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Pontes – Método de Leonhardt 1 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto raa rba rca rda L/2 L/2 a b c d P = 1 APOSTILA 2 MÉTODO DE LEONHARDT I – ELEMENTOS PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO DE LEONHARDT: Notamos que diversos autores têm estudado o cálculo das grelhas de pontes, sempre com o objetivo de apresentar os coeficientes de distribuição com maior precisão que os da Teoria de Courbon. Assim podemos destacar os processos de Leonhardt, do professor Ferraz, Guyon, Massonett, etc.. Leonhardt estuda o efeito de grelha aplicando a Teoria das Deformações Elásticas (Energia de Deformação) considerando apenas uma transversina central e supondo as vigas principais (longarinas) com momento de inércia constante e simplesmente apoiadas nos extremos. Aplicação do Método: A B C D Estando a carga P no ponto a : raa = quinhão de P que solicita a longarina A rba = quinhão de P que solicita a longarina B rca = quinhão de P que solicita a longarina C rda = quinhão de P que solicita a longarina D raa + rba + rca + rda = 1 A B C D Observamos que a transversina transmite para as outras vigas: (1 – raa) ri,j i representa a longarina j representa o ponto de aplicação da carga Nota: No processo do professor Ferraz se aplica o desenvolvimento em série de Fourrier. Este processo também é seguido por Heinrich Trost, que apresenta tabelas e formulários para a solução das grelhas, levando-se em conta a resistência à torção na união entre vigas e transversinas. Pontes – Método de Leonhardt 2 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto rab rbb rcb rdb L/2 L/2 a b c d P = 1 A B C D Estando a carga P no ponto b : rab = quinhão de P que solicita a longarina A rbb = quinhão de P que solicita a longarina B rcb = quinhão de P que solicita a longarina C rdb = quinhão de P que solicita a longarina D rab + rbb + rcb + rdb = 1 A B C D Pelo Teorema de Maxwell: rij = rji (vide Teoremas Gerais da Energia de Deformação). Analogamente faríamos a análise dos coeficientes rij para a carga P=1 nas longarinas C e D. Podemos então escrever: raa = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto a, que solicita a longarina A rab = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto b, que solicita a longarina A rac = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto c, que solicita a longarina A rad = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto d, que solicita a longarina A Observamos que os coeficientes raa, rab, rac, rad representam as ordenadas da linha de influência para a distribuição transversal para a longarina A, quando aplicamos um carregamento ao longo da transversina (qualquer que seja a posição da carga, teremos sempre a parcela que solicita a longarina A). Analogamente teremos: rba = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto a, que solicita a longarina B rbb = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto b, que solicita a longarina B rbc = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto c, que solicita a longarina B rbd = parcela da carga P = 1, aplicada no ponto d, que solicita a longarina B Portanto os coeficientes rba, rbb, rbc e rbd nada mais são do que as ordenadas da linha de influência para distribuição transversal, para a longarina B, quando aplicamos um carregamento ao longo da transversina. A determinação exata dos coeficientes de distribuição transversal de carga é complicada, pois depende do número e posição das transversinas. Para facilitar podemos como faz Leonhardt, supor a existência de uma só transversina no centro das vigas principais. Pontes – Método de Leonhardt 3 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto As tabelas que dão os coeficientes de distribuição transversal estão em função do chamado Fator de Rigidez (). = IT L ) 3 IL 2 onde: IT = momento de inércia da viga principal; IL = momento de inércia de uma transversina central; L = vão da viga principal; = espaçamento entre as longarinas. Observações importantes : 1-) Quando a viga principal tem momento de inércia variável, o cálculo dos coeficientes de distribuição deve ser feito diretamente pelos processos das grelhas. De um modo aproximado, o problema poderá ser resolvido multiplicando-se o momento de inércia Ic no centro da viga principal pela relação V. V é a relação entre as flechas, no centro, devida a uma carga concentrada na viga sobre dois apoios de altura constante e na viga real; portanto substituímos a viga real por uma viga com momento de inércia igual a V IC. 2-) Se houver várias transversinas, substituem-se estas por uma só transversina virtual com momento de inércia majorado pelo fator i dado pela tabela abaixo. no. de transversinas i 1 ou 2 1,0 3 ou 4 1,6 5 ou mais 2,0 Portanto, o fator de rigidez na realidade seria: = i . IT L ) 3 c .V ,IL 2 3-) Para as vigas contínuas com momento de inércia constante, podemos usar os fatores dados na Tabela 5 (em anexo) permitindo corrigir o momento de inércia da viga real, para efeito de uso das Tabelas de Coeficiente de Distribuição (vide anexo). Pontes – Método de Leonhardt 4 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 1,00 = 3,5 = 3,5 = 3,5 1,00 L = 42,00 7,00 12,50 m 4-) Quando tivermos longarinas extremas mais reforçadas, não poderemos aplicar as Tabelas de 1 a 4. Neste caso, Leonhardt fornece dados para a obtenção dos coeficientes de distribuição transversal. Consultar: Método de Leonhardt para o cálculo de tabuleiros de pontes como grelha. (tabelas transcritas do trabalho do Eng. Francisco José de San Martin). RESUMO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO: Calcular o fator de rigidez . Para isso determinar IT e IL, lembrando que deverá ser levado em conta o artigo 14.6.2.2 da NBR 6118 para a obtenção da largura colaborante da laje. Traçado das L.I. de Distribuição Transversal com os coeficientes dados pelas tabelas. Deveremos ter uma L.I. para cada viga. Carregamento das L.I. acima obtidas e determinação do trem-tipo longitudinal para cada viga. Com o trem-tipo longitudinal carregar as L.I. de M.F e F.C para cada décimo de vão. ================================================================ Exercício de aplicação – Método de Leonhardt: Largura do passeio: 1,00 m / T.T. 36tV1 V2 T1 T2 T3 T4 T5 V3 V4 Pontes – Método de Leonhardt 5 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto V1 V2 V3 V4 1. Fator de Rigidez: IL = 1,1155 m 4 (longarina) IT = 0,1033 m 4 (transversina) = i . IT L ) 3 = 40 (tabelas anexadas) c .V ,IL 2 i = 2.0 (5 transversinas) Tabela no 2 : r11 = r44 = 0,715 r14 = r41 = -0,186 r12 = r43 = 0,384 r22 = r33 = 0,318 r13 = r42 = 0,086 r23 = r32 = 0,211 2. Traçado das L.I. de Distribuição Transversal: Faremos o traçado apenas para a V1, para a V2 o procedimento seria análogo. L.I. para a V1 1,00 3,50 3,50 3,50 1,00 6 6 1,106 0,725 0,225 2,00 0,50 0,300 0,300 corte A-A 0,500 0,775 0,300 0,300 corte B-B 0,186 0,507 0,457 0,384 0,086 0,715 0,694 0,810 0,741 Pontes – Método de Leonhardt 6 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto r11 r21 r31 r41 r51 3. Carregamento e Obtenção do Trem-Tipo: = 1,4 - 0,007 x 4,2 = 1,11 Cargas concentradas: Rd = 6 x 1,11 (0,694 + 0,507) = 7,96 tf Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x 1,11 (0,715 + 0,457 x 2,725) = 0,886 tf/m 2 Carga lateral: pl=0,30x1,11(0,457+0,384x0,775+0,384+0,086 x3,5+ 0,086x1,1066)=0,398 tf/m 2 2 2 Carga do passeio (corte A-A): pp = 0,300 (0,810 + 0,741 x 0,725) = 0,169 tf/m 2 Carga do passeio (corte B-B): pp = 0,300 (0,810 + 0,715 x 1,00) = 0,229 tf/m 2 Composição do trem-tipo para a viga V1 7,96 tf 7,96 tf 7,96 tf 1,50 1,50 1,50 1,50 pa + pp + pl = 1,513 tf/m pa + pp + pl = 1,513 tf/m pp + pl = 0,567 tf/m II - CÁLCULO DE TRANSVERSINAS - MÉTODO LEONHARDT: Para o cálculo das transversinas devemos estudar as linhas de influência dos esforços com carga P passeando ao longo da própria transversina. O processo mais prático é utilizar os coeficientes já determinados para as vigas principais, achar as ordenadas das linhas de influência em correspondência à essas vigas principais. Ordenadas da L.I. para uma secção qualquer "S": x1 P = 1 x2 x3 S V1 V2 V3 V4 V5 Pontes – Método de Leonhardt 7 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto r12 r22 r32 r42 r52 Estando a carga P=1 na viga V1, aparecerão quinhões de carga em todas as vigas representadas pelos coeficientes r11, r21, r31... Portanto a ordenada da L.I. de M.F da secção S no ponto 1 será: y1 = (r11 –1).x1 + r21.x2 + r31.x3 x1 P = 1 x2 x3 S V1 V2 V3 V4 V5 A ordenada da L.I de M.F da secção S no ponto 2 será: y2 = r12 .x1 + (r22 – 1). x2 + r32.x3 Analogamente no ponto 3 teremos : y3 = r13.x1 + r23.x2 + (r33 – 1).x3 no ponto 4 teremos : y4 = r14.x1 + r24.x2 + r34.x3 no ponto 5 teremos : y5 = r15.x1 + r25.x2 + r35.x3 No exemplo literal acima, foram determinadas as ordenadas da L.I. para M.F., na secção S. Nos casos práticos devemos traçar as L.I. não numa secção genérica S, mas em pontos notáveis normalmente em correspondência às vigas principais. Exemplo de Aplicação: 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 CONTORNO DAS 1,40 1,90 1,90 1,90 1,90 1,40 TRANSVERSINAS vão das longarinas = 24,18 m passeios de 1,00 m 2 transversinas centrais espaçadas de 8,06 m = 140 Pontes – Método de Leonhardt 8 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto a-) Coeficientes já calculados: r11 = r55 = 0,615 r12 = r54 = 0,392 r13 = r53 = 0,185 r14 = r62 = - 0,0043 r15 = r51 = - 0,187 r22 = r44 = 0,306 r23 = r43 = 0,206 r24 = r42 = 0,1007 r33 = 0,217 b-) Linhas de Influência de M.F para a secção 2: y1 = (r11-1) = - 0,732 y2 = r12 = 0,745 y3 = r13 = 0,352 y4 = r14 = - 0,0082 y5 = r15 = - 0,355 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 21,26 tf 21,26 tf 0,50 2,00 0,50 1,26 3,257 tf/m 3,257 tf/m 2,140 tf/m 0,732 0,0082 0,355 0,356 0,352 0,333 0,239 0,0219 + 0,745 0,04 0,075 0,4 0,942 0,958 1,86 0,115 2,00 0,225 1,00 0,275 0,725 21,26 tf 21,26 tf 2,418 tf/m 3,257 tf/m 2,418 tf/m 2,140 tf/m Pontes – Método de Leonhardt 9 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto Obs : Quando a transversina não se prolongano balanço, a linha de influência será horizontal na região do balanço. ∆ = 2,418 x 0,355 x 0,275 = 0,24 c-) Trem-Tipo que carrega as L.I. da transversina: 6 6 6 0,500 1,50 1,50 1,50 1,50 0,500 0,300 e 0,300 tf/m2 0,628 0,628 0,814 0,814 1,00 8,06 8,06 = 1,4 – 0,007 x 7,6 = 1,347 cargas concentradas : 6 x 1,347 x (0,814 + 1,00 + 0,814) = 21,26 tf carga atrás e na frente : 0,500 x 1,347 x (0,628 x 5,06 x 2) = 2,140 tf/m 2 carga lateral : 0,300 x 1,347 x (1 x 16,12 ) = 3,257 tf/m 2 carga do passeio : 0,300 x (1 x 16,12) = 2,418 tf/m 2 Mmáx + = [21,26 (0,745 + 0,333) + 2,140 (0,356 + 0,745 x 0,5 + 0,745 + 0,352 x 1,9 + 2 2 0,352 + 0,239 x 0,6) + 3,257 (0,356 x 0,458 + 0,239 x 1,26 )] = 26,87 tf.m 2 2 2 Mmáx - = [ 21,26 (0,0219 + 0,355) + 2,14 (0,0082 x 0,115 + 0,0082 + 0,355 x 1.9 + 2 2 0,355 x 0,325) + 3,257 (0,4 x 0,732 + 0,732 x 0,942 ) + 2,418 (0,732 x 1,00 + 0,355 x 0,725)] 2 = 13,47 tf.m Pontes – Método de Leonhardt 10 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto d-) Linha de Influência na secção 3 : y1 = (r11- 1) x 2 + r21 x = - 0,718 y2 = r12 x 2 + (r22 - 1) x = 0,175 y3 = r13 x 2 + r23 x = 1,094 y4 = r14 x 2 + r24 x = 0,175 y5 = r15 x 2 + r25 x = - 0,718 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 0,772 0,5 2,00 0,5 0,772 21,26 tf 21,26 tf 3,257 tf/m 2,140 tf/m 3,257 tf/m 0,718 0,718 0,140 0,175 0,368 0,368 0,175 0,610 1,094 0,610 0,372 1,528 0,4 1,00 0,4 1,528 0,372 0,075 2,00 0,225 1,00 0,275 0,725 3,257 tf/m 21,26 tf 21,26 tf 2,418 tf/m 2,140 tf/m 2,418 tf/m M + = [21,26 (0,61+ 0,61) + 21,4 (1,094 + 0,368 x 1,5 x 2) + 3,257 (0,772 x 0,368 x2)] 2 2 M + = 31.55 tf.m M - = [21,26 (0,718 – 0,140) + 2,140 (0,718 x 1,528 + 0,718 x 0,4) + 3,257(0,718 x 1,528 2 2 + 0,718 x 0,4) + 2,418 (0,718 x (1,00 + 0,725))] M - = - 19,80 tf.m Pontes – Método de Leonhardt 11 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto V1 V2 V3 V4 V5 e-) Diagrama de M.F. máximos: 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 19,80 13,47 13,47 26,87 31,55 26,87 Traçado das L.I. de Forças Cortantes: Secção 1d: P=1 1 2 3 4 5 y1e = r11 – 1 = - 0,385 V1 V2 V3 V4 V5 y1d = r11 = 0,615 y2 = r12 = 0,392 y3 = r13 = 0,185 0,615 y4 = r14 = - 0,0043 L.I. 0,392 0,185 y5 = r15 = - 0,187 0,221 0,385 0,0043 0,187 0,322 Secção 2e: P=1 1 2 3 4 5 y1 = r11 – 1 = - 0,385 y2e = r12 - 1 = - 0,608 y2d = r12 = 0,392 y3 = r13 = 0,185 y4 = r14 = - 0,0043 L.I. 0,392 0,185 y5 = r15 = - 0,187 0,221 0,385 0,0043 0,187 0,322 0,608 Secção intermediária entre 1d e 2e : - - + + + + - - - - Pontes – Método de Leonhardt 12 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto V1 V2 V3 V4 V5 y1 = r11 – 1 + r21 = 0,007 y2e = r12 + r22 – 1 = - 0,302 y2d = r12 + r22 = 0,698 y3 = r13 + r23 = 0,391 y4 = r14 + r24 = 0,0964 y5 = r15 + r25 = - 0,1913 V1 V2 V3 V4 V5 y1 = r11 – 1+ r21 = 0,007 y2 = r12 + r22 – 1 = - 0,302 y3e = r13 + r23 – 1 = - 0,609 y3d = r13 + r23 = 0,391 y4 = r14 + r24 = 0,0964 y5 = r15 + r25 = - 0,1913 V1 V2 V3 V4 V5 1 2 3 4 5 y1 = r11 – 1 = - 0,385 y2e = r12 - 1 = - 0,608 y2d = r12 = 0,392 y3 = r13 = 0,185 y4 = r14 = - 0,0043 L.I. 0,392 0,185 y5 = r15 = - 0,187 0,221 0,385 0,0043 0,187 0,322 Secção 2d : P=1 1 2 3 4 5 0,698 L.I. 0,007 0,391 0,0964 0,302 0,191 Secção 3e : 1 2 3 45 L.I. 0,007 0,391 0,0964 0,302 0,191 0,609 Secção Intermediária entre 2b e 3e : - - - - + + + Pontes – Método de Leonhardt 13 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto V1 V2 V3 V4 V5 V1 V2 V3 V4 V5 1 2 3 4 5 L.I. 0,007 0,391 0,0964 0,302 0,191 Obs.: Traçadas as L.I de forças cortantes, deveremos carregá-las de modo a se obter o valor máximo positivo e o valor máximo negativo (para cada linha). Exercícios: 1-) Determinar a F.C. máxima positiva e negativa na secção 2e: 21,26 tf 21,26 tf 3,257 tf/m 3,257 tf/m 2,418 tf/m 2,418 tf/m 1,00 0,5 2,00 0,5 1,00 1,4 1,9 1,9 1,9 1,9 1,4 21,26 tf 21,26 tf 3,257 tf/m 2,14 tf/m L.I. 0,392 0,185 0,175 0,127 0,221 0,352 0,385 0,0043 0,187 0,322 - 0,608 0,226 2,419 tf/ m 21,26 tf 21,26 tf 3,257 tf/m 2,418 tf/m 2,140 tf/m 0,80 0,5 0,1 1,0 - + Pontes – Método de Leonhardt 14 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto V1 V2 V3 V4 V5 V2e+= 21,26(0,392+0,175)+2,14(0,392+0,185 x1,9+0,185+0,127 x0.66)+ 3,257(0,127x 1.257) 2 2 2 V2e + = 13,69 tf V2e - = - [21,26 (0,608 + 0,373) + 2,14 (0,385 + 0,608 x1,9 + 0,338 + 0,385 x 0,4) + 2,418 2 2 (0,221+0,352 x 0,80 + 0,226+0,322 x1,00) + 3,257(0,226+0,187 x0,4 +0,187+0,0043 x1,943)] 2 2 2 2 V2e - = - 25,26 tf Envoltória de F.C.: 1 2 3 4 5 25,26 13,69 + + - - 13,69 25,26 2-) Traçar a envoltória de F.C de uma transversina central da ponte abaixo esquematizada sabendo-se que elas estão espaçadas a cada 6 m . Usar T.T 45 tf 1 2 3 4 L = 30,00 m V1 V2 V3 V 4 = 1,19 (viga) = 1,4 – 0,007x7,5 = 1,348 1,50 2,50 2,50 2,50 1,50 (transversina) Pontes – Método de Leonhardt 15 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto r11 = r44 = 0,752 r12 = r43 = 0,346 r13 = r42 = 0,0054 r14 = r41 = -0,152 r22 = r33 = 0,363 r23 = r32 = 0,237 Dados : 6,00 6,00 0 , 1 , 2 – V1d 3 , 4 , 5 – V2e 6 à 9 – V2d 7,5 7,5 7,5 0,500 0,500 0,500 0,300 4,04 tf/m P= 25,28 tf P=25,28 tf 4,04 tf/m 1,80 tf/m 1,011 tf/m 1,80 tf/m 1,50 0,5 2,00 0,5 1,50 P = 7,5 (1 + 0,75 + 0,75) = 25,28 tf C. atrás e na frente = 0,500 (0,5 x 3) x 2 = 1,011 tf/m 2 C. lateral = 0,500 (1 x 12) = 4,04 tf/m 2 C. passeio = 0,300 (1 x 12) = 1,80 tf/m 2 V1 V2 T1 T2 T3 T4 V3 V4 Pontes – Método de Leonhardt 16 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto L.I V2d L.I V2e L.I V3e y1 = r11- 1 + r21 = 0,098 y2e= r12 –1+ r22 = - 0,291 y2d= r12 + r22 = 0,709 y3 = r13 + r23 = 0,291 y4 = r14 + r24 = - 0,098 y1 = r11 – 1 = - 0,248 y2e = r12 – 1 = - 0,654 y2d = r12 = 0,346 y3 = r13 = 0,054 y4 = r14 = - 0,152 y1 = r11 – 1 + r21 = 0,098 y2 = r12 – 1 + r22 = - 0,291 y3e = r13 + r23 – 1 = - 0,709 y3d = r13 + r23 = 0,291 y4 = r14 + r24 = - 0,098 1 2 3 4 V1 V2 V3 V 4 1,50 2,50 2,50 2,50 1,50 0,709 0,098 + 0,291 L.I.V2d 0,291 0,098 0,346 + 0,054 L.I.V2e 0,248 - 0,654 0,152 + + + Envoltória F.C. - - - Pontes – Método de Leonhardt 17 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 3-) Uma ponte constituída por 6 vigas principais apresenta a seção transversal conforme o esquema abaixo. Sabe-seque existem 3 transversinas centrais igualmente espaçadas. Aplicando-se o Método de Leonhardt, pede-se: a-) o momento fletor máximo positivo e negativo na seção 4 da viga V2; b-) a reação máxima no apoio A. Dados: finais: 0 , 1 – V1 T.T. 45 tf 2 , 3 – V2 IT = 0,2035 m 4 4, 5 – V3 IL = 3,2616 m 4 6, 7 – V4 passeios = 1,00 m 8 – V5 = 75 9 – V6 Seção Longitudinal: 16,0 4 3,00 40,00 Seção Transversal : 0,1 1,00 1,00 0,1 V1 V2 V3 V4 V5 V6 1,60 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 1,60 14,20 V2 Corte A-A Corte B-B Pontes – Método de Leonhardt 18 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto r11 = r55 = 0,653 r12 = r54 = 0,371 r13 = r53 = 0,147 r14 = r52 = -0,018 r15 = r51 = -0,152 r22 = r44 = 0,323 r23 = r43 = 0,223 r24 = r42 = 0,102 r33 = 0,262 4-) Obter o trem-tipo longitudinal para a viga V3 da ponte de seção transversal abaixo, usando o Método de Leonhardt e sabendo-se que se deseja transpor essa ponte com uma carreta: 10 tf/eixo 20 tf/eixo = = = = = = 20 tf/eixo 3,00 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 Dados: vão da ponte = 30 m a carreta está posicionada no eixo da ponte distribuição das cargas por eixo: 1,20 1,20 1,20 Seção Transversal: 1,75 1,75 V1 V2 V3 V4 V5 V6 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 5-) Obter o trem-tipo longitudinal para a viga V3 da ponte do exercício acima, sabendo-se que o vão é de 30 m. Existem 5 transversinas de vão. Dados: T.T. 45 tf Pontes – Método de Leonhardt 19 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 6-) A ponte de seção transversal abaixo é isostática com 30 m de vão. Sabe-se que no vão existem 4 transversinas igualmente espaçadas. Usando o trem-tipo de 45 tf, traçar a envoltória de momentos fletores de uma transversina de vão determinando os valores máximos positivos e negativos nas seções 2, 3 e S. Fator de rigidez: = 70 2,50 1,50 1,25 2 3 S 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 V6 CONTORNO DAS TRANSVERSINAS 1,25 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 1,25 7-) Obter o momento fletor máximo na seção 10 da viga V3 da ponte esquematizada. Usar o trem-tipo de 36 tf. Sabe-se que existem 4 transversinas centrais em cada vão. Adotar para a viga V3 a carga permanente de 5 tf/m. Dados: 10 IL = 0,855 m 4 25,0 25,0 25,0 Itransversina = 0,200 m 4 Seção Transversal: 1,00 1,00 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 CONTORNO DAS 2,00 3,00 3,00 3,00 3,00 2,00 TRANSVERSINAS Pontes – Método de Leonhardt 20 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto III – REAÇÕES CONCOMITANTES: MÉTODO DE LEONHARDT: 8-) Dada a secção transversal de uma ponte isostática de 42.0 m de vão, conforme esquema abaixo, determinar a reação máxima na viga V1 e as reações concomitantes nas demais vigas. Dados: = 40 / Trem-Tipo 36 tf r11 = r44 = 0,715 r14 = r41 = - 0,186 r12 = r43 = 0.384 r22 = r33 = 0,318 r13 = r42 = 0,086 r23 = r32 = 0,211 1,00 3,50 3,50 3,50 1,00 V1 V2 V3 V4 0,225 2,00 0,5 0,775 0,186 V1 máx. 0,086 0,810 0,716 0,694 0,907 0,457 0,384 V2 conc. 0,403 0,384 0,380 0,342 0,333 0,318 0,211 0,171 0,086 V3 conc. 0,050 0,086 0,094 0,165 0,183 0,211 0,318 0,339 0,384 0,264 0,186 0,169 V4 conc. 0,026 0,086 0,384 0,489 0,715 Pontes – Método de Leonhardt 21 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto = 1,4 – 0,007 x 42 = 1,11 V1 máx. Obtenção do trem-tipo: Cargas concentradas: P = 6 x 1,11 (0,694 + 0,507) = 7,96 tf Carga atrás e na frente: pa = 0,5 x 1,11 (0,715 + 0,457 x 2,726) = 0,886 tf/m 2 Carga Lateral: pl = 0,300 x 1,11 ( 0,457 + 0,384 x 0,775 + 0,384 + 0,086 x 3,5 + 2 2 0.086 x 1,1066 ) = 0,398 tf/m 2 Carga do passeio: pp = 0,300 ( 0,810 + 0,715 x 1,00 ) = 0,229 tf/m (corte A-A) 2 0,169 tf/m (corte B-B) 7,96 tf 7,96 tf 7,96 tf pa + pp + pl = 1,513 tf/m pp + pl = 0,567 tf/m 1,513 tf/m 1,50 1,50 1,50 1,50 V2 conc. Obtenção do trem-tipo: Cargas concentradas: p = 6 x1,11 x (0,380 + 0,342) = 4,81 tf Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x 1,11 (0,384 + 0,333 x 2,725) = 0,542 tf/m 2 Carga lateral: pl = 0,30 x1,11(0,333 + 0,318 x0,775 + 0,318+ 0,211 x3.5 + 0,211+ 0,171 2 2 2 x 1,1066) = 0,463 tf/m Carga do passeio: pp = 0,300 (0,403 + 0,384 x 1,00) = 0,118 tf/m 2 4,81 tf 4,81 tf 4,81 tf pa + pp + pl = 1,123 tf/mpp + pl = 0,581 tf/m 1,123 tf/m 1,50 1,50 1,50 1,50 Pontes – Método de Leonhardt 22 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto V3 conc. Obtenção do trem-tipo: Cargas concentradas: p = 6 x 1.11 x (0,094 + 0,165) = 1,72 tf Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x 1.11 (0,086 + 0,183 x 2,725) = 0,203 tf/m 2 Carga lateral: pl = 0,30 x1,11 (0,183 + 0,211 x0,775 + 0,318 + 0,211 x3,5+ 0,318 + 0.339 2 2 2 x 1,1066) = 0,480 tf/m Carga do passeio: pp = 0,300 (0,0503 + 0,086 x 1,00) = 0,020 tf/m 2 1,72 tf 1,72 tf 1,72 tf pa + pp + pl = 0,703 tf/m pp + pl = 0,500 tf/m 0,703 tf/m 1,50 1,50 1,50 1,50 V4 conc. Obtenção do trem-tipo: Cargas concentradas: p = 6 x 1,11 x (- 0,169 – 0,013 ) = - 1,21 tf Carga atrás e na frente: pa = 0,50 x1,11 (- 0,186+2,3934 + 0,026+ 0,332)= - 0.121 tf/m 2 2 Carga lateral: pl = 0,30 x1,11(0,0206 + 0,086 x 0,775+ 0,086 + 0,384 x3,5 + 0,384 + 0,489 2 2 2 x 1,1066) = 0,448 tf/m Carga do passeio: pp = 0,300 (- 0,264 + 0,186 x 1,00) = - 0,068 tf/m 2 -1,21 tf - 1,21 tf - 1,21 tf pa + pp + pl = 0,260 tf/m pp + pl = 0,380 tf/m 0,260 tf/m 1,50 1,50 1,50 1,50 Pontes – Método de Leonhardt 23 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto Cálculo das reações: L = 42,00 m W1 = 4,259 1,00 0,964 W2=16,744 0,929 0,893 L.I.Reação 1,51,51,5 y = 1,00 + 0,964 + 0,929 = 2,893 P x zy q1 x w1 q2 x w2 total ( tf ) V1 máx 23,03 2,67 25,33 51,03 V2 conc 13,92 2,47 18,80 35,19 V3 conc 4,98 2,13 11,77 18,88 V4 conc - 3,50 1,63 4,35 2,48 51,03 tf 35,19 tf 18,88 tf 2,48 tf 3,50 3,50 3,50 Pontes – Método de Leonhardt 24 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto r11 = r66 = 0,654 r12 = r65 = 0,347 r13 = r64 = 0,128 r14 = r63 = 0,006 r15 = r62 = -0,052 r16 = r61 = -0,082 r22 = r55 = 0,325 r23 = r54 = 0,232 r24 = r53 = 0,121 r33 = r44 = 0,285 r34 = r43 = 0,229 Exercícios: REAÇÕES CONCOMITANTES: 9-) Obter a reação máxima na viga V3 e as concomitantes nas demais vigas: Usar T.T. 45 tf. 16,0 A ponte é isostática, com um vão de 40 metros. Coeficientes de Leonhardt: A 4 L = 40,0 m B 1,20 1,20 1 2 3 4 5 6 V1 V2 V3 V4 V5 V6 CONTORNO DAS TRANSVERSINAS 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 Pontes – Método de Leonhardt 25 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 2,516 0,5 0,5 2,0 0,5 2,5 1,02 10-) A ponte de seção transversal abaixo esquematizada é isostática com vão de 40 m. Pede-se obter o momento fletor máximo no meio do vão da viga V3. Usar o T.T 45 tf. Dados: r11 = r44 = 0,910 r12 = r43 = 0,160 r13 = r42 = - 0,050 r14 = r41 = - 0,020 r22 = r33 = 0,630 r23 = r32 = 0,260 1 2 3 4 V1 V2 V3 V4 CONTORNO DAS 1,00 3,00 3,00 3,00 2,50 TRANSVERSINAS 7,5 7,5 0,500 0,500 0,300 Corte A-A 0,500 0,300 Corte B-B - 0,05 0,232 0,26 0,322 0,16 + 0,383 0,63 0,552 = 1,4 – 0,007 x 40 = 1,12 Corte A-A: Cargas concentradas: p = 7,5 x (0,63 + 0,383) = 8,51 tf Carga lateral: pl = 0,500 x [ (0,552 + 0,16) x 2,5 + 0,260 x 2,516 + (0,322 + 0,26) x 0,5] 2 2 2 pl = 0,763 tf/m Carga no passeio = pp = (0,16 x 1,02) x 0,3 = 0,025 tf/m 2 Corte B-B: Carga atrás e na frente: pa =0,500 x [(0,63 + 0,322) x 2,5 + (0,63 + 0,552) x 0,5] = 2 2 pa =0,832 tf/m Pontes – Método de Leonhardt 26 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 8,51 8,51 8,51 1,62 tf/m 1,50 1,50 1,50 1,50 1,62 tf/m 0,788 tf/m 8,50 8,50 9,25 9,25 10,0 20,0 20,0 M5 máx.= 8,51 x (9,25 + 10 + 9,25) + 8,50 x 17 x 2 x 1,62 + 0,788 x (10 + 8,5 x 3 x 2) 2 2 M5 máx.= 520,36 tf.m 11-) Deduzir e traçar a L.I de M.F na seção 3 de uma transversina central da ponte esquematizada no exercício anterior. 1 2 3 4 V1 V2 V3 V40,27 - 0,06 0,15 L.I.M3 + 0,48 L.I M2 L.I M3 y1 = (r11 -1) x 3 = - 0,270 y1 = (r11 -1) x 6 + r21 x 3 = - 0,060 y2 = r12 x 3 = + 0,480 y2 = r12 x 6 +( r22 -1) x 3 = - 0,150 y3 = r13 x 3 = - 0,150 y3 = r13 x 6 + r23 x 3 = + 0,480 y4 = r14 x 3 = - 0,060 y4 = r14 x 6 + r24 x 3 = - 0,270 Pontes – Método de Leonhardt 27 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 0,27 12-) Posicionar a carga acidental na seção transversal para se obter a reação de apoio na viga V4 concomitante com a reação na viga V1 da ponte do exercício 10. 1 2 3 4 V1 V2 V3 V4 1,00 3,00 3,00 3,00 2,50 7,5 7,5 0,725 0,23 2,00 0,5 Corte A-A 0,300 0,500 Corte B-B 0,300 0,500 0,05 0,02 0,01 L.I.V1 0,16 0,91 13-) Deduzir e traçar a L.I. de F.C. à direita da seção 3 de uma transversina central. 1 2 3 4 V1 V2 V3 V4 0,84 + 0,02 0,05 0,09 L.I.V3d - 0,16 L.I V3d L.I V3e y1 = (r11 -1) + r21 + r31= 0,020 y1 = (r11 -1) + r21 = 0,070 y2 = r12 + (r22 -1) + r32 = 0,050 y2 = r12 + (r22 -1) = - 0,210 y3e = r13 + r23 + (r33 – 1) = - 0,160 y3e = r13 + (r23 – 1) = - 0,790 y3d = r13 + r23 + r33 = 0,840 y3d = r13 + r23 = 0,210 y4 = r14 + r24 + r34 = 0,090 y4= r14 + r24 = - 0,070 Pontes – Método de Leonhardt 28 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 14-) Uma ponte isostática de 20 m de vão tem a seção transversal indicada abaixo. São dados: T.T. 45tf ( = 20) r11 = r55 = 0,673 r12 = r54 = 0,360 r13 = r53 = - 0,127 r14 = r52 = - 0,025 r24 = r42 = 0,102 r23 = r43 = 0,231 r22 = r44 = 0,333 r33 = 0,286 = 1,4 – 0,007 x 40 = 1,12 a-) Pede-se determinar o M.F máximo na seção 5 da viga V3: 1,25 1,25 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 CONTORNO DAS 1,50 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 TRANSVERSINAS 0,500 0,300 Corte B-B 7,5 7,5 0,300 0,500 0,500 Corte A-A 0,5 1,0 1,0 0,5 L.I.V3 0,075 0,118 0,118 0,075 0,127 + + 0,127 0,231 0,231 0,286 Corte A-A: Carga concentrada: p = 7,5 x (0,268 + 0,268) = 5,065 tf Carga lateral: pl=0,500 x [(0,118+0,127)x0,25+(0,127+0,231)x3,0+(0,231+0,259) x1,5] x2= 2 2 2 pl=1,178 tf/m Carga no passeio: pp=0,300 x(0,075+ 0,118) x1,25 x 2 = 0,072 tf/m 2 Pontes – Método de Leonhardt 29 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto Corte B-B: Carga atrás e na frente + Carga lateral: pa =0,500 x (0,259 +0,286) x 1,5 x 2 +1,178= pa =1,693 tf/m 2 5,07 5,07 5,07 1,765 tf/m 1,50 1,50 1,50 1,50 1,765 tf/m 1,25 tf/m L.I.M5 M5máx = 143,50 tf.m 3,50 3,50 4,25 4,25 5,0 10,0 10,0 b-) Obter a Reação na viga V1, concomitante com a V3 máxima. 1,25 1,25 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 CONTORNO DAS 1,50 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 TRANSVERSINAS 0,500 0,300 Corte B-B 7,5 7,5 0,300 0,500 0,500 Corte A-A 0,5 1,0 1,0 0,5 1,007 0,493 0,144 0,190 0,025 0,135 L.I.V1 + 0,127 0,076 0,051 0,360 0,673 0,699 0,830 Pontes – Método de Leonhardt 30 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto Corte A-A: Carga concentrada: p = 7,5 x (0,205 + 0,0764) = 2,66 tf Carga lateral: pl = 0,500 x [(0,699 +0,673) x 0,25 + (0,673+0,360) x 3+ (0,360+0,244) x1,5 2 2 2 + (0,051x1,007) - (0,025 x 0,493) - (0,025 + 0,144) x 3,25 ] = 1,209tf/m 2 2 2 Carga passeio: pp = 0,300 (0,830 +0,699) x 1,25 – (0,144 + 0,190 x 1,25) = 0,224 tf/m 2 2 Corte B-B: Carga atrás e na frente + carga lateral: pa =0,500 x [(0,244 + 0,127) x1,5 2+ (0,127 + 0,051) x1,5] + 1,209 = 1,468 tf/m 2,66 tf 2,66 tf 2,66 tf 1,692 tf/m 1,50 1,50 1,50 1,50 1,692 tf/m T.T. da V1 conc. com V3 máx.: 1,433 tf/m RV1= 23,27 tf 1,00 0,925 0,890 0,775 L.I.Rv1 L = 20,0 c-) Obter ainda a dedução e o traçado da L.I de M.F na seção 2 e da L.I de F.C na seção 3 à direita, ambas de uma transversina central. L.I V3d L.I M2 y1 = (r11 -1) + r21 + r31 = 0,160 y1 = (r11 -1) x 3 = - 0,981 y2 = r12 + (r22 -1) + r32 = - 0,076 y2 = r21 x 3 = + 1,080 y3e = r13 + r23 + (r33 – 1) = - 0,356 y3 = r31 x 3 = 0,381 y3d = r13 + r23 + r33 = 0,644 y4 = r41 x 3 = - 0,075 y4 = r14 + r24 + r34 = 0,308 y5 = r51 x 3 = - 0,405 y5 = r15 + r25 + r35 = - 0,033 Pontes – Método de Leonhardt 31 Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto 1,25 1,25 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 1,50 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 2,01 0,981 0,405 0,570 - 0,075 - L.I.M2 + 0,381 1,080 0,644 0,278 0,308 + 0,160 + L.I.V3d 0,076 - 0,033 0,203 0,356 15-) Obter a F.C máxima positiva à esquerda da seção 3 e o M.F máximo negativo na seção 3 de uma transversina de vão da ponte abaixo esquematizada. ( = 50) Trem-Tipo que carrega a L.I das transversinas : 3 tf/m 25 tf 25 tf 3 tf/m 2,5 tf/m 2 tf/m 2,5 tf/m 1,50 0,5 2,00 0,5 1,50 1,50 1,50 1 2 3 4 5 V1 V2 V3 V4 V5 1,20 2,40 2,40 2,40 2,40 1,20
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