esvariaveis.aleatorias.e.distribuicoes.de.probabilidadestatistica.

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2011/2 1 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
Função de Probabilidade 
Função de Densidade de Probabilidade 
Função de Distribuição Acumulada 
Medidas de Posição e Dispersão(Esperança, Variância...) 
 
2011/2 2 
Existem dois tipos de problema… 
 Aqueles que podemos 
responder com certeza 
 Se uma conta de R$100 é 
dividida igualmente entre 5 
pessoas, quanto cada pessoa 
vai pagar? 
 Aqueles que só podemos ter uma 
ideia da resposta 
 Cinco pessoas vão a um 
restaurante. Quanto tempo 
eles vão demorar para serem 
atendidos? 
2011/2 3 
Probabilidades servem para… 
 … dar boas respostas a problemas 
que não possuem respostas exatas. 
 Qual vai ser a demanda pelo 
meu produto no próximo ano? 
 … responder problemas de respostas 
exatas caras ou impraticáveis. 
 Qual é a altura média da 
população brasileira? 
2011/2 4 
 Compare as seguintes variáveis aleatórias: 
 X = número de pessoas na fila no horário de pico. 
 Y = volume de água necessário para esfriar uma determinada 
máquina industrial. 
Tipos de variáveis aleatórias 
Na variável X, podemos determinar dois valores entre os quais nenhum outro valor é 
possível (1 e 2, por exemplo. Nenhum valor entre os dois é possível). 
Na variável Y, não se pode fazer isso. Quaisquer dois valores da variável Y sempre 
terá um valor possível no meio. 
Percebe-se, portanto, que as variáveis X e Y são de tipos diferentes. 
2011/2 5 
Tipos de variáveis aleatórias 
Quando for possível determinar dois valores possíveis de uma variável aleatória 
entre os quais nenhum outro valor é possível, dizemos que a variável aleatória é 
discreta. 
Quando, entre quaisquer dois valores, sempre existir um outro valor possível entre 
os dois, dizemos que a variável aleatória é contínua. 
 
 
2011/2 6 
 
 
 
 Dependendo da escolha da variável aleatória, um mesmo 
problema pode usar variáveis discretas ou contínuas: 
 Número de pedidos em atraso ou fração de pedidos atrasados. 
 
Tipos de variáveis aleatórias 
2011/2 7 
 A: não ter ninguém na fila (X=0) 
 B: ter 1 pessoa na fila (X=1) 
 C: ter 2 pessoas na fila (X=2) 
 D: ter 3 pessoas na fila (X=3) 
Função de probabilidade 
 X = número de pessoas na fila no horário de pico 
P(X = 0) 
P(X = 1) 
P(X = 2) 
P(X = 3) 
2011/2 8 
Número de pessoas na 
fila 
Probabilidade 
0 0,1 
1 0,1 
2 0,2 
3 0,4 
4 0,1 
5 0,05 
mais 0,05 
Função de probabilidade 
 Exemplo de uma função de probabilidade 
2011/2 9 
 Qual é a probabilidade de alguém viver 80 anos? 
Função densidade de probabilidade 
Para uma variável aleatória discreta, nós podemos especificar a probabilidade de X 
ser igual a um certo valor. 
Para uma variável aleatória contínua, só podemos especificar a probabilidade de X 
estar entre dois valores. 
 
2011/2 10 
Função densidade de probabilidade 
2011/2 11 
Função densidade de probabilidade 
2011/2 12 
Função densidade de probabilidade 
2011/2 13 
. 
Probabilidade 
de alguém viver 
acima dos 80 
pode ser 
calculada pela 
área a partir 
deste ponto. 
2011/2 14 
 A função de probabilidade é p(x) 
onde: 
Função de probabilidade e função densidade de 
probabilidade 
Variável aleatória discreta Variável aleatória contínua 
 A função densidade de 
probabilidade é f(x) onde: 
 
Para uma variável aleatória discreta, a função de probabilidade nos dá a 
probabilidade da variável aleatória ser igual a um determinado valor. 
Para uma variável aleatória contínua, a área em um intervalo da função nos dá a 
probabilidade da variável aleatória estar naquele intervalo. 
)()( xXPxp
b
a
dxxfbXaP )()(
2011/2 15 
As questões anteriores nos levam a concluir que existem duas condições que uma 
função densidade de probabilidade deve satisfazer: 
(1) sempre ser maior ou igual a zero; 
(2) somar (ou integrar) 1. 
Variável aleatória discreta 
Função de probabilidade e função densidade de 
probabilidade 
Variável aleatória contínua 
i
ixp
xp
1)(
0)(
1)(
0)(
dxxf
xf
Dizendo a mesma coisa em símbolos matemáticos… 
2011/2 16 
Regra prática muito útil 
Tudo o que é uma soma nas variáveis aleatórias discretas se torna uma integral nas 
variáveis aleatórias contínuas e vice-versa. 
Em outras palavras, basta trocar a soma por uma integral ou vice-versa. 
• Variável aleatória discreta • Variável aleatória contínua 
i
ixp
xp
1)(
0)(
1)(
0)(
dxxf
xf
2011/2 17 
Função de distribuição acumulada 
)()( xXPxF
Número de 
pessoas na fila 
Probabilidade Função de 
distribuição 
acumulada (fd) 
0 0,1 0,1 
1 0,1 0,2 
2 0,2 0,4 
3 0,4 0,8 
4 0,1 0,9 
5 0,05 0,95 
mais 0,05 1 
A função de distribuição 
acumulada é a função que 
dá a probabilidade de X ser 
menor ou igual a um 
determinado valor. 
F(x) é a soma (ou a integral) 
da fdp para todos os valores 
menores que x. 
2011/2 18 
F(80) é a área abaixo do 
limite de 80 anos 
F(50) é a área abaixo 
do limite de 50 anos 
A probabilidade de alguém 
viver entre 50 e 80 anos é a 
área entre os dois limites e é 
igual a : 
 
F(80) – F(50) 
2011/2 19 
 Se quisermos, por exemplo, 
calcular a probabilidade de 
haver entre 1 e 5 pessoas 
na fila, podemos fazer isso 
de duas formas: 
 Com a função de 
distribuição acumulada: 
 0,95 – 0,1 = 0,85 
 Sem a função de 
distribuição acumulada: 
 0,1+0,2+0,4+0,1+0,05 
=0,85 
 Qual é mais simples? 
Função de distribuição acumulada 
Número de 
pessoas na fila 
Probabilidade 
(funçao de 
probabilidade) 
Função de 
distribuição 
acumulada (fd) 
0 0,1 0,1 
1 0,1 0,2 
2 0,2 0,4 
3 0,4 0,8 
4 0,1 0,9 
5 0,05 0,95 
mais 0,05 1 
2011/2 20 
 (1) A função densidade de probabilidade nunca decresce; 
 (2)A função densidade de probabilidade sempre parte de 0 e 
chega a 1. 
Função de distribuição acumulada 
2011/2 21 
 
 
 Eventos podem ser representados usando variáveis aleatórias. 
 
 Variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. 
 Quando existirem dois valores entre os quais a variável, não pode 
assumir nenhum valor, a variável é discreta. 
 Quando, para quaisquer dois valores, sempre existir um valor no 
meio que a variável puder assumir, a variável é contínua. 
Resumindo 
2011/2 22 
 A função de probabilidade, associada a variáveis aleatórias 
discretas, nos permite calcular a probabilidade dos eventos 
acontecerem. 
 
 A função densidade de probabilidade, associada a variáveis 
aleatórias contínuas, nos permite calcular a probabilidade desta 
variável assumir um valor entre dois valores quaisquer. Esta 
probabilidade é a área sob a função neste intervalo. 
 
 A função de distribuição acumulada é a função F(x) que dá a 
probabilidade da variável aleatória ser menor ou igual a x. A 
probabilidade de X estar em um intervalo [a,b] é igual a F(b) – 
F(a). 
Resumindo 
2011/2 23 
 Você trabalha para uma grande 
empresa multinacional. Um dia, em 
uma reunião com a diretoria, o CEO 
da empresa pergunta qual é a 
previsão de vendas no próximo ano. 
O que você responde? 
Motivação 
A quantidade de peças que 
serão vendidas no próximo ano 
é uma variável aleatória discreta 
cuja função de probabilidade é 
dada por… 
Nós esperamos vender cerca de 
1000 peças, com 900 em um cenário 
pessimista e 1100 em um cenário 
otimista 
2011/2 24 
Motivação 
Podemos querer tentar advinhar o valor que a variável aleatória irá assumir. 
Neste caso, usamos uma medida de posição. 
Podemos estar interessado em quanto a variável aleatóriapode variar e, 
portanto, em qual é a incerteza que temos ao estimar um valor para ela. Neste 
caso, usamos uma medida de dispersão. 
2011/2 25 
 
 Você se lembra da pergunta do CEO? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de posição 
Qual é a previsão de vendas no próximo ano? 
2011/2 26 
 Existem várias medidas de posição possível: 
 Moda: “o mais provável é que as vendas sejam de x unidades”. 
 Mínimo: “vamos vender no mínimo x unidades”. 
 Máximo: “nós não conseguiremos vender mais do que x 
unidades”. 
 Mediana: “é igualmente provável vendermos mais ou menos do 
que x unidades”. 
 Valor esperado (semelhante à média). 
 
 Quais são os pontos fortes e fracos de cada medida de posição? 
 
Medidas de posição 
2011/2 27 
Valor esperado 
 Para dar respostas precisas a problemas probabilísticos, precisamos de uma 
medida que dê mais ênfase aos valores mais prováveis da variável aleatória e 
menos ênfase aos valores menos prováveis. 
 Dentre as medidas de posição que vimos, a única que faz essa ponderação é o 
valor esperado. 
)()( xpxXE
E, no caso de variáveis aleatórias contínuas, basta trocar a soma por uma 
integral: 
dxxfxXE )()(
Lembrando que a soma (e a integral) se fazem sobre todos os valores 
possíveis de X. 
2011/2 28 
Número de 
pessoas na fila 
Probabilidade x . p(x) 
0 0,1 0 
1 0,1 0,1 
2 0,2 0,4 
3 0,4 1,2 
4 0,1 0,4 
5 0,1 0,5 
Valor esperado 
)()( xpxXE
Evento mais 
provável ganha 
mais peso 
Evento menos 
provável ganha 
menos peso 
E(X) = 2,6 
O que significa que o número esperado de pessoas na fila é 2,6? 
Significa que observando o número de pessoas na fila durante vários dias 
teremos, em média, 2,6 pessoas. 
2011/2 29 
 Você tem uma ação da empresa X e uma ação da empresa Y. O 
retorno que você espera obter da ação da empresa X é 1,5%, ao 
passo que o dá empresa Y é 2%. Qual é o retorno total que você 
espera obter das duas ações? 
 
 Se você tivesse apenas duas ações da empresa X, quanto você 
esperaria de retorno? 
 E se você tivesse três ações? 
 E quatro? 
 
 Se você tivesse uma ação da empresa X e uma aplicação em 
renda fixa que pagasse 0,5%. Qual seria o retorno esperado? 
Propriedades do valor esperado 
2011/2 30 
 Você tem uma ação da empresa X e uma ação da empresa Y. O 
retorno que você espera obter da ação da empresa X é 1,5%, ao 
passo que o dá empresa Y é 2%. Qual é o retorno total que você 
espera obter das duas ações? E(X+Y) = E(X) + E(Y) 
 
 Se você tivesse apenas duas ações da empresa X, quanto você 
esperaria de retorno? E(c.X) = c.E(X) 
 E se você tivesse três ações? 
 E quatro? 
 
 Se você tivesse uma ação da empresa X e uma aplicação em 
renda fixa que pagasse 0,5%, qual seria o retorno esperado? 
E(X+c) = E(X) + c 
Propriedades do valor esperado 
2011/2 31 
 
 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 
 
 E(c.X) = c.E(X), onde c é uma constante. 
 
 E(X+c) = E(X) + c , onde c é uma constante. 
 
 E(X.Y) = E(X).E(Y) se, e somente se, X e Y forem independentes. 
Propriedades do valor esperado 
2011/2 32 
 Às vezes queremos saber quanto a variável aleatória pode 
variar 
Medidas de dispersão 
Nossas vendas mudam muito de mês para 
mês ou são estáveis ao longo do ano? 
2011/2 33 
})]({[)( 2XEXEXVar
Variância 
A variância é o valor esperado do quadrado de quanto uma variável aleatória 
se afasta de seu valor esperado. 
Variâncias pequenas significam que os valores das variáveis aleatórias são 
próximas do seu valor esperado e, portanto, a dispersão é pequena. 
Variâncias grandes, por sua vez, indicam que as variáveis aleatórias podem se 
afastar bastante do seu valor esperado e, portanto, a dispersão é grande. 
Para uma variável aleatória discreta, isto significa: 
2011/2 34 
22 )]([)()( XEXEXVar
Variância 
A variância também pode ser escrita da seguinte maneira, menos intuitiva mas 
mais fácil de calcular: 
Para mostrar isso, basta usar propriedades de valor esperado: 
22
22
22
22
2
)]([)()(
)]([)()(2)()(
})]({[)](2[)()(
})]([)(2{)(
})]({[)(
XEXEXVar
XEXEXEXEXVar
XEEXXEEXEXVar
XEXXEXEXVar
XEXEXVar
2011/2 35 
 A tabela a seguir contém a distribuição de probabilidades para a 
quantidade de acidentes de trânsito diários em uma pequena 
cidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcule o valor esperado da quantidade de acidentes de trânsito 
por dia 
 Calcule a variância 
Exercício 
Quantidade de acidentes (X) P(X) 
0 0,10 
1 0,20 
2 0,45 
3 0,15 
4 0,05 
5 0,05 
2011/2 36 
 
 
 
 
 Somar uma constante a X faz ela variar mais? 
 
 Se dobrarmos X, o que acontecerá com a variância? 
 
 
Propriedades da variância 
})]({[)( 2XEXEXV
2011/2 37 
 
 
 
 Somar uma constante a X faz ela variar mais? V(X+c)=V(X) 
 
 Dobrar X faz dobrar a distância X – E(X). Mas esta distância está 
elevada ao quadrado na definição de variância. Assim, se 
dobrarmos X, o que acontecerá com a variância? V(c . X)=c2 . 
V(X) 
 
 
Propriedades da variância 
})]({[)( 2XEXEXV
2011/2 38 
 
 V(c . X) = c2 . V(X), onde c é uma constante. 
 
 V(X + c) = V(X), onde c é uma constante. 
 
 V(X + Y) = V(X) + V(Y) se, e somente se, X e Y forem 
independentes. 
Propriedades da variância 
2011/2 39 
Compare as propriedades de valor esperado e 
variância 
 Valor esperado 
 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 
 
• E(c.X) = c.E(X), onde c é uma 
constante. 
 
• E(X+c) = E(X) + c , onde c é 
uma constente. 
 
• E(X.Y) = E(X).E(Y) se, e 
somente se, X e Y forem 
independentes. 
 
 Variância 
 
• V(c . X) = c2 . V(X), onde c é 
uma constante. 
 
 
• V(X + c) = V(X), onde c é 
uma constante. 
 
 
• V(X + Y) = V(X) + V(Y) se, e 
somente se, X e Y forem 
independentes. 
 
2011/2 40 
 
 
 
 
 Uma loja vende computadores e prevê sua demanda usando a 
variável aleatória 
X = número de computadores vendidos por mês 
 
 Se X é medido em computadores, qual é a unidade de V(X)? 
Um problema na variância 
})]({[)( 2XEXEXV
2011/2 41 
Desvio padrão 
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância e é também uma medida de 
dispersão. 
O desvio padrão é mais fácil de interpretar, mas não tem propriedades 
matemáticas simples como a variância. Por isso, costuma-se fazer todas as 
contas com a variância e, no final, tirar a raiz quadrada para interpretar o 
desvio padrão. 
2011/2 42 
 O gerente de uma grande rede de computadores desenvolveu a 
seguinte distribuição de probabilidades para a quantidade de 
interrupções por dia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcule o número esperado de interrupções por dia. 
 Calcule a variância. 
 Calcule o desvio padrão. 
Exercício 
Interrupções (X) P(X) 
0 0,32 
1 0,35 
2 0,18 
3 0,08 
4 0,04 
5 0,02 
6 0,01 
2011/2 43 
Distribuições de Probabilidade : Binomial, Normal e Poison 
2011/2 44 
 Observe as seguintes perguntas: 
 
 Quantas peças vamos vender esse mês? 
 Quantas pessoas estarão na fila no horário de pico? 
 Quantos dos meus clientes vão honrar suas dívidas? 
 Quanto custará o dólar daqui a um ano? 
 Quanto tempo vai demorar até o fornecedor entregar a 
encomenda que fizemos hoje? 
 Quantos produtos ruins vão escapar do nosso controle de 
qualidade? 
 
Introdução 
2011/2 45 
 
 
 O que as perguntas têm em comum: 
 
 Faltarão insumos este mês? 
 Haverá uma alta do trigo este ano? 
 Uma moeda lançada vai dar cara? 
 
Distribuição de Bernoulli2011/2 46 
Distribuição de Bernoulli 
Variáveis aleatórias cuja resposta é sim/não seguem uma distribuição de 
Bernoulli. 
)1(
)(
)(
pq
pqXV
pXESim ou 
não? 
Sim (X=1) p 
Não (X=0) 1 – p = q 
)(~ pBerX
2011/2 47 
 Considere agora as seguintes perguntas: 
 
 Quantas vezes vão faltar insumos nos próximos 12 meses? 
 Quantas vezes vai haver uma alta do trigo nos próximos 20 
anos? 
 Se lançarmos uma moeda 5 vezes, quantas vezes teremos cara? 
 
Distribuição Binomial 
Muitas vezes, não queremos saber apenas se algo ocorre ou não. 
Queremos saber quantas vezes ela ocorre. 
2011/2 48 
 Considere o exemplo de uma moeda lançada 2 vezes. Quantas 
vezes teremos cara como resultado? 
Distribuição Binomial 
Início 
cara (1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa (1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
2011/2 49 
 Vamos agora lançar a moeda 3 vezes: 
Distribuição Binomial 
Início 
cara (1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa (1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
2011/2 50 
 E se lançássemos a moeda 4 vezes? 
Distribuição Binomial 
Início 
cara (1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa (1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
coroa(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/2) 
2011/2 51 
 E se lançássemos a moeda 5 vezes? 
Distribuição Binomial 
Início 
cara 
(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa 
(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
coroa(1/
2) 
cara(1/2) 
coroa(1/
2) 
2011/2 52 
xnxqp
xnx
n
xXP
!!
!
)(
Distribuição Binomial 
O mesmo resultado da árvore pode ser obtido por meio da 
seguinte expressão: 
),(~ pnBinX
2011/2 53 
Cara ou 
não cara? 
(Bernoulli) 
Cara ou 
não cara? 
(Bernoulli) 
 
Início 
cara(0,5) 
cara(0,5) 
coroa(0,5) 
coroa(0,5) 
cara(0,5) 
coroa(0,5) 
Distribuição Binomial 
2011/2 54 
xnxqp
xnx
n
xXP
!!
!
)(
Distribuição Binomial 
A distribuição binomial resolve problemas de contagem respondendo 
perguntas do tipo “quantos” em experimentos onde (1) há dois 
resultados possíveis , (2) a probabilidade de sucesso é constante e (3) os 
eventos são independentes. 
),(~ pnBinX
npqXVar
npXE
)(
)(
2011/2 55 
 
 
 A precisão no recebimento de pedidos em um guichê de uma 
lanchonete do tipo drive-through é uma característica 
importante para cadeias de lanchonete. Em um mês recente, 
suponha que a porcentagem de pedidos corretos desse tipo na 
lanchonete KFC tenha sido de 88%. Se uma amostra de 3 
pedidos é anotada, qual é a probabilidade de que todos os três, 
nenhum dos três e pelo menos dois dos três pedidos venham a 
ser preenchidos corretamente? 
Exercício 
2011/2 56 
Distribuição Binomial 
Exemplo 1 
2011/2 57 
Distribuição Binomial 
Exemplo 1 
2011/2 58 
Distribuição Binomial 
Exemplo 2 
2011/2 59 
Distribuição Binomial 
Exemplo 3 
2011/2 60 
Distribuição Binomial 
Exemplo 4 
2011/2 61 
Distribuição Binomial 
Exemplo 4 
2011/2 62 
Distribuição Binomial 
Exemplo 5 
2011/2 63 
A distribuição Binomial no Excel 
2011/2 64 
A distribuição Binomial no Excel 
2011/2 65 
 Se lançarmos uma moeda 3 vezes, qual é o número máximo de 
caras que se poderá obter? 
 Se lançarmos uma moeda 100 vezes, qual é o número máximo 
de caras que se poderá obter? 
 
 
 Quantas pessoas estarão na fila no horário de pico? 
 Quantos telefonemas por dia são registrados em um call 
center? 
 Quantas vezes a linha de produção vai parar este ano? 
 Quantos acidentes vão acontecer este ano? 
 
 
 
Distribuição de Poisson 
2011/2 66 
!
)(
)(~
k
e
kXP
PoissonX
k
Distribuição de Poisson 
Nestes exemplos, interessa contar quantas vezes alguma coisa acontece 
em um espaço contínuo de tempo. Quando isso acontece, podemos usar 
a distribuição de Poisson 
)(
)(
XVar
XE
 No caso da distribuição de Poisson, a média é denotada por: , ao qual se 
compara-la com a da binomial chega que: 
 
 
 Denota-se: X ~ Poisson ( ) 
2011/2 67 
 
 Suponha que o número de acidentes de trabalho por mês siga 
uma distribuição de Poisson com um valor esperado de 2,5 
acidentes de trabalho por mês. 
 
 Qual é a probabilidade de que, em um determinado mês, 
nenhum acidente venha a ocorrer? 
 
 Qual é a probabilidade de que, em um determinado mês, ocorra 
pelo menos um acidente? 
Exercício 
2011/2 68 
A distribuição de Poisson no Excel 
2011/2 69 
A distribuição de Poisson no Excel 
2011/2 70 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 
 Em Angola, de cada 100 mil mulheres grávidas, 1 500 morrem 
devido à gravidez (OMS 09/04/2005). Numa comunidade 
Angolana em que houver 300 mulheres em estado de gravidez, 
ache a probabilidade de que morrerão: 
a. Nenhuma 
b. 3 delas 
c. 5 delas. 
2011/2 71 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
 Avaliar condições de saúde de 300 mulheres grávidas. 
 
 Característica do experimento: 
 
i. 300 mulheres estarem grávidas: Experimento 
Repetitivo; 
 
i. Possui dois tipos (sobreviver, não-sobreviver): 
Experimento de Bernoulli; 
2011/2 72 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
 Característica do experimento(cont.): 
 
iii. Número de Repetições 300: Quantia fixa; 
 
iv. Óbito de uma não influência na saúde da outra: 
Repetições Independentes; 
 
 Nota: As características acima designam um Experimento Binomial. 
2011/2 73 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
 Característica do experimento(cont.): 
 
v. Variável Aleatória X: “número de óbitos entre as 300 grávidas” 
 (X possui distribuição binomial) 
 
 Devido à definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer óbito, e 
assim: 
2011/2 74 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
 n = 300 (Número de Repetições); 
 
 
 
 Nota: Em uma pesquisa, este número é chamado de “Prevalência”. 
 
 Assim: X b(300 ; 0,015) 
 
2011/2 75 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
 Devido aos valores de n e de p, esta variável aproxima de uma 
distribuição de Poisson com: 
 
 = 300x0,0015 = 4,5 
 
 Este número indica que em 300 mulheres gestantes em Angola é de 
se esperar que 4,5 delas virão a óbito devido à gravidez. 
2011/2 76 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
a. Nenhum óbito2011/2 77 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
b. 3 Óbitos 
 
 
 
 
 Resposta: 0,1687 
 é equivalente a : 16,87% 
2011/2 78 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 1 - Solução 
 5 óbitos 
 
 
 
 Resposta: 0,1708 (17,08%) 
 
2011/2 79 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 2 
Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por 
minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada 
durante um intervalo de 1 minuto? 
2011/2 80 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 3 
2011/2 81 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 3 
2011/2 82 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 4 
2011/2 83 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 5 
2011/2 84 
Distribuição de Poisson 
Exemplo 6 
2011/2 85 
 Observe as seguintes perguntas: 
 
 Quantas peças vamos vender esse mês? 
 Quantas pessoas estarão na fila no horário de pico? 
 Quantos dos meus clientes vão honrar suas dívidas? 
 Quanto custará o dólar daqui a um ano? 
 Quanto tempo vai demorar até o fornecedor entregar a 
encomenda que fizemos hoje? 
 Quantos produtos ruins vão escapar do nosso controle de 
qualidade? 
 
Introdução à distribuição de Probabilidades NORMAL 
Assim como existem algumas distribuições de probabilidade discretas que são 
particularmente importantes, também existem distribuições contínuas que se 
destacam. Elas serão o tema desta aula. 
2011/2 86 
 Quanto tempo vai demorar até o fornecedor entregar a 
encomenda que fizemos hoje? 
 
Distribuição normal 
tempo de entrega 
semanas 
2011/2 87 
Distribuição normal 
tempo de entrega 
semanas 
2011/2 88 
semanas 
tempo de entrega 
Distribuição normal 
2011/2 89 
2
1,0
7,1
2
1
21,0
1
)(
x
exf
tempo de entrega 
semanas 
Distribuição normal 
2011/2 90 
Distribuição normal 
2
1,0
7,1
2
1
21,0
1
)(
x
exf
Sugestão: 
Cotação média do 
dólar = 1,7 
Desvio padrão = 0,1 
tempo de entrega 
Tempo médio de entrega = 1,7 semanas 
 
2011/2 91 
Distribuição normal 
2
2
1
2
2
2
1
)(
)(
)(
);(~
x
exf
XV
XE
NX
2011/2 92 
 Qual a probabildiade do tempo de entrega ser acima de 1,80 
semanas? 
Distribuição normal 
80,1
2
1
2
2
1
)80,1( dxeXP
x
Impossível!!! 
tempo de entrega 
semanas 
2011/2 93 
 Qual a probabildiade do tempo de entrega ser acima de 1,80 
semanas? 
Distribuição normal 
z z
dzezZP
2
2
1
2
1
)(
Para esta integral, os matemáticos 
conseguiram encontrar uma solução. 
80,1
2
1
2
2
1
)80,1( dxeXP
x
tempo de entrega 
semanas 
2011/2 94 
 Qual a probabildiade do tempo de entrega ser acima de 1,80 
semanas? 
Distribuição normal 
1
1,0
70,180,1
)80,1( ZP
X
PXP
P(Z > 1) é conhecido e é igual a 15,86%. 
tempo de entrega 
semanas 
2011/2 95 
 
 Como podemos saber 
quanto é P(Z>1)? 
 Para isso, precisamos de 
uma tabela da distribuição 
normal 
 A tabela ao lado nos dá a 
área à esquerda de um 
valor, ou seja, nos dá a 
probabilidade de Z ser 
menor do que um 
determinado valor. 
 
Distribuição normal 
2011/2 96 
Distribuição normal 
P(X<-2,76)=0,029 
2011/2 97 
 
 Como podemos saber quanto é P(Z>1)? 
 P(Z>1) = 1 – P(Z<1) 
 P(Z<1) pode ser obtido pela tabela... 
 
 
 
 
 P(Z<1) = 0,8413 
 P(Z>1) = 1 – 0,8413 
 P(Z>1) = 0,1586 
 P(Z>1) = 15,86% 
 
Distribuição normal 
2011/2 98 
A distribuição normal no Excel 
2011/2 99 
A distribuição normal no Excel 
2011/2 100 
 
 Imagine agora que queremos saber o valor de X, e não sua 
probabilidade. Por exemplo... 
 A Toby’s Trucking Company determinou que a distância viajada 
por um caminhão a cada ano é distribuída nos moldes da 
distribuição normal com média 50 mil milas e desvio padrão 12 
mil milhas. Quantas milhas serão viajadas por pelo menos 80% 
dos caminhões? 
 Queremos descobrir a distância d tal que P(X<d)=80%. 
 
A distribuição normal no Excel 
2011/2 101 
A distribuição normal no Excel 
2011/2 102 
Distribuição Normal 
Exemplo 1 
2011/2 103 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 1 
2011/2 104 
Distribuição Normal 
Exemplo 1 
2011/2 105 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 1 
2011/2 106 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 1 
2011/2 107 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 108 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 109 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 110 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 111 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 112 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 113 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 114 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 115 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 116 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 117 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 2 
2011/2 118 
Distribuição Normal 
Exemplo 3 
2011/2 119 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 4 
2011/2 120 
 
Distribuição Normal 
Exemplo 4