje. 
 Traçado das L.I. de Distribuição Transversal com os coeficientes dados pelas 
tabelas. Deveremos ter uma L.I. para cada viga. 
 Carregamento das L.I. acima obtidas e determinação do trem-tipo longitudinal 
para cada viga. 
 Com o trem-tipo longitudinal carregar as L.I. de M.F e F.C para cada décimo de 
vão. 
================================================================ 
 
Exercício de aplicação – Método de Leonhardt: 
 Largura do passeio: 1,00 m / T.T. 36tV1 
 
 
 
 V2 
 
T1 
 
T2 
 
T3 
 
T4 
 
T5 
 
 
 V3 
 
 
 
 V4 
 
 
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 5 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
V1 V2 V3 V4 
1. Fator de Rigidez: 
 
 IL = 1,1155 m
4 (longarina) 
 IT = 0,1033 m
4 (transversina) 
 
 = i . IT  L )
3   = 40  (tabelas anexadas) 
 c .V ,IL 2 
 
i = 2.0 (5 transversinas) 
 
Tabela no 2 : r11 = r44 = 0,715 r14 = r41 = -0,186 
 r12 = r43 = 0,384 r22 = r33 = 0,318 
 r13 = r42 = 0,086 r23 = r32 = 0,211 
 
 
 
2. Traçado das L.I. de Distribuição Transversal: 
 
 Faremos o traçado apenas para a V1, para a V2 o procedimento seria análogo. 
 
 L.I. para a V1 
 
 1,00 3,50 3,50 3,50 1,00 
 
 
 
 
6 6 
 1,106 
 0,725 0,225 2,00 0,50 
 0,300 
 
 0,300
 corte A-A 
 
 0,500 
 0,775
 
 0,300 
 
 0,300 
corte B-B 
 
 
 
 0,186 
 0,507 0,457
 0,384 
 
0,086
 
 0,715
 0,694 
0,810
 0,741 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 6 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 r11 r21 r31 r41 r51 
3. Carregamento e Obtenção do Trem-Tipo: 
 
 = 1,4 - 0,007 x 4,2 = 1,11 
 
Cargas concentradas: Rd = 6 x 1,11 (0,694 + 0,507) = 7,96 tf 
Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x 1,11 (0,715 + 0,457 x 2,725) = 0,886 tf/m 
 2 
Carga lateral: pl=0,30x1,11(0,457+0,384x0,775+0,384+0,086 x3,5+ 0,086x1,1066)=0,398 tf/m 
 2 2 2 
Carga do passeio (corte A-A): pp = 0,300 (0,810 + 0,741 x 0,725) = 0,169 tf/m 
 2 
Carga do passeio (corte B-B): pp = 0,300 (0,810 + 0,715 x 1,00) = 0,229 tf/m 
 2 
 
Composição do trem-tipo para a viga V1 
 
 
 7,96 tf 7,96 tf 7,96 tf 
 
 1,50 1,50 1,50 1,50 
 pa + pp + pl = 1,513 tf/m pa + pp + pl = 1,513 tf/m 
 
 pp + pl = 0,567 tf/m 
 
 
 
 
 
 
II - CÁLCULO DE TRANSVERSINAS - MÉTODO LEONHARDT: 
 
Para o cálculo das transversinas devemos estudar as linhas de influência dos 
esforços com carga P passeando ao longo da própria transversina. 
 O processo mais prático é utilizar os coeficientes já determinados para as 
vigas principais, achar as ordenadas das linhas de influência em correspondência à 
essas vigas principais. 
 
Ordenadas da L.I. para uma secção qualquer "S": 
 
 
 
 x1 
 P = 1 x2 
 x3 
 S 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 
 
     
 Pontes – Método de Leonhardt 7 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 r12 r22 r32 r42 r52 
 Estando a carga P=1 na viga V1, aparecerão quinhões de carga em todas as 
vigas representadas pelos coeficientes r11, r21, r31... 
Portanto a ordenada da L.I. de M.F da secção S no ponto 1 será: 
 y1 = (r11 –1).x1 + r21.x2 + r31.x3 
 
 x1 
 
 P = 1 x2 
 x3 
 S 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 
 
     
 
 
A ordenada da L.I de M.F da secção S no ponto 2 será: 
y2 = r12 .x1 + (r22 – 1). x2 + r32.x3 
 
 
Analogamente no ponto 3 teremos : y3 = r13.x1 + r23.x2 + (r33 – 1).x3 
 no ponto 4 teremos : y4 = r14.x1 + r24.x2 + r34.x3 
 no ponto 5 teremos : y5 = r15.x1 + r25.x2 + r35.x3 
 
 
No exemplo literal acima, foram determinadas as ordenadas da L.I. para M.F., 
na secção S. Nos casos práticos devemos traçar as L.I. não numa secção genérica 
S, mas em pontos notáveis normalmente em correspondência às vigas principais. 
 
 
Exemplo de Aplicação: 
 
 
 
 1 2 3 4 5 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 
CONTORNO DAS 
 1,40 1,90 1,90 1,90 1,90 1,40 TRANSVERSINAS 
 
 
vão das longarinas = 24,18 m 
passeios de 1,00 m 
2 transversinas centrais espaçadas de 8,06 m 
 = 140 
 Pontes – Método de Leonhardt 8 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
a-) Coeficientes já calculados: r11 = r55 = 0,615 
r12 = r54 = 0,392 
r13 = r53 = 0,185 
r14 = r62 = - 0,0043 
r15 = r51 = - 0,187 
r22 = r44 = 0,306 
r23 = r43 = 0,206 
r24 = r42 = 0,1007 
r33 = 0,217 
 
b-) Linhas de Influência de M.F para a secção 2: y1 = (r11-1)  = - 0,732 
 y2 = r12  = 0,745 
 y3 = r13  = 0,352 
 y4 = r14  = - 0,0082 
 y5 = r15  = - 0,355 
 
 1 2 3 4 5 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 
 
 
 
 21,26 tf 21,26 tf 
 0,50 2,00 0,50 1,26 
 
 
3,257 tf/m 
 
3,257 tf/m
 
 
2,140 tf/m 
 
 
 0,732 0,0082 
0,355 
 
 
 
 0,356 0,352 0,333 
0,239 0,0219 
 
 + 
 0,745 
 
 
 0,04 0,075 
 
 0,4 0,942 0,958 1,86 0,115 2,00 0,225 1,00 
 0,275 0,725 
 21,26 tf 21,26 tf 
 
 2,418 tf/m
 
 
 3,257 tf/m
 2,418 tf/m 
 2,140 tf/m 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 9 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
Obs : Quando a transversina não se prolongano balanço, a linha de influência 
será horizontal na região do balanço. 
∆ = 2,418 x 0,355 x 0,275 = 0,24 
 
 
c-) Trem-Tipo que carrega as L.I. da transversina: 
 
 6  6  6  
 0,500 
 1,50 1,50 1,50 1,50
 0,500  
 
 0,300 
 e 0,300 tf/m2 
 
 0,628 0,628 
 0,814 0,814 
 
 1,00 
 
8,06 8,06 
 
 
  = 1,4 – 0,007 x 7,6 = 1,347 
 
 
cargas concentradas : 6 x 1,347 x (0,814 + 1,00 + 0,814) = 21,26 tf 
 
carga atrás e na frente : 0,500 x 1,347 x (0,628 x 5,06 x 2) = 2,140 tf/m 
 2 
carga lateral : 0,300 x 1,347 x (1 x 16,12 ) = 3,257 tf/m 
 2 
carga do passeio : 0,300 x (1 x 16,12) = 2,418 tf/m 
 2 
Mmáx + = [21,26 (0,745 + 0,333) + 2,140 (0,356 + 0,745 x 0,5 + 0,745 + 0,352 x 1,9 + 
 2 2 
 0,352 + 0,239 x 0,6) + 3,257 (0,356 x 0,458 + 0,239 x 1,26 )] = 26,87 tf.m 
 2 2 2 
 
Mmáx - = [ 21,26 (0,0219 + 0,355) + 2,14 (0,0082 x 0,115 + 0,0082 + 0,355 x 1.9 + 
 2 2 
0,355 x 0,325) + 3,257 (0,4 x 0,732 + 0,732 x 0,942 ) + 2,418 (0,732 x 1,00 + 0,355 x 0,725)] 
 2 
= 13,47 tf.m 
 Pontes – Método de Leonhardt 10 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
d-) Linha de Influência na secção 3 : y1 = (r11- 1) x 2  + r21 x  = - 0,718 
 y2 = r12 x 2  + (r22 - 1) x  = 0,175 
 y3 = r13 x 2  + r23 x  = 1,094 
 y4 = r14 x 2  + r24 x  = 0,175 
 y5 = r15 x 2  + r25 x  = - 0,718 
 
 1 2 3 4 5 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 
 
 0,772 0,5 2,00 0,5 0,772 
 
 21,26 tf 21,26 tf 
 3,257 tf/m 
2,140 tf/m
 3,257 tf/m 
 
 
 
 0,718 0,718 
 
 0,140 
 0,175 
0,368 0,368 
 0,175 
 0,610 1,094 
0,610
 
 
 0,372 1,528 0,4 
 1,00 0,4 1,528 0,372 0,075 2,00 0,225 1,00 
 0,275 0,725 
 
 3,257 tf/m 21,26 tf 21,26 tf 
 2,418 tf/m 2,140 tf/m 2,418 tf/m 
 
 
 
M + = [21,26 (0,61+ 0,61) + 21,4 (1,094 + 0,368 x 1,5 x 2) + 3,257 (0,772 x 0,368 x2)] 
 2 2 
  M + = 31.55 tf.m 
 
 
M - = [21,26 (0,718 – 0,140) + 2,140 (0,718 x 1,528 + 0,718 x 0,4) + 3,257(0,718 x 1,528 
 2 2 
 + 0,718 x 0,4) + 2,418 (0,718 x (1,00 + 0,725))] 
 
 M - = - 19,80 tf.m 
 Pontes – Método de Leonhardt 11 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 
e-) Diagrama de M.F. máximos: 
 1 2 3 4 5 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 19,80 
 13,47 13,47 
 
 
 
 26,87 
 31,55
 26,87 
 
 
Traçado das L.I. de Forças Cortantes: 
 
Secção 1d: P=1 
 
1 2 3 4 5 
 
y1e = r11 – 1 = - 0,385 V1 V2 V3 V4 V5 
y1d = r11 = 0,615 
y2 = r12 = 0,392 
y3 = r13 = 0,185 0,615 
y4 = r14 = - 0,0043 L.I. 0,392 0,185 
y5 = r15 = - 0,187 0,221 0,385
 0,0043
 0,187 0,322 
 
 
 
Secção 2e: P=1 
 1 2 3 4 5 
y1 = r11 – 1 = - 0,385 
y2e = r12 - 1 = - 0,608 
y2d = r12 = 0,392 
y3 = r13 = 0,185 
y4 = r14 = - 0,0043 L.I. 0,392 0,185
 
 
y5 = r15 = - 0,187 0,221 0,385 0,0043 0,187 0,322 
 0,608 
 
Secção intermediária entre 1d e 2e : 
 
- - 
+ + 
+ 
+ 
- - 
- - 
 Pontes – Método de Leonhardt 12 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
y1 = r11 – 1 + r21 = 0,007 
y2e = r12 + r22 – 1 = - 0,302 
y2d = r12 + r22 = 0,698 
y3 = r13 + r23 = 0,391 
y4 = r14 + r24 = 0,0964 
y5 = r15 + r25 = - 0,1913 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
y1 = r11 – 1+ r21 = 0,007 
y2 = r12 + r22 – 1 = - 0,302 
y3e = r13 + r23 – 1 = - 0,609 
y3d = r13 + r23 = 0,391 
y4 = r14 + r24 = 0,0964 
y5 = r15 + r25 = - 0,1913 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 1 2 3 4 5 
y1 = r11 – 1 = - 0,385 
y2e = r12 - 1 = - 0,608 
y2d = r12 = 0,392 
y3 = r13 = 0,185 
y4 = r14 = - 0,0043 L.I. 0,392 0,185
 
 
y5 = r15 = - 0,187 0,221 0,385 0,0043 0,187 0,322 
 
 
 
 
 
Secção 2d : 
 P=1 
 1 2 3 4 5 
 
 
 
 0,698
 
 L.I. 0,007 
0,391
 0,0964 
 0,302 0,191 
 
 
 
 
 
Secção 3e : 
 
 1 2 3 45 
 
 
 
 
 
 L.I. 0,007 
0,391
 0,0964 
 0,302 0,191 
 
 0,609 
 
 
Secção Intermediária entre 2b e 3e : 
 
- - 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
 Pontes – Método de Leonhardt 13 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 1 2 3 4 5
 
 
 
 
 
 
 L.I. 0,007 
0,391
 0,0964 
 0,302 0,191 
 
 
 
 
 
Obs.: Traçadas as L.I de forças cortantes, deveremos carregá-las de modo a se 
obter o valor máximo positivo e o valor máximo negativo (para cada linha). 
 
 
 
Exercícios: 
 
 1-) Determinar a F.C. máxima positiva e negativa na secção 2e: 
 
 21,26 tf 21,26 tf 
 3,257 tf/m 3,257 tf/m
 
 2,418 tf/m 2,418 tf/m 
 
 1,00 0,5 2,00 0,5 1,00 
 
 1,4 1,9 1,9 1,9 1,9 1,4 
 
 
 
 21,26 tf 21,26 tf 3,257 tf/m
 
 
 2,14 tf/m 
 
 
 L.I. 0,392 0,185
0,175
0,127
 
 
 
0,221 0,352 0,385 0,0043 0,187 0,322 
 - 0,608 
0,226
 
 
 
 
 2,419 tf/ m
 21,26 tf 21,26 tf 3,257 tf/m
 2,418 tf/m 
 2,140 tf/m 
 
 0,80 0,5 0,1 1,0 
 
- 
+ 
 Pontes – Método de Leonhardt 14 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
V2e+= 21,26(0,392+0,175)+2,14(0,392+0,185 x1,9+0,185+0,127 x0.66)+ 3,257(0,127x 1.257) 
 2 2 2 
 V2e + = 13,69 tf 
 
 
V2e - = - [21,26 (0,608 + 0,373) + 2,14 (0,385 + 0,608 x1,9 + 0,338 + 0,385 x 0,4) + 2,418 
 2 2 
 (0,221+0,352 x 0,80 + 0,226+0,322 x1,00) + 3,257(0,226+0,187 x0,4 +0,187+0,0043 x1,943)] 
 2 2 2 2 
V2e - = - 25,26 tf 
 
 
 
Envoltória de F.C.: 
 
 1 2 3 4 5 
 
 
 25,26 
 
 13,69 + + 
 
 - - 13,69 
 25,26 
 
 
 
2-) Traçar a envoltória de F.C de uma transversina central da ponte abaixo 
esquematizada sabendo-se que elas estão espaçadas a cada 6 m . 
Usar T.T 45 tf 
 
 
 
 1 2 3 4 L = 30,00 m 
 
 V1 V2 V3 V 4  = 1,19 (viga) 
  = 1,4 – 0,007x7,5 = 1,348
 
 1,50 2,50 2,50 2,50 1,50 (transversina)
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 15 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
r11 = r44 = 0,752 
r12 = r43 = 0,346
 
r13 = r42 = 0,0054 
r14 = r41 = -0,152 
r22 = r33 = 0,363 
r23 = r32 = 0,237 
Dados : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6,00 6,00 
0 , 1 , 2 – V1d 
3 , 4 , 5 – V2e 
6 à 9 – V2d 
 
 7,5 7,5 7,5 
 0,500 0,500
 
 
 
 0,500  
 
 0,300 
 
 
 4,04 tf/m
 P= 25,28 tf P=25,28 tf
 4,04 tf/m 
 1,80 tf/m 1,011 tf/m 1,80 tf/m 
 
 
 1,50 0,5 2,00 0,5 1,50 
 
 
P = 7,5  (1 + 0,75 + 0,75) = 25,28 tf 
 
C. atrás e na frente = 0,500  (0,5 x 3) x 2 = 1,011 tf/m 
 2 
C. lateral = 0,500  (1 x 12) = 4,04 tf/m 
 2 
C. passeio = 0,300 (1 x 12) = 1,80 tf/m 
 2 
 
 
V1 
V2 T1 T2 T3 T4 
V3 
V4 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 16 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 
L.I V2d L.I V2e L.I V3e 
y1 = r11- 1 + r21 = 0,098 
y2e= r12 –1+ r22 = - 0,291 
y2d= r12 + r22 = 0,709 
y3 = r13 + r23 = 0,291 
y4 = r14 + r24 = - 0,098 
y1 = r11 – 1 = - 0,248 
y2e = r12 – 1 = - 0,654 
y2d = r12 = 0,346 
y3 = r13 = 0,054 
y4 = r14 = - 0,152 
y1 = r11 – 1 + r21 = 0,098 
y2 = r12 – 1 + r22 = - 0,291 
y3e = r13 + r23 – 1 = - 0,709 
y3d = r13 + r23 = 0,291 
y4 = r14 + r24 = - 0,098 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 
 V1 V2 V3 V 4 
 
 1,50 2,50 2,50 2,50 1,50 
 
 
 0,709 
 0,098 + 
 0,291 L.I.V2d 
 0,291 0,098 
 
 
 
 0,346 
 + 0,054 L.I.V2e 
 0,248 
 - 0,654 0,152 
 
 
 
 + + + 
 Envoltória F.C. 
 - - - 
 
 
 
 
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 17 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
3-) Uma ponte constituída por 6 vigas principais apresenta a seção transversal 
conforme o esquema abaixo. Sabe-seque existem 3 transversinas centrais 
igualmente espaçadas. Aplicando-se o Método de Leonhardt, pede-se: 
 a-) o momento fletor máximo positivo e negativo na seção 4 da viga V2; 
 b-) a reação máxima no apoio A. 
 
Dados: finais: 0 , 1 – V1 
 T.T. 45 tf 2 , 3 – V2 
 IT = 0,2035 m
4 4, 5 – V3 
 IL = 3,2616 m
4
 6, 7 – V4 
 passeios = 1,00 m 8 – V5 
 = 75 9 – V6 
 
Seção Longitudinal: 
 
 16,0 
 4 
 3,00 40,00 
 
 
Seção Transversal : 
 0,1 1,00 1,00 0,1 
 
 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 V6 
 
 1,60 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 1,60 
 14,20 
 
 
 
 
V2 
 
 
Corte A-A 
 
 
 
Corte B-B 
 Pontes – Método de Leonhardt 18 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
r11 = r55 = 0,653 
r12 = r54 = 0,371 
r13 = r53 = 0,147 
r14 = r52 = -0,018 
r15 = r51 = -0,152 
r22 = r44 = 0,323 
r23 = r43 = 0,223 
r24 = r42 = 0,102 
r33 = 0,262 
4-) Obter o trem-tipo longitudinal para a viga V3 da ponte de seção transversal 
abaixo, usando o Método de Leonhardt e sabendo-se que se deseja transpor essa 
ponte com uma carreta: 
 10 tf/eixo 20 tf/eixo = = = = = = 20 tf/eixo 
 3,00 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 
 
 
Dados: 
 vão da ponte = 30 m 
 a carreta está posicionada no eixo da ponte 
 distribuição das cargas por eixo: 
 
 1,20 1,20 1,20 
 
Seção Transversal: 
 
 1,75 1,75 
 
 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 V6 
 
 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 
 
 
 
 
5-) Obter o trem-tipo longitudinal para a viga V3 da ponte do exercício acima, 
sabendo-se que o vão é de 30 m. Existem 5 transversinas de vão. 
 
Dados: T.T. 45 tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 19 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
6-) A ponte de seção transversal abaixo é isostática com 30 m de vão. Sabe-se que 
no vão existem 4 transversinas igualmente espaçadas. 
Usando o trem-tipo de 45 tf, traçar a envoltória de momentos fletores de uma 
transversina de vão determinando os valores máximos positivos e negativos nas 
seções 2, 3 e S. 
Fator de rigidez:  = 70 
 
 2,50
 
1,50 
 
 1,25 
 
 2 3 S 4 5 
 V1 V2 V3 V4 V5 V6 
CONTORNO DAS 
TRANSVERSINAS 1,25 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 1,25 
 
 
 
 
7-) Obter o momento fletor máximo na seção 10 da viga V3 da ponte esquematizada. 
Usar o trem-tipo de 36 tf. 
Sabe-se que existem 4 transversinas centrais em cada vão. Adotar para a viga V3 a 
carga permanente de 5 tf/m. 
 
Dados: 
 10 
 IL = 0,855 m
4
 25,0 25,0 25,0 
 Itransversina = 0,200 m
4 
 
 
Seção Transversal: 
 
 1,00 1,00 
 
 1 2 3 4 5 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
 
CONTORNO DAS 
 2,00 3,00 3,00 3,00 3,00 2,00 TRANSVERSINAS 
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 20 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 
III – REAÇÕES CONCOMITANTES: 
 
MÉTODO DE LEONHARDT: 
 
8-) Dada a secção transversal de uma ponte isostática de 42.0 m de vão, conforme 
esquema abaixo, determinar a reação máxima na viga V1 e as reações 
concomitantes nas demais vigas. 
 
Dados:  = 40 / Trem-Tipo 36 tf 
 r11 = r44 = 0,715 r14 = r41 = - 0,186 
r12 = r43 = 0.384 r22 = r33 = 0,318 
r13 = r42 = 0,086 r23 = r32 = 0,211 
 
 
 1,00 3,50 3,50 3,50 1,00 
 
 
 V1 V2 V3 V4 
 
 
 
 
 
 0,225 2,00 0,5 0,775 
 
 
 0,186 V1 máx. 
 0,086 
 0,810 0,716 0,694 0,907 
0,457 0,384 
 
 
 
 V2 conc. 
 0,403 0,384 0,380 0,342
0,333 0,318 0,211 
0,171
 
0,086
 
 
 
 V3 conc. 
0,050 0,086 0,094
 0,165 0,183 0,211 0,318
 0,339
 0,384 
 
 
 
0,264 0,186 0,169 V4 conc. 
 
 0,026 0,086 
 0,384
 0,489 
 0,715 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 21 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 
 = 1,4 – 0,007 x 42 = 1,11 
 
 
V1 máx.  Obtenção do trem-tipo: 
 
Cargas concentradas: P = 6 x 1,11 (0,694 + 0,507) = 7,96 tf 
 
Carga atrás e na frente: pa = 0,5 x 1,11 (0,715 + 0,457 x 2,726) = 0,886 tf/m 
 2 
Carga Lateral: pl = 0,300 x 1,11 ( 0,457 + 0,384 x 0,775 + 0,384 + 0,086 x 3,5 + 
 2 2 
 0.086 x 1,1066 ) = 0,398 tf/m 
 2 
Carga do passeio: pp = 0,300 ( 0,810 + 0,715 x 1,00 ) = 0,229 tf/m (corte A-A) 
 2 0,169 tf/m (corte B-B) 
 
 7,96 tf 7,96 tf 7,96 tf 
 
pa + pp + pl = 1,513 tf/m
 pp + pl = 0,567 tf/m
 1,513 tf/m 
 
 
 1,50 1,50 1,50 1,50 
 
 
 
 
V2 conc.  Obtenção do trem-tipo: 
 
Cargas concentradas: p = 6 x1,11 x (0,380 + 0,342) = 4,81 tf 
 
Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x 1,11 (0,384 + 0,333 x 2,725) = 0,542 tf/m 
 2 
Carga lateral: pl = 0,30 x1,11(0,333 + 0,318 x0,775 + 0,318+ 0,211 x3.5 + 0,211+ 0,171 
 2 2 2 
 x 1,1066) = 0,463 tf/m 
 
Carga do passeio: pp = 0,300 (0,403 + 0,384 x 1,00) = 0,118 tf/m 
 2 
 
 
 4,81 tf 4,81 tf 4,81 tf 
 
pa + pp + pl = 1,123 tf/mpp + pl = 0,581 tf/m
 1,123 tf/m 
 
 
 1,50 1,50 1,50 1,50 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 22 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 
V3 conc.  Obtenção do trem-tipo: 
 
Cargas concentradas: p = 6 x 1.11 x (0,094 + 0,165) = 1,72 tf 
 
Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x 1.11 (0,086 + 0,183 x 2,725) = 0,203 tf/m 
 2 
Carga lateral: pl = 0,30 x1,11 (0,183 + 0,211 x0,775 + 0,318 + 0,211 x3,5+ 0,318 + 0.339 
 2 2 2 
 x 1,1066) = 0,480 tf/m 
 
Carga do passeio: pp = 0,300 (0,0503 + 0,086 x 1,00) = 0,020 tf/m 
 2 
 
 
 
 1,72 tf 1,72 tf 1,72 tf 
 
pa + pp + pl = 0,703 tf/m
 pp + pl = 0,500 tf/m
 0,703 tf/m 
 
 
 1,50 1,50 1,50 1,50 
 
 
 
 
V4 conc.  Obtenção do trem-tipo: 
 
Cargas concentradas: p = 6 x 1,11 x (- 0,169 – 0,013 ) = - 1,21 tf 
 
Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x1,11 (- 0,186+2,3934 + 0,026+ 0,332)= - 0.121 tf/m 
 2 2 
Carga lateral: pl = 0,30 x1,11(0,0206 + 0,086 x 0,775+ 0,086 + 0,384 x3,5 + 0,384 + 0,489 
 2 2 2 
 x 1,1066) = 0,448 tf/m 
 
Carga do passeio: pp = 0,300 (- 0,264 + 0,186 x 1,00) = - 0,068 tf/m 
 2 
 
 
 -1,21 tf - 1,21 tf - 1,21 tf 
 
pa + pp + pl = 0,260 tf/m
 pp + pl = 0,380 tf/m
 0,260 tf/m 
 
 
 1,50 1,50 1,50 1,50 
 
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 23 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 
Cálculo das reações: 
 
 
 
 
 L = 42,00 m 
 
 W1 = 4,259 
 1,00 
 
 0,964 
W2=16,744 
 0,929 
 0,893 
 L.I.Reação 
 
 
 
 1,51,51,5 
 
 
 
 y = 1,00 + 0,964 + 0,929 = 2,893 
 
 
 P x zy q1 x w1 q2 x w2 total ( tf ) 
 
V1 máx 23,03 2,67 25,33 51,03 
V2 conc 13,92 2,47 18,80 35,19 
V3 conc 4,98 2,13 11,77 18,88 
V4 conc - 3,50 1,63 4,35 2,48 
 
 
 
 
51,03 tf 35,19 tf 18,88 tf 2,48 tf 
 3,50 3,50 3,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 24 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
r11 = r66 = 0,654 
r12 = r65 = 0,347 
r13 = r64 = 0,128 
r14 = r63 = 0,006 
r15 = r62 = -0,052 
r16 = r61 = -0,082 
r22 = r55 = 0,325 
r23 = r54 = 0,232 
r24 = r53 = 0,121 
r33 = r44 = 0,285 
r34 = r43 = 0,229 
 
 Exercícios: 
 
REAÇÕES CONCOMITANTES: 
 
9-) Obter a reação máxima na viga V3 e as concomitantes nas demais vigas: 
Usar T.T. 45 tf. 16,0 
A ponte é isostática, com um vão de 40 metros. 
Coeficientes de Leonhardt: A 4 L = 40,0 m
 B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1,20 
 
1,20 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 V6 
 CONTORNO DAS 
TRANSVERSINAS 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 25 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 2,516 0,5 0,5 2,0 0,5 2,5 1,02 
 
10-) A ponte de seção transversal abaixo esquematizada é isostática com vão de 40 
m. Pede-se obter o momento fletor máximo no meio do vão da viga V3. Usar o T.T 
45 tf. 
Dados: r11 = r44 = 0,910 r12 = r43 = 0,160 r13 = r42 = - 0,050 
 r14 = r41 = - 0,020 r22 = r33 = 0,630 r23 = r32 = 0,260 
 
 
 1 2 3 4 
 
 V1 V2 V3 V4 
 
 
CONTORNO DAS 
 1,00 3,00 3,00 3,00 2,50 TRANSVERSINAS 
 7,5  7,5  
 
 0,500  0,500  0,300 Corte A-A 
 0,500  0,300
 
Corte B-B 
 
 - 0,05 0,232 
 0,26 0,322 0,16 
 + 0,383 0,63 
 0,552 
 
 
 
  = 1,4 – 0,007 x 40   = 1,12 
 
 
Corte A-A: 
 
Cargas concentradas: p = 7,5  x (0,63 + 0,383) = 8,51 tf 
Carga lateral: pl = 0,500 x [ (0,552 + 0,16) x 2,5 + 0,260 x 2,516 + (0,322 + 0,26) x 0,5] 
 2 2 2 
 pl = 0,763 tf/m 
 
Carga no passeio = pp = (0,16 x 1,02) x 0,3 = 0,025 tf/m 
 2 
 
Corte B-B: 
 
Carga atrás e na frente: pa =0,500 x [(0,63 + 0,322) x 2,5 + (0,63 + 0,552) x 0,5] = 
 2 2 
 pa =0,832 tf/m 
 
 Pontes – Método de Leonhardt 26 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 
 8,51 8,51 8,51 
 1,62 tf/m
 1,50 1,50 1,50 1,50
 1,62 tf/m 
 
 0,788 tf/m
 
 
 8,50 8,50 
 9,25 9,25 
 
 10,0 
 
20,0 20,0 
 
 
M5 máx.= 8,51 x (9,25 + 10 + 9,25) + 8,50 x 17 x 2 x 1,62 + 0,788 x (10 + 8,5 x 3 x 2) 
 2 2 
 M5 máx.= 520,36 tf.m 
 
 
 
11-) Deduzir e traçar a L.I de M.F na seção 3 de uma transversina central da ponte 
esquematizada no exercício anterior. 
 
 1 2 3 4 
 
 V1 V2 V3 V40,27 
 - 0,06
 0,15 
 L.I.M3 
 
 + 
 0,48 
 
 
 
 
L.I M2 L.I M3 
 
 y1 = (r11 -1) x 3 = - 0,270 y1 = (r11 -1) x 6 + r21 x 3 = - 0,060 
 y2 = r12 x 3 = + 0,480 y2 = r12 x 6 +( r22 -1) x 3 = - 0,150 
 y3 = r13 x 3 = - 0,150 y3 = r13 x 6 + r23 x 3 = + 0,480 
 y4 = r14 x 3 = - 0,060 y4 = r14 x 6 + r24 x 3 = - 0,270 
 Pontes – Método de Leonhardt 27 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
0,27 
 
12-) Posicionar a carga acidental na seção transversal para se obter a reação de 
apoio na viga V4 concomitante com a reação na viga V1 da ponte do exercício 10. 
 
 1 2 3 4 
 
 V1 V2 V3 V4 
 
 
 
 1,00 3,00 3,00 3,00 2,50 
 7,5  7,5  
 0,725 0,23 2,00 0,5 
 Corte A-A 0,300 0,500  
 
 
 Corte B-B 
0,300 
 
0,500  
 0,05 0,02 0,01 L.I.V1 
 
 0,16 
 0,91 
 
 
 
 
13-) Deduzir e traçar a L.I. de F.C. à direita da seção 3 de uma transversina central. 
 
 
 1 2 3 4 
 
 V1 V2 V3 V4 
 
 
 
 
 0,84 
 + 0,02
 0,05 0,09 
 L.I.V3d 
 
 - 
0,16 
 
 
L.I V3d L.I V3e 
 
 y1 = (r11 -1) + r21 + r31= 0,020 y1 = (r11 -1) + r21 = 0,070 
 y2 = r12 + (r22 -1) + r32 = 0,050 y2 = r12 + (r22 -1) = - 0,210 
 y3e = r13 + r23 + (r33 – 1) = - 0,160 y3e = r13 + (r23 – 1) = - 0,790 
 y3d = r13 + r23 + r33 = 0,840 y3d = r13 + r23 = 0,210 
 y4 = r14 + r24 + r34 = 0,090 y4= r14 + r24 = - 0,070 
 Pontes – Método de Leonhardt 28 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
14-) Uma ponte isostática de 20 m de vão tem a seção transversal indicada abaixo. 
São dados: T.T. 45tf ( = 20) 
 r11 = r55 = 0,673 r12 = r54 = 0,360 
 r13 = r53 = - 0,127 r14 = r52 = - 0,025 
 r24 = r42 = 0,102 r23 = r43 = 0,231 
 r22 = r44 = 0,333 r33 = 0,286 
 
 = 1,4 – 0,007 x 40   = 1,12 
 
a-) Pede-se determinar o M.F máximo na seção 5 da viga V3: 
 
 
1,25 
 
 1,25
 
 
 1 2 3 4 5 
 
 
V1 V2 V3 V4 V5 
 
CONTORNO DAS 
 1,50 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 TRANSVERSINAS 
 
 0,500  
 0,300 Corte B-B 
 
 7,5  7,5  
0,300 
 0,500  0,500  
 Corte A-A
 
 0,5 1,0 1,0 0,5 
 
 L.I.V3 
 0,075 0,118 0,118 
0,075 
 0,127 + + 0,127 
 0,231 0,231 
 0,286 
 
 Corte A-A: 
 
Carga concentrada: p = 7,5  x (0,268 + 0,268) = 5,065 tf 
 
Carga lateral: pl=0,500  x [(0,118+0,127)x0,25+(0,127+0,231)x3,0+(0,231+0,259) x1,5] x2= 
 2 2 2 
 pl=1,178 tf/m 
 
Carga no passeio: pp=0,300 x(0,075+ 0,118) x1,25 x 2 = 0,072 tf/m 
 2 
 Pontes – Método de Leonhardt 29 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
Corte B-B: 
 
Carga atrás e na frente + Carga lateral: pa =0,500 x (0,259 +0,286) x 1,5 x 2 +1,178= 
pa =1,693 tf/m 2 
 
 
 5,07 5,07 5,07 
 1,765 tf/m
 1,50 1,50 1,50 1,50
 1,765 tf/m 
 
 1,25 tf/m
 
 L.I.M5 M5máx = 143,50 tf.m 
 3,50 3,50 
 4,25 4,25 
 
 5,0 
10,0 10,0 
 
 
 
b-) Obter a Reação na viga V1, concomitante com a V3 máxima. 
 
 
1,25 
 
 1,25
 
 
 1 2 3 4 5 
 
 
V1 V2 V3 V4 V5 
 
CONTORNO DAS 
 1,50 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 TRANSVERSINAS 
 
 0,500  
 0,300 Corte B-B 
 
 7,5  7,5  
0,300 
 0,500  0,500  
 Corte A-A
 
 0,5 1,0 1,0 0,5 
 
 1,007 0,493 
 0,144 0,190 
 0,025 0,135 L.I.V1 
 + 0,127 0,076 
0,051 
 0,360 
 
 0,673 
 0,699 
 0,830 
 Pontes – Método de Leonhardt 30 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
Corte A-A: 
 
Carga concentrada: p = 7,5  x (0,205 + 0,0764) = 2,66 tf 
Carga lateral: pl = 0,500 x [(0,699 +0,673) x 0,25 + (0,673+0,360) x 3+ (0,360+0,244) x1,5 
 2 2 2 
 + (0,051x1,007) - (0,025 x 0,493) - (0,025 + 0,144) x 3,25 ] = 1,209tf/m 
 2 2 2 
 
Carga passeio: pp = 0,300 (0,830 +0,699) x 1,25 – (0,144 + 0,190 x 1,25) = 0,224 tf/m 
 2 2 
 
Corte B-B: 
 
Carga atrás e na frente + carga lateral: pa =0,500  x [(0,244 + 0,127) x1,5 
2+ (0,127 + 0,051) x1,5] + 1,209 = 1,468 tf/m 
 
 
 2,66 tf 2,66 tf 2,66 tf 
 1,692 tf/m
 1,50 1,50 1,50 1,50
 1,692 tf/m 
T.T. da V1 conc. com V3 máx.: 
 1,433 tf/m
 
 
 
 
 
 
 
 
 RV1= 23,27 tf 
 1,00 
 0,925
 0,890 
 0,775 L.I.Rv1 
 
 L = 20,0 
 
 
 
c-) Obter ainda a dedução e o traçado da L.I de M.F na seção 2 e da L.I de F.C na 
seção 3 à direita, ambas de uma transversina central. 
 
L.I V3d L.I M2 
 
 y1 = (r11 -1) + r21 + r31 = 0,160 y1 = (r11 -1) x 3 = - 0,981 
 y2 = r12 + (r22 -1) + r32 = - 0,076 y2 = r21 x 3 = + 1,080 
 y3e = r13 + r23 + (r33 – 1) = - 0,356 y3 = r31 x 3 = 0,381 
 y3d = r13 + r23 + r33 = 0,644 y4 = r41 x 3 = - 0,075 
 y4 = r14 + r24 + r34 = 0,308 y5 = r51 x 3 = - 0,405 
 y5 = r15 + r25 + r35 = - 0,033 
 Pontes – Método de Leonhardt 31 
Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 
 
1,25 
 
 1,25
 
 
 1 2 3 4 5 
 
 
V1 V2 V3 V4 V5 
 
1,50 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 
 
 
 2,01
 
 
 
 0,981 0,405 
0,570 
 
 - 0,075 - 
 L.I.M2 
 + 
 0,381 
 
 1,080 
 
 0,644 
 0,278 
 0,308 
 + 
 0,160 + 
 
 L.I.V3d 
 0,076 - 0,033 0,203 
 0,356 
 
 
 
15-) Obter a F.C máxima positiva à esquerda da seção 3 e o M.F máximo negativo 
na seção 3 de uma transversina de vão da ponte abaixo esquematizada. ( = 50) 
 
Trem-Tipo que carrega a L.I das transversinas : 
 
 3 tf/m
 25 tf 25 tf
 3 tf/m 
 2,5 tf/m 2 tf/m 2,5 tf/m 
 
 
 1,50 0,5 2,00 0,5 1,50 
 
 
1,50 
 
 1,50
 
 
 
 1 2 3 4 5 
 
 V1 V2 V3 V4 V5 
 
1,20 2,40 2,40 2,40 2,40 1,20

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