2ª Lista de exercícios Estatística

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2ª Lista de exercícios
1) Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas entradas R$15. O filho vai pedir para comer pipoca com probabilidade 0,7 e alem disso, pode pedir bala com probabilidade 0,9. Esses pedidos são atendidos pelo pai com probabilidade 0,5 independentemente um do outro. Se a pipoca custa R$2 e a bala R$3, estude probabilisticamente o gasto efetuado com a ida ao cinema. 
Resposta:
	X
	15
	17
	18
	20
	P(X=x)
	0,3575
	0,1925
	0,2925
	0,1575
2) Um equipamento consiste de duas peças A e B que tem 0,10 e 0,15 de probabilidade de serem de qualidade inferior. Um operário escolhe ao acaso uma peça do tipo A e uma do tipo B para construir o equipamento. Na passagem pelo controle de qualidade o equipamento vai ser classificado. Será considerado como nível I se as peças A e B forem de qualidade inferior, nível II se uma delas for de qualidade inferior e nível III no outro caso. O lucro na venda é de R$10, R$20 ou $30 para os nivei I, II e III, respectivamente.
a) Como se comporta a variável lucro? 
Resposta:
	X
	10
	20
	30
	P(X=x)
	0,015
	0,22
	0,765
b) Para dois equipamentos vendidos obtenha a distribuição de probabilidade do lucro. 
Resposta:
	X
	20
	30
	40
	50
	60
	P(X=x)
	0,0002
	0,0066
	0,0714
	0,3366
	0,5852
c) Nesse caso qual seria a probabilidade de pelo menos R$30 de lucro? 
R: 0,9998
3) O tempo de duração de uma lâmpada em horas segue o seguinte modelo probabilístico
	X
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	P(X=x)
	0,1
	0,1
	0,2
	0,4
	0,1
	0,1
Cada lâmpada custa ao fabricante R$10, mas se sua duração for inferior a 6 horas ele se compromete a indenizar o comprador com R$15. Qual deve ser o preço de cada lâmpada para o fabricante obter um lucro médio por lâmpada de R$20? 
R: R$31,5
4) Um vendedor de cachorro quente trabalha na porta do Parque do sabiá em dias de jogo. Ele pode deixar preparado 5, 6 ou 7 dízias de sanduíches, que custam a ele R$5 a dúzia. Sabe-se que a procura de cachorro quente (X) no seu ponto é uma variável aleatória com a seguinte distribuição:
	X
	4
	5
	6
	7
	P(X=x)
	0,2
	0,3
	0,3
	0,2
Sabe-se que a dúzia de sanduíche é vendida a R$12 e os sanduíches não vendidos vão para um canil que paga R$2 pela dúzia. Qual é o numero de dúzias de sanduíches que ele deve deixar preparado de modo a maximizar o lucro médio?
R: 6 dúzias pois o lucro médio é R$35,00 sendo o maior lucro possível.
5) Suponha que a demanda por uma certa peça numa loja de autopeças é modelado pela seguinte distribuição:
 
 xi = 1,2,3,4
Encontre o valor de a. R: a = 1/6
Calcule a demanda esperada R: e(x) = 2,11
Calcule a variância da demanda R: var(x) = 0,99
6) Duas moedas estão sobre a mesa, uma delas tem duas caras e a outra tem probabilidade igual de cara e coroa. Sorteamos ao acaso uma dessas moedas e lançamos duas vezes. Seja x a variável aleatória que conta o numero de caras nesses dois lançamentos. Qual é a media e variância de x? R: E(x) =1,5 var(x) = 0,5
7) Uma vacina contra a gripe tem eficiência em 70% dos casos. Sorteamos ao acaso 10 dos pacientes vacinados e pergunta-se a probabilidade de obter:
Pelo menos 8 imunizados R: 0,3827
No máximo 4 imunizados R: 0,0473
Entre 3 e 5 imunizados (inclusive). R: 0,2082
A esperança e variância de imunizados. R; E(x)=7 var(x)=2,1
8) Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo o modelo de poisson com taxa de 1 por minuto. 
Determine a probabilidade de acontecer 3 chegadas em um minuto qualquer do horário de pico. R: 0,0613
Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual é a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato? R:0,0803 
Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto, enquanto que a capacidade de atendimento poderá ser no máximo ampliada em 50%. Como ficará a probabilidade de espera por atendimento?
 R: 0,1429
9) Utilizando a expressão da distribuição de poisson, prove que: 
10) suponha que em um rio, 1% dos peixes são da espécie lambarí. Supondo que a cada batida de rede são retirados 2000 peixes do rio, calcule a probabilidade de, em uma batida:
ter exatamente 18 da espécie lambari R: aproximadamente 0,084
ter entre 18 e 20 da espécie lambari R aproximadamente 0,26
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