Slides_Yared_Cap1 [Modo de Compatibilidade]

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Capítulo 1
Sinais e Sistemas
Sinais de Tempo Contínuo e 
Tempo Discreto
• Sinais descrevem fenômenos físicos
– Sinal de pressão acústica associado a fala 
humana
– Sinal cardíaco– Sinal cardíaco
Sinais de Tempo Contínuo e 
Tempo Discreto
– Sinal de cota fluviométrica
– Índice Dow-Jones da 20
22
24
26
28
30
l
e
v
e
l
 
(
m
)
Flood-flux from 1903 to 1912
– Índice Dow-Jones da 
bolsa de valores de NY
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
14
16
18
days
Sinais de Tempo Contínuo e 
Tempo Discreto
• Sinais de tempo contínuo x(t)
– A variável independente (tempo t) assume 
valores contínuos
• Sinais de tempo discreto x[n]• Sinais de tempo discreto x[n]
– A variável independente (tempo n) assume 
valores discretos e inteiros
– Também denominados de sequências de 
tempo discreto
– Podem ser obtidos pela amostragem de 
sinais de tempo contínuo
Definições
• Energia de um sinal de tempo contínuo no 
intervalo
• Energia de um sinal de tempo discreto no 
( )2
1
2t
t
E x t dt= ∫
1 2t t t≤ ≤
• Energia de um sinal de tempo discreto no 
intervalo 
[ ]2
1
2
n
n n
E x n
=
=∑
1 2n n n≤ ≤
Definições
• Energia total de um sinal de tempo 
contínuo
• Energia total de um sinal de tempo 
( ) 2lim T
TT
E x t dt
∞
−→∞
= ∫
• Energia total de um sinal de tempo 
discreto
[ ] 2lim N
N
n N
E x n
∞
→∞
=−
= ∑
Definições
• Potência média em um intervalo de duração 
infinita
lim lim
2 2 1T N
E EP ou P
T N
∞ ∞
∞ ∞
→∞ →∞
= =
+
• Potência média de um sinal de tempo contínuo
• Potência média de um sinal de tempo discreto
2 2 1T N +
( ) 21lim
2
T
TT
P x t dt
T∞ −→∞
= ∫
[ ] 21lim
2 1
N
N
n N
P x n
N∞ →∞
=−
=
+
∑
Definições
• Classes de sinais:
– Energia total finita
• Exemplo:
– Energia total infinita e potência média finita 
E
∞
< ∞
1E
∞
⇒ =
– Energia total infinita e potência média finita 
• Exemplo: sinal constante x[n] = 4
– Energia total e potência média infinitas
E e P
∞ ∞
= ∞ < ∞
E e P
∞ ∞
= ∞ = ∞
( )
'
2 1 .16
lim 16
2 1
L Hospital
N
N
E e P P
N∞ ∞ ∞→∞
+
⇒ = ∞ = → =
+
Definições
• Exercício 1.3: determine a energia total e 
potência média dos sinais abaixo
( ) ( )21 tx t e u t−= [ ]3 cos 4x n n
pi 
=  
 
Transformação da Variável 
Independente
• Deslocamento no tempo
[ ] [ ]
( ) ( )
0
0
x n e x n n
x t e x t t
−
−
Transformação da Variável 
Independente
• Reflexão no tempo (espelhamento em 
torno do eixo das ordenadas)
[ ] [ ]
( ) ( )
x n e x n
x t e x t
−
−( ) ( )x t e x t−
Transformação da Variável 
Independente
• Mudança de escala no tempo
[ ] [ ]
( ) ( )
.
.
x n e x n
x t e x t
α
α
1 sinal comprimido
1 sinal estendido
se
se
α
α
> ⇒
< ⇒
Transformação da Variável 
Independente
• Exemplo 1.3: dada a função x(t) abaixo, 
determine graficamente: 3 1
2
x t + 
 2 
t0 t1 t2
Transformação da Variável 
Independente
t0 t1 t2
0
1
2
3 21 0
2 3
3 1 1 0
2
3 21 2
2 3
t t t
t t t
t t t
+ = = → = −
+ = = → =
+ = = → =
3 1
2
x t + 
 
t
Transformação da Variável 
Independente
• Exercício 1.21: dada a função x(t) abaixo, 
determine
3
4
2
t
x
 
− 
 
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
t
x
(
t
)
0 2 4 6 8 10 12
-3
-2
-1
0
1
2
3
t
x
(
t
)
Sinais Periódicos e Aperiódicos
• Sinal periódico de tempo contínuo x(t)
– Existe um valor positivo T tal que 
x(t) = x(t + T)
– O sinal não se modifica com o deslocamento T no 
tempotempo
– Além disso, se x(t) for periódico, então 
x(t) = x(t + mT), para qualquer “m” inteiro
– Assim, os valoes “mT” são os períodos de x(t) e T0 é 
o menor valor positivo dentre os períodos, 
denominado período fundamental
– Se x(t) for constante, então o período é indefinido
Sinais Periódicos e Aperiódicos
• Sinal periódico de tempo discreto x[n]
– Existe um valor positivo N tal que 
x[n] = x[n + N]
– O sinal não se modifica com o deslocamento – O sinal não se modifica com o deslocamento 
T no tempo
– Além disso, se x[n] for periódico, então 
x[n] = x[n + mN], para qualquer “m” inteiro
– Assim, os valoes “mN” são os períodos de 
x[n] e N0 é o menor valor positivo dentre os 
períodos, denominado período fundamental
Sinais Periódicos e Aperiódicos
Período fundamental T0 = T
Sinais com Simetria Par e com 
Simetria Ímpar
• Sinais com simetria par possuem a 
seguinte característica:
( ) ( )
[ ] [ ]
x t x t
x n x n
− =
− =
• Sinais com simetria 
ímpar possuem a 
seguinte característica:
[ ] [ ]x n x n− =
( ) ( )
[ ] [ ]
x t x t
x n x n
− = −
− = −
Sinais com Simetria Par e com 
Simetria Ímpar
• Qualquer sinal pode ser decomposto em 
uma soma de dois sinais, sendo um com 
simetria par e outro com simetria ímpar
( ){ } ( ) ( )12Ev x t x t x t= + −  
( ){ } ( ) ( )12Od x t x t x t= − −  
(parte par)
(parte ímpar)
( ){ } ( ){ } ( )Ev x t Od x t x t+ =
Sinais com Simetria Par e com 
Simetria Ímpar
• Exemplo: dado determine
a parte par e a parte ímpar de x[n]
[ ] 1, 00, 0
n
x n
n
≥
= 
<
[ ]n x n [ ]n x n[ ]
3 1 2
2 1 2
1 1 2
0 1
1 1 2
2 1 2
3 1 2
n x n
−
−
−
3 1 2
2 1 2
1 1 2
0 0
1 1 2
2 1 2
3 1 2
− −
− −
− −Parte par Parte ímpar
Sinais com Simetria Par e com 
Simetria Ímpar
• Exercício 1.24: Esboce a parte par e a 
parte ímpar do sinal indicado abaixo
3
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
n
x
[
n
]
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-3
-2
-1
0
1
2
3
n
Parte par
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-3
-2
-1
0
1
2
3
n
Parte ímpar
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Contínuo
• Sinal exponencial complexo de tempo 
contínuo , sendo:
e 
– Casos especiais importantes
( ) atx t Ce=
jC C e θ= 0a r jω= +
– Casos especiais importantes
• I – Se “C” e “a” forem números reais, então x(t) 
será uma exponencial crescente ou decrescente 
(dependendo do sinal de “a”)
• II – Se “a” for um número imaginário puro e C for 
igual a 1, então ( ) 0j tx t e ω=
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Contínuo
• O sinal possui como propriedade 
importante a periodicidade
• Sendo um sinal periódico, tem-se:
( ) 0j tx t e ω=
( )00 0 0 0j t Tj t j t j t j Te e e e eωω ω ω ω+= ⇒ =
Período 
Fundamental
• Assim, para que a condição de periodicidade seja 
satisfeita, tem-se:
e e e e e= ⇒ =
0
0
0
0
0
1
22
j T
e ou
T T
ω
ω
pi
ω pi
ω


=

= ⇒ 

 = → =

0
0
2T pi
ω
=
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Contínuo
• Note que os múltiplos de 2π também satisfazem a 
condição de periodicidade. Portanto
também satisfaz a condição de 0 1j Te ω =
0 2 , 0, 1, 2,T k kω pi= = ± ± K
também satisfaz a condição de 
• O sinais exponenciais complexos 
são harmonicamente relacionados e a k-ésima 
harmônica possui período de 
0 1j Te ω =
( ) 0 , 0, 1, 2,jk tk t e kωφ = = ± ± K
0
0 0
22kT T k T k Tpipi
ω ω
= → = → =
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Contínuo
• III – Se “a” for um número imaginário puro e “C” for 
um número complexo genérico, pode-se obter um 
sinal senoidal a partir de:
( ) 0 00cos 2 2
j t j tj jA AA t e e e eω ωθ θω θ −−+ = +
a qual pode ser verificada apartir da relação de 
Euler
( )0cos 2 2A t e e e eω θ+ = +
( ) ( )cosje jsenφ φ φ= +
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Contínuo
• Representação de uma soma de dois 
exponenciais complexos como o produto entre 
uma exponencial complexa e um sinal senoidal
– Passo 1: determinar o fator exponencial complexa, cujo 
expoente é igual a média das frequências das duas 
exponenciais complexas
– Exemplo: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3 2,5 0,5 0,5
2,52 cos 0,5
j t j t j t j t j t
j t
x t e e x t e e e
x t e t
−
= + ⇒ = +
⇒ =
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Contínuo
• IV – Se “a” e “C” forem números complexos 
genéricos, então:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0r j t j tat j rtx t Ce C e e C e eω ω θθ + += = =
( ) ( ) ( )0 0cosat rt rtx t Ce C e t j C e sen tω θ ω θ= = + + +
0
jsendo C C e e a r jθ ω= = +
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Contínuo
• Exemplo de sinais exponenciais complexas 
genéricos
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Discreto
• Sinal exponencial complexo de tempo 
discreto é definido como:
[ ] [ ] ,n nx n C ou x n Ce sendo eβ βα α= = =
– Casos especiais importantes
• I – Se “C” e “α” forem números reais, então x(t) 
será uma exponencial, cuja forma depende de “α”
[ ] [ ]
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Discreto
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Discreto
• II – Se “β” for um número imaginário puro e C for 
igual a 1, de modo que |α|=1, então
• III – Se “β” for um número imaginário puro e “C” for 
[ ] 0j nx n e ω=
• III – Se “β” for um número imaginário puro e “C” for 
um número complexo genérico, pode-se obter um 
sinal senoidal a partir de:
a qual pode ser verificada a partir da relação de 
Euler
( ) 0 00cos 2 2
j n j nj jA AA n e e e eω ωθ θω θ −−+ = +
( ) ( )cosje jsenφ φ φ= +
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Discreto
• IV – Se “C” e “α” forem números complexos 
genéricos, representados na forma polar por
então
0jjC C e e e ωθ α α= =
então
[ ] ( )00n n j nj nn jx n C C e e C e ω θωθα α α += = =
[ ] ( ) ( )0 0cosn nnx n C C n j C sen nα α ω θ α ω θ= = + + +
Sinais Senoidais e Exponenciais 
Complexas de Tempo Discreto
• Exemplos:
1α >
1α <
Sinais Exponenciais Complexos: 
Tempo Contínuo X Tempo Discreto
• 1a) Para , quanto maior for , 
maior será a taxa de oscilação do sinal
• 1b) O sinal é periódico para qualquer 
valor de e o período T pode ser 
0j te ω 0ω
0j te ω
ωvalor de e o período T pode ser 
qualquer número real 
• 2a) O sinal se repete a medida que a 
frequência angular é incrementada de 2π
0ω
0j ne ω
( )0 0 02 2j n j n j nj ne e e eω pi ω ωpi+ = =
Sinais Exponenciais Complexos: 
Tempo Contínuo X Tempo Discreto
-0.5
0
0.5
1
x
[
n
]
 
=
 
c
o
s
(
w
0
n
)
 
cos[(pi/10)n]
cos[(pi/6)n]
00 ω pi≤ ≤
0 5 10 15 20 25 30
-1
n
 
cos[(pi/6)n]
cos[(pi/2)n]
cos[(pi)n]
0 5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0
0.5
1
n
x
[
n
]
 
=
 
c
o
s
(
w
0
n
)
 
 
cos[(pi)n]
cos[(3pi/2)n]
cos[(11pi/6)n]
cos[(57pi/30)n]
0 2pi ω pi≤ ≤
Sinais Exponenciais Complexos: 
Tempo Contínuo X Tempo Discreto
• 2b) A condição para que seja periódico é0j ne ω
( )
{
00 0 0
1
j n Nj n j n j N
e e e e
ωω ω ω+
=
= =
0 0
01 .2 2
j N m
e N m
N
ω ωω pi
pi
= ⇒ = ⇒ =
Deve-se encontrar um valor “m” tal que
lembrando que o período N é um número inteiro
0
2N m pi
ω
=
01 .2 2
e N m
N
ω pi
pi
= ⇒ = ⇒ =
Sinais Exponenciais Complexos: 
Tempo Contínuo X Tempo Discreto
• Exercício: avalie se a função abaixo é 
periódica ou não:
• Exercício: avalie se os sinais abaixo são 
( ) ( ) ( )41 2 j tx t e u tpi+=
• Exercício: avalie se os sinais abaixo são 
periódicos ou não e, em caso afirmativo, 
determine o período fundamental
( ) ( )101 j tx t je u t=
( )3 5 1 2
5[ ] 3 j nx n e +=[ ] ( )
3 1 2
5
4 3
j n
x n e
pi
+
=
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
[ ] ( )0, 0 0, 0
1, 0 1, 0
n t
n e t
n t
δ δ≠ ≠ = = 
= = 
Função Impulso Unitário
[ ] ( )0, 0 0, 0
1, 0 1, 0
n t
u n e u t
n t
< < 
= = ≥ ≥ 
Função Degrau Unitário
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
• Relação entre impulso unitário e degrau 
unitário de tempo discreto
[ ] [ ] [ ]1n u n u nδ = − − Equação de diferença(equivalente a derivação)
[ ] [ ]n
m
u n mδ
=−∞
= ∑ Soma cumulativa(equivalente a integração)
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
• Relação entre impulso unitário e degrau 
unitário de tempo discreto
[ ] [ ]u n n kδ∞= −∑
Mudança de variável
k = n – m, na equação da 
soma cumulativa[ ] [ ]
0k
u n n kδ
=
= −∑
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
• Relação entre impulso unitário e degrau 
unitário de tempo contínuo
( ) ( )
t
u t dδ τ τ= ∫( ) ( )u t dδ τ τ
−∞
= ∫
( ) ( )du tt
dt
δ =
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
• Reescrevendo a Equação 
( ) ( )
t
u t dδ τ τ
−∞
= ∫
Mudança de variável tσ τ= −
( ) ( )( ) ( )
0
0
u t t d t dδ σ σ δ σ σ
∞
∞
= − − = −∫ ∫
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
• Há uma descontinuidade em t = 0. Assim, 
em termos práticos deve-se considerar a 
aproximação:
( ) ( )du ttδ ∆= ( ) ( )limt tδ δ=( ) ( )du tt
dt
δ ∆∆ = ( ) ( )0limt tδ δ∆∆→=
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
• Na prática, o pulso com uma duração 
suficientemente curta, quando comparada 
aos tempos de resposta de um sistema 
físico, é uma aproximação da função físico, é uma aproximação da função 
impulso
– Exemplo: pulso utilizado 
para amostragem de um 
sinal
Funções Impulso Unitário e Degrau 
Unitário
• Exercício 1.14:
A derivada deste sinal está relacionada com 
o trem de impulsos
( ) 1, 0 1
2, 1 2
t
Dado x t
t
≤ ≤
= 
− < <
o trem de impulsos
• Determine A1, A2, t1 e t2 na expressão 
abaixo
( ) ( )2
k
g t t kδ
∞
=−∞
= −∑
( ) ( ) ( )1 1 2 2dx t A g t t A g t tdt = − + −
Sistemas de Tempo Contínuo e 
Sistemas de Tempo Discreto
Descrição de um Sistema Físico: 
Aproximação X Real
• Qualquer descrição de um sistema físico 
será tão boa quanto mais aproximado for 
o modelo matemático obtido para 
representá-lorepresentá-lo
• Na prática da Engenharia, é fundamental 
identificar os limites de validade das 
hipóteses utilizadas na determinação de 
um modelo
Interconexão de Sistemas
Propriedades Básicas de Sistemas
• Sistemas sem memória:
– Saída em um determinado instante depende 
apenas do valor da entrada neste instante
• Exemplo:• Exemplo:
• Sistema com memória
– Saída atual depende da entrada em instante 
de tempo diferente do atual
( ) ( ) [ ] ( )y t x t ou y n x n= = Sistema identidade
Propriedades Básicas de Sistemas
– O sistema com memória armazena 
informações sobre valores de entrada em 
instantes diferentes do atual (passados ou 
futuros)
– Frequentemente, a memória está associada 
ao armazenamento de energia em sistemas 
físicos. 
[ ] [ ]n
k
y n x k
=−∞
= ∑ [ ] [ ]1y n x n= −acumulador atracador
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1n
k
y n x k x n y n y n x n
−
=−∞
 
= + → = − + 
 
∑
Propriedades Básicas de Sistemas
• Sistemas inversos
– Um sistema é inverso se colocado em 
cascata com outro e a saída resultante é igual 
a entrada do sistema que o precedea entrada do sistema que o precede
Propriedades Básicas de Sistemas
• Causalidade
– Um sistema é causal se a saída dependedos 
valores da entrada apenas nos instantes 
presente e passadospresente e passados
– Os sistemas não causais dependem de 
valores futuros das entradas
• Exemplo: média não causal
[ ] [ ]1
2 1
M
k M
y n x n k
M
=−
= −
+
∑
Propriedades Básicas de Sistemas
• Estabilidade
– Um sistema é estável se para um entrada 
limitada, a saída correspondente também é 
limitada (não diverge)
• Invariância no tempo• Invariância no tempo
– As características físicas do sistema são 
constantes ao longo do tempo
– Se um deslocamento no tempo do sinal de 
entrada produz um deslocamento no tempo 
do sinal de saída
( ) ( ) [ ] [ ]0 0 0 0x t t y t t ou x n n y n n− → − − → −
Propriedades Básicas de Sistemas
• Linearidade
– Um sistema é linear se obedecer o princípio 
da superposição:
• Entrada consiste de uma soma ponderada de • Entrada consiste de uma soma ponderada de 
diversos sinais, então a saída é a soma ponderada 
das respostas para cada um desses sinais
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2 1 2x t x t y t y t ou x n x n y n y n+ → + + → +
Aditividade
( ) ( ) [ ] [ ]1 1 1 1ax t ay t ou ax n ay n→ →
Homogeneidade
Propriedades Básicas de Sistemas
– Combinando as propriedade de aditividade e 
homogeneidade:
– Generalizando, dada a entrada x[n] de um 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2 1 2ax t bx t ay t by t ou ax n bx n ay n by n+ → + + → +
– Generalizando, dada a entrada x[n] de um 
sistema linear
a saída y[n] será, pelo princípio da 
superposição
[ ] [ ]k k
k
x n a x n=∑
[ ] [ ]k k
k
y n a y n=∑
Propriedades Básicas de Sistemas
– Para sistemas lineares, uma entrada que é 
constantemente nula produz uma saída que é 
constantemente nula (de acordo com a 
propriedade da homogeneidade)
( ) ( ) [ ] [ ]0. 0. 0. 0.x t y t ou x n y n→ →
– Alguns sistemas não-lineares podem ser 
representados como a superposição da 
resposta de um sistema linear e a resposta à 
entrada nula do sistema 
( ) ( ) [ ] [ ]0. 0. 0. 0.x t y t ou x n y n→ →
Propriedades Básicas de Sistemas
– Um sistema não-linear cuja saída é a 
superposição da resposta de um sistema 
linear e a resposta à entrada nula é 
denominado incremental
[ ] [ ] [ ]
{1 0
resposta a
entrada
nula
y n y n y n= +
Propriedades Básicas de Sistemas
– Exemplo de sistema incremental:
se x1[n] = 2 e x2[n] = 3, então 
y1[n] = 7 e y2[n] = 9. Assim, a propriedade da 
[ ] [ ]2 3y n x n= + Resposta a entrada 
nula
y1[n] = 7 e y2[n] = 9. Assim, a propriedade da 
aditividade foi violada, pois
[ ] [ ] [ ] [ ]( )
( )
1 2 1 22 3
7 9 2 2 3 3
16 13
y n y n x n x n+ ≠ + +
+ ≠ + +
≠
Propriedades Básicas de Sistemas
– Note que o sistema gerado pela diferença 
entre as respostas a duas entradas distintas 
para um sistema incremental é linear, pois
[ ] [ ]{ } [ ] {}0 , ,dado y n f x n y n sendo f linear= + ⋅
obtem-se uma função linear resultante da 
diferença
[ ] [ ]{ } [ ] {}
[ ] [ ] [ ] [ ]
0
1 1 2 2
, ,
,
dado y n f x n y n sendo f linear
dado que x n y n e x n y n
= + ⋅
→ →
[ ] [ ] [ ]{ } [ ]{ }1 2 1 2y n y n f x n f x n− = −