Aposttila Função

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APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
 
UNITAU 
 
 
APOSTILA 
 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES 
 
 
 
PROF. CARLINHOS 
 
 
 
 
 
 
 
NOME: NO: 
 
 
 
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
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FUNÇÃO 
 
 
IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO 
 
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre 
presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de funções: 
 
- O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido; 
- A área de um quadrado é função da medida do seu lado; 
- O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da 
velocidade. 
 
Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em comum: 
 
- A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável 
dependente; 
- Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da 
variável dependente. 
As relações que têm essas características são chamadas de funções. 
 
Exemplos: 
 
1) Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso, 
identifique a variável independente e a dependente. 
a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga. 
Resolução: 
 
b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da chamada. 
Resolução: 
 
2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00 , 
denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado. 
Determine: 
a) A função que representa o preço P de uma corrida em função de x quilômetros 
rodados. 
Resolução: 
 
 
b) O preço de uma corrida de 12 km. 
Resolução: 
 
 
c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
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DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO 
 
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma 
função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um, e somente um, 
elemento y do conjunto B. Indica-se por: 
 
 
Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá apenas uma 
relação (R). Daí, concluímos que toda função é uma relação mas, nem toda relação e 
uma função. 
Observe os exemplos com diagramas: 
As figuras 1, 2 e 3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio 
A tem uma única chegada no conjunto contradomínio B. Chamamos de conjunto 
imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No 
conjunto contradomínio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a 
relação especial é uma função. 
 
 fig.1 fig.2 fig.3 
As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns elementos de 
A têm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B 
e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de A têm várias chegadas em B. A letra R 
acima do diagrama indica ser apenas uma relação. 
 
 fig.4 fig.5 fig.6 
 
Exemplos 
 
1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela 
fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. 
a) Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
b) Se for uma função de A em B, determine o domínio, a imagem e o contra-domínio de 
f. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
2) Seja a função f: definida por f(x) = x2 - 7x + 9. Determine: 
f: A B 
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a) O valor de f(-1) 
Resolução: 
 
 
 
b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
3) Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o 
valor de a. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
4) Dada a função f: definida por f(x) = ax + b, com a e b ℜ∈ . Determine a e b, 
sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL 
 
Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa 
função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente. 
Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, devemos, então, 
considerar como domínio o conjunto de todos os números reais que podem ser 
colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, obtendo, após os 
cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números reais. 
 
Exemplos 
 
1) Encontrar o domínio das funções: 
 
a) f(x) = 3x2 - 4x + 2 b) f(x) = 
42
53
−
−
x
x
 
Resolução: Resolução: 
 
c) f(x) = 44 −x d) f(x) = 
4
33
2
5
−
−
+
+
−
x
x
x
x
 
Resolução: Resolução: 
 
 
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais. 
O sistema de coordenadas ortogonais é composto por: 
- Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo x (abscissas) e a reta 
vertical o eixo y (ordenadas). 
- O cruzamento das duas retas é a origem do sistema. 
- As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. 
 
O gráfico é conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com x∈D e y∈Im. 
Para isso, consideremos os valores do domínio da função o eixo x e as respectivas 
imagens no eixo y. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Construir o gráfico das funções: 
 
a) BA :f → , definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f: definida por f(x) = x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
 
A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre o 
comportamento dessa função, como: 
 
- O domínio e a imagem. 
- Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados. 
- Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante. 
- Os intervalos para os quais a o valor da função é positivo e negativo. 
- O valor máximo ou mínimo que a função atinge. 
- O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função. 
 
Como reconhecer quando um gráfico representa uma função 
 
Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspondência um único y do 
contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos 
retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do 
domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto. 
 
Como determinar o domínio e a imagem da função 
 
- O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo 
x (abscissas) 
- A imagem de uma função é obtida pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo 
y (ordenadas)Exemplo 
 
 
D(f) = } 6 x /1 x{ ≤≤ℜ∈ 
Im(f) = } 5 y 2 / y { ≤≤ℜ∈ 
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Como determinar as raízes ou os zeros de uma função 
 
Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde 
o gráfico encontra o eixo x (abscissas). 
 
Exemplo 
 
 
 
Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante 
 
- Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem, 
temos função crescente. 
- Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem, 
temos função decrescente. 
Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem, 
temos função constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor máximo e Valor mínimo de uma função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os 
zeros da função 
constante 
decrescente 
crescente 
y 
o 
 
x 
y 
o 
 
x 
X1 
 
X2 
 
f(x1) 
 
f(x2) 
 
máximo 
mínimo 
Valor máximo f(x2) 
Valor mínimo f(x1) 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
1) (Unesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se 
anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas 
condições: 
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas. 
resp: 156 – 2,5n 
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de 
lá com menos de 120 kg de peso. resp: 15 semanas 
 
2) (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: 
C = 5(F - 32)/9,onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. 
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. resp: 95 
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número 
de graus centígrados? resp: 160 
 
3) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma 
mercadoria é: resp: b 
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x 
 
4) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir 
R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o 
custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por: 
a) C(n) = 200 000 + 0,50 resp: c 
b) C(n) = 200 000n 
c) C(n) = n/2 + 200 000 
d) C(n) = 200 000 - 0,50n 
e) C(n) = (200 000 + n)/2 
 
5) (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma 
pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. 
Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso: 
resp: a 
a) T = 12,50 (12 - x) 
b) T = 12,50x 
 c) T = 12,50x -12 
d) T = 12,50 (x + 12) 
e) T = 12,50x + 12 
 
6) (Puccamp) Durante um percurso de x km, um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. Se a 
velocidade média desse veículo em movimento é de 60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo, 
em horas, que ele leva para percorrer os x km é: resp: b 
a) (6x + 5)/6 b) (x + 50)/60 c) (6x + 5)/120 d) (x/60) + 50 e) x + (50/6) 
 
7) Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o 
domínio, a imagem e o contradomínio. 
resp: a) R1 é uma função de A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função 
 
 
 
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8) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2} e B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, faça o diagrama das relações abaixo, e 
diga, qual delas é uma função A em B. resp: b 
a) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = x2 – 2 } 
b) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = 2x + 1 } 
 
9) Dado o conjunto A = { -2; -1; 0; 1}, determine o conjunto imagem da função f: A→ℜ definida 
por 
f(x) = 1 – x2. resp: Im = { -3; 0; 1} 
 
10) Seja a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2-10x+8. Calcular: 
 a) f(4) resp: -16 
 b) Os valores de x de modo que f(x)=-1. resp: 1 e 9 
11) Dadas as funções f(x)=
2
1
 x + 1 e g(x) = x2-1, calcule f(6)+g(-2). resp: 7 
12) São dadas as funções f(x)= 3x+1 e g(x)=
5
4
x + a . Sabendo que f(1)-g(1)=
3
2
, calcule o valor de a . 
resp: 38/15 
 
13) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= ax + b, com a, b ∈ℜ, calcule: 
 a) a e b sabendo que f(1)=4 e f(-1)= -2; resp: a=3 e b=1 
 b) f(4). resp: 13 
 
14) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2-x-12, determine a de modo f(a+1) = 0. 
 resp: -4 ou 3 
 
15)Encontrar o domínio das funções: 
a) y=3x+4 resp: D=ℜ b) f(x)=x2-3x+6 resp: D=ℜ c) f(x)=
4
93
+
+
x
x
 resp: D=ℜ-{-4} 
d) f(x) =
84
52
+
+
x
x
+
3
75
+
−
x
x
 resp: D=ℜ-{-3;-2} e) f(x)= 
81
10
2
−
−
x
x
- 
7
35
+
−
x
x
 resp: D=ℜ-{-9;-7;9} 
f) f(x)= 63 −x resp: D={x∈ℜ/ x≥2} g) f(x)=
44
5
+x
 +
4
102
+
−
x
x
 resp: D={x∈ℜ/ x≥5} 
16) Construa os gráficos das funções, e dê o domínio e a imagem: 
 
a) f: A→B, definida por f(x) = x2+1, sendo A={-1,0,1} e B={1,2,3,4} 
b) f: A→B, definida por f(x) = 3x+1, sendo A=[-1,2] e B=[-4;8] 
c) f: A→B, definida por f(x)=-4x, sendo A=]-2,1/2] e B= [-10,5] 
 
 resp: 
 
a) y b) y c) y 
 7 ● ● 8 
 ● 2 ● 
 
 1 ● 
 
 -1 o 1 x -1 0 2 x -2 0 x 
 ● -2 
 -2 ● 
 
D={-1,0,1} e IM={1,2} D=[-1,2] e IM=[-2,7] D=]-2,1/2] IM=[-2,8[ 
 
 
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17) Os gráficos abaixo representam gráficos de funções. 
 
 
a) y b) y c) y 
 
 
 
 o x o x o x 
 
Resp: a, b e c 
 
18). (Ufes) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido 
projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o 
preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 80 ≤≤ t , e esboce o gráfico da função P. 
Resp: 
P(t) = - 1250t + 10000 ( 80 ≤≤ t ) 
 
 
 
19) (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira 
ou (F) se for falsa. 
 O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o 
ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que: 
( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. 
( ) 20 foi o ano de maior lucro. 
( )25 foi um ano deficitário. 
( ) 15 foi um ano de lucro. 
( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 
 
 Resp: F V F F V 
 
 
 
 
 
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20) (Uff) O gráfico da função f está representado na figura: 
 
 
 
Sobre a função f é FALSO afirmar que: 
a) f(1) + f(2) = f(3) 
b) f(2) = f(7) 
c) f(3) = 3f(1) 
d) f(4) - f(3) = f(1) 
e) f(2) + f(3) = f(5) Resp: e 
 
 
 
 
Prof. Carlinhos 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática