Apostila Teoria Macroeconomia II

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Teoria Macroeconômica II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Tiago Berriel 
EPGE/FGV 
 
Julho/2011 
2 
 
Conteúdo 
CAPÍTULO 1 - FERRAMENTAS BÁSICAS 7 
1.1 Cadeias de Markov¹ 7 
1.2 Propriedades de Transição² 9 
1.3 Distribuição Estacionária 11 
CAPÍTULO 2 – PROGRAMAÇÃO DINÂMICA 14 
2.1 Formulação Sequêncial 14 
2.2 Formulação Recursiva 15 
2.3 Resolvendo a Equação Funcional 17 
2.3.1 Exemplos 18 
2.4 Programação Dinâmica Estocástica 22 
2.5 Métodos Numéricos 22 
CAPÍTULO 3 – EQUILÍBRIO GERAL COM MERCADOS COMPLETOS 24 
3.1 Estruturas de Mercado 25 
3.2 Problema de Pareto 25 
3.3 Equilíbrio competitivo na estrutura temporal de Arrow- Debreau 26 
3.4 Preço de Equilíbrio 28 
3.5 Mecanismo Geral de Precificação de Ativos 29 
3.6 Comparando a Alocação de Equilíbrio Competitivo com a Alocação Eficiente de Pareto 30 
CAPÍTULO 4 – MODELOS DE CICLOS REAIS DE NEGÓCIOS 31 
4.1 Introdução e fatos estilizados 31 
4.2 Uma abordagem inicial para o problema das famílias 32 
4.1.1 Uma versão mais geral do problema das famílias 34 
4.2 Incluindo a firma competitiva 34 
4.3 Um exemplo prático 36 
4.4 Discutindo o modelo 38 
3 
 
CAPÍTULO 5 – MODELO DA ARVORE DE LUCAS E INTRODUÇÃO AO ASSET 
PRICING 41 
5.1 Conceito de equilíbrio e solução do modelo 42 
5.2 Abordagem alternativa via equação de Euller 44 
5.3 Mercados de Ativos Contingentes 44 
5.4 CAPM do Consumo 46 
5.5 O Equity-Premium Puzzle 48 
CAPÍTULO 6 – TAXAÇÃO ÓTIMA 50 
6.1 Economia Não-Estocástica 51 
6.1.1 Problema de otimização do agente representativo 52 
6.1.2 Problema de Otimização da Firma Competitiva 54 
6.2 O Problema de Ramsey 55 
6.2.1 Taxação Ótima do Capital no Estado Estacionário 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introdução 
 
O objetivo do curso será o desenvolvimento de ferramentas básicas e modelos que nos 
ajudem a compreender os ciclos econômicos. Dessa forma, apresentação do material 
está divida em duas partes. 
 
A primeira delas, que pode ser definida como nosso ponto de partida, será o estudo da 
Economia Neoclássica. Esse ambiente é caracterizado pela ausência de fricções, 
mercados completos e pela existência de um agente representativo (ou planejador 
central) que toma decisões de forma ótima, obedecendo a determinadas condições de 
factibilidade. Estudaremos o modelo neoclássico, no qual assumimos a exigência de um 
agente representativo que enfrenta decisões de consumo e poupança a cada período de 
tempo. Este modelo tem como base o problema de acumulação ótima de capital que é 
bastante comum no estudo do crescimento econômico. 
 
Como uma extensão natural, veremos no Capítulo 3 o conceito equilíbrio competitivo 
em uma economia de trocas puras. Nossa próxima abordagem, no capítulo 4, será o 
estudo das oscilações do produto ao longo do tempo. Nossa base será o modelo dos 
Ciclos Reais de Negócios (Real Business Cycle, RBC), desenvolvido por Kydland & 
Prescott (1982). Nesse ponto, teremos uma introdução aos modelos dinâmicos de 
equilíbrio geral estocástico, também conhecidos pela sigla em inglês DSGE, analisando 
suas importantes contribuições para o estudo dos ciclos econômicos bem como suas 
principais deficiências e críticas. No Capítulo 5 veremos o modelo da árvore de Lucas, 
que nos apresentará mecanismos de precificação de ativos, e em seguida o estudo do 
Equity Premium Puzzle apresentado por Mehra & Prescott (1985). No Capítulo 6, que 
encerra o material da primeira parte do curso, introduziremos o governo e seus 
mecanismos de financiamento em uma modificação do modelo de acumulação ótima de 
capital. Utilizaremos esse ambiente para apresentar o problema da taxação ótima de 
Ramsey. 
 
 Para desenvolver os temas apresentados no parágrafo anterior, será necessário 
apresentarmos as ferramentas básicas que serão imprescindíveis para o nosso trabalho. 
Na primeira parte do curso, nossas ferramentas de trabalho serão os processos 
estocásticos de Markov, tema abordado no Capítulo 1, e os métodos recursivos para a 
solução dos problemas de programação dinâmica, tema que será abordado no Capítulo2. 
Para tanto, nosso curso contará como uma introdução aos métodos numéricos básicos 
que nos ajudarão a lidar com esse tipo de problema. 
 
 Na segunda parte do curso nosso objetivo será o estudo da economia Novo-
Keynesiana, que será apresentado a partir de uma extensão do modelo básico de Real 
Business Cycle. 
 
 Nosso estudo terá início com uma apresentação de dados empíricos e fatos 
estilizados que colocam em evidência a importância da moeda na determinação dos 
ciclos econômicos, seguida pela apresentação do modelo monetário clássico e 
finalmente, veremos uma introdução à estrutura básica do modelo Novo-Keynesiano 
propriamente dito, no qual derivaremos a curva de Phillips novo-keynesiana. 
 
5 
 
Em seguida teremos uma introdução ao desenho de mecanismos de política 
monetária e fiscal, veremos problemas de política econômica ótima, e por fim, veremos 
política monetária em um contexto de economia aberta. 
 
 
6 
 
Parte I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Capítulo 1 - Ferramentas Básicas 
 
No estudo da Economia Neoclássica, nosso objetivo será resolver o problema de um 
agente representativo, que vive por infinitos períodos em um ambiente de tempo 
discreto, escolhendo um fluxo de consumo e poupança a cada período de tempo. Esse 
agente está sujeito a uma seqüência de restrições orçamentárias ordenadas ao longo do 
tempo, que são essenciais para a sua tomada de decisão. 
Em termos analíticos o problema desse agente pode ser apresentado da seguinte forma: 
 
�á� ���� 	
� �
 �
 . ���
�
�
�� � 
 
 s.t. �
 � �
�� � �
 . �1 � �� � �
 
(PS.1) 
 
Em boa parte dos modelos econômicos que estudaremos ao longo do curso, os agentes 
econômicos estão sujeitos a algum tipo de incerteza. Essa incerteza pode ter como 
origem choques de produtividade associados ao mecanismo tecnológico usado para a 
produção de bens, nos choques associados à dotação de recursos do indivíduo, em 
choques exógenos que podem determinar a cada período se o indivíduo está empregado 
ou não, em choques que podem definir ofertas salariais que o indivíduo recebe a cada 
período de tempo, entre outras possibilidades. No caso do problema apresentado em 
(PS.1), a fonte de choques estocásticos é a dotação de recursos de um agente 
representativo (�
). 
 
Em geral, os problemas que serão tratados ao longo do curso assumem que tais choques 
são processos estocásticos que respeitam a uma determinada Cadeia de Markov. 
 
1.1 Cadeias de Markov¹ 
 
Definição 1.1 (Processo Estocástico): Seja � , ", #� um espaço de medida. Um 
processo estocástico é uma seqüência crescente de sigma álgebras "� $ "% $ "& … . . $ " e uma seqüência de funções (
: * +,, "
 - ./01��á2/31. 
 
De forma simples e objetiva, um processo estocástico é uma seqüência de variáveis 
aleatórias, ou vetores aleatórios, ordenados ao longo do tempo. No curso, trabalharemos 
com modelos de tempo discreto, de forma que o processo estocástico será representado 
pela seqüênciade variáveis aleatórias �(
�
4�. 
 
Definição 1.2 (Espaço de Estado): O espaço de estado, denotado por 5, é um conjunto 
que contém todos os valores que a variável aleatória (ou vetor aleatório) (
 pode 
assumir. 
 
 
 
 
_______ 
¹ Ao longo deste material letras maiúsculas representarão variáveis aleatórias e suas respectivas versões minúsculas 
suas realizações. Assim, (
 representa uma variável aleatória, enquanto 1� é uma realização. 
 
8 
 
 
 
Em nosso curso, trabalharemos com espaços de estado de dimensão finita, isto é, o 
processo estocástico (
 poderá assumir apenas um número finito de valores. Em muitas 
ocasiões será útil associar a variável aleatória a um conjunto finito de números. 
 
Nesse caso, o espaço estado de uma variável aleatória que pode assumir N valores 
distintos será: 5 � �1�, 1%, 1& … . , 1,�. Cada elemento de 5 pode ser interpretado como 
um estado distinto da economia. Se N=3, poderíamos pensar que (
 � 1� representa 
uma situação em que a economia está em recessão, (
 � 1% uma situação de estagnação 
no ritmo de crescimento e (
 � 1& uma situação de expansão econômica. Do ponto de 
vista de uma firma produtora do bem de consumo da economia, poderíamos pensar (
 � 1� como um choque negativo de produtividade, (
 � 1% como um choque neutro e (
 � 1& como um choque positivo. 
 
Definição 1.3 (Propriedade de Markov): Dizemos que um processo estocástico �1
�
4� 
possui a propriedade de Markov se vale que, para todo 6 7 1 / 89:9 8: 
 #�9; �(
�� � 1<|(
 � 1>, (
?� � 1@ , … . . , (
?A � 1B� � #�9;C(
�� � 1<D(
 � 1>E� F>,< 
 
Dizemos nesse caso que o processo estocástico �(
�
4� é markoviano de primeira 
ordem, ou simplesmente markoviano. Note que F>,< representa a probabilidade 
condicional de que a variável aleatória passe do estado 1> para o estado 1<. Essa 
probabilidade condicional é também conhecida como probabilidade de transição. 
 
Definição 1.4 (Matriz de Transição): Para cada N, que representa a dimensão do 
espaço de estado, a matriz de transição é uma matriz que contém as probabilidades de 
transição de todos os possíveis estados da natureza, e que, portanto, é tal que ∑ F>,<,<�� � 1, com 1 7 F>,< 7 0, para todo 3 I �1, … . , J�. 
 
Nesse caso, cada i representa uma linha da matriz, de forma que a matriz de transição 
será NxN, sendo representada por: 
 
# � KF�,� L F�,,M N MF,,� L F,,,O 
 
A matriz de transição é também conhecida como matriz estocástica. Apresentamos a 
seguir alguns exemplos de matriz de transição extraídos da literatura. 
 
Exemplo 1 (Hamilton,89) – Crescimento Econômico nos EUA 
 
Nesse caso o espaço de estado é 5 � �1�, 1%�, onde 1� indica que a economia segue 
trajetória normal de expansão e 1% indica que a economia está em recessão. A matriz de 
transição estimada foi a seguinte, 
 # � P 0,9 0,10,25 0,75U 
 
9 
 
Nossa variável aleatória (
 representa o ritmo de crescimento trimestral da economia. 
Segundo resultados encontrados pelo autor para a economia americana, temos: 
 	V(
��|(
 � 1�W � 1,2% 	V(
��|(
 � 1%W � 0,4% 
 
Exemplo 2 (Blanchard & Diamond, 90) – Mercado de Trabalho nos EUA 
 
Nossa variável aleatória (
 representa a situação de emprego de um indivíduo sorteado 
aleatoriamente. O espaço de estado é 5 � �1�, 1%, 1&�, onde 1� indica que o indivíduo 
está empregado, 1% indica que o indivíduo está desempregado e 1& indica que o 
indivíduo está fora da força de trabalho. A matriz de transição estimada pelos autores 
foi: 
 
# � K0,971 0,013 0,0160,246 0,63 0,1230,028 0,017 0,955O 
 
Definição 1.5 (Vetor de Distribuição Inicial): É um vetor que contém a distribuição de 
probabilidades inicial da variável aleatória em relação aos possíveis estados da 
natureza. 
 
O vetor de distribuição inicial associado a um espaço de estado de dimensão N será 
representado pelo seguinte vetor Nx1: 
 
]^ � _#�9;�(� � 1��#�9;�(� � 1%�M#�9;�(� � 1,�` � _
a�,�a�,%Ma�,,` 
 
Onde: 1 7 a�,> 7 0, F��� 89:9 3 I �1, … . , J� e ∑ a�,>,>�� � 1. 
 
 
Definição 6 (Cadeia de Markov): Uma cadeia de markov é uma tripla que contém um 
espaço de estado, uma matriz de transição e um vetor de distribuição inicial, isto é, �5, #, a��. 
 
 
 
1.2 Propriedades de Transição¹ 
 
 
A) Um dos principais motivos pelos quais modelamos o processo estocástico como 
uma Cadeia de Markov é pela facilidade de obtermos probabilidades de 
transição de ordem superior por meio de simples manipulação algébrica. Por 
exemplo: 
 
 
_____ 
¹ Ao longo deste material, vetores serão representados por letras minúsculas em negrito. 
10 
 
#�9; �(
�% � 1<|(
 � 1>� � 
 #�9;C(
�% � 1<D(
�� � 1AE. #�9;�(
�� � 1A|(
 � 1>�,A��� 
 FA,<. F>,A,A�� � �#%�>,< 
 
 
Onde �#%�>,< representa o elemento F>,< da matriz #% � ##. De forma mais 
geral, podemos dizer que, 
 #�9; �(
�A � 1<|(
 � 1>� � �#A�>,< 
 
B) A Cadeia de Markov nos dá uma lei de movimento sobre as distribuições de 
probabilidade incondicionais associadas a um número finito de estados. Nesse 
caso, a seqüência de distribuições de probabilidade incondicional será �a
�
��� , 
onde a
 será um vetor de dimensão N. Seja a
 � ba
,>c um vetor cujos elementos 
podem ser interpretados como: 
 a
,> � #�9;�(
 � 1>�, d 8 / d 3 I �1, … , J� 
 
Assim dado a� podemos obter a seqüência de distribuições de probabilidade 
incondicional como: 
 ]ef � ]f^ . # ]gf � ]ef . # � ]f^ . #% ]hf � ]gf . # � ]f^ . #& 
 . 
 . 
 . ]if � ]i?ef . # � ]f^ . #
 
 
Onde o símbolo (‘) indica transposição do vetor. Assim, a distribuição de 
probabilidades a
 evolui de acordo com o seguinte sistema linear homogêneo de 
equações em diferenças: 
 ]i�e � #f. ]i 
 
C) Os momentos condicionais e incondicionais da Cadeia de Markov podem ser 
calculados usando raciocínio similar. Definamos o vetor cujas entradas são os 
elementos do espaço estado como, 
 
j k _1�1%M1,` 
 
Assim, temos o primeiro momento de cada elemento do processo aleatório �(l�lm
, pode ser obtido por: 
 
11 
 
	V(�W � ]f^ . j 
 	V(%W � ]ef . j � ]f^ . #. j . 
. 
. 	V(
W � ]if . j � ]f^ . #
. j 
 
Em relação a esperança condicional, considere o vetor j, Nx1, definido anteriormente e 
o vetor n
, também Nx1. Defina agora 1
 k jf. n
. Note que se n
 � />, onde /> 
representa o vetor da base canônica cuja i-ésima entrada é 1 enquanto as demais são 0, 
teremos que 1
 � 1>. 
 
Dessa forma, a esperança condicional pode ser obtida por: 
 	V1
��|n
 � /> W � ∑ #>,<.,<�� j< � �#. j�> 	V1
�%|n
 � /> W � 
 �#>,<�%.,<�� j< � �#%. j�> . 
. 
. 	V1
�A|n
 � /> W � 
 �#>,<�A .,<�� j< � �#A . j�> 
 
1.3 Distribuição Estacionária 
 
 
Uma distribuição de probabilidade estacionária, ou de steady-state, é um vetor a que 
atende à seguinte equação: 
 af � af. # 
 
Ou, de forma equivalente, 
 �#f - 1. o�. a � 0 
 
Vale lembrar que p é um autovalor da matriz #f, se e somente se �#f - p. o� é uma 
matriz singular. Por sua vez, uma matriz quadrada é singular se e somente se seu 
determinante for igual a zero. Assim, p será autovalor de #f, se e só se, 
 :/8�#f - p. o� � 0 
 
Uma forma equivalente de dizer que a matriz A é não singular é dizer que a única 
solução do sistema linear homogêneo é q. � � 0 é � � 0. De forma equivalente, a 
matriz q será não singular se o sistema q. � � 0 outras soluções além de � � 0. Assim, 
se p é um autovalor da matriz #f, de forma que q � #f - p. o é singular, devem existir 
vetores não-nulos que são solução da equação q. � � �#f - p. o�. � � 0. Em outras 
palavras, se p é um autovalor da matriz #f, então existe pelo menos um vetor � s 0, tal 
que, 
12 
 
 #f. � � p. �, �9. � s 0 
 
Nesse caso, o vetor� s 0 é chamado de autovetor associado ao autovalor p. No 
contexto da Cadeia de Markov apresentada nessa seção, a distribuição invariante 
representada pelo vetor a, é o autovetor associado ao autovalor unitário da matriz de 
transição #f. O requerimento de que ∑ a>,>�� � 1 é apenas um procedimento para 
normalização do autovetor. 
 
Note que como ∑ F>,<,<�� � 1, com 1 7 F>,< 7 0, para todo 3 I �1, … . , J�,então toda 
matriz de transição # possui pelo menos um autovalor unitário. Seja t um vetor nx1 que 
possui 1 em todas as entradas. Então, como a matriz de transição deve somar 1 nas 
linhas, é fácil ver que, 
 #. t � 1. t, 9� �#f - 1. o�. t � 0 
 
Assim, vemos que toda matriz de transição possui pelo menos um autovalor unitário. 
No entanto, cabe ressaltar que a matriz de transição pode possui mais do que um 
autovalor unitário. Nesse caso, haverá mais do que uma distribuição estacionária. O 
exemplo a seguir ilustra essa situação. 
 
 
Considere a seguinte matriz de transição, 
# � K 1 0 01/5 1/2 3/100 0 1 O 
 
Nesse caso, temos nosso espaço de estado possui dimensão três. Note que se a economia 
entrar no estado 1� a probabilidade de passar para outro estado no período seguinte é 0. 
O mesmo acontece se a economia entrar no estado 1&. Estados cuja matriz de transição 
atribua probabilidade zero de mudança são conhecidos como estados atratores ou 
estados absorventes. Note que a matriz # acima possui dois estados atratores, bem 
como dois autovalores unitários. Dessa forma, podemos notar claramente que ]e �V1, 0, 0W e ]g � V0, 0, 1W são distribuições estacionárias distintas associadas à #. 
 
Além disso, mesmo que uma Cadeia de Markov tenha uma única distribuição 
estacionária não é possível garantir à priori que a Cadeia convergirá para esta 
distribuição para todo vetor de condição inicial. 
 
 
Definição 1.6 (Cadeia de Markov Assintoricamente Estacionária): Seja ] o único 
vetor que satisfaz �#f - 1. o�. ] � 0. Se para toda condição inicial ]^ for verdade que #f
 . ]^ * ], quando 8 * ∞, então dizemos que a Cadeia de Markov é assintoticamente 
estacionária, com uma única distribuição invariante ]. 
 
Os resultados à seguir, cujas demonstrações serão omitidas, nos apresentam condições 
suficientes para que a matriz de transição tenha uma única distribuição estacionária. 
 
13 
 
Proposição 1: Seja # uma matriz estocástica, com #>,< w 0, d �3, x�. Então, # possui 
uma única distribuição estacionária, e o processo de Markov subjacente é 
assintoticamente estacionário. 
 
Proposição 2: Seja # uma matriz estocástica, com #>,<y w 0, d �3, x�, para algum 0 7 1. 
Então, # possui uma única distribuição estacionária, e o processo de Markov 
subjacente é assintoticamente estacionário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Capítulo 2 – Programação Dinâmica 
 
 
Nosso problema básico de programação dinâmica será descrito ao longo dessa sessão. A 
base do problema, em sua formulação seqüencial, é a escolha de uma seqüência de 
variáveis de controle que maximizam um determinado funcional côncavo sujeito a uma 
restrição de factibilidade para as variáveis de estado e uma condição de estado inicial. A 
variável de estado, que podemos ver como um resumo do ambiente econômico a cada 
período de tempo será denotada por �
. A variável de controle, que representa aquilo 
que é escolhido pelo agente dado o estado do ambiente econômico, será representado 
por �
 no início da exposição. 
 
2.1 Formulação Sequêncial 
 
 
Seja a função �: +y�+A * +, por hipótese côncava, continuamente diferenciável e 
crescente, onde +y representa o conjunto onde as variáveis de estado (ou vetor de 
estado, no caso de n>1) podem tomar valores a cada t e +A representa o conjunto onde 
a variáveis de controle (ou vetores, caso k>1). Em uma primeira abordagem veremos o 
problema determinístico, e posteriormente o problema estocástico, utilizando o 
ferramental de Cadeias de Markov desenvolvido no capítulo anterior. 
 
 
Seja a função z: +y�+A * +y e defina o conjunto { � ���
��, �
� I +y�+y: �
�� |z��
 , �
�, �
 I +A�. O conjunto { é conhecido como conjunto de factibilidade para a 
variável de estado, e nos apresenta os valores possíveis para a variável de estado no 
próximo período dado o valor que a variável de estado e a variável de controle 
assumiram no presente. Vamos supor que Γ é convexo e compacto¹. Seja � I �0,1� um 
fator de desconto intertemporal e �� um vetor (ou escalar) que representa o estado 
inicial da economia. O problema de programação dinâmica em sua formulação 
seqüencial pode ser posto como: 
 
�á� �~�� 
 �
. ���
, �
�
�
�� 
 (. 8. �
�� � z��
, �
� 
 
 �� I +y 
 
 
Sob essa formulação, nosso problema é encontrar uma função : +y * +A, conhecida 
como função política, que mapeia o estado �
 no controle �
. Com base em  e na 
condição inicial �� construímos ��
�
��� , pois ��
� � �
 . 
 
 
_______ 
¹Estamos assumindo hipóteses simplificadoras para garantir que o problema terá solução bem definida. Informações 
adicionais podem ser encontradas em Recursive Methods In Economic Dynamics, de Stokey & Lucas. 
15 
 
2.2 Formulação Recursiva 
 
Defina a função €: +y * +, que retorna o valor máximo do problema anterior para cada 
estado inicial ��. Assim, teremos: 
 
€���� � �á� �~�� �
 �
. ���
, �
�
�
�� � 
 (. 8. �
�� � z��
, �
� 
 
Se a função €���� for conhecida, então a função política  pode ser obtida resolvendo o 
seguinte problema, para cada � I +y, 
 �á� ~ ����, �� � �. €��f�� 
 (. 8 �f � z��, �� 
 
Ou de forma mais enxuta, 
 �á� ~ ����, �� � �. €Vz��, ��W� 
 
Note que saímos de um problema complexo, no qual tínhamos que encontrar a 
seqüência infinita ��
�
��� e passamos para um problema mais simples, no qual 
encontramos uma função política ��� e uma função valor €���, para cada x. Isto é, 
deixamos de resolver um problema de infinitos períodos para resolver um problema de 
um período para o outro. Dessa forma, o problema de acordo com a abordagem 
recursiva pode ser sumarizado pela seguinte equação funcional, 
 €��� � �á� ~ ����, �� � �. €Vz��, ��W� 
 
Ou €��� � �á� ~ ‚�ƒ�,~�����, �� � �. €��f�� 
 
As equações funcionais acima são conhecidas como equação de Bellman. Note que a 
solução da equação de Bellman é um par �€���, ����, que satisfaz: 
 €��� � ����, ���� � �. €Vz��, ����W� 
 
 Uma pergunta importante a ser feita nesse ponto é a seguinte: Sob quais condições a 
solução do problema recursivo existe? 
 
Note que a equação de Bellman acima define o seguinte operador: 
 „: …�+y� * …�+y� 
 
16 
 
Onde …�+y� é o espaço das funções reais com domínio em +y e o operador em 
referência é dado por: „€��� � �á� ~ ‚�ƒ�,~�����, �� � �. €��f�� 
 
Se provarmos que o operador acima define uma contração, o teorema da contração nos 
garante que tal operador possui um único ponto fixo. Por sua vez, para verificar se 
determinado operador se constitui em uma contração, basta aplicarmos o seguinte 
teorema: 
 
Teorema 1 (Blackwell): Seja † $ +ye …�†� o espaço das funções reais limitadas com 
norma sup. Seja o operador „: …�†� * …�†�, satisfazendo, 
 
a- (monotonicidade): Sejam ‡, z I …�†� e ‡��� | z���, d� I † 
 
b- (desconto): Existe algum � I �0,1�, tal que, 
 
 V„�‡ � ��W��� | V„�‡�W��� � �. �, F��� d ‡ I …�†�, � 7 0, � I † 
 
Então o operador T define uma contração. 
 
Além disso, cabe destacar que: 
 
1. Sob certas hipótesesa respeito de � / z, a equação de Bellman possui uma única 
solução estritamente côncava. 
 
2. A solução é aproximada por meio de iterações da função valor, tomando o limite x * ∞, sobre a equação 
 €<����� � �á� ~ ˆ���, �� � �. €<��f�‰ 
 
Sujeito à �f � z��, ��, com x dado, começando à partir de uma €� inicial 
contínua e limitada. 
 
3. Existe uma única função política ótima, invariante no tempo, ��
� � �
, onde h 
é escolhida de forma a maximizar a equação de Bellman. 
 
4. Fora dos cantos a equação de Bellman é diferenciável, Assumimos que a função 
política também será diferenciável. 
 
Assim, a condição de primeira ordem associada ao problema 
 �á� ~ ����, �� � �. €Vz��, ��W� 
Será: 
 
 �%��, �� � �. €fVz��, ��W. z%��, �� � 0 
 
17 
 
Onde o subscrito associado à função ��. , . � representa a derivada parcial em relação ao 
respectivo argumento. Como € é função de um único argumento, o sobrescrito (´) 
denota a derivada em relação ao argumento. 
 
Para obtermos uma expressão para €fVz��, ��W, basta usarmos o fato de que €��� � ����, ���� � �. €Vz��, ����W� 
 
Derivando a expressão acima em relação à x obtemos: 
 €f��� � ����, ���� � �%C�, ���E. f��� � �. €fVz��, ��W�z�C�, ���E� z%C�, ���E. f���� 
 
Suponha que possamos escrever �f � z���. Logo, z�C�, ���E � 0. Além disso, como �%��, �� � �. €fVz��, ��W. z%��, �� � 0, então teremos que, 
 €f��� � ����, ���� � �%C�, ���E. f��� � �. €fVz��, ��W. z%C�, ���E. f����� ��C�, ���E � f���. ˆ�%C�, ���E � �. €fVz��, ��W. z%C�, ���E‰ 
 
Logo, 
 €f��� � ��C�, ���E Š €fCz��, ��E � �� ‹z��, ��, Cz��, ��EŒ 
 
 
Por fim, chegamos em: 
 �%��, �� � �. �� ‹z��, ��, Cz��, ��EŒ . z%��, �� 
 
Para manter a consistência com o fato de que supomos �f � z���, teremos a seguinte 
equação: 
 �%��, �� � �. �� ‹z���, Cz���EŒ . zf��� 
 
Colocando tudo em termos de tempo chegamos à seguinte equação de Euller: 
 
 �%��
 , �
� � �. ����
��, �
���. zf��
� � 0, onde z��
� � �
��. 
 
 
2.3 Resolvendo a Equação Funcional 
 
Em geral problemas de programação dinâmica formulados a partir da equação de 
Bellman possuem apenas solução numérica. Um caso particular ocorre quando 
utilizamos uma função de retorno logarítmica. Esse é um dos poucos casos onde é 
possível resolver o problema de forma analítica. Veremos isso em um exemplo que será 
apresentado posteriormente. 
 
18 
 
A – Iteração da Função Valor 
 
Esse é principal mecanismo numérico utilizado na solução de problemas de 
programação dinâmica. Ele consiste em explorarmos a recursividade do problema e o 
fato de que o operador de Bellman define uma contração. Os passos para o algoritmo 
são os seguintes: 
 
1º Passo: “Chutamos” uma função valor inicial, digamos €� 
 
2º Passo: Usamos o operador T para construir a função valor do período seguinte, €� � „€�. De fato, estamos fazendo: 
 €���� k „€���� � �á� ~ ����, �� � �. €���f�� 
 
Em seguida, verificamos se €� está suficientemente próximo de €� de acordo com 
determinada métrica. Em caso positivo, paramos pois já temos nosso ponto fixo, isto é, „€�  €�. Caso contrário, partimos para o 3º passo. 
 
3º Passo: Utilizamos T para construir uma nova função valor €% k „€� � „„€�. 
Avaliamos se €%está suficientemente próximo de €�, i. e., testamos se €�é ponto fixo. 
Em caso negativo, continuamos iterando a função valor €<�� k „€< � „<€�, x 7 1 até 
que o ponto fixo seja encontrado. Sob as hipóteses apresentadas anteriormente sabemos 
que o ponto fixo existe e é único, pois a equação de Bellman é uma contração. Assim, 
independentemente do chute inicial €�, podemos garantir que „<€� * € com € � „€. 
 
Note que ao escolhermos o u resolve o problema de maximização, estamos 
automaticamente encontrando h(x). 
 
Uma descrição mais detalhada do método computacional será feita mais adiante, quando 
falaremos sobre discretização do espaço de estado. 
 
B – Método do Guess and Verify 
 
Esse método consiste em chutar uma função valor e verificar se ela resolve a equação de 
Bellman. Esse método é bastante subjetivo e o sucesso de sua implementação depende, 
muitas vezes, do conhecimento prévio de particularidades relacionadas ao problema. 
 
 
 
 
2.3.1 Exemplos 
 
Nessa seção apresentaremos exemplos de problemas de programação dinâmica de 
natureza determinística. Olharemos primeiro para o problema de acumulação ótima de 
capital. 
 
Suponha um indivíduo que vive infinitos períodos, possui um estoque inicial de capital 6�, a cada período precisa decidir quanto desse capital será consumido e quanto desse 
capital será investido, sujeito a uma restrição tecnológica de produção da economia, a 
19 
 
fim de maximização um fluxo de utilidade descontado pelo fator intertemporal � I�0,1�. O problema seqüencial desse indivíduo pode ser formulado como: 
 
�á� ���� 
 �
. ���
�
�
�� 
 (. 8. �
 � 6
�� | ‡�6
�, para todo 8 I �1,2,3 … � �
 , 6
�� 7 0 
 
 :�:9 6� I +�� 
 
Onde �: +� * + é contínua, estritamente crescente, estritamente côncava e 
continuamente diferenciável. Além disso, assumimos que ‡: +� * + é contínua, 
estritamente crescente, côncava e continuamente diferenciável. Note que nesse caso o 
nível de capital contemporâneo 6
 é a variável de estado, enquanto o investimento 
(6
��� e o consumo contemporâneo (�
� são variáveis de controle. 
 
Podemos reescrever esse problema forma recursiva utilizando a equação de Bellman, 
conforme a seguir: 
 €�6� � �á� A‚ ����� � �. €�6f�� 
 (. 8. � � 6f | ‡�6� 
 �, 6 7 0 
 
Como a função de utilidade é estritamente crescente podemos substituir a restrição de 
recursos na equação de Bellman, o que nos retorna, 
 €�6� � �á� �mA‚m”�A����‡�6� - 6f� � �. €�6f�� 
 
Assim nosso problema passa a ser determinar o estoque de capital amanhã, com base na 
estoque de capital observado hoje. Note ainda que, 
 6f � z�6� I q�z.á� �mA‚m”�A� ���‡�6� - 6f� � �. €�6f�� 
 
Como vimos anteriormente, a função z: +� * +�, com 6f � z�6� é a função política 
associada ao problema dinâmico do agente. 
 
Pela condição de primeira ordem, temos que, 
 �f�‡�6� - 6f�. �-1� � �. €f�6f� � 0 • �f�‡�6� - 6f� � �. €f�6f� 
 
Para dar continuidade, usamos o teorema do envelope, conhecido também como 
teorema de Benveniste-Sheinkman. Este teorema nos diz que a derivada da função 
20 
 
valor em relação à variável de estado é igual a derivada parcial da função objetivo com 
respeito à variável de estado, avaliado na função política. Formalmente, temos o 
seguinte teorema: 
 
Teorema 2 (Benveniste-Sheinkman): Seja † $ +yum conjunto convexo e €: † * +, 
uma função côncava. Seja �� I 308† e seja D uma vizinhança de ��. Se existe uma 
função côncava e diferenciável –: — * +, satisfazendo –���� � €���� e com –��� | €��� para todo � I —, então € é diferenciável em �� e €>���� � –>���� para 
todo 3 I �1,2, … . 0�. 
 
Daí temos que, 
 €f�6� � �fV‡�6� - z�6�W. ‡f�6� 
 
Mas segundo nossa condição de primeira ordem, precisamos avaliar a derivada da 
função valor em 6f. Dessa forma, temos que, 
 €f�6f� � �fV‡�6f� - z�6f�W. ‡f�6f� 
 
Substituindo na condição de primeira ordem, temos: 
 
 �f�‡�6� - 6f� � �. �fV‡�6f� - z�6f�W. ‡f�6f� 
 
Essa é exatamente a equação de Euller para o consumo. 
 
Suponha agora que adotamos a seguinte forma funcional para a função utilidade e para a 
função de produção: 
 ���
� � log ��
� e ‡�6
� � q. 6
š 
 
Nosso problema seqüencial passa a ser: 
 
�á� ���� 
 �
. log ��
� 
�
�� 
 (. 8. �
 � 6
�� | q. 6š, para todo 8 I �1,2,3 … � �
 , 6
�� 7 0 
 
 :�:9 6� I +�� 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
A equação de Bellman associada será: 
 €�6� � �á� A‚ �log ��� � �. €�6f�� 
 (. 8. � � 6f | 6š 
 �, 6 7 0 
 
Vamos resolver o problema recursivo por meio de iteração da função valor. Suponha 
inicialmente que €��6� � 0. Vamos resolver o seguinte problema de um período: 
 €��6� � �á� � �log ���� 
 (. 8. � � 6f | q. 6š e �, 6 7 0 
 
De forma trivial, a solução será �� � q. 6š. 
Assim, temos que €��6� � ›9z�q� �š. ›9z �6�. 
 
Vamos realizar agora a segunda iteração da função valor. 
 €%�6� � �á� � �log��� � �. V›9z�q� �š. ›9z �6f�W� 
 (. 8. � � 6f | q. 6š e �, 6 7 0 
 
Montando o Lagrangeano e tirando a condição de primeira ordem, temos: 
 V�W: �� � p e V 6fW: œ� �A‚ � p 
 
Assim, temos: �% � A‚ž Š �% � Ÿ.Aš��ž / 6%f � ž.Ÿ.Aš��ž 
 €%�6� � ›9z   q1 � œ�¡ � �. ›9z�q� � œ�. ›9z   œ�. q.1 � œ�¡ � œ. �1 � œ��. ›9z �6� 
 
 
Realizando procedimento análogo e usando resultados referentes à séries geométricas, 
temos as seguintes funções políticas: 
 � � �6� � �1 - œ��. 6š e 6f � z�6� � œ�. q. 6š 
 
A função valor será: 
 €�6� � �1 - ��?�. �logVq�1 - œ��W �   œ�1 - œ�¡ . ›9z�œ�. q�� �   œ1 - œ�¡ log �6� 
 
 
 
 
22 
 
2.4 Programação Dinâmica Estocástica 
 
Os problemas programação dinâmica estocástica são em grande parte análogos aos 
problemas determinísticos. A diferença é que agora a regra de movimento da variável de 
estado está sujeita a choques estocásticos. Mantendo toda a estrutura desenvolvida 
anteriormente, podemos apresentar o problema seqüencial da seguinte forma: 
 
 
�á� ���� 	
� �
 �
 . ���
 , �
�
�
�� � 
 (. 8. �
�� � z��
 , �
 , ¢
� 
 
 �� I +y 
 
Agora, �¢
�
��� é uma sequencia de variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas com função de distribuição #�9;�¢
 | /� � £�/�, para todo t. O operador 	
 denota a esperança matemática dado todo o conjunto de informação conhecido até t. 
A equação de Bellman associada a esse problema será dada por: 
 €��� � �á� ~ ����, �� � �. 	V€Vz��, �, ¢�|�W� 
 
Onde, 	V€Vz��, �, ¢�|�W � ¤ €Vz��, �, ¢�W:£�/�. A condição de primeira ordem 
desse problema será: 
 �%��, �� � �. 	�€fVz��, �, ¢�W. z%��, �, ¢�|�� � 0 
 
Usando a condição de envelope de Benveniste-Sheinkman, obtemos a seguinte equação 
de Euller estocástica: 
 �%��, �� � �. 	�����, ��. z%��, �, ¢�|�� � 0 
 
 
2.5 Métodos Numéricos 
 
Em geral, os problemas de programação dinâmica que resolveremos no curso envolvem 
métodos numéricos que utilizam um procedimento conhecido como discretização do 
espaço de estado. Há ainda uma abordagem alternativa na qual utiliza-se polinômios 
para aproximar a função valor. 
 
Para introduzir o conceito de discretização do espaço de estado utilizaremos uma 
modificação do problema de acumulação de capital apresentado nas seções anteriores. 
Assim, teremos um agente representativo que vive por infinitos períodos, consome um 
único bem que pode ser adquirido com renda do trabalho ou com a poupança acumulada 
ao longo do tempo. O agente possui uma dotação de trabalho a cada período de tempo, (
 que evolui ao longo do tempo de acordo com uma cadeia de Markov de m estados, 
com matriz de transição ¥. Esse indivíduo recebe uma quantia fixa de salário w, em 
todos os períodos, de forma que se a dotação em t for 1>, então sua renda de trabalho 
será ¦. 1>. A cada período, o agente deve escolher quanto manter de um único ativo �
,, 
23 
 
que pode assumir unicamente valores discretos no grid § � ��� ¨ �% ¨ L … … … ¨�y�. O ativo para uma taxa de juros fixa igual a r a cada período. O problema seqüencial 
desse agente será formulado como: 
 
 
�á� ���� 	
� �
 �
 . ���
�
�
�� � 
 (. 8. �
 � �
�� � �1 � ��. �
 � ¦. (
 
 �
 7 0 
 �
 I § 
 
Supomos que ���
� atende as condições de Inada e assumimos que ��1 � �� ¨ 1. A 
equação de Bellman associada será: 
 €��, (� � �á� l‚I§ ��V�1 � ��. � � ¦. ( - �fW � �. 	V€��f, (f�|�W� 
 
Na prática, trataremos da função valor como uma matriz nxm, onde as linhas 
representam os níveis escolhidos para o ativo e as colunas o estado da cadeia de 
Markov. Além disso, o operador esperança da equação de Bellman será representado 
pela matriz de transição da cadeia de Markov. Dessa forma, podemos reescrever a 
equação de Bellman da seguinte forma: 
 
Para cada 3 I �1,2, … … , .� e para cada  I �1,2, … … , 0�, temos que cada entrada da 
matriz que representa a função valor será preenchida resolvendo: 
 
€��© , 1>� � �á� l‚I§ ª�V�1 � ��. �© � ¦. 1> - �fW � �. 
 ¥>,<
B
<�� €��f, 1<�« 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Capítulo 3 – Equilíbrio Geral com Mercados Completos 
 
 
Nesta seção estudaremos modelos de equilíbrio geral que serão bastante uteis para a 
definição de alocações ótimas de consumo intertemporal, precificação de ativos e 
compartilhamento de risco. O ambiente econômico que servirá de base para o modelo 
em referência é o de uma economia de trocas puras, de horizonte infinito e tempo 
discreto. 
 
Seja �(
�
4� um processo estocástico descrito pela seguinte pela cadeia de Markov �5, P, π��. Denotaremos por 1
 a realização do processo estocástico em t. Denotaremos 
por (
 a seqüência com o histórico de realizações do processo estocástico ate a data t, 
isto e, (
 � �1
 , 1
?�, … . , 1�, 1��. 
 
A probabilidade incondicional de ocorrer certa historia certa historia (
 no período t 
será denotada por ®
�(
). A probabilidade incondicional de ocorrer a historia (
 dado 
que sabemos que ocorreu certa historia (¯ ate a data °, será denotada por ®
�(
|(¯�. O 
conjunto de indivíduos dessa economia será o � �1,2, … , o�. 
 
A cada período, cada agente recebe uma dotação que depende da realização do processo 
estocástico �(
�
4�, que será denotada por �
>�(
�. Por hipótese, todos os agentes 
conhecem (
. Os agentes vivem por infinitos períodos e escolhem um plano de 
consumo ótimo que será denotado por �> � ��
>�(
��
��� , que consiste de uma cesta de 
consumo para cada t e cada historia possível de estados da natureza. 
 
Os agentes são capazes de ordenar planos de consumo através da função de utilidade 
intertemporal esperada, que será dada por: 
 
 
±C�>E � 	� �
 �
. � ‹�
>�(
�Œ�
�� � � 
 
 �
. � ‹�
>�(
�Œ²�I5 .
�
�� ®
�(
|(�� 
 
 
Onde † e o espaço das mercadorias e a função �: † * +, atende as condições de Inada1, 
quais sejam: 
 �f��� w 0 , �ff��� ¨ 0, ›3.�*� �f��� � ∞, ›3.�*� �f��� � 0 
 
 
A condição de factibilidade para as alocações é dada por: 
 ∑ �
>�(
�>I³ | ∑ �
>�(
�>I³ , F��� d8 / d(
 
 
 
 
 
_________ 
1
Estas condições garantem que a solução do problema será interior 
25 
 
 
3.1 Estruturas de Mercado 
 
Estrutura Temporal de Arrow-Debreau 
 
Nessa estrutura, também conhecida como economia estática, os mercados abrem apenas 
em t=0, período em que todos os negócios contingentes a todas as possíveis histórias 
futuras ocorrem. Dessa forma, os agentes compram ativos em t=0, que permite a 
definição de um plano de consumo contingente para os próximos períodos. 
 
Estrutura Temporal de Arrow 
 
Nessa estrutura, conhecida como economia seqüencial, os mercados abrem em todos os 
períodos, de forma que os agentes negociam ativos para o próximo período apenas. 
Logo, a cadat os agentes negociam planos de consumo contingente para t+1 dado o 
histórico (
. 
 
3.2 Problema de Pareto 
 
Nosso objetivo é resolver o problema de Pareto nas duas estruturas apresentadas, isto é, 
encontrar o plano de consumo ótimo para na economia seqüencial e na economia 
estática. No entanto, para que seja possível realizar uma avaliação qualitativa dos 
resultados é útil ter um benchmark apropriado, ou seja, é interessante conhecer as 
propriedades de uma alocação que seja eficiente de Pareto. Essa alocação será 
encontrada resolvendo o problema de Pareto apresentado a seguir: 
 
 �á� 
 p>. 	� �
 �
 . � ‹�
>�(
�Œ�
�� �>I³ ���� 
 (�x/389 à: 
 �
>�(
�>I³ | 
 �
>�(
�>I³ , F��� d8 / d(
 
 
 
O Lagrangeano associado a esse problema é: 
 
µ � 
 
 �
 p>. �
 . � ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(��>I³ � ¶
�(
�. K
 �
>�(
�>I³ - 
 �
>�(
�>I³ O�²�I5
�
�� 
 
 
A condição de primeira ordem associada a esse problema é: 
 
b�
>�(
�c: ·µ·�
>�(
� � 
 
 ¸p>. �
 . �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� - ¶
�(
�. ¹²�I5
�
�� � 0 
 
 º p>?�. ¶
�(
� � �
 . �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� F��� d3, d8 / d(
 
26 
 
 
Sem perda de generalidade, tomamos os consumidores 1 e i, o que nos leva a: 
 p�?�. ¶
�(
�p>?�. ¶
�(
� � �
. �fC�
��(
�E. ®
�(
|(���
. �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� 
 º p�?�p>?� � �
fC�
��(
�E�f ‹�
>�(
�Œ F��� d3 
 
º �
>�(
� � �f?� »p�p> . �fC�
��(
�E¼ 
 
Para obtermos o consumo do indivíduo i, basta jogar o resultado na restrição de 
factibilidade, que valerá com igualdade devido às hipóteses feitas em relação a u(.). 
 
 
 �
>�(
�>I³ � 
 �
>�(
�>I³ F��� d8 / d(
 
 
º 
 �f?� »p�p> . �fC�
��(
�E¼>I³ � 
 �
>�(
�>I³ 
 
Note que o lado direito da equação acima é a dotação agregada para uma dada 
realização de (
. Assim, temos que: 
 
Resultado 1: Uma alocação eficiente é função apenas da dotação agregada, não 
depende de uma história específica (
, nem da dotação de um agente específico �
>�(
�. 
 
Note que o que importa para determinar o fluxo de consumo dos indivíduos é 
½¾½¿ , logo 
podemos normalizar, ∑ p> � 1>I³ . 
 
3.3 Equilíbrio competitivo na estrutura temporal de Arrow- Debreau 
 
Os agentes negociam no período t=0 promessas de consumo para cada t e cada possível 
história (
. Vamos partir do pressuposto de que os mercados são completos, isto é, 
existe um ativo que entrega determinada cesta de consumo em qualquer período de 
tempo e qualquer história. O preço dos ativos contingentes a uma determinada história (
 no período t=0, será dado por À
��(
�. A restrição orçamentária intertemporal passará 
a ser dada por: 
 
 
 À
��(
�. �
>�(
�²�I5
�
�� | 
 
 À
��(
�. �
>�(
�²�I5
�
�� , F��� d3 
 
O problema do agente será colocado da seguinte forma: 
27 
 
�á� ���� 	� �
 �
. � ‹�
>�(
�Œ
�
�� � � 
 
 �
 . � ‹�
>�(
�Œ²�I5 .
�
�� ®
�(
|(�� 
 
1�x/389 à: 
 
 À
��(
�. �
>�(
�²�I5
�
�� | 
 
 À
��(
�. �
>�(
�²�I5
�
�� 
 
O lagrangeano será dado por: 
 
µ � 
 
 ��
. � ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� � Á>. KÀ
��(
�. �
>�(
� - 
 À
��(
�. �
>�(
�>I³ O�²�I5
�
�� 
 
A condição de primeira ordem será: 
 
b�
>�(
�c: ·µ·�
> � 
 
 ¸�
. �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� - Á>. À
��(
�¹²�I5
�
�� � 0 
 º �
 . �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� � Á>. À
��(
� 
 
 
Definição 3.1 (Sistema de preços): Um sistema de preços é uma seqüência de funções 
do tipo À� � �À
��(
��
��� . 
 
Definição 3.2 (Alocação de Consumo): Uma alocação de consumo é uma lista de 
planos de consumo, ˆ�>‰>I³, sendo cada plano de consumo uma seqüência de funções do 
tipo �> � ˆ�
>�(
�‰
��� . 
 
Definição 3.3 (Equilíbrio Competitivo): Um equilíbrio competitivo é uma família 
formada por um sistema de preços e uma alocação de consumo, ˆÀ�, �>‰>I³, tal que 
dado o sistema de preços À� vale que: 
 
 
(a) �á� �¿ 	� ¸∑ �
 . � ‹�
>�(
�Œ�
�� ¹ 
 1. �: ∑ ∑ À
��(
�. �
>�(
�²�I5�
�� | ∑ ∑ À
��(
�. �
>�(
�²�I5�
�� , para todo i 
 
(b) ∑ À
��(
�. �
>�(
�>I³ | ∑ À
��(
�. �
>�(
�>I³ , F��� d8 / d(
 
 
 
Da condição de primeira ordem do problema anterior, considerando os agentes i e j temos: 
 
 � ‹�83 C(8EŒ�  �8xC(8E¡ � Á3Áx 
28 
 
 
Note que a razão das utilidades marginais dados dois agentes quaisquer é constante.Tomando 
j=1, resolveremos para i. 
 
º �
>�(
� � �f?� ÃÁ>Á� . �fC�
��(
�EÄ 
 
Substituindo na restrição, temos: 
 
 �f?� ÃÁ>Á� . �fC�
��(
�EÄ>I³ � 
 �
>�(
�>I³ 
 
Resultado 2: A alocação de equilíbrio competitivo ˆ�>‰>I³ é uma função da dotação 
agregada realizada, não dependendo do histórico dos choques estocásticos e da 
datação de um indivíduo específico. 
 
3.4 Preço de Equilíbrio 
 
Da condição de primeira ordem obtida anteriormente, temos que: 
 �
 . �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� � Á> . À
��(
� 
 
Fazendo t=0 e i=1, segue que: 
 
 Á�. À���(�� � ��. �fC����(��E. ®��(�|(�� 
 º À���(�� � 1Á� . �fC����(��E 
 
Podemos normalizar o multiplicador de Lagrange para um número positivo qualquer. 
Façamos Á� � �fC����(��E. Dessa forma, À���(�� � 1. Voltando à CPO, para o 
indivíduo i, no período t=0, 
 Á> . 1 � ��. �f ‹��> �(��Œ . ®��(�|(�� 
 
 º Á> � �f ‹��> �(��Œ 
 
Voltando à CPO, teremos: 
 
À
��(
� � �
 . �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(�� �f ‹��> �(��Œ 
 
29 
 
Essa equação nos dá o preço do ativo cujo valor é capaz de comprar uma unidade da 
cesta de consumo pretendida pelo agente i no período t caso o histórico caso o histórico 
de choques estocásticos seja (
. 
 
Definição 3.3 (Preço de Estado ou State Price): O preço de estado, denotado por À
��(
�, é o preço do ativo que paga uma unidade de consumo caso tenha sido realizado 
o histórico de choques estocásticos (
. 
 
O preço de estado é também conhecido como Price Kernell. 
 
3.5 Mecanismo Geral de Precificação de Ativos 
 
Trataremos da precificação de um determinado ativo que paga um fluxo estocástico de 
renda no próximo período denotado por ¦�(
�. Nosso objetivo é obter um mecanismo 
de precificação um período a frente, a partir de uma determinada data °. A partir do 
resultado apresentado anteriormente, o preço de estado na data ° referente ao ativo que 
paga uma unidade do bem de consumo na data ° � 1 será: 
 
À¯��¯ �(¯��� � �. �f ‹�¯��> �(¯���Œ . ®
�(¯��|(¯� �fC� >¯�(¯�E 
 
 
 
Considere o ativo que paga o fluxo estocástico ¦�(¯��� em ° � 1. Como o preço de 
estado nos retorna o preço do ativo que paga uma unidade de consumo para cada 
realização do choque estocástico, o preço do ativo em referência, na data °, será uma 
média dos possíveis fluxos ponderada pela renda que o ativo paga em cada estado da 
natureza. Assim, temos que: 
 F¯¯ �(¯��� � 
 À¯��¯ �(¯���.²ÅƾÇ5 ¦�(¯��� 
 
Substituindo a expressão acima, temos que: 
 
F¯¯ �(¯��� � 
 �. �f ‹�¯��> �(¯���Œ . ®
�(¯��|(¯��fC� >¯�(¯�E²ÅƾÇ5 . ¦�(¯��� 
 
Ou então, 
 
F¯¯ �(¯��� � 	¯ ª�. �f ‹�¯��> �(¯���Œ . ®
�(¯��|(¯��fC� >¯�(¯�E . ¦�(¯���« 
 
 
 
 
 
30 
 
Vamos definir as seguintes variáveis: 
 
(a) Fator Estocástico de Desconto 
 
.¯���(¯��� k �. �f ‹�¯��> �(¯���Œ�fC� >¯�(¯�E 
 
 
(b) Taxa de retorno 
 ȯ�� k ¦�(¯���F¯¯ �(¯��� 
 
Dessa forma, encontramos a seguinte relação: 
 1 � 	¯�.¯���(¯���. ȯ��� 
 
 
3.6 Comparando a Alocação de Equilíbrio Competitivo com a Alocação Eficiente de 
Pareto 
 
No caso do problema de Pareto, tínhamos que a equação que descreve o fluxo de 
consumo era dada por: 
 
 �
>�(
� � �f?� »p�p> . �fC�
��(
�E¼ 
 
 
No casodo equilíbrio utilizando a estrutura temporal de Arrow-Debreau, obtemos que: 
 
 �
>�(
� � �f?� ÃÁ>Á� . �fC�
��(
�EÄ 
 
Dessa forma, concluímos que a alocação de equilíbrio competitivo é um caso particular 
de Alocação de Pareto, quando tomamos 
 p> � 1Á> 
 
Além disso, na alocação de equilíbrio competitivo os preços sombra associados ao 
problema do planejador, ¶
�(
�, serão iguais a À
��(
�, pois como vimos: 
 
¶
�(
� � �
 . �f ‹�
>�(
�Œ . ®
�(
|(��p> , F��� d3, d8 / d(
 
 
 
31 
 
Capítulo 4 – Modelos de Ciclos Reais de Negócios 
 
 
4.1 Introdução e fatos estilizados 
 
As economias reais passam por oscilações significativas nos níveis de produto e 
emprego, alternando entre ciclos de expansão e declínio na atividade econômica que 
não necessariamente possuem padrões bem definidos. Um dos objetivos centrais da 
macroeconomia moderna é compreender as causas e conseqüências das flutuações 
agregadas, bem como propor modelos capazes de capturar tais movimentos de forma 
compatível com as evidencias empíricas. 
 
As bases para a teoria dos ciclos reais de negócios como linha de pesquisa foram 
lançadas pelos trabalhos pioneiros de Kydland & Prescott (1982) e Long & Plosser 
(1983). A idéia básica foi resgatar os modelos econômicos micro fundamentados, nos 
quais o equilíbrio de mercado emerge a partir das decisões das famílias e das firmas, 
sem a presença de moeda, elemento fundamental dos modelos keynesianos. Nesse 
contexto, a economia está sempre em equilíbrio, de forma que os ciclos são uma espécie 
de resposta ótima a choques estruturais. 
 
Nos modelos de Ciclos Reais de Negócios (RBC, na sigla em inglês), a maior parte das 
oscilações nas variáveis macroeconômicas agregadas é resposta a choques de 
produtividade. Mesmo em modelos simples de equilíbrio geral, mudanças na 
produtividade total dos fatores foram capazes de gerar dinâmica de evolução do produto 
bem próxima àquela observada nos dados. 
 
A seguir, apresentamos alguns fatos estilizados relacionados aos ciclos da economia dos 
Estados Unidos, com base no trabalho de King & Rebelo (1999). 
 
� O produto agregado é mais volátil do que o consumo de bens não-duráveis. 
 
� O produto agregado é menos volátil do que o consumo de bens duráveis. 
 
� O investimento agregado é três vezes mais volátil do que o produto agregado. 
 
� O gasto do governo é menos volátil do que o produto agregado. 
 
� O capital agregado é menos volátil do que o produto agregado. 
 
� O nível de utilização da capacidade instalada na indústria (em termos de capital) 
é mais volátil do que o produto agregado. 
 
� O total de horas trabalhadas apresenta aproximadamente a mesma volatilidade 
do que o produto agregado. 
 
� O nível de emprego apresenta aproximadamente a mesma volatilidade do que o 
produto agregado. 
 
� As horas trabalhadas por trabalhador é bem menos volátil do que o produto. 
 
32 
 
� A produtividade do trabalho, medida em termos de homem/hora, é menos volátil 
do que o produto. 
 
� A taxa de salário real é bem menos volátil do que o produto. 
 
 
A tabela a seguir traz um breve resumo das variáveis estudadas do ponto de vista da 
trajetória destas em relação ao produto e da persistência de tais movimentos. A partir 
dos dados apresentados é possível concluir que a maior parte das séries é pró-ciclica, 
isto é, apresentam correlação contemporânea positiva em relação ao produto. Além 
disso, o coeficiente de autocorrelação serial de primeira ordem é relativamente alto, 
sinalizando que existe certa previsibilidade nos movimentos de curto prazo. 
 
 
Desvio 
Padrão 
Autocorrelação 
de 1º Ordem 
Correlação 
com Produto¹ 
Produto 1,81 0,84 1,00 
Consumo 1,35 0,80 0,88 
Investimento 5,30 0,87 0,80 
Horas Trabalhadas 1,79 0,88 0,88 
Salário Real (hora) 0,68 0,66 0,12 
Taxa real de juros 0,30 0,60 -0,35 
Produtividade total 0,98 0,74 0,78 
 ¹ Refere-se à correlação contemporânea 
 As variáveis estão em termos logarítmicos com tendência removida por meio do filtro HP 
As variáveis estão em termos per capita 
 
 
 
4.2 Uma abordagem inicial para o problema das famílias 
 
Nessa sessão descreveremos o problema de um indivíduo representativo que vive dois 
períodos, decidindo nível de consumo e quantidade ofertada de trabalho em cada 
período. Assumimos que existe uma oferta salarial dada para cada período, assim como 
uma taxa real de juros pré-definida, de forma que o ambiente de decisão deste agente é 
completamente determinístico. Tomamos o parâmetro p ¢+�� como uma medida da 
desutilidade do trabalho e � ¢ �0,1� como o fator de desconto intertemporal. 
Assumimos que a dotação total de tempo do agente é 1, que deve ser a soma do tempo 
destinado ao lazer com o tempo destinado ao trabalho, isto é: ›> � É> � 1, F��� 3 ��0,1�. O indivíduo possui preferências sobre consumo e lazer a cada período dada por: 
 ���>, ›>� � ›9z��>� � p. ›9z�›>�. 
 
Dessa forma, o problema de otimização resolvido pelo agente será: 
 
�á� ���,�¾� 
 �
 . �›9z��>� � p. ›9z�›>��
�
�� k ›9z���� � p. ›9z�1 - É�� � �. V›9z���� � p. ›9z�1 - É��W 
 
Sujeito à : �4.1� �0 � ( � ¦0. É0 
 �4.2� �1 � ¦1. É1 � (. �1 � �� 
33 
 
 
De (4.1) e (4.2) podemos utilizar a restrição: 
 �4.3� �� � ��1 � � � ¦�. É� � ¦�. É�1 � � 
 
Substituindo (4.3) na função objetivo temos: 
 2 � �á� ���,�¾��log  ¦�. É� � ¦�. É�1 � � - ��1 � �¡ � p. ›9z�1 - É�� � �. V›9z���� � p. ›9z�1 - É��� 
 
Pelas condições de primeira ordem do problema, temos: 
 VÉ�W : ·2·É� � ¦��� - p. 11 - É� � 0 Š ¦��� � p1 - É� �4.4� 
 
 VÉ�W: ·2·É� � ¦���. �1 � �� - p. �. 11 - É� � 0 Š ¦��� � �1 � ��. p. �1 - É� �4.5� 
 
 
De (4.4) e (4.5) temos a seguinte equação de Euller para o trabalho/lazer: 
 ¦�¦� . �. �1 � �� � 1 - É�1 - É� �4.6� 
 
Essa equação também pode ser escrita como: 
 ¦�¦� . �. �1 � ��. 2f�1 - É�� � 2f�1 - É�� 
 
A condição de primeira ordem em relação ao consumo no segundo período nos retorna: 
 V��W: ·2·�� � -1��. �1 � �� � �. 1�� � 0 Š �. 1�� � 1��. �1 � �� �4.7� 
 
 
Note que essa é a equação de Euller para o consumo, que também pode ser escrita 
como: �. �f���� � �f����. 11 � � 
 
Defina µ k �?ʾ�?Ê� k @¾@� / Ë k Ì�̾ 
 
Assim, temos que: 
 ·µ·Ë � �. �1 � �� w 0 / ·µ·�1 � �� � ¦�¦� . � w 0 
 
 
Dessa forma, temos que o aumento do salário do primeiro período em relação ao 
segundo resulta em aumento do lazer no segundo período (redução no trabalho). O 
aumento da taxa real de juros resulta em aumento do lazer no segundo período em 
decorrência do efeito substituição. 
 
 
34 
 
4.1.1 Uma versão mais geral do problema das famílias 
 
 
Podemos refazer a análise do problema acima com infinitos períodos, juntamente com 
salário e juros real estocástico. Nesse caso, o problema do agente representativo pode 
ser reescrito como: 
 
�á� ���,Ê�� 	
� �
 �
 . V���
� � p. 2�1 - É
�W
�
�� � 
 (. 8. �
 � �
�� � �1 � �
�. �
 � ¦
. É
 �4.8� 
 �
 7 0 
 
 
A partir das condições de primeira ordem, obtemos equações análogas as anteriores. Por 
simplicidade de notação, vamos assumir que λ � 1. ¦
 . �f��
� � 2f�1 - É
� �4.9� 
 �f��
� � �. 	
��1 � �8�1�. �f��
���� �4.10� 
 2f�1 - É8� � �. ¦8. 	
 Î�1 � �8�1�. 2f�1 - É8�1�¦8�1 Ï �4.11� 
 
 
4.2 Incluindo a firma competitiva 
 
Vamos analisar agora o comportamento da firma competitiva, que possui tecnologia de 
produção Cobb-Douglas dada por : 
 �
 � 6
 . �q
. É
��? �4.12� com parâmetro œ I �0,1� 
 
A dinâmica deevolução do estoque de capital será dada pela seguinte equação: 
 6
�� � �1 - �. 6
 � o
 (4.13) 
 
 
Onde o parâmetro Ô ¢ �0,1� representa a taxa de depreciação do capital. Por fim, temos 
a identidade básica de equilíbrio no mercado de produto, segundo a qual a oferta de 
produto se iguala à demanda por total. Nesse caso, a demanda total é composta por 
demanda das famílias e investimento, segundo a seguinte equação: 
 �
 � �
 � o
 �4.14� 
 
Vamos supor ainda que a produtividade total dos fatores (q
� possui dinâmica dada pela 
seguinte equação: 
 q
 � Õ
 . q
?� �4.15� 
 
Onde Õ
 segue uma Cadeia de Markov �5, #, a��. 
35 
 
 
 
A firma é tomadora de preços no mercado de insumos. Normalizaremos o preço do 
produto para a unidade. Dessa forma, o problema de otimização da firma será dado por: 
 
 �á� �A� ,Ê�� π
 � 1. �
 - ¦
. É
 - ��
 � Ô�. 6
 
 
A solução desse problema dinâmico é equivalente a resolver o problema estático a cada 
período, uma vez que a firma é tomadora de preços no mercado de insumos. As 
condições de primeira ordem associadas são: 
 V6
W: ·π
·6
 � œ. 6
?�. �q
 . É
��? - ��
 � Ô� Š ��
 � Ô� � œ. �
6
 �4.16� 
 
 VÉ
W: ·π
·É
 � �1 - œ�. 6
 . �q
 . É
�? . q
 - ¦
 � 0 Š ¦
 � �1 - œ�. �
É
 �4.17� 
 
 
O modelo de RBC é um modelo de equilíbrio geral, no qual utilizamos as equações 
oriundas do problema do consumidor (4.9, 4.10 e 4.11) juntamente com as condições de 
optimalidade do problema da firma (4.16 e 4.17) e a condição de equilíbrio no mercado 
de bens (4.14) para obtermos as variáveis endógenas �
 / É
 . 
 
Poderíamos alcançar a mesma solução resolvendo o seguinte problema de um 
planejador central: 
 
�á� ���,Ê�� 	
� �
 �
 . V���
� � p. 2�1 - É
�W
�
�� � 
 
 (. 8. �8 � 68œ. �q8 . É8�1-œ �4.12� 6
�� � �1 - �. 6
 � o
 �4.13� �
 � �
 � o
 �4.14� q
 � Õ
 . q
?� �4.15� 
 
 
A equação de Bellman associada a esse problema é dada por: 
 €�6, q, Õ� � �á� Ö.
�×.�%, ×.�&, ×.�×, ×.�Ø������ � p. 2�1 - É� � �. 	V€�6f, qf, Õf�|ÕW� �4.18� 
 
Esse é modelo de RBC básico desenvolvido até o momento, sob a perspectiva de um 
planejador central. 
 
 
 
 
 
36 
 
4.3 Um exemplo prático 
 
Nessa sessão apresentaremos um exemplo prático, assumindo utilidade logarítmica, 
100% de depreciação do estoque de capital de um período para o outro e p � 1. Além 
disso, vamos trabalhar com a hipótese comportamental de que a firma investe uma 
fração s do produto. Isso implica que o agente consome uma fração 1-s do produto. Em 
outras palavras, estamos introduzindo a seguinte equação ao modelo: 
 o
 � 1. �
 �4.19� 
 
Associando (4.19) com (4.14) temos �
 � �1 - 1�. �
 (4.20). A equação de movimento 
do capital agora será 6
�� � o
 . Utilizando a equação (4.14), (4.12) e a nova dinâmica 
para o capital temos: 
 �
 � 6
�� � 6
 . �q
. É
��? �4.21� 
 
Assim, problema do planejador central será: 
 
�á� ���,Ê�� 	
� �
 �
 . V›9z��
� � ›9z�1 - É
�W
�
�� � 
 (. 8. �
 � 6
�� � 6
 . �q
. É
��? �4.21� q
 � Õ
 . q
?� �4.15� Õ
 é F�9�/119 :/ ���692 
 
Utilizando resultados derivados anteriormente temos as seguintes equações de Euller 
associadas: 
 
 �f��
� � �. 	
��1 � �
���. �f��
���� �4.10� Š ���Ù¾ � �. 	
 ¸ ��� . �1 � �
�¹ 
(4.22) 
 
 2f�1 - É
� � �. ¦
. 	
 �1 � �
���. 2f�1 - É
���¦
�� Ï �4.11� 
 Š 11 - É
 � �. ¦
 . 	
 Î 11 - É
�� . �1 � �
���¦
�� Ï �4.23� 
 
 
Além disso, 
 ¦
 . �f��
� � 2f�1 - É
� �4.9� Š ¦
 . 1�
 � 11 - É
 �4.24� 
 
 
Do problema de otimização da firma, sabemos que: 
 
37 
 
��
 � Ô� � œ. �868 �4.16� / ¦
 � �1 - œ�. �8É8 �4.17� 
 
 
 
Aplicando (4.17) em (4.24), temos: 
 
 
 �1 - œ�. �
�
 . É
 � 11 - É
 Š É
1 - É
 � �1 - œ�. �
�1 - 1�. �
 Š É
1 - É
 � �1 - œ��1 - 1� �4.25� 
 
 
Note que a equação (4.25) nos mostra que a relação entre trabalho e lazer é constante ao 
longo do tempo. Manipulando (4.25) encontramos que o nível de trabalho ofertado é 
constante. Esse resultado pode ser visto como um ponto fraco do modelo, pois conforme 
os fatos estilizados apresentados na sessão 4.1, vimos que a volatilidade do produto 
agregado é aproximadamente igual à volatilidade do nível de emprego. 
 
Veremos agora a relação entre a volatilidade do investimento agregado e a volatilidade 
do produto agregado. Utilizando as equações 4.16 e 4.22, lembrando que Ô =1, temos: 
 1�
?� � �. 	
 Ú 1�
 . œ. �
6
Û Š F9� �4.19� / �4.20� 
 1�
?� � �. 	
 Ú 1�1 - s�. yÞ . œ. �
1. �
?�Û � �1. �
?� . 	
 Ú œ�1 - s�Û Š 
 
 1�
?� � ��
?� . œ�1 - s� Š 1 � 1 - œ. � �4.26� 
 
Como α I �0,1� e β I �0,1�, temos que s I �0,1�. Por 4.19, temos IÞ � s. yÞ. Assim, 
 €���o
� � €���1. �
� Š €���o
� � 1%. €����
� Š €���o
� ¨ €����
� 
 
Dessa forma, de acordo como o modelo a volatilidade do investimento agregado é 
menor do que a volatilidade do produto agregado. Esse resultado pode ser visto como 
mais um ponto negativo do modelo, uma vez que a análise empírica dos dados sinaliza 
que o produto é mais volátil do que o investimento. 
 
Podemos encontrar o nível de emprego de equilíbrio de forma alternativa. Esse 
resultado pode ser obtido a partir das equações 4.16, 4.17 e 4.26. Lembrando que Ô =1, 
segue que: 
 11 - É
 � �. ¦
 . 	
 Î 1�1 - É
��� . É
���1 - œ�. �
�� �œ. �
���6
�� Ï Š �4.25� / �4.19� 
 
 
38 
 
11 - É
 � �. ¦
 . 	
 Î �1 - œ��1 - 1�. É
�� . É
���1 - œ�. �
�� �œ. �
���1. �
 Ï Š F9� �4.17� 
 11 - É
 � �. �1 - œ�. �
É
 . 	
 Ú œ�1 - 1� . 11. �
Û Š 
 11 - É
 � �. �1 - œ�. œ�1 - 1�. 1. É
 Š F9� �4.26� Š É
1 - É
 � �. �1 - œ�. œœ. � . 1 
 F9� ‡3., É
 � É � �1 - œ��1 - œ. �� � �1 - œ� �4.27� 
 
Mais uma vez, observamos que o modelo resulta em nível de emprego constante ao 
longo do tempo, o que está em desacordo com o que se observa a partir de dados 
empíricos. Isso ocorre, pois apesar da propensão do agente em substituir trabalho 
intertemporalmente, movimentos tanto na tecnologia como no nível de capital agem no 
sentido de compensar os efeitos do salário relativo ou da taxa de juros sobre a oferta de 
emprego. Uma melhora na tecnologia, por exemplo, eleva o salário corrente em relação 
ao salário futuro esperado, aumentando a oferta de trabalho no presente. No entanto, o 
aumento da poupança corrente tende a reduzir a taxa real de juros esperado para o 
futuro, o que por sua vez age no sentido de reduzir a oferta corrente de trabalho. Nesse 
exemplo específico, tais movimentos se cancelam. 
 
4.4 Discutindo o modelo 
 
O modelo desenvolvido na sessão anterior descreve uma economia na qual os choques 
reais são os responsáveis pelos movimentos do produto. Como estamos trabalhando 
com um modelo de equilíbrio geral, movimentos do produto são respostas ótimas aos 
choques. Assim, nos modelos de RBC, as flutuações econômicas não refletem falhas de 
mercado ou rigidez de preço, de forma que intervenções governamentais para 
influenciar os ciclos resultam apenas em redução do bem estar social. 
 
No modelo, o formato especifico das flutuações do produto são determinadas pela 
dinâmica da tecnologia e pelo comportamento do estoque de capital. Em favor de uma 
melhor tratabilidade do ponto de vista analítico, assumiremos a hipótese de que o 
componente tecnológico (q
� descritopor: 
 ›9z �q
� � q � z. 8 � q
â �4.28� 
 q
â � ãŸ. q
?� � äŸ,
 �4.29� 
 
Onde z
 representa a taxa de crescimento da tecnologia, q é o nível médio histórico da 
tecnologia e äŸ,
 é um distúrbio do tipo ruído branco e média zero, sem autocorrelação 
serial. 
 
A função de produção permanece a Cobb-Douglas, �
 � 6
 . �q
. É
��? �4.12�, o que 
implica: 
 ›9z ��
� � œ. ›9z�68� � �1 - œ�. V›9z�q
� � ›9z�É
�W 
 
39 
 
Por 4.19, sabemos que 6
 � 1. �
?�. Além disso, seja o total de trabalho da economia 
dado por „
 � É. J
, onde J
 representa o número total de trabalhadores da economia. A 
lei de movimento do número de trabalhadores é dada por ›9z�J8� � J � 0. 8 �4.30�. Dessa 
forma, temos: 
 ›9z ��
� � œ. ›9z�1� � œ. ›9z��
?�� � �1 - œ�. b›9z�q
� � ›9zCÉE � ›9z�J
�cŠ �4.28�/ �4.30� Š 
 ›9z ��
� � œ. ›9z�1� � œ. ›9z��
?�� � �1 - œ�. Cq � z. 8E � �1 - œ�. q8å� �1 - œ�. V ›9zCÉE � J � 0. 8W 
 
Segundo a hipótese de que qæ
 possui média zero, é possível mostrar que ›9z ��
� 
assume a seguinte trajetória determinística quando o distúrbio qæ
 é zero¹: 
 ›9z��ç
� � œ. ›9z�1� � œ. ›9z��ç
?�� � �1 - œ�. Cq � z. 8E� �1 - œ�. b ›9zCÉE � J � 0. 8c �4.31� 
 
Definindo o desvio em relação ao estado estacionário como �è
 k ›9z ��
� - ›9z��ç
�, 
obtemos: 
 �è
 � œ. �è
?� � �1 - œ�. qæ
 �4.32� 
 
Isolando qæ
 e defasando um período, temos: 
 qæ
?� � 11 - œ ��è
?� - œ. �è
?%� �4.33� 
 
Substituindo 4.29 em 4.32, obtemos: 
 �è
 � œ. �è
?� � �1 - œ�. bãq . q8-1 � äq,8c 
 
Substituindo 4.33 na equação acima. Segue que: 
 
 �è
 � œ. �è
?� � �1 - œ�. éãq. 11 - œ ��è
?� - œ. �è
?%� � äq,8ê Š 
 
 
 �è
 � œ. �è
?� � ãq . ��è
?� - œ. �è
?%� � �1 - œ�. äq,8 Š 
 
 �è
 � Cœ � ãqE. �è
?� - œ. �è
?% � �1 - œ�. äq,8 �4.34� 
 
 
Assim, temos que �è
~qÈ�2�, isto é, o desvio logarítmico do produto em relação a sua 
trajetória determinística segue um processo auto-regressivo de segunda ordem. Além 
disso, a combinação de um coeficiente de primeira ordem positivo com um coeficiente 
de segunda ordem negativo faz com que o produto tenha uma resposta “hump-shaped”¹ 
40 
 
em relação aos choques reais. Essa é uma característica bastante positiva do modelo, 
uma vez que o mesmo comportamento é observado nos dados empíricos. 
 
Em geral, modelos de RBC não podem ser resolvidos de forma analítica como fizemos 
no exemplo acima. Dessa forma, devem ser utilizados métodos numéricos para que o 
modelo seja resolvido. Na segunda parte do curso estudaremos um software que resolve 
de forma bastante simples modelos do tipo DSGE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________ 
¹ Isso que dizer que ›9z �q
� segue sua trajetória determinística 
 
² Em uma tradução livre o termo seria “em forma de corcunda”. Isso quer dizer que caso a economia seja submetida a 
um choque tecnológico positivo, a taxa de crescimento do produto cresce no período inicial, e decai suavemente ao 
longo do tempo. O inverso ocorre no caso de um choque negativo. 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5 – Modelo da Arvore de Lucas e Introdução ao Asset 
Pricing 
 
 
Considere uma economia que possui um único tipo de ativo durável. Existe um grande 
número de indivíduos, que vivem por infinitos períodos, e possuem uma única unidade 
de um ativo (denominado árvore). A quantidade do ativo arvore que o indivíduo possui 
a cada período é denotado por 1
. Como cada indivíduo possui inicialmente uma única 
unidade do ativo (arvore), 1� � 1. O ativo é idêntico para todos os indivíduos, não sofre 
depreciação e produz frutos a cada período denominados dividendos. Os dividendos 
serão denotados por �
, e evoluem de acordo com um determinado processo estocástico 
exógeno. Os frutos são perecíveis, isto é, não podem ser armazenados de um período 
para o outro. A única reserva de valor é o ativo (arvore). Nosso objetivo será precificar 
o ativo (arvore), cujo preço será denotado por F
. Os consumidores possuem 
42 
 
preferências sobre planos de consumo � � ��
��
��� , representadas pela seguinte função 
de utilidade: 
 
±��� � 	� �
 �
. ���
��
�� � �5.1�, �9. � ¢ �0,1� 
 
Estamos assumindo que a função utilidade �: +� * + é tal que: �f w 0, �ff ¨ 0, lim�*� �f��� � ∞ e lim�*� �f��� � 0. 
 
O problema seqüencial do consumidor representativo será escolher um plano de 
consumo � � ��
��
��� , ou alternativamente um plano de poupança em termos de ativo 
(arvore) 1 � �1
����
��� de forma a maximizar a utilidade esperada apresentada em 5.1. 
Analiticamente, temos: 
 
�á� ��� 	0 �
 �8. ���8�∞8�0 � �#(. 1� 
 (. 8. �8 � F
 . 1
�� | �F
 � �
�. 1
 �5.2� �
 , 18 7 0 �5.3� :�:91 10, �0 �
 1/z�/ �. F�9�/119 :/ ���692 
 
A riqueza do agente a cada período de tempo é dada por ¦
 � �F
 � �
�. 1
 �5.4�. A 
riqueza pode ser consumida ou utilizada para adquirir mais unidades do ativo (arvore) 
com entrega para o próximo período. A equação de Bellman do problema associada ao 
problema seqüencial será dada por: 
 €�1, �� � �á� ւí� ����� � �. 	V€�1f, �f�|�W� �#È. 1� 
 (. 8. � � F���. 1f | VF��� � �W. 1 �
 1/z�/ �. F�9�/119 :/ ���692 
 
As variáveis de estado do problema são o nível atual do ativo (arvore) 1 e o nível atual 
do dividendo estocástico (fruto) �. A variável de controle é o nível atual de consumo �, 
ou alternativamente, o nível futuro do ativo (arvore) desejado para o próximo período 1f. Assim, o estado atual do indivíduo será dado pelo par �1, ��. Uma solução para esse 
problema de programação dinâmica é uma função política z: 5xï * 5, tal que para 
cada estado em que se encontra o indivíduo na data atual, tenhamos o nível do ativo 
arvore para o próximo período, isto é, 1f � z�1, ��. O preço do ativo, F���, é uma 
função do nível atual de dividendos (frutos) entregues pelo estoque atual de arvore. 
Assim, F: ï * +�. O indivíduo toma esta função como dada ao resolver o problema 
dinâmico acima exposto. 
 
 
5.1 Conceito de equilíbrio e solução do modelo 
 
 
43 
 
Nesta economia não existe firmas nessa economia. Dessa forma, teremos o seguinte 
conceito de equilíbrio competitivo. 
 
Definição 5.1 (Equilíbrio Competitivo Recursivo): Um equilíbrio competitivo recursivo 
para a economia descrita nesse capítulo é uma coleção de funções {V,g,p}, onde V é 
função valor do problema recursivo, g é função política e p é função preço, tal que: 
 
(i) Dada a função preço p, a função valor V e a função política resolvem o 
problema recursivo de programação dinâmica do consumidor, apresentado 
em (PR.1). 
 
(ii) Os mercados se equilibram z�1, �� � 1, F��� 89:9 F�� �1, �� 
 
Pela condição (ii), temos que 1 � 1f � 1. Assim, pela restrição orçamentária de fluxo, 
temos: 
 � � F���. 1 � VF��� � �W. 1 Š � � � �5.4� 
 
Vemos então que no equilíbrio competitivo recursivo dessa economia, todo o dividendo 
é consumido. Isso acontece, pois como todos os indivíduos dessa economia são 
idênticos, todos desejam estar no mesmo lado do mercado. Dessa forma, todos acabam 
retendo a quantidade que possuem do ativo arvore. Assim, no equilíbrio competitivo 
recursivo dessa economia não existe comercio do ativo arvore. Nosso objetivo agora é 
saber qual é a função de preços que dá suporte a esse equilíbrio com ausência de 
comércio.A condição de primeira ordem associadas ao problema PR.1 é dada por: 
 V1fW : - �f���. F��� � �. 	 ð·€�1f, �f�·1f ñ�ò � 0 �5.5� 
 
Pela condição de envelope (teorema de Benveniste-Sheinkman), sabemos que a 
derivada da função valor em relação à variável de estado será dada por: 
 ·€�1, ��·1 � �f���. VF��� � �W �5.6� 
 
Adiantando um período e substituindo 5.6 em 5.5, temos: 
 �f���. F��� � �. 	V�f��f�. VF��f� � �fW|�W �5.7� 
 
Defina agora a função ó: ï * +, como ó��� k �f���. F��� 
 
Utilizando a condição de equilíbrio de mercados (5.4), juntamente com (5.7) podermos 
reescrever a equação funcional (5.7) como: 
 
 ó��� � �. 	Vó��f� � �f��f�. �f|�W �5.8� 
 
44 
 
Nosso problema agora é resolver a equação funcional (5.8), que é mais simples do que 
resolver a equação de Bellman. Como nem sempre é possível encontrar uma solução 
analítica de fácil tratabilidade, podemos resolver (5.8) utilizando os métodos numéricos 
apresentados no capítulo 2. Como � é conhecida como primitivo do modelo, ao 
encontramos ó, automaticamente obtemos a função F. 
 
 
5.2 Abordagem alternativa via equação de Euller 
 
Podemos trabalhar com a equação de Euller obtida em (5.7) para encontrar a função 
preço. Utilizando a condição (5.4) em (5.7) temos: 
 �f��
�. F
 � �. 	
��f��
���. VF
�� � �
��W� 
 
Ou de forma equivalente, 
 F
 � �. 	
 �f��
����f��
� . VF
�� � �
��WÏ �5.9� 
 
Aproveitando a recursividade de (5.9) podemos substituir iterativamente F
�<�� em F
�<, donde obtemos a seguinte expressão, utilizando a lei das expectativas iteradas¹: 
 
F
 � 	
 ª
 �< �fC�
�<E�f��
� �
�<
ô
<�� « � 	
 Î�ô�� �
f��
���f��
� F
�ô��Ï �5.10� 
 
Assumindo condições de limitação da função utilidade, podemos tomar o limite de 
(5.10) com „ * ∞, o que nos retorna a seguinte solução para a equação em diferenças: 
 
 
F
 � 	
 ª
 �< �fC�
�<E�f��
� �
�<
�
<�� « �5.11� 
 
 
_________ 
¹ De acordo com a lei das expectativas iteradas, temos que: 	
 ¸	
��ˆF
�<‰¹ � 	
ˆF
�<‰ 
 
 
Conforme visto no capitulo 3, a expressão �
�< k �< ~‚C�ÆõE~‚��� �5.12� é uma variável 
aleatória conhecida como fator estocástico de desconto do período t+j. 
 
 
5.3 Mercados de Ativos Contingentes 
 
 
45 
 
Definição 5.2 (Ativo Contingente): Um ativo contingente negociado no presente é um 
ativo que entrega uma unidade do bem de consumo (fruto) no período seguinte, caso 
seja realizado um determinado estado da natureza. 
 
O preço do ativo contingente é o state-price ou pricing Kernel definido no capítulo 3. 
Nesse caso, o preço de estado será denotado por À��f, ��. Esse é o preço no estado � do 
ativo contingente que paga uma unidade do bem de consumo no próximo período caso 
seja realizado o estado �f. 
 
Consideremos agora que o dividendo estocástico �
 é regido pela Cadeia de Markov �ï, Π, n��, onde ï é um espaço de estado finito e a��f, �� � #�9;��
�� � �f|�
 � �� 
denota a probabilidade de transição do estado � para �f. 
 
Definição 5.3 (Ativo seguro ou Ativo livre de risco): É um ativo que paga uma unidade 
do bem de consumo no próximo período em qualquer estado da natureza possível. O 
preço do ativo livre de risco será denotado por F
” e definido como F
” � ∑ À��f, ��‚Iï 
 
Suponha agora que o agente representativo de nossa economia possui uma unidade do 
ativo arvore e que pode participar de um mercado de ativos contingentes a todos os 
possíveis estados da natureza. A quantidade de ativos contingentes a determinado estado 
da natureza futuro �f será dado por …��f�. Dessa forma, o problema do agente, em sua 
formulação recursiva será dado por: 
 
€�1, …, �� � �á� ւí�,÷�‚�í� ����� � �. 
 €�1f, …f, �f�. a��f, ��‚Iï � �#È. 2� 
 (. 8. � � F���. 1f � 
 À��f, ��. …��f�‚Iï | VF��� � �W. 1 � 1. …��� �5.13� 
 
Nesse caso, as funções políticas são dadas por: 
 1f � zÖ�1, …, �� …��f� � z÷�1, …, ��¹ 
 
 
______________ 
¹Note que agora temos uma função política …��f� � z÷�1, ��¹ para cada estado da natureza �f I ï dessa forma, 
temos um vetor … de funções políticas associadas aos ativos contingentes. A dimensão deste vetor é igual ao número 
de estados da natureza distintos. 
Definição 5.4 (Equilíbrio Competitivo Recursivo): Um equilíbrio competitivo recursivo 
para a economia com mercado de ativos contingentes é uma coleção de funções 
{V, zÖ, z÷, p e À},onde V é função valor, zÖ é função política para o ativo (arvore), z÷ é 
função política para cada ativo contingente, p é função preço do ativo (arvore) e q é 
função preço de cada ativo contingente, tal que: 
 
(i) Dadas as funções p e q, as funções políticas zÖ / z÷ resolvem o problema de 
dinâmico dos indivíduos apresentado em (PR.2). 
 
46 
 
(ii) Os mercados se equilibram, isto é, 
 ��� 1f � zÖ�1, …, �� � 1, F��� 89:9 �1, …, �� 
 
 �;� …��f� � z÷�1, …, �� � 0 F��� 89:9 F�� �1, …, �� / 89:9 �f 
 
Assim, temos novamente que � � �. 
 
Da condição de primeira ordem do problema do consumidor em relação a quantidade do 
ativo contingente para um determinado estado da natureza �f, sem perda de 
generalidade, temos: 
 V…��f�W : - �f���. À��f, �� � �. ·€�1f, …f, �f�·…f a��f, �� � 0 �5.14� 
 
Pelo teorema do envelope temos: 
 ·€�1, ��·… � �f��� �5.15� 
 
Adiantando um período e substituindo (5.15) em (5.14), temos 
 �f���. À��f, �� � � . �f��f�. a��f, �� Š 
 À��f, �� � � . �f��f��f��� . a��f, �� �5.16� 
 
A equação (5.16) nos mostra que o preço de estado do ativo contingente depende do 
fator estocástico de desconto e da probabilidade de transição. Assim, o preço do ativo 
livre de risco pode ser encontrado como: 
 F” � 
 À��f, ��‚Iï � 
 � . �
f��f��f��� . a��f, ��‚Iï � 	 Î� . �
f��f��f��� |�Ï �5.17� 
 
Seja ó a função payoff de um ativo que paga ó��f� caso ocorra o estado �f. De posse 
do preço de estado e da função ó, podemos precificar facilmente tal ativo a partir de: 
 
 Fø � 
 À��f, ��‚Iï . ó��f� � 
 � . �
f��f��f��� . a��f, ��‚Iï . ó��f�� 	 Î� . �f��f��f��� . ó��f�|�Ï �5.18� 
 
Em outras palavras, temos que Fø � 	��. ó�. Essa simples formula nos permite 
precificar ativos com fluxos bastante gerais e complexos. 
 
 
5.4 CAPM do Consumo 
47 
 
 
O modelo de determinação do retorno esperado de um ativo a partir do problema 
dinâmico apresentado nas sessões anteriores é conhecido Consuption Capital-Asset 
Pricing Model ou Consumption CAPM, na sigla em inglês. O coeficiente da regressão 
do retorno de certo ativo sobre o crescimento do consumo é conhecido como beta do 
consumo. A principal conclusão que tiramos a partir do CAPM do consumo é que o 
retorno esperado de um ativo arriscado é proporcional ao seu beta do consumo. 
 
Note que a versão original do CAPM assume que os indivíduos possuem preferências 
em relação à média e a variância do retorno de seu portfólio ao invés de preferências 
sobre a média e variância do consumo. Na versão original do CAPM, o coeficiente da 
regressão do retorno do ativo sobre o retorno do portfólio de mercado é conhecido como 
beta de mercado. A conclusão do modelo é de que o excesso de retorno esperado de um 
ativo em relação ativo livre de risco é proporcional ao beta de mercado. 
 
Vamos derivar a equação básica do modelo CAPM do consumo a partir de (5.17). 
 
 F” � 	 Î� . �f��f��f��� |�Ï 
 
Seja o retorno bruto do ativo livre de risco dado por Ȕ � �ùú. Dessa forma, teremos: 
 1Ȕ � 	 Î� . �f��f��f��� |�Ï 
 
Seja o retorno bruto de um ativo arriscado contingente ao estado do próximo período 
denotado por Èø��f, ��. Dessa forma, pela equação (5.18) esse retorno deve satisfazer: 
 1 � 	 � . �f��f��f���