A MATEMÁTICA NA HISTÓRIA DA MINHA VIDA UA 03

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MATEMÁTICA 
Unidade de Aprendizagem 3 
 
Operações básicas com Conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao final da Unidade você deverá ser capaz de formar 
novos conjuntos a partir das operações de 
Intersecção, União, Complementação, Diferença e 
Diferença simétrica de conjuntos. 
 
Abstração dos elementos e conceitos relacionados 
às operações com conjuntos a serem utilizadas na 
descrição de fenômenos e na solução de 
determinadas situações-problema. 
 
Aplicar adequadamente as operações com 
conjuntos na resolução de situações-problema. 
Usar corretamente a linguagem pertinente a essa 
teoria na descrição de fenômenos e resolução de 
problemas. 
 
 
 
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Operações básicas com Conjuntos 
 
Apresentação 
Nas Unidades de Aprendizagem 01 e 02 você teve contato com a teoria 
dos Conjuntos e pôde perceber que ela facilita o entendimento de situações-
problema. Nesta Unidade você vai avançar um pouco mais neste estudo, tendo 
contato com as operações básicas com conjuntos. Estas operações são 
importantes quando um problema envolve dois ou mais subconjuntos do mesmo 
Universo se inter-relacionando. Todas as ideias e todas as representações 
estudadas nas unidades anteriores, simbólicas e gráficas, serão importantes aqui. 
Você vai estudar: Intersecção, União, Complementação, Diferença e Diferença 
Simétrica de conjuntos, bem como reconhecer as propriedades destas operações. 
 
Para começar 
A Matemática é uma ferramenta importante que ajuda a representar e 
solucionar muitas situações na vida profissional além de auxiliar na tomada de 
decisões. Nas Unidades de Aprendizagem anteriores você teve contato com 
exemplos por meio dos quais pôde constatar essa afirmação, usando algum 
conhecimento de conjuntos. Utilizando todas as ideias estudadas até agora e 
mais algumas operações possíveis entre conjuntos que veremos nessa Unidade 
de Aprendizagem, você compreenderá que os caminhos para se estruturar e 
resolver determinados problemas ficam mais simples e interessantes. 
Muitas empresas, por exemplo, apoiam a melhoria da qualificação 
 
 
3 
profissional dos seus colaboradores. Com base em um diagnóstico do perfil de 
seus colaboradores, ações podem ser desenvolvidas no sentido de incentivar o 
aperfeiçoamento profissional e a melhoria da prestação de serviços da empresa, 
tendo em vista o cumprimento de objetivos e metas estabelecidas. 
Nesse contexto, suponha que o setor de Gestão de Pessoal de uma 
empresa tenha obtido, depois de uma pesquisa com 50 colaboradores, as 
seguintes informações relativas ao conhecimento das línguas estrangeiras Inglês 
e Espanhol: 
 
 
Total de colaboradores: 50 
 
Gênero: 
Feminino: 25 
Masculino: 25 
 
Fluência em Inglês: 20 
Fluência em Espanhol: 25 
Fluência em Inglês e em Espanhol: 10 
 
 
 
Dados como esses podem subsidiar o gestor na elaboração de um 
planejamento para aprimoramento de sua equipe em relação à língua 
estrangeira. Uma medida, por exemplo, pode ser o oferecimento de bolsas de 
estudos em determinada língua àqueles que não a dominam fluentemente. 
Contudo, o gestor precisa saber exatamente, dentre os 50 colaboradores: 
 
 
 
 
 
 
 
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Quantos são fluentes em Inglês e não são fluentes em Espanhol? 
Quantos são fluentes em Espanhol e não são fluentes em Inglês? 
Quantos são fluentes nos dois idiomas? 
Quantos não são fluentes nos dois idiomas? 
 
 
Antes de prosseguir a leitura, pense em responder a essas questões a 
partir das informações disponibilizadas ao gestor. Anote o seu raciocínio. 
Bem, você deve ter percebido que não é um bom caminho somar os 
valores 20, 25 e 10. “A conta não fecha”, não resulta 50, que é o total de pessoas, 
não é mesmo? Por que essa soma de valores não deu certo? 
Observe que uma informação dada é que 
 
20 colaboradores possuem fluência em Inglês. 
 
Essa afirmação considera todos os que falam Inglês e inclui aqueles que 
falam outro idioma além de Inglês. Seria diferente se a informação fosse: 
 
20 colaboradores possuem fluência apenas em Inglês. 
 
Nesse último caso, estaria explícito que nenhum deles teria conhecimento 
de outro idioma estrangeiro, apenas de Inglês. A mesma ideia vale para a 
informação sobre o número de colaboradores que possuem fluência em Espanhol. 
Por isso, ao somar os valores 20, 25 e 10, você contará duas vezes algumas 
pessoas (aquelas que têm fluência em mais de um idioma). 
É possível resolver o problema do gestor utilizando algum raciocínio e 
cálculos. Porém, vale a pena aplicar aqui o pensamento do filósofo chinês 
Confúcio (que viveu em 470 a. C.): “Uma imagem vale mais que mil palavras”. 
 
 
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Queremos dizer o seguinte para você: usando Diagrama de Venn é possível 
“enxergar” melhor o problema. 
Então, vamos utilizá-lo agora. Esse assunto já foi tratado na seção 2.3 da 
UA 02. Lembra-se? 
 
Figura 1: Forma geral do diagrama com 2 subconjuntos de um conjunto S 
 
Você pode considerar: 
 
S = conjunto dos colaboradores que participaram da pesquisa (Universo) 
A= conjunto dos colaboradores com fluência em Inglês 
B = conjunto dos colaboradores com fluência em Espanhol 
 
Desta maneira, podemos indicar os colaboradores que participaram da 
pesquisa nas regiões justapostas de um diagrama conforme Figura 2: 
 
 
Figura 2: Diagrama – fluência em língua estrangeira 
 
 
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Começando pela região comum a A e a B, indicaremos nela os 
colaboradores que têm fluência em Inglês e em Espanhol. Sobre eles, não temos 
seus nomes, mas sabemos que totalizam 10. Podemos registrar este número 
nessa região. Na região A estão todos aqueles que têm fluência em Inglês (20 
colaboradores), logo, os que estão em A e não estão em B totalizam 10 (=20-
10) colaboradores. Na região B estão todos aqueles que têm fluência em 
Espanhol, logo, os que estão em B e não estão em A somam 15 (=25-10) 
colaboradores. Somando-se os fluentes somente em Inglês, os fluentes somente 
em Espanhol e os fluentes simultaneamente em Inglês e Espanhol, totalizamos 
35. Concluímos, então, que o número de colaboradores que não têm fluência em 
Inglês e nem em Espanhol é 15 (o cálculo realizado foi 50-35). 
Todos esses números podem ser visualizados no diagrama da Figura 3: 
 
 
 
 
 
 
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Figura 3: Diagrama – número de colaboradores com fluência em língua 
estrangeira 
 
Perceba que, com essa organização das informações, o gestor consegue 
visualizar todas as respostas para as suas perguntas. Esses dados lhe permitirão 
fazer um planejamento adequado para sua proposta de aprimoramento 
profissional. 
Observe que as quatro regiões justapostas de S são subconjuntos de S: 
são conjuntos resultantes de alguma operação. O conjunto que contém todos os 
elementos comuns a A e B é denominado Intersecção de A e B. Também 
podemos ver como conjunto a reunião de todos os elementos que pertencem a 
A ou a B; este conjunto é chamado União de A e B e envolve os elementos de 
três casos que exemplificamos com as fluências em Inglês e Espanhol: elementos 
que pertencem somente a A, elementos que pertencem somente a B e todos os 
elementos que pertencem a A e a B simultaneamente. E o conjunto de todos os 
elementos que pertencem a S e não pertencem a A é chamado Complementar 
de A em relação a S. 
Intersecção, União e Complementação são algumas operações realizadas 
com conjuntos. Nesta Unidade de Aprendizagem você aprenderá cinco operações 
básicas (Intersecção, União, Complementação, Diferença e Diferença Simétrica) 
bem como suas propriedades. As diferentes operações com conjuntos vão 
 
 
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ATENÇÃOAo estudar as operações básicas, você vai observar a presença 
de determinadas palavras que relacionam os conjuntos 
envolvidos. Essas palavras expressam conectivos lógicos entre os 
conjuntos. Nessa Unidade, vai aparecer: o conectivo e, o 
conectivo ou, o conectivo não e o conectivo ou...ou. Fique 
atento(a) à ocorrência e ao uso adequado de cada um deles. 
 
permitir que você estruture e resolva outros problemas. 
Cabe antecipar que tudo o que você está estudando sobre Conjuntos vai 
ser muito aplicado numa disciplina que você vai cursar no próximo semestre: 
Estatística. Particularmente, conjuntos, subconjuntos e suas operações ajudam a 
organizar problemas de probabilidade, que é um assunto extremamente 
importante em todas as áreas de conhecimento, uma vez que ajuda a “calcular 
a chance” de ocorrer um determinado resultado de interesse. Bem, antes de se 
aprofundar nesse assunto, você precisa dominar a UA 3. Vamos aos seus 
Fundamentos! 
 
Fundamentos 
1. Operações básicas com Conjuntos 
 
Operações com conjuntos podem ser realizadas somente se os conjuntos 
envolvidos estiverem contidos num mesmo Universo. Para aplicar as operações 
entre conjuntos, vamos considerar inicialmente o conjunto Universo do problema 
e indicá-lo pela letra maiúscula U. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ATENÇÃO 
Observe que utilizamos o conectivo e para expressar os elementos da 
Interseção de A e B. Isso porque A ∩ B indica o conjunto dos elementos 
de U que pertencem a A e também pertencem a B. 
1.1 Intersecção de Conjuntos 
 
Se A e B são subconjuntos de U, a Intersecção de A e B é o conjunto 
dos elementos de U que pertencem simultaneamente a A e a B. O símbolo 
utilizado para a operação de intersecção de conjuntos é ∩ (similar à letra 
maiúscula U, com abertura para baixo). A intersecção de A e B é indicada por 
𝐴 ∩ 𝐵, que se lê: “A intersecção B”, ou simplesmente, “A inter B”. 
A Intersecção de A e B é o conjunto representado simbolicamente por 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}. 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a representação em Diagrama de Venn, 𝐴 ∩ 𝐵 é a região comum 
a A e a B. Vejamos algumas possibilidades: 
1) De uma forma geral, a representação de 𝐴 ∩ 𝐵 fica: 
Figura 4: Intersecção de A e B 
 
 
 
10 
Seguem alguns exemplos: 
 
a) Sejam A={0,1,2,3,4,5} e B={1,3,5,7,9} subconjuntos de 
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Então os elementos da Intersecção de A e B são 
os elementos que pertencem a A e pertencem a B, simultaneamente. 
Portanto, A∩B={1,3,5}. Veja a representação de 𝐴 ∩ 𝐵 usando os 
Diagramas de Venn na Figura 5: 
Figura 5: Exemplo - Intersecção de A e B 
 
b) Vamos retomar um exemplo visto na UA 2. O Universo U lista os nomes 
dos profissionais de uma equipe de trabalho: 
U={Ana, Lia, Sara, João, Caio, Beto, Lucas, Célia, Léo, Diego} 
Nos conjuntos A e B são listados os nomes dos profissionais selecionados 
para trabalhar no desenvolvimento de um projeto, num determinado final de 
semana: 
Sábado: A={Ana, Lia, Caio, Lucas, Léo} 
Domingo: B={Caio, Beto, Lucas, Léo, Diego} 
 
 
11 
Os profissionais selecionados para trabalhar no sábado e no domingo 
formam a Intersecção de A e B, ou seja, A∩B = {Caio, Lucas, Léo}. Veja os 
Diagramas de Venn para esse exemplo na Figura 6: 
Figura 6: Exemplo – Intersecção de 2 conjuntos 
 
 
2) Se os conjuntos A e B não possuem elementos comuns, dizemos que A e 
B são disjuntos. Neste caso, a intersecção de A e B é o conjunto vazio. 
A representação dessa operação fica: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. 
 
Figura 7: Intersecção de conjuntos vazia 
 
 
 
12 
Como exemplo, considere A={0,2,4} e B={1,3,5} subconjuntos de 
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Como A e B não tem elementos comuns, a 
Intersecção de A e B é o conjunto vazio. Portanto, A∩B=∅. 
 
3) Todos os elementos de A pertencem a B, ou seja, se 𝐴 ⊂ 𝐵, então 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝐴. 
Figura 8: Intersecção de 2 conjuntos no caso 𝐴 ⊂ 𝐵 
 
Outro exemplo: suponha que João e Felipe moram na mesma cidade; 
vamos representar dois conjuntos A e B, respectivamente, que indicam os locais 
frequentados por eles em seus momentos de lazer: 
A={clube, cinema, boate} 
B={cinema, boate, clube, escola de dança, academia} 
 
Os locais comuns frequentados por eles formam a Intersecção de A e B. 
Como 𝐴 ⊂ 𝐵, segue que A∩B = {clube, cinema, boate} = A. 
 
 
 
 
13 
A operação de Intersecção também pode ser realizada com três ou mais 
conjuntos. É bom lembrar a representação geral em Diagramas de Venn de três 
subconjuntos de um conjunto S, estudada na seção 2.3 da UA 2: 
 
Figura 9: Diagrama de 3 subconjuntos 
 
 
Se A, B e C são subconjuntos de um Universo U, a Intersecção de A, B 
e C é o conjunto dos elementos de U que pertencem simultaneamente a A, B e 
C. A Intersecção dos conjuntos A, B e C é o conjunto representado 
simbolicamente por 
 
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵 𝑒 𝑥 ∈ 𝐶}. 
 
 
 
 
14 
Usando Diagrama de Venn, a representação de 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 é a região dos 
elementos que pertencem a A, B e C, simultaneamente, conforme a Figura 10. 
 
Figura 10: Intersecção de 3 subconjuntos 
 
Como exemplo, vamos retomar o diagrama do exemplo da UA 2 que 
mostra a distribuição dos profissionais do universo 
U={Ana, Lia, Sara, João, Caio, Beto, Lucas, Célia, Léo, Diego}, de acordo com 
o(s) transporte(s) público(s) que utiliza(m): 
 
Figura 11: Exemplo de Diagrama de Intersecção de 3 subconjuntos 
 
 
 
 
15 
Se 
 
A = conjunto dos profissionais que utilizam metrô 
B = conjunto dos profissionais que utilizam ônibus 
C = conjunto dos profissionais que utilizam trem 
 
Concluímos que: 
 
A∩B={Lucas, João, Diego} (utilizam metrô e ônibus) 
A∩C={Sara, Diego} (utilizam metrô e trem) 
B∩C={Léo, Diego} (utilizam ônibus e trem) 
A∩B∩C={Diego} (utilizam metrô, ônibus e trem) 
 
Ao estudar uma operação matemática, é importante observar quais são as 
propriedades válidas para essa operação, pois estas ajudam na hora de resolver 
um problema. No caso de Intersecção de conjuntos, as principais propriedades 
válidas para subconjuntos A, B e C do Universo U são as seguintes: 
 
1. Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
2. Elemento Neutro: A ∩ U = 𝑈 ∩ A = 𝐴 
3. Comutativa: A ∩ B = B ∩ A 
4. Idempotência: A ∩ A = A 
5. Intersecção com Vazio: A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ 
 
A validade de cada uma dessas igualdades pode ser verificada com 
facilidade se você utilizar Diagrama de Venn. Que tal tentar? 
Após essa verificação, acesse o Momento da Verdade e exercite todas 
essas ideias relativas a Intersecção de conjuntos. 
 
 
 
16 
ATENÇÃO 
Observe que usamos o conectivo ou para expressar a união de A e B. 
Ou seja, a união de A e B indica o conjunto dos elementos que estão 
em A ou estão em B, e isso inclui a possibilidade de um elemento estar 
simultaneamente em A e em B. Alguns profissionais da Língua 
Portuguesa chamam esse ou de ou inclusivo. Exemplo: “nesse jogo 
haverá gol de atacante ou gol de zagueiro!”. Essa frase é verdadeira se 
houver apenas gol de atacante, se houver apenas gol de zagueiro ou 
mesmo se houver gol de atacante e de zagueiro. 
1.2 União de Conjuntos 
 
Se A e B são subconjuntos de U, a União de A e B é o conjunto dos 
elementos de U que pertencem a A ou pertencem a B, incluindo os elementos 
que pertencem a A e a B, simultaneamente. O símbolo utilizado para a operação 
de União de conjuntos é ∪ (similar à letra U maiúscula). A união de dois conjuntos 
A e B é indicada por 𝐴 ∪ 𝐵, que se lê: “A união B”. 
A uniãodos conjuntos A e B é o conjunto representado simbolicamente por 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A representação de 𝐴 ∪ 𝐵 em Diagramas de Venn abrange: 
➢ a região dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B; 
➢ a região dos elementos que pertencem a B e não pertencem a A; 
➢ a região dos elementos que pertencem a A e a B, simultaneamente. 
Vejamos algumas possibilidades: 
 
 
17 
1) Em geral, o diagrama da União de A e B é representado conforme a Figura 
12: 
Figura 12: Diagrama da união de dois conjuntos 
 
Alguns exemplos ajudam a compreender melhor a operação. Vejamos: 
 
a) Consideremos A={0,1,2,3,4,5} e B={1,3,5,7,9} subconjuntos de 
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Os elementos da União de A e B são os 
elementos que pertencem a A ou pertencem a B, incluindo os que 
pertencem aos dois conjuntos. Logo, A∪B={0,1,2,3,4,5,7,9}. 
A representação de 𝐴 ∪ 𝐵 em diagrama é mostrada na Figura 13: 
 
Figura 13: Exemplo de união de dois conjuntos 
 
 
 
18 
 
b) Podemos retomar o exemplo visto na UA 2, em que o Universo U consiste 
nos profissionais de uma equipe de trabalho: 
U={Ana, Lia, Sara, João, Caio, Beto, Lucas, Célia, Léo, Diego} 
e A e B são os conjuntos dos profissionais selecionados para trabalhar no 
desenvolvimento de um projeto, num determinado final de semana: 
Sábado: A={Ana, Lia, Caio, Lucas, Léo} 
Domingo: B={Caio, Beto, Lucas, Léo, Diego} 
Os profissionais selecionados para trabalhar no sábado ou no domingo 
formam a União de A e B. 
Temos: AUB = {Ana, Lia, Caio, Beto, Lucas, Léo, Diego}. 
A Figura 14 ilustra os Diagramas de Venn para o sábado e para o domingo: 
Figura 14: Exemplo de diagrama da união de 2 conjuntos 
 
 
2) Se A e B são disjuntos, podemos representar a união conforme a Figura 
15: 
 
 
19 
Figura 15: União de dois conjuntos disjuntos 
 
Considerando A={0,2,4} e B={1,3,5} subconjuntos de 
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, a União de A e B é dada por A∪B={0,1,2,3,4,5}. Como 
A e B são disjuntos, basta listar todos os elementos de A e todos os de B para 
obter a união de A e B. 
 
3) Se todos os elementos de A pertencem a B, ou seja, se 𝐴 ⊂ 𝐵, então 
𝐴

𝐵 = 𝐵. 
Figura 16: União de dois conjuntos 
 
 
Recordando o exemplo dos locais frequentados por João e Felipe, que 
moram na mesma cidade: 
 
 
20 
João: A={clube, cinema, boate} 
Felipe: B={cinema, boate, clube, escola de dança, academia} 
Temos: A∪B={cinema, boate, clube, escola de dança, academia} = B. 
 
A operação de União pode ser realizada com três ou mais conjuntos. Se 
A, B e C são subconjuntos de um universo U, a União de A, B e C é o 
conjunto dos elementos de U que pertencem a qualquer um dos 
conjuntos: A, B ou C. A União dos conjuntos A, B e C é o conjunto 
representado simbolicamente por 
 
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐶}. 
 
Usando Diagrama de Venn, a representação de 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 é a região dos 
elementos que pertencem a A, B ou C, incluindo todos que pertencem às 
interseções. 
Figura 17: União de 3 subconjuntos 
 
Voltando a observar os diagramas do exemplo dos meios de transporte 
da UA 2: 
 
 
 
 
21 
Figura 18: Exemplo de Diagramas de 3 subconjuntos 
 
 
Temos o universo 
 
U={Ana, Lia, Sara, João, Caio, Beto, Lucas, Célia, Léo, Diego} 
 
que lista os profissionais da empresa em questão. 
 
Segundo o(s) transporte(s) público(s) que utilizam, já definimos: 
 
A = conjunto dos profissionais que utilizam metrô 
B = conjunto dos profissionais que utilizam ônibus 
C = conjunto dos profissionais que utilizam trem 
 
Concluímos que: 
 
 
A∪B={Ana, Sara, Lucas, João, Diego, Beto, Léo} (utilizam metrô ou ônibus) 
 
 
22 
A∪C={Ana, Sara, Lucas, João, Diego, Lia, Léo} (utilizam metrô ou trem) 
B∪C={Sara, Léo, Diego, Lia, Lucas, João, Beto} (utilizam ônibus ou trem) 
A∪B∪C={Ana, Lia, Sara, João, Beto, Lucas, Léo, Diego}(utilizam metrô, ônibus 
ou trem) 
 
Agora, vamos às propriedades da operação da União de conjuntos. Todas 
elas podem ser verificadas por meio de Diagramas de Venn. Se A, B e C são 
subconjuntos de um Universo U, valem as seguintes propriedades: 
 
1. Associativa: (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) 
2. Elemento Neutro: A ∪ ∅ = ∅ ∪ 𝐴 = 𝐴 
3. Comutativa: A ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 
4. Idempotência: A ∪ 𝐴 = 𝐴 
5. Distributiva da intersecção em relação à união: 
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 
6. Distributiva da união em relação à intersecção: 
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 
 
Agora, caro estudante, sugerimos que você acesse o Momento da Verdade, 
e mostre que entendeu tudo o que discutimos sobre União de Conjuntos 
resolvendo os exercícios indicados. 
 
 
1.3 Complementação de um conjunto 
 
 
Se A é um subconjunto de U, a Complementação de A ou o 
Complemento de A ou o Complementar de A, tomado em relação a U, é o 
conjunto dos elementos que pertencem a U e não pertencem a A. O 
complementar de A em relação a U será indicada por A̅, que se lê: “A barra”. 
 
 
23 
ATENÇÃO 
Observe que utilizamos o conectivo não para expressar o 
complementar de um subconjunto A de U. Isso porque o complementar 
de A em relação a U indica o conjunto dos elementos que estão em U 
mas não estão em A. 
O Complementar de um conjunto A é representado simbolicamente por: 
�̅� = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∉ 𝐴} 
 
 
 
 
 
Usando Diagrama de Venn, a representação de A̅ pode ser vista na 
Figura 19: 
 
Figura 19: Diagrama do complementar de um conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplificando: 
a) Seja A={0,2,4,6,8} subconjunto de U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. O 
complementar de A em relação a U é o conjunto dos elementos de U que 
não pertencem em A, ou seja, A̅={1,3,5,7,9}. Veja Figura 20: 
Figura 20: Exemplo de complementar de um conjunto 
 
 
24 
 
b) Voltemos a observar o diagrama da Figura 21, que mostra a distribuição 
dos profissionais de uma empresa conforme uso de transporte(s) 
público(s): 
 
Figura 21: Exemplo de diagrama 
 
É possível observar os complementares: 
�̅�={Lia, Caio, Beto, Célia, Léo} 
�̅�={Ana, Lia, Sara, Caio,Célia} 
𝐶̅={Ana, João, Caio, Beto, Lucas, Célia} 
𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅={Lia, Caio, Célia} 
𝐴 ∩ 𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅={Ana, Lia, João, Caio, Beto, Lucas, Célia, Léo} 
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅={Caio, Célia} 
Se A é um subconjunto de U, as seguintes propriedades da 
 
 
25 
complementação de A com relação a U são válidas: 
1. A ∪ �̅� = 𝑈 
2. A ∩ �̅� = ∅ 
3. �̅� = ∅ 
4. ∅̅ = 𝑈 
5. (A̅)̅̅ ̅̅̅ = 𝐴 
As Leis de Morgan são propriedades importantes que serão retomadas em 
algumas Unidades de Aprendizagem adiante, quando trataremos de Lógica 
Matemática. Elas dizem respeito ao Complemento da União e da Intersecção. Se 
A e B são subconjuntos de um Universo U, valem as seguintes leis: 
 
1. 
BABA  )(
 
(O complemento da União de A e B é igual à interseção dos complementos 
de A e B). 
 
2. 
BABA  )(
 
(O complemento da Interseção de A e B é igual à União dos complementos 
de A e B). 
 
Assim como nas operações anteriores, procure visualizar todas estas 
igualdades por meio de Diagramas de Venn. 
 
1.4 Diferença de conjuntos 
 
Se A e B são subconjuntos de U, a Diferença de A e B é o conjunto dos 
elementos de U que pertencem a A, mas não pertencem a B. A diferença de A e 
B é indicada por A − B, que se lê: “diferença de A e B” ou “A menos B”. 
 
 
 
26 
Simbolicamente representamos: 
 
𝐴 − 𝐵= {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}. 
 
Acompanhe algumas possibilidades de representações desta operação: 
1) De uma forma geral, a Diferença de A e B é representada pelo diagrama 
da Figura 22: 
Figura 22: Diferença de conjuntos 
 
 
Considerando A={0,2,4, 5, 6} e B={1,2,3,5} subconjuntos de 
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, temos A – B ={0,4,6}. 
 
2) Se A e B são disjuntos, A – B = A. Observe a Figura 23 e o exemplo a 
seguir (lembre-se que conjuntos disjuntos são aqueles que não possuem 
elementos em comum, ou seja, a intersecção é o conjunto vazio): 
 
 
 
 
 
27 
Figura 23: Exemplo de diferença de conjuntos 
 
Por exemplo, tomando A={0,2,4} e B={1,3,5} subconjuntos de 
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Como A e B são disjuntos, A – B ={0,2,4}, ou seja, o 
próprio conjunto A. 
 
3) Se todos os elementos de B pertencem a A, ou seja, se 𝐵 ⊂ 𝐴, então 
podemos dizer que A − B é o complemento de B em relação a A. Veja a 
Figura 24: 
Figura 24: Diferença de conjuntos 
 
Como exemplo, consideremos capitais brasileiras visitadas por Lara e Rose: 
Lara: A={Salvador, Fortaleza, Natal, Porto Alegre, Manaus, Florianópolis} 
Rose: B={Fortaleza, Manaus, Florianópolis} 
 
 
 
28 
Temos que todas as capitais visitadas por Rose foram visitadas por Lara, 
ou seja, B ⊂ A e A – B = {Salvador, Natal, Porto Alegre}. Neste caso, A – B é 
formada pelas capitais visitadas por Lara e que não foram visitadas por Rose. 
Observe na Figura 25 que, se A é subconjunto do Universo U, então 𝑈 −
𝐴 = �̅�. 
 
Figura 25: Diferença e complementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Meu caro, agora é o Momento da Verdade: sugerimos os exercícios 
indicados. Sucesso! 
 
1.5 Diferença simétrica de conjuntos 
 
Se A e B são subconjuntos de U, a Diferença Simétrica de A e B é o 
conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, mas não pertencem a A e a 
B simultaneamente. Outra maneira de definir a Diferença Simétrica de A e B é 
dizer que é o conjunto formado pelos elementos que pertencem à união de A e 
B e não pertencem à intersecção de A e B. O símbolo utilizado para a operação 
de Diferença Simétrica de conjuntos é delta: ∆. A diferença simétrica de A e B é 
indicada por 𝐴∆𝐵, que se lê: “diferença simétrica de A e B” ou “A delta B”. 
Simbolicamente, representamos: 
 
 
29 
ATENÇÃO 
A diferença simétrica de A e B implica no uso do conectivo ou...ou. 
Isso porque esta operação indica os elementos que estão ou em A ou 
em B, não pertencendo simultaneamente a A e a B. Esse conectivo é 
também chamado de ou exclusivo já que exclui a possibilidade da 
intersecção. 
 
 
𝐴∆𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵} 
ou 
𝐴∆𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 − 𝐴} 
ou ainda 
𝐴∆𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Diagrama de Venn dá uma boa visualização desta operação. Ele está 
representado na Figura 26: 
 
Figura 26: Diagrama de diferença simétrica de 2 conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
Se você acessa a rede social facebook, sabe que na sua página inicial você 
visualiza todos os amigos que estão na sua rede. Posicionando o cursor sobre a 
imagem de uma pessoa X, você visualiza os amigos e o número de amigos que 
você tem em comum com ela. Bem, se você considerar como A o conjunto dos 
seus amigos e B o conjunto dos amigos da pessoa X, a diferença simétrica de A 
e B será o conjunto de todos os seus amigos que não são amigos de X reunidos 
com os amigos de X que não são seus amigos na rede. Outra maneira de pensar 
é que a diferença simétrica de A e B é a união dos seus amigos com os da pessoa 
X, não incluindo os amigos em comum. 
 
Agora, vamos às propriedades desta operação. Para A, B e C subconjuntos 
do Universo U, valem as igualdades abaixo, que podem ser verificadas por meio 
dos Diagramas de Venn: 
 
1. Associativa: (A∆B)∆C = A∆(B∆C) 
2. Elemento Neutro: A∆∅ = ∅∆A = A 
3. Elemento Inverso: 𝐴∆𝐴 = ∅ 
4. Comutativa: 𝐴∆𝐵 = 𝐵∆𝐴 
 
 
2. Cardinalidade 
 
A cardinalidade de um conjunto finito, como vimos na UA 1, é o número 
de elementos do conjunto. Considerando que as operações com conjuntos finitos 
resultam em conjuntos finitos, faz sentido falar em cardinalidade da Intersecção, 
União, Complementação, Diferença e também da Diferença Simétrica de 
conjuntos. 
 
 
 
 
31 
Ao resolver um problema, muitas vezes, lidamos apenas com a 
cardinalidade dos conjuntos envolvidos, sem necessariamente listar seus 
elementos. Um exemplo é o problema do gestor da seção Para começar dessa 
UA. Você verá agora que, além dos Diagramas de Venn, temos algumas fórmulas 
que auxiliam no cálculo da cardinalidade dos subconjuntos finitos resultantes das 
operações estudadas nessa Unidade. 
 
2.1 Cardinalidade da União 
 
Se A e B são subconjuntos finitos disjuntos de um universo U, a 
cardinalidade de 𝐴 ∪ B fica n(A ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵). Isso quer dizer que para 
obter a cardinalidade da união de dois conjuntos que não tem elementos comuns 
basta somar a cardinalidade dos conjuntos. Este resultado pode ser estendido 
para o cálculo de qualquer número finito de conjuntos disjuntos. 
De uma forma geral, se A e B são dois subconjuntos finitos de um universo 
U, então A − B, B − A e 𝐴 ∩ 𝐵 são disjuntos dois a dois, conforme Figura 27. 
 
Figura 27: Diagrama – dois subconjuntos 
 
Lembrando que n(X) é a notação que usamos para representar a 
cardinalidade do conjunto X, temos que a cardinalidade da união de A e B pode 
ser expressa como 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(A − B) + n(B − A) + n(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
 
32 
ou ainda 
n(A ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Na segunda fórmula, no cálculo da cardinalidade da união de A e B 
incluímos o número de elementos de A e o número de elementos de B, mas 
excluímos o número de elementos da intersecção de A e B para evitar contá-
los duas vezes. 
Você pode observar a validade dessa igualdade no exemplo já visto, dos 
colaboradores escalados para desenvolver projeto no sábado (A) e no domingo 
(B), representado na Figura 28: 
 
Figura 28: Exemplo – Intersecção de 2 conjuntos 
 
 
Como A e B dividem U em 4 regiões justapostas, podemos representar a 
cardinalidade em cada região. Obtemos a Figura 29: 
 
 
 
33 
 
Figura 29: Exemplo – Diagrama 2 conjuntos (cardinalidade) 
 
 
Temos que 𝑛(𝐴) = 5, 𝑛(𝐵) = 5 𝑒 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 3 . Então 
n(A ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
implica em 
n(A ∪ 𝐵) = 5 + 5 − 3 = 7. 
Portanto, a cardinalidade da união de A e B é 7. 
 
Agora, dados três conjuntos A, B e C, a cardinalidade da união de A, B e 
C fica: 
 
n(A ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 
 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶). 
 
É possível estender essa fórmula para cardinalidade da união de mais de 
três conjuntos, mas vamos nos restringir ao exposto. 
 
2.2 Cardinalidade do Complementar 
 
Se A é subconjunto finito de um universo U (finito), então A e A̅ são 
disjuntos e vale a seguinte propriedade: 𝐴 ∪ A̅ = U. 
 
 
34 
Assim, vale também que n(A) + 𝑛(�̅�) = 𝑛(𝑈). Chegamos à seguinte 
fórmula para a cardinalidade do complementar de um conjunto A em relação ao 
universo U: 
 
𝑛(�̅�) = 𝑛(𝑈) − n(A). 
 
2.3 Cardinalidade da Diferença 
 
Se A e B são subconjuntos finitos de um universo U, a cardinalidade de 
𝐴 − B é dada por 
 
n(A − 𝐵) = 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵). 
 
Analogamente, a cardinalidade de B − A é dada por 
 
 n(B − 𝐴) = 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵).2.4 Cardinalidade da Diferença Simétrica 
 
A diferença simétrica de dois subconjuntos finitos A e B de um universo U 
foi definida simbolicamente na seção 1.5 como segue: 
 
𝐴∆𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵} 
ou 
𝐴∆𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 − 𝐴} 
ou ainda 
𝐴∆𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) 
 
 
 
 
35 
ATENÇÃO 
Um momento importante se refere à passagem das informações fornecidas 
no enunciado para o modelo matemático. Sem dúvida, é necessário que o 
enunciado seja preciso em suas informações. Nesse caminho, você precisa 
ficar atento ao real significado dos dados fornecidos pelo problema para 
modelá-lo adequadamente. Preste muita atenção à presença (ou não) de 
palavras como: apenas, somente, e, ou, não. 
 
 
Seguindo a lógica dessas definições, podemos calcular a cardinalidade 
de 𝐴∆𝐵 das diferentes formas: 
 
n(A∆𝐵) = 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
ou 
n(A∆B) = 𝑛(𝐴 − 𝐵) + 𝑛(𝐵 − 𝐴). 
 
 
 
3. Aplicações 
 
Com o conhecimento de conjuntos até o momento, você pode olhar com 
mais ousadia para diversas situações-problema do mundo, de uma forma mais 
curiosa e científica. Neste item, propomos a você acompanhar alguns problemas 
e suas resoluções que envolvem o que você estudou até agora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
Problema 1. 
 
Uma pesquisa realizada com 950 consumidores registrou que 600 deles 
trabalham com cartão de crédito da bandeira A, 400 trabalham com cartão de 
crédito da bandeira B e que 250 trabalham com cartão de crédito da bandeira A 
e da bandeira B. Queremos saber exatamente quantos consumidores: 
a) utilizam somente cartão de crédito da bandeira A; 
b) não utilizam cartão de crédito da bandeira B; 
c) utilizam cartão de crédito da bandeira A ou da bandeira B; 
d) utilizam apenas um desses dois cartões; 
e) não utilizam cartão de crédito da bandeira A ou da bandeira B. 
 
Resposta: 
 
Para responder a todos os itens solicitados, é importante expressar os 
números utilizando um diagrama de Venn. Vamos usar as seguintes notações: 
U = conjunto de todos os consumidores participantes da pesquisa 
A = conjunto dos usuários do cartão de bandeira A 
B = conjunto dos usuários do cartão de bandeira B 
Temos que: 
𝑛(𝐴) = 600 
𝑛(𝐵) = 400 
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 250 
𝑛(𝑈) = 950 
Começando pela intersecção, representamos a cardinalidade dos 
subconjuntos das regiões justapostas no diagrama: 
 
 
 
37 
Figura 29: Exemplo de diagrama de Venn 
 
 
Observando o diagrama, podemos responder: 
a) 350 consumidores 
b) 350+200=550. Logo, 550 consumidores. 
c) 350+250+150=750. Logo, 750 consumidores. 
d) 350+150=500. Logo, 500 consumidores. 
e) 200 consumidores. 
 
 
Problema 2. 
 
Numa determinada cidade há três clubes: A, B e C. Numa determinada 
festa na cidade, observou-se que: 64 pessoas são sócias do clube A, 30 do clube 
B, 55 do clube C, 22 dos clubes A e B, 32 dos clubes A e C, 18 dos clubes B e C, 
10 dos 3 clubes e 8 de nenhum dos clubes. Desejamos saber exatamente quantas 
pessoas: 
a) Pertencem somente ao clube A; 
b) Pertencem ao clube A ou ao clube B; 
c) Pertencem ao clube A ou ao clube B, e não pertencem a C; 
d) Pertencem somente ao clube B; 
 
 
38 
e) Não pertencem ao clube B ou ao C; 
f) Não pertencem ao clube B; 
g) Pertencem ao clube C e não pertencem ao clube B; 
h) Estavam na festa. 
 
Resposta: 
 
Vamos representar os dados em diagrama de Venn, considerando: 
 
U = conjunto de todas as pessoas que compareceram à festa 
A = conjunto dos sócios do clube A 
B = conjunto dos sócios do clube B 
C = conjunto dos sócios do clube C 
 
A ideia é começar representando o número de pessoas que está na 
intersecção dos três conjuntos A ∩ B ∩ C. Depois, observando as intersecções A ∩
B, B ∩ C e A ∩ C, representar os números de pessoas de (A ∩ B) − C, (B ∩ C) − A 
e (A ∩ C) − B, respectivamente; em seguida, observando as interseções 
anteriores, representar os números de pessoas que estão somente em um dos 
conjuntos A, B e C. Vejamos como fica: 
Figura 30: exemplo de Diagrama de Venn
 
 
 
39 
 
a) 20 pessoas. 
b) 72 pessoas. 
c) 32 pessoas. 
d) Nenhuma. 
e) 28 pessoas. 
f) 65 pessoas. 
g) 37 pessoas. 
h) 95 pessoas. 
 
Os problemas 1 e 2 podem ser resolvidos usando as fórmulas de 
cardinalidade discutidas na seção 2. Tente fazer isso. 
 
Muito bem! Agora você tem condições de finalizar os exercícios propostos 
no Momento da Verdade com confiança. Bom estudo! 
 
Antena Parabólica 
 
Você, certamente, já fez pesquisa de algum assunto na internet, de cunho 
pessoal ou profissional, por meio de algum site de busca. No Google, por 
exemplo. Digitando uma ou mais palavras-chave na barra de busca que definem 
o assunto que você está interessado, o site retorna uma lista de páginas que 
contêm a palavra ou as palavras-chave indicadas. Contudo, ao fazer uma busca, 
é comum se deparar com grande excesso de informação e visualizar grande 
número de páginas, uma mistura de páginas que abordam o assunto com 
diferentes níveis de qualidade, além de páginas que não correspondem ao 
assunto que se procura, apesar de envolverem as palavras referenciadas. 
Selecionar as informações que interessam com a devida qualidade é uma 
tarefa que pode ser simplificada quando se entende a estrutura do processo de 
 
 
40 
busca e se conhece alguns recursos lógicos que muitos sites de busca permitem. 
Você acredita que essas ideias estão relacionadas com conjuntos e operações 
com conjuntos? 
 Se você pesquisar num buscador global, por exemplo, a palavra bola, 
você vai obter como retorno páginas que contêm a palavra bola associada a 
diferentes contextos: tipos de bolas, sites que tratam de esportes específicos com 
bola, estabelecimentos que comercializam bola, artigos que usam o termo bola 
etc. 
Agora, se você estiver interessado em pesquisar sobre bola de futebol, 
você pode digitar as palavras-chave bola e futebol na barra de busca. Seu retorno 
será uma lista de páginas em que aparece o termo bola (sem mencionar futebol), 
páginas em que aparece o termo futebol (sem incluir bola), e páginas em que 
aparecem as duas palavras: bola e futebol. 
Em linguagem de conjuntos, podemos definir: 
U = conjunto de todas as páginas da Internet (Universo) 
A = conjunto das páginas que contêm a palavra bola 
B = conjunto das páginas que contêm a palavra futebol. 
Assim, o conjunto das páginas que envolvem as palavras bola e/ou futebol 
forma o conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 e a lista das páginas que contemplam as duas palavras, 
ou seja, bola e futebol, forma o conjunto 𝐴 ∩ 𝐵. 
Digitar mais palavras-chave que especifiquem o assunto refina a pesquisa, 
pois a busca será direcionada para uma intersecção, diminuindo o número de 
retornos. 
Boa parte dos sites de busca permite que você pesquise uma sequência 
específica de palavras. Este recurso também possibilita um refinamento na busca. 
Para isso, você deve digitar a sequência de palavras entre aspas. Para pesquisar 
exatamente bola de futebol, você pode digitar na barra de busca “bola de 
futebol”. O site vai restringir a busca às páginas que contêm exatamente esse 
termo. Desta forma, você obterá como retorno um subconjunto de 𝐴 ∩ 𝐵. 
 
 
41 
Se D = conjunto das páginas que contém bola de futebol então 𝐷 ⊂ 𝐴 ∩
𝐵. 
Alguns buscadores suportam pesquisas utilizando conectivos da lógica 
simbólica para melhor especificar a busca. Alguns deles são: 
OU: OR ou | (seleciona as páginas que contém, pelo menos, uma das palavras)E: AND ou & ou + (seleciona as páginas que contém as duas palavras, 
independente se estão juntas ou da ordem em que aparecem) 
NÃO: AND NOT ou – (seleciona as páginas que não incluem a palavra) 
 
Por exemplo, se você estiver interessado em bola de futebol de campo ou 
americano, para restringir a sua pesquisa, você pode digitar, por exemplo: 
“bola de futebol” + (“de campo” | americano) 
Considerando: 
F = conjunto das páginas que contém bola de futebol de campo 
G = conjunto das páginas que contém bola de futebol americano 
Sua busca resultará o conjunto 𝐹 ∪ 𝐺. 
 
Se você quiser excluir páginas que envolvem preço de bolas de futebol da 
sua pesquisa, você pode solicitar “bola de futebol” + (“de campo” | americano) 
– preço. 
Vamos considerar: 
H = conjunto de páginas que contém preço 
Então, o resultado desejado da pesquisa será o conjunto de páginas da 
rede que se situam na região referente à operação: 
(𝐹 ∪ 𝐺) − 𝐻. 
Combinando estes recursos às palavras-chave de um determinado assunto 
de interesse, o retorno será de um número menor de páginas para ler e realizar 
uma pesquisa mais produtiva na internet. 
 
 
42 
 
Glossário 
 
Complemento de um conjunto A com relação a U: conjunto dos elementos 
que pertencem a U e não pertencem a A, considerando A contido em U. 
Conjuntos disjuntos: conjuntos que não têm elemento em comum. 
Diferença de conjuntos: a diferença de dois conjuntos A e B de um universo 
U é uma operação que resulta no conjunto dos elementos que pertencem a A, 
mas não pertencem a B. 
Diferença simétrica de conjuntos: a diferença simétrica de dois conjuntos A 
e B de um universo U é uma operação que resulta no conjunto dos elementos 
que pertencem a A ou a B e não pertencem a A e a B simultaneamente. 
Intersecção de conjuntos: a interseção de conjuntos é uma operação que 
resulta no conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a todos os 
conjuntos envolvidos. 
União de conjuntos: a união de conjuntos é um conjunto resultante da reunião 
dos elementos que pertencem aos conjuntos envolvidos, incluindo aqueles que 
pertencem às intersecções. 
 
 
 
 
43 
 
E agora José? 
 
Você já sabe identificar e representar conjuntos, além de realizar várias 
operações com os conjuntos. Na próxima Unidade você vai estudar 
especificamente os Conjuntos Numéricos. Além explorar melhor os números que 
você usa no seu cotidiano, você vai aprender como representá-los 
geometricamente na reta real. Não perca! Sucesso sempre! 
 
Referências 
 
GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da 
Computação – Um tratamento moderno de Matemática Discreta. 5 ed. 
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2004. 
MORETTIN, Pedro A. HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Cálculo. Funções 
de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2007. 
SILVA, F C M; ABRAO, M. Matemática básica para decisões 
administrativas. São Paulo: Atlas, 2008. 
SILVA, S M; SILVA, E M; SILVA, E M. Matemática básica para cursos 
superiores. São Paulo: Atlas, 2010.