Exercícios de limites - 2

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1 
 
 
 
 
Lista de Exercícios de Calculo I – Limites e Continuidade
 
1) O gráfico a seguir representa uma função f de 
]9 ,6[ em  . Determine: 
 
 
a) )2(f b) )(lim
2
xf
x 
 c) )(lim
2
xf
x 
 
 
d) )(lim
2
xf
x
 e) )2(f f) )7(f 
 
2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura 
constante. A medida que o gás é comprimido, o 
volume V decresce até que atinja uma certa 
pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás 
assume forma líquida. Observando a figura a 
seguir, determine: 
 
a) V
p 100
lim b) V
p 100
lim c) V
p 100
lim

 
 
 
 
 
 
3) Dada a função f definida por: 









1,2
1,2
1,4
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf . 
 
Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x 
tende a 1. 
 
 
4) Um paciente em um hospital recebe uma dose 
inicial de 200 miligramas de um medicamento. A 
cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. 
A quantidade f(t) do medicamento presente na 
corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a 
seguir. Determine e interprete: 
 
a) )(lim
8
tf
t 
 b) )(lim
8
tf
p 
 
 
 
 
 
5) O gráfico a seguir representa uma função f de 
[4 ,3[ em  . Determine: 
2 
 
 
 
 
a) )1(f b) )(lim
1
xf
x 
 c) )(lim
1
xf
x 
 
 
6) Calcule o limite, se existir: 
 
a) )15(lim 23
1


xxx
x
 
 
b) )342(lim 23
1


xxx
x
 
 
c) )1x2x2x4(lim 23
2x


 
 
d) 
5x
4x5x
lim
2
2
3x 


 
 
e) 
2x
10x7x
lim
2
2x 


 
 
f) 
3x
3x2x
lim
2
3x 


 
 
g) 
xx
x2x5xx3
lim
2
234
0x 


 
 
h) 
1x2x
3x4x
lim
5
3
1x 


 
 
i) 
6x
36x
lim
2
6x 


 
 
 
j) 
2x3x
1x
lim
2
2
1x 


 
 
k) 
2x
32x
lim
5
2x 


 
 
l) 
27x54x36x10x
27x18x8x
lim
234
234
3x 


 
 
m) 
4x2
2x
lim
2x 


 
 
n) 
2x
4x
lim
4x 


 
 
o) 
x42
x
lim
0x 
 
 
p) 
x22
x
lim
0x 
 
 
q) 
1x
x32
lim
1x 


 
 
r) 
11x
x
lim
0x 
 
 
s) 
2x
3x21
lim
4x 


 
 
t) 
11x5x3
22x3x2
lim
2
2
2x 


 
 
7) Calcule os limites laterais, se existir: 
 
a) 
h
hh
h
554
lim
2
0


 
b) 
2
2
)3(lim
2 


 x
x
x
x
 
3 
 
c) 
2
2
)3(lim
2 


 x
x
x
x
 
 
 
8) Calcule os limites no infinito, se existir: 
 
a) 
43
3
lim
2
2


 x
xx
x
 
b) 
35
23
lim
2 

 x
x
x
 
c) 
62
3
lim
2 

 x
x
x
 
d) 
x
x
x 

 2
34
lim 
e) xx
x


1lim 2 
f) xxx
x


2lim 
g) 
xx
1
lim

 
h) 
xx
1
2lim 

 
i) 4lim
2 

xx
x
 
j) 
x
x
e

lim 
k) 
2
2
1lim 






 xx
 
l) 
3
1
1lim 






 xx
 
m) 











x
x
e
1
3lim 
n)  1lnlim 2 

x
x
 
o)  1lnlim 2 

x
x
 
p) 1lim
2 

xx
x
 
 
9) Se 74)(94 2  xxxfx para 0x , 
encontre )(lim 4 xfx . 
10) Se 2)(2 24  xxxgx para todo x , 
encontre )(lim 1 xgx . 
 
11) Encontre as assíntotas verticais e horizontais 
das funções abaixo: 
a) 
1
1


x
y 
b) 
1
12
2
2



x
xx
y 
c) 
3
4



x
x
y 
d) 
12 

x
x
y 
 
12) Calcule o limite: 
 
a) x
x
2lim

 g) x
x
3loglim

 
b) 
x
x






 3
1
lim h) x
x
3
0
loglim

 
c) 
x
x






 3
1
lim
0
 i) x
x
lnlim

 
d) 14
1
2lim 

x
x
 j) x
x
2lnlim
0
 
e) senx
x
2lim
6


 k) x
x
2
1loglim

 
f) 12
224
1
3
35
3lim 


xx
xxx
x
 l) x
x
2
1
0
loglim

 
 
13) Mostre que: 
a) 
12
4
0
)31(lim ex x
x


 
b) 
2x
1
0x
e)x21(lim 

 
c) 33
1
x
1
0x
ee
3
x
1lim 







 
d) 7
4
x
1
0x
e
7
x4
1lim 







 
e) 
e
1
e)x1(lim 1x
1
0x
 

 
f) π
1
x
1
0x
e
π
x
1lim 







 
 
14) Calcule os seguintes limites: 
a) 
2
 n
1
1 lim









n
n
 
4 
 
b) 
n
3
1 lim
 
n
n








 
c) 
x1
x
 lim
 
x
x







 
d) 
x
5
1 lim
1
 









x
x
 
e)  
xsen
xsen
x
1
 1 lim
 

 
 
 
15) Calcule os limites abaixo: 
 
a) 
 
 
 x 1
ln 2 x
lim Fazer x+ 1 = u
x+1

 
b) 
 
 
 x 2
ln 3 x
lim Fazer x+ 2 = u
x+2

 
c) 
x
 x 0
2 1
lim 
x

 
d) 
senx
 x 0
e 1
lim 
senx

 
e) 
 2
 x 0
ln 1 x
lim 
x

 
f) 
3
 x 1
ln x
lim 
x 1 
 
g) 
 cossec x
 x 0
lim 1+senx 
 ( Fazer sen x = u)
 
h) 
1
x 4
 x 4
1+x
lim 
5


 
 
 
 
i) 
x
x x 0
10 1
lim 
5 1


 
(dividir por x Num. e Den.) 
j) 
x
 x
2
lim 1+ 
x
 
 
 
 
 
16) Seja 







2 ,
2
2 ,3
)(
x
x
xx
xf . 
a) Determine )(lim e )(lim
22
xfxf
xx  
 
b) Existe )(lim
2
xf
x 
? Se existe, qual é? Se não, por 
quê? 
c) Determine )(lim
4
xf
x 
 e )(lim
4
xf
x 
. 
d) Existe )(lim
4
xf
x 
? Se existe, qual é? Se não, por 
quê? 
 
17) Determine o limite das funções 
trigonométricas, se existirem: 
 
a) 
xx
1
coslim

 
b) 


 cos
lim
0
 
c) 
x
x
x 5
sen 
lim
0
 
d) 













2
cos
lim
2

x
x
x
 
e) 


 

 x
x
x
sen sen 
lim 
f) 
20 2
)cos1(sen 
lim
x
xx
x


 
g) 
tt 2
(3t)sen 
lim
0
 
h) 
)(3sen 
)(2sen 
lim
0 x
x
x
 
i) 
x
x
x
)( sen
lim
2
0
 
j) 
x
x
x
)( tg
lim
2
0
 
k) 
  t
t
t
)(sen 
lim 
 
18) Ache os limites )(lim xf
ax 
, )(lim xf
ax 
 e 
)(lim xf
ax
, caso existam. 
 
a) 4 ;
4
4
)( 


 a
x
x
xf 
b) 5 ;
5
5
)( 


 a
x
x
xf 
c) 8 ;
8
1
)( 

 a
x
xf 
 
 
5 
 
19) Para a função representada graficamente na 
Figura a seguir, determine, se existir, cada item 
abaixo. Caso não exista, justifique. 
 
 f(-5) i)h)f(0) f(4) g)
 )(limf) )(lim e) )(lim d)
 )(limc) )(lim b) )(lim)
444x000
-
xfxfxf
xfxfxfa
xx
xxx




 
 
 
20) Calcule os seguintes limites laterais: 
 
 
9
lim)f 
36
6
lim)e 
4
2
lim)
 
4
lim)c 
2
lim)b 
4
2
lim)
2
3
2
6
2
2
42
2
2










x
x
x
x
x
x
d
x
x
x
x
x
x
a
xxx
xxx
 
21) Seja 










2 se ,2
21 se ,1
10 se ,1
)(
2
x
x
xx
xf 
a) Quais são o domínio e a imagem de f ? 
b) Em que pontos c existe )(lim xf
cx
? 
c) Em quais pontos existe apenas o limite à 
esquerda? 
d) Em quais pontos existe apenas o limite à direita? 
 
22) Calcule 
 
a) )1x2x3x5(lim
23
x


 
b) )1x2xx2(lim
245
x


 
c) )1x2x3(lim
24
x


 
d) )8x5x3(lim
24
x


 
e) )2x3x5(lim
3
x


 
f) )2x3x(lim
2
x


 
g) 
3xx
1xx3x2
lim
2
23
x 


 
 
h) 
1x
1x2
lim
2
2
x 


 
i) 
3x
x3
lim
2x 
 
j) 
3xx5x9
1x2x5x3
lim
23
23
x 


 
k) 
7x8x4
8x5x2
lim
5
23
x 


 
l) 
7x
1x2x5
lim
23
x 


 
m) 
33
2
x x)1x(
1xx
lim



 
n) 
)1x4)(1x3(x2
)2x3(
lim
3
x 


 
o) 
1x
1xx
lim
2
x 


 
p) 
1x
1xx
lim
2
x 


 
q) 
1x
5x3x2
lim
4
2
x 


 
r) 
1x
5x3x2
lim
4
2
x 


 
 
23) Responda: 
a) Do gráfico de f mostrado abaixo, diga os 
números nos quais f é descontínua e explique por 
quê. 
b) Para cada um dos números indicados na parte 
(a), determine se f é contínua à direita ou à 
esquerda, ou nenhum deles. 
 
 
 
6 
 
24) Esboce o gráfico de uma função que é contínua 
em toda parte, exceto em 3x e é contínua à 
esquerda em 3x . 
 
25) Esboce o gráfico de uma função que tenha 
descontinuidade de salto em 2x e um 
descontinuidade removível em 4x , mas seja 
contínua no restante. 
 
26) Se f e g forem contínuas, com 5)3( f e 
4)]()(2[lim
3


xgxf
x
, encontre )3(g . 
 
27) Use a definição de continuidade e propriedades 
dos limites para demonstrar que cada uma das 
funções abaixo é contínua em um dado número a. 
 
a) 4 ,7)( 2  axxxf 
b) 1 ,)2()( 43  axxxf 
c) 1 ,
1
32
)(
3
2



 a
x
xx
xf 
 
28) Explique por que a função é descontínua no 
número dado a. Esboce o gráfico da função. 
 
a) 2 ,2ln)(  axxf 
b) 1 ,
1 se ,2
1 se ,
1
1
)( 






 a
x
x
xxf 
c) 0 ,
0 se ,
0 se ,
)(
2







 a
xx
xe
xf
x
 
d) 1 ,
1 se ,1
1 se ,
1)( 2
2










 a
x
x
x
xx
xf 
e) 0 ,
0 se ,1
0 se ,0
0 se ,cos
)(
2









 a
xx
x
xx
xf 
 
29) Para quais valores da constante c a função f 
é contínua em ),(  ? 







2 se ,
2 se ,2
)(
3
2
xcxx
xxcx
xf 
 
30) Encontre os valores de a e b que tornam f
contínua em toda parte. 














3 se ,2
32 se ,3
2 se ,
2
4
)( 2
2
xbax
xbxax
x
x
x
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Respostas 
 
1) a) 3 b) 2 c) 5 d) não existe e) 0 f) 0 
 
2) a) 0,8 b) 0,4 c) não existe 
 
3) 
 
3)(lim
1


xf
x
 
 
4) a) 150 b) 250 
 
5) a) 4 b) -2 c) 4 
 
6) a) 8 b) 4 c) -5-6 2 d) 5 
e) -3 f) -6 g) -2 h) -1/3 
i) 12 j) -2 k) 80 l) 2 
m) 0 n) 4 o) 4 p) 2 2 
 q) -1/4 r) 2 s) 4/ 3 t) 5/ 14 
 
7) a) 
5
2
 b) 1 c) -1 
 
8) a)1/3 b)0 c)0 d) 2 e)0 
f) 1 g) 0 h)2 i) + j) 0 
k)1 l) 1 m) 4 n) + o) + 
p) 0 
 
9) 7 10) 2 
 
 
 
 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
d) Verticais: x = 1 e x = -1 
 
 
12) a)  b)  c) 1 d) 8 
e) 2 f) 6 g)  h)  
i)  j)  k)  l)  
 
14) a) e b) e3 c) e-1 d) e5 e) e 
 
15) a) 1 b) 1 c) 1/ e2log d) 1 e) 2 
f) 3 g) e h) 5 e i) 1/ 5log 
j) e2 
 
16) a) 2)(lim
2


xf
x
 e 1)(lim
2


xf
x
 
b) Não existe )(lim
2
xf
x
, pois os limites 
laterais são diferentes 
c) 3)(lim
4


xf
x
 e 3)(lim
4


xf
x
 
d) 3)(lim
4


xf
x
, pois os limites laterais são 
iguais. 
 
17) a) 1 b) 0 c) 1/5 d) 1 e)-1 
 f) 0 g) 3/2 h) 2/3 i) 0 j) 0 
 k) -1 
 
18) a) 1)(lim
4


xf
x
, 1)(lim
4


xf
x
 e )(lim
4
xf
x
 
b) 1)(lim
5


xf
x
, 1)(lim
5


xf
x
 e )(lim
5
xf
x 
 
c) 

)(lim
8
xf
x
, 

)(lim
8
xf
x
 e )(lim
8
xf
x
 
 
19) a) +  b) -  c) não existe 
d) -  e) -  f) não existe 
g) não existe h) não existe 
i) não existe j) não existe 
 
20) a) - b)  c) - 
d)  e)  f)  
 
21) a) D(f) = [0,2] e Im(f) = [0,1] U{ 2} 
b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2 
c) c = 2 
d) c = 0 
 
22) a)  b)  c)  d)  
e)  f)  g)  h)2 
i) 0 j)1/3 k)0 l)  
m) 1/3 n) 9/8 o)1 p) 1 
q) 2 r) 2 
 
24) 
 
26) g(3) = 6 
 
28) a) c) 
 
e) 
 
 
29) c = 2/3 30) a = b = 1/2