aula 05

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Carlos Aurélio Nadal | Curso de Avaliações – aula 05
Curso de Avaliações
Prof. Carlos Aurélio Nadal
cnadal@ufpr.br
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AULA 05
EstatEstatíística stica InferencialInferencial aplicada a aplicada a 
AvaliaAvaliaççõesões
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NBR 14653 – Avaliação de bens
Parte 1: Procedimentos gerais;
Parte 2: Imóveis urbanos;
Parte 3: Imóveis rurais;
Parte 4: Empreendimentos;
Parte 5: Máquinas, equipamentos, instalações e 
bens industriais em geral;
Parte 6: Recursos naturais e ambientais;
Parte 7: Patrimônios históricos.
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Avaliação de bens: Análise técnica, 
realizada por engenheiro de avaliações, para 
identificar o valor de um bem, de seus custos, 
frutos e direitos, assim como determinar 
indicadores da viabilidade de sua utilização 
econômica, para uma determinada finalidade, 
situação e data.
bem tangível: Bem identificado materialmente (por 
exemplo: imóveis, equipamentos, matérias-primas).
bem intangível: Bem não identificado materialmente 
(por exemplo: fundo de comércio, marcas e patentes).
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imóvel: Bem constituído de terreno e
eventuais benfeitorias a ele incorporadas. Pode 
ser classificado como urbano ou rural, em 
função da sua localização, uso ou vocação.
inferência estatística: Parte da ciência 
estatística que permite extrair conclusões sobre 
a população a partir de amostra.
modelo de regressão: Modelo utilizado para 
representar determinado fenômeno, com base 
numa amostra, considerando-se as diversas 
características influenciantes.
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Métodos para identificar o valor de um 
bem, de seus frutos e direitos
Método comparativo direto de dados 
de mercado
Método involutivo
Método da renda
Método evolutivo
Métodos para identificar o custo de um 
imóvel
Método da quantificação do custo
Método comparativo direto de custo
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Planejamento da pesquisa
-amostra de dados de mercado de
imóveis com características semelhantes às do 
avaliando.
- caracterização e delimitação do mercado 
variáveis do modelo
dependente preço total ou unitário
independentes
características físicas ( área, frente)
localização (bairro, logradouro, distância a 
pólo de influência, etc) 
econômicas (oferta ou transação, época e 
condição do negócio – à vista ou a prazo).
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dimensão, frente, profundidade,
topografia, localização,
coeficiente de aproveitamento
uso do solo, 
relação
REGRESSÃO
ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
valor de mercado com base no conhecimento de variáveis 
que o influenciam.
VALOR DE 
UM TERRENO
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180
150
área
1402
1001
R$/m2imóvel
Y
X
Y = a + b X
150
100
180
140
a
i
b = tg i
Se não houvessem erros na 
amostragem, ou em um 
mercado perfeito
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Tem-se o seguinte sistema de equações:
140 = a + b x 180 
100 = a + b x 150
Resolvendo obtém-se:
a = -100 (intercepto)
b = 1,333 (declividade) i = arc tg 1,33 i = 53,06º
MODELO MATEMÁTICO ADOTADO
VALOR = -100 + 1,333 X ÁREA DO IMÓVEL
Ex.: Um imóvel cuja área seja 200 m2 será avaliado por
Valor = R$ 166,60/m2
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500,00
550,00
600,00
650,00
700,00
750,00
800,00
850,00
900,00
950,00
1000,00
130 132 134 136 138 140
área dos imóveis
al
ug
ue
l
Regressão linear (qual a reta que deve ser usada? )
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Uma primeira forma é ajustar uma reta horizontal de 
valor igual à média dos valores da variável 
dependente y, que é uma reta de regressão com 
b=0.
>Esse critério não necessita de regressão, 
entretanto, será uma referência útil para medir o 
grau de explicação da reta de regressão.
Outra forma é ajustar uma reta que divida os pontos 
observados de forma que a soma dos desvios seja 
nula. 
>Entretanto, como há muitas retas que cumprem 
com essa condição, esse critério não poderá ser 
utilizado.
Outra forma é ajustar uma reta de forma que 
minimize a soma dos quadrados dos desvios, 
lembrando a definição de variância.
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xxi
y
yi
ŷi ŷi = a + bx
di =yi - ŷi
Para cada valor de xi há uma diferença entre o valor
Amostrado yi e o valor projetado ŷi
RESÍDUO OU
DESVIO di
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Verdadeiro valor de Y só é possível no caso de 
população conhecida assim a equação é escrita para 
uma amostra:
onde: 
ε = resíduo da regressão
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS: (GAUSS)
(SOMATÓRIO DOS QUADRADOS DOS RESÍDUOS 
É MÍNIMO)
∑ v ² = min
Y = a + b X + v
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Y
X
observações
Y = a + b X
ε1 ε2
ε3
ε4
ε5
ε6
X1
Y1
X6
Y6
MODELO AJUSTADO
Y^ = a + b X + v
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∑ (Y - Y^) ² = ∑ v ² = min
Para determinar-se a condição de mínimo tem-se:
F = ∑ v2 = ∑(Y^ - a - b X )2
∂F = 0 e ∂ F = 0
∂a ∂ b
F = (y1 – a – b x1) 2 +(y2 – a – b x2) 2+ .... + (yn – a – b xn) 2
Tem-se como resultado o sistema de equações (duas 
equações a duas incógnitas):
∑ Y = a n + b ∑X
∑ XY = a ∑X + b ∑X ²
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∑ Y = a n + b ∑X
∑ XY = a ∑X + b ∑X ²
Resolvendo o sistema:
a = [( ∑X ²)( ∑Y) - ( ∑X)( ∑XY)]
n( ∑X ²) -( ∑X) ²
b = n( ∑X Y) - ( ∑X)( ∑Y)
n( ∑X ²) -( ∑X) ²
Sistemas de equações normais:
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Simplificações: x = X - X
y = Y - Y
a = Y + b X b = ∑XY
∑X ²
Covariância de X em Y
Variância de X
b = SXY
SXX
SXY = ∑XY - (∑X ∑.Y)
n
SXX = ∑X ² - (∑X) ²
n
SYY = ∑Y ² - (∑Y) ²
n
X = média de X
Y = média de Y
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VANTAGENS DO AJUSTE PELO 
MÉTODO MÍNIMOS DOS QUADRADOS 
> Obtém as melhores estimativas.
> Onera os desvios maiores, fato desejável 
que evita grandes desvios.
>Permite realizar testes de significância na 
equação de regressão.
>A reta de regressão passa pelo ponto 
formado pelos valores das médias das duas 
amostras.
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REGRESSÕES NÃO LINEARES
a) Função logarítmica Transformada linear
b) Função exponencial
c) Função potencial
eY = ea + Xb
Y = a bX
Y = a Xb
Y = a + b ln X
ln Y = ln a + X ln b
ln Y = ln a + b ln X
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Regressão linear Y = a + bx
∑XY - ∑X ∑Y/n
b = ———————
∑X2 - (∑X)2/n
∑Y ∑X 
a = —— - b ———
n n
[∑XY - ∑X ∑Y/n] 2
r2 = ——————————————
[∑X2 - (∑X)2/n] [∑Y2 - (∑Y)2/n]
UFPR – Curso de Engenharia Cartográfica
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Regressão logarítmica
Y = a + b ln x
∑Y ln X - (∑ ln X ∑Y )/n
b = ———————————
∑(ln X)2 - (∑ ln X)2/n
∑Y ∑ ln X 
a = —— - b ————
n n
[∑ ln X Y - (∑ ln X ∑Y)/n] 2
r2 = —————————————————
[∑ ln X2 - (∑ ln X)2/n] [∑Y2 - (∑Y)2/n]
UFPR – Curso de Engenharia Cartográfica
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Regressão exponencial
Y = a + ebX
∑X ln Y - (∑X ∑ lnY )/n
b = ———————————
∑X2 - (∑X)2/n
∑ ln Y ∑ X 
a = exp[ ——— - b —— ]
n n
[∑X ln Y - (∑X ∑ ln Y)/n] 2
r2 = —————————————————
[∑X2 - (∑X)2/n] [∑(ln Y)2 - (∑ ln Y)2/n]
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Curva de Potência Y = a X
b
∑ lnX ln Y - (∑ lnX ∑ lnY )/n
b = —————————————
∑( ln X)2 - (∑ ln X)2/n
∑ ln Y ∑ ln X 
a = exp[ ——— - b ——— ]
n n
[∑ ln X ln Y - (∑ ln X ∑ ln Y)/n] 2
r2 = ————————————————————
[∑ ln X2 - (∑ ln X)2/n] [∑(ln Y)2 - (∑ ln Y)2/n]
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Traduz numericamente quanto as variáveis estão relacionadas
-1 ≤ r ≤ 1
Se r > 0 as variáveis variam no mesmo sentido
r = 0.............nula
0 < r ≤ 0,30.....fraca
0,30 ≤ r ≤0,60.... Média
0,60 ≤ r ≤ 0,90...forte
0,90 ≤ r ≤ 0,99 ...fortíssima
r = 1 ... perfeita
r = SXY
(SXX SYY)0,5
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COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
0 ≤ r2 ≤ 1
r 2 = ∑(Y^ - Y)
∑.(Y - Y)2
Y^= variável estimada - explicada
Y = média da variável explicada
Y = variável explicada
Traduz numericamente o percentual da variável que está
sendo explicitada pela equação ajustada de regressão
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Erro Padrão da 
Estimativa
Ao ajustar uma reta, espera-se que ela explique o grupo de valores 
amostrados. 
Embora a reta de regressão tenha sido obtida minimizando a soma dos 
quadrados dos desvios, sempre haverá uma variabilidade dos dados ao 
redor da reta, exceto se os dados fizerem parte da própria reta de 
regressão. 
O desvio padrão dos dados ao redor da reta de regressão é
denominado erro padrão da estimativa Se cuja medida é obtida da 
variância com (n-2) graus de liberdade definida com a fórmula, onde
SSE mede a parte não explicada pela regressão:
> O conceito do erro padrão da estimativa é equivalente ao do 
desvio padrão que mede a variabilidade dos valores da 
amostra ao redor da média aritmética desses valores.
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)ˆ(
1
2
−=−
−
=
∑
=
n
SSE
n
yy
S
n
i
ii
e
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ANÁLISE DE VARIÂNCIA
a) TESTE DA SIGNIFICÂNCIA DO MODELO DE MELHOR
AJUSTE.
‘HIPÓTESE BÁSICA b=0 não existe regressão de Y em X
Nível rigoroso 5% Nível rigoroso especial 1% 
Distribuição F de Fischer-Snedecor
Fcalc = ∑(Y^ - Y) 2 : K
∑.(Y - Y)2 (n-K-1)
K = número de variáveis independentes 
n = número de dados da amostra
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Fcalc > Ftab aceita-se a hipótese de que há regressão
Fcal < Ftab rejeita-se a hipótese básica
CONFIABILIDADE DO MODELO
C = 100% - d
d = significância (incerteza) correspondente a Ftab
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b) TESTE DE HIPÓTESE PARA O REGRESSOR b
Se b = 0 o valor de Y está sendo determinado por a
a variável X não é importante na formação de Y
HIPÓTESE BÁSICA: b≠ 0 X tem um nível de significância
de importância na formação de Y
10% de incerteza nos testes unicaudais e 5% nos bicaudais
T = b/SB Sb = S
SXX
S = { ∑(Y-Y^) ²/ n- 2} 0,5
Tcalc > Ttab b ≠ 0 a um
nível de incerteza 
correspondente ao Tcalc
Tcalc < Ttab b não é diferente
de zero
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c) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA Y
Campo de arbítrio do Engenheiro de Avaliações 80% NB502/89
Limite inferior = Y^ - Tδ/2(n-k-1) S [1/n + x a 2 /SXX] 0,5
Limite superior = Y^ + Tδ/2(n-k-1) S [1/n + x a 2 /SXX] 0,5
T = coeficiente de Student
δ = significância exigida pela norma NB 502/89
S = erro padrão da regressão
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0≤r≤0,30 correlação fraca
Fcal > Ftab há correlação
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K
n-K-1
K=1 para regressão linear
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Teste do regressor b≠0
S
Sb= 
SXX
S² = ∑ (Y-Y^)² /√(n-2)
S = 116,1614753 Sb = 0,646876432
tcal= b/Sb tcal=6,904
Na distribuição t de Student
Para 95% de confiança α=0,05 gl =10-1-1=8
ttab=3,30 
Como tcal > ttab aceita-se b≠0
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Intervalo de confiança
Limite inferior li= b – tα,n-k-1 Sb
Limite superior ls= b + tα,n-k-1 Sb
li = 4,466 – 2,306 x 0,6468 = 2,974
ls = 4,466 + 2,203 x 0,6468 = 5,958
b encontra-se dentro do intervalo com 95% de
confiança