Produto vetorial e produto misto

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GAAL - Lista 2
Produto vetorial e produto misto
Exerc´ıcio 1. O aˆngulo entre v e w e´ pi/6, e suas normas sa˜o 2 e 3, respectiva-
mente. Calcule ‖v × w‖.
Exerc´ıcio 2. O aˆngulo entre os vetores a e b e´ pi/3, e suas normas sa˜o 1 e 2,
respectivamente. Se v = a+ b e w = a− b, calcule ‖v × w‖.
Exerc´ıcio 3. Mostre que
1. ‖v × w‖ ≤ ‖v‖‖w‖.
2. ‖v × w‖ = ‖v‖‖w‖ ⇐⇒ v ⊥ w.
Exerc´ıcio 4. Calcule v × w e w × v nos seguintes casos:
1. v = (6,−2,−4), w = (−1,−2, 1).
2. v = (7, 0,−5), w = (1, 2,−1).
Exerc´ıcio 5. Determine o vetor x tal que x× (~i+~k) = 2(~i+~j−~k) e ‖x‖ = √6.
Exerc´ıcio 6. Determine o vetor x tal que ‖x‖ = √3, x e´ ortogonal aos vetores
v = (1, 1, 0) e w = (−1, 0, 1) e forma um aˆngulo agudo com o vetor ~j.
Exerc´ıcio 7. Dado o triaˆngulo ABC, sejam P e Q pontos tais que 3
−→
AP =
−→
AC
e 3
−−→
BQ = 2
−−→
BC. Calcule a raza˜o entre as a´reas dos triaˆngulos BPQ e ABC.
Exerc´ıcio 8. Se u+ v + w = ~0, mostre que u× v = v × w = w × u.
Exerc´ıcio 9. Para que valor de m os pontos A = (m, 1, 2), B = (2,−2,−3),
C = (5,−1, 1) e D = (3,−2,−2) sa˜o coplanares?
Exerc´ıcio 10. Sejam ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 e θ = 120◦o aˆngulo entre u e v. Calcule:
1. ‖u+ v‖.
2. ‖u× (v − u)‖.
3. O volume do paralelep´ıpedo determinado por u× v, u e v.
Exerc´ıcio 11. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores 2~i, 2~j e 2~k?
1
Exerc´ıcio 12. Dados os pontos A = (2, 1, 1), B = (−1, 0, 1) e C = (3, 2,−2),
encontre o ponto D do eixo z para que o volume do paralelep´ıpedo determinado
por
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD seja 25.
Exerc´ıcio 13. Determine m e n para que se tenha
1. (m,n, 2)× (4,−1, 3) = (8,−1,−11).
2. (m,n, 2) · ((3, 1, 2)× (0, 1,−1)) = 9.
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