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Instituto de Ciências Exatas e 
Aplicadas (ICEA) - UFOP
Departamento de Engenharia Elétrica 
(DEELT)
Sinais e Sistemas – CEA562
Prof. Glauco F. G. Yared
Capítulo 2
Sistemas Lineares Invariantes no 
Tempo
Sistemas Lineares Invariantes no 
Tempo (LIT)
• Sinais em geral podem ser representados 
como uma combinação de impulsos 
unitários deslocados no tempo
Sistema LIT
(princípio da superposição)
Entrada representada 
como uma 
combinação de sinais 
básicos
Saída representada 
como uma 
combinação das 
respostas do
sistema LIT aos 
sinais básicos
Representação de Sinais de Tempo 
Discreto em Termos de Impulsos
• Um sinal de tempo discreto pode se visto 
como uma sequência de impulsos 
unitários deslocados no tempo e 
ponderados por valores x[n] em cada ponderados por valores x[n] em cada 
instante “n”
Representação de Sinais de Tempo 
Discreto em Termos de Impulsos
Representação de Sinais de Tempo 
Discreto em Termos de Impulsos
• Assim, é possível escrever o sinal x[n] 
como
[ ] [ ] [ ]
k
x n x k n kδ
∞
=−∞
= −∑
A Equação acima é chamada de 
propriedade seletiva do impulso unitário 
de tempo discreto
• Exemplo:
– Degrau unitário
k=−∞
[ ] [ ]
0k
u n n kδ
∞
=
= −∑
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
• Um sistema linear obedece o princípio da 
superposição
– Saída de um sistema linear pode ser escrito como a 
combinação linear das respostas a um conjunto de 
entradas x[k] ponderadasentradas x[k] ponderadas
sendo 
em que é uma função que mapeia as entradas
do sistema nas saídas, no instante de tempo “n”
[ ] [ ] [ ] [ ]k k
k k
y n y n x k h n
∞ ∞
=−∞ =−∞
= =∑ ∑
[ ] [ ] [ ]k ky n x k h n=
[ ]kh n
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
• A função é uma sequência de k 
valores e varia, a princípio, para cada 
instante de tempo “n”
• Se o sistema for invariante no tempo, 
[ ]kh n
• Se o sistema for invariante no tempo, 
então a função permanece 
inalterada (forma não muda) a medida que 
o tempo passa, pois sofre apenas um 
deslocamento, ou seja, 
[ ]kh n
[ ] [ ]
sistema invariante no tempo
kh n h n k= −1442443
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
• Assim, tem-se
[ ] [ ]2 2h n h n− = +
M
A função h[n] é denominada resposta
[ ] [ ] [ ]
k
y n x k h n k
∞
=−∞
= −∑
[ ] [ ]
sistema invariante no tempo
kh n h n k= −1442443
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2
1
0
1
2
2
1
1
2
h n h n
h n h n
h n h n
h n h n
h n h n
−
−
= +
= +
=
= −
= −
M
A função h[n] é denominada resposta
ao impulso do sistema LIT, pois quando
a entrada x[n] for um impulso unitário,
então a saída y[n] será igual a h[n]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 0k para k
k
y n k h n k y n h nδδ
∞
≠ =
=−∞
= − → =∑
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
• A Equação abaixo é denominada 
somatório de convolução
[ ] [ ] [ ]y n x k h n k∞= −∑
cuja notação compacta é 
[ ] [ ] [ ]
k
y n x k h n k
=−∞
= −∑
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k
y n x n h n y n x k h n k
∞
=−∞
= ∗ → = −∑
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
• Outra forma de visualizar o somatório de 
convolução, consiste em generalizar a 
Equação de representação de um sinal 
w[n] a partir de impulsos unitáriosw[n] a partir de impulsos unitários
assumindo que 
[ ] [ ] [ ]
k
w n w k n kδ
∞
=−∞
= −∑
[ ] [ ] [ ]k
k
y n h n x n k
∞
=−∞
= −∑
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]k
y n w n
x n k n k
h n w k
δ
=
− = −
=
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
Efetuando uma mudança de variável na
Equação [ ] [ ] [ ]k
k
y n h n x n k
∞
=−∞
= −∑
Mudança de variável m = n - k
Se o sistema for invariante no tempo, então 
[ ] [ ] [ ]n m
m
y n h n x m
∞
−
=−∞
= ∑
[ ] [ ]n mh n h n m− = −
[ ] [ ] [ ]
m
y n x m h n m
∞
=−∞
= −∑
h[n] é a resposta ao 
Impulso do sistema LIT
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
• Exemplo 2.3: Dadas as funções abaixo de 
entrada x[n] e resposta ao impulso h[n] de 
um sistema LIT, determine a saída y[n]
[ ] [ ]nx n u nα=[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
nx n u n
h n u n
y n x n h n
α=
=
= ∗
-10 -5 0 5 10
0
0.5
1
k
x
[
k
]
-10 -5 0 5 10
0
0.5
1
k
h
[
k
]
 
=
 
u
[
k
]
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
[ ] [ ] ( )( ) [ ]
1
. .
0
1
0
1
n
n
soma finita P Gk
k
para n y n y n u n
α
α
α
+
=
−
≥ → = → =
−
∑
[ ]0 0para n y n< → =
2
y[n] = x[n]*h[n]
-10 -5 0 5 10
0
0.5
1
1.5
2
n
y
[
n
]
y[n] = x[n]*h[n]
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
• Exercício 2.21 (d) –
Determine y[n] = x[n]*h[n], assumindo que o
sistema seja LIT
-5 0 5 10 15 20
0
0.5
1
k
x
[
k
]
-5 0 5 10 15 20
0
0.5
1
k
h
[
k
]
... ...
... ...
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Discreto
Representação de Sinais de Tempo 
Contínuo em Termos de Impulsos
• Seja um sinal
( )
1
, para 0
0, para qualquer outro valor de t
t
tδ∆
 ≤ ≤ ∆
= ∆

• Se o intervalo for suficientemente pequeno, 
então o pulso pode ser uma aproximação 
da função impulso unitário 
• Note que 
0, para qualquer outro valor de t
∆
( )tδ∆ ( )tδ
( ). 1tδ∆ ∆ =
Representação de Sinais de Tempo 
Contínuo em Termos de Impulsos
• Então um sinal genérico x(t) pode ser 
aproximado por 
( ) ( ) ( )xˆ t x k t kδ∞ ∆= ∆ − ∆ ∆∑
em que é um pulso deslocado no 
tempo
( ) ( ) ( )ˆ
k
x t x k t kδ∆
=−∞
= ∆ − ∆ ∆∑
( )t kδ∆ − ∆
Representação de Sinais de Tempo 
Contínuo em Termos de Impulsos
Aproximação do sinal x(t)
Representação de Sinais de Tempo 
Contínuo em Termos de Impulsos
• No limite quando , tem-se 0∆→
( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ
∞
= −∫
( ) ( ) ( )
0
lim
k
x t x k t kδ
∞
∆∆→
=−∞
= ∆ − ∆ ∆∑
que corresponde a propriedade seletiva do
impulso de tempo contínuo
• Exemplo:
– Degrau unitário
( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ
−∞
= −∫
( ) ( ) ( ) ( )
0
u t u t d t dτ δ τ τ δ τ τ
∞ ∞
−∞
= − = −∫ ∫
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Contínuo
• Considerando um sistema linear cuja 
saída pode calculada como uma 
combinação de entradas básicas e 
assumindo que seja a função que ( )ˆkh t∆assumindo que seja a função que 
mapeia as entradas do sistema na saída, 
pode-se escrever
sendo
( )ˆkh t∆
( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆk k
k k
y t y t x k h t
∞ ∞
∆
=−∞ =−∞
= = ∆ ∆∑ ∑
( ) ( ) ( )ˆˆk ky t x k h t∆= ∆ ∆
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Contínuo
• A função é uma sequência de k 
valores e varia, a princípio, para cada 
instante de tempo “t”
• Se o sistema for invariante no tempo, 
( )ˆkh t∆
• Se o sistema for invariante no tempo, 
então a função permanece 
inalterada (forma não muda) a medida que 
o tempo passa, pois sofre apenas um 
deslocamento, ou seja, 
( )ˆkh t∆
( ) ( )
sistema invariante no tempo
ˆ ˆ
kh t h t k∆ = − ∆144424443
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Contínuo
• Assim, para sistemas LIT, é possível 
escrever ( ) ( ) ( )ˆˆ k
k
y t x k h t
∞
∆
=−∞
= ∆ ∆∑
• No limite para , aexpressão acima 
se torna 
( ) ( ) ( )ˆˆ
k
y t x k h t k
∞
=−∞
= ∆ − ∆ ∆∑
0∆→
( ) ( ) ( )
0
ˆ
ˆ lim
k
y t x k h t k
∞
∆→
=−∞
= ∆ − ∆ ∆∑
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ
∞
−∞
= −∫
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Contínuo
• Quando a entrada do sistema LIT for impulsiva, 
a saída será 
e por essa razão h(t) é denominada 
( ) ( ) ( ) ( )y t h t d h tδ τ τ τ
∞
−∞
= − =∫
e por essa razão h(t) é denominada 
resposta ao impulso do sistema
• A Equação 
é denominada integral de convolução, e possui
a seguinte notação compacta 
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ
∞
−∞
= −∫
( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗
Resposta ao Impulso Unitário de 
Sistemas LIT de Tempo Contínuo
• Exercício 2.22 (c) – dadas as funções de 
entrada x(t) e resposta ao impulso h(t) 
ilustradas nas figuras P.2.22 (a), 
determine a resposta y(t) do sistemadetermine a resposta y(t) do sistema
Resposta ao Impulso de Sistemas 
LIT de Tempo Discreto ou Contínuo
• A resposta ao impulso de sistemas LIT, 
tanto para sistemas de tempo discreto 
quanto para de tempo contínuo, é capaz 
de caracterizar completamente o de caracterizar completamente o 
comportamento do mesmo
Propriedades dos Sistemas 
Lineares Invariantes no Tempo
• Propriedade Comutativa da Convolução
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k
x n h n h n x n h k x n k
∞
=−∞
∗ = ∗ = −∑
∞
• Propriedade Distributiva da Convolução
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t h x t dτ τ τ
∞
−∞
∗ = ∗ = −∫
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n∗ + = ∗ + ∗
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t h t h t x t h t x t h t∗ + = ∗ + ∗  
Propriedades dos Sistemas 
Lineares Invariantes no Tempo
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2x n x n h n x n h n x n h n+ ∗ = ∗ + ∗
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t x t h t x t h t x t h t+ ∗ = ∗ + ∗  
Combinação da propriedade comutativa e distributiva
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 
Propriedades dos Sistemas 
Lineares Invariantes no Tempo
• Propriedade Associativa da Convolução
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]1 2 1 2x n h n h n x n h n h n∗ ∗ = ∗ ∗
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2x t h t h t x t h t h t∗ ∗ = ∗ ∗
Caracterização de Sistemas LIT
• Sistema LIT com ou sem memória
– O sistema é sem memória se
A saída terá a forma
[ ] [ ] [ ]0, 0h n para n h n K nδ= ≠ → =
A saída terá a forma
Caso contrário, o sistema será com memória. O
mesmo pode ser dito para sistemas LIT de
tempo contínuo:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k k
y n x k h n k y n x k C n k Cx nδ
∞ ∞
=−∞ =−∞
= − → = − =∑ ∑
( ) ( ) ( )0, 0h t para t h t C tδ= ≠ → =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t d x t C t d Cx tτ τ δ τ τ
∞ ∞
−∞ −∞
= − = − =∫ ∫
Caracterização de Sistemas LIT
• Sistema LIT inversível
– Um sistema LIT h[n] é inversível quando existe um 
sistema inverso h1[n] que conectado em série com 
h[n] produz como saída a entrada do primeiro
Note que um sistema inverso satisfaz
a seguinte condição:
Exemplo:
( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]1 1h t h t t ou h n h n nδ δ∗ = ∗ =
( ) ( ) ( ) ( )0 1 0h t t t e h t t tδ δ= − = +
Fazendo , obtém-se 0t tτ = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2h t h t t d tδ τ δ τ τ δ
∞
−∞
∗ = − =∫
Note que o integrando é diferente de zero
se 2t tτ τ τ= − → =
Caracterização de Sistemas LIT
– Note que um sistema cuja resposta ao impulso é da 
forma
é denominado atrasador, enquanto o sistema
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0h t t t y t x t t d x t tδ τ δ τ τ
∞
−∞
= − → = − − = −∫
é denominado atrasador, enquanto o sistema
que tem a forma
é denominado adiantador
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0h t t t y t x t t d x t tδ τ δ τ τ
∞
−∞
= + → = + − = +∫
Caracterização de Sistemas LIT
• Causalidade dos Sistemas LIT
– Um sistema causal possui uma saída que depende 
apenas de valores presentes e passados das 
entradas. Assim, deve apresentar a seguinte 
característica para a resposta ao impulso:característica para a resposta ao impulso:
Logo, o somatório ou a integral de convolução 
podem ser escritos como
[ ] ( )0 0 , 0h n ou h t para n ou t= = <
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n
k k
y n x k h n k x k h n k
∞
=−∞ =−∞
= − = −∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
y t x t h t d x t h t dτ τ τ τ
∞
−∞ −∞
= − = −∫ ∫
Caracterização de Sistemas LIT
• Estabilidade para Sistemas LIT
– Um sistema é estável se toda entrada limitada em 
amplitude produzir uma saída limitada em amplitude. 
Assim, para uma entrada x[n] tal que
[ ]x n B<
e considerando que o módulo da soma é sempre
menor ou igual a soma dos módulos, tem-se que o 
módulo da saída |y[n]|
deve satisfazer a desigualdade
[ ]x n B<
[ ] [ ] [ ]
k
y n x k h n k
∞
=−∞
= −∑
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k k
y n x k h n k x k h n k
∞ ∞
=−∞ =−∞
= − ≤ −∑ ∑
Caracterização de Sistemas LIT
– Assim, considerando que a amplitude de |x[n]| 
é limitada em B, então a condição para 
estabilidade do sistema deve ser 
absolutamente somável
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y n x k h n k y n B h n k∞ ∞≤ − → ≤ −∑ ∑
– Analogamente, para sistemas LIT de tempo 
contínuo tem-se
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k k
y n x k h n k y n B h n k
=−∞ =−∞
≤ − → ≤ −∑ ∑
[ ] [ ]
k k
B h n k h n k
∞ ∞
=−∞ =−∞
− < ∞→ − < ∞∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t d x t h t dτ τ τ τ
∞ ∞
−∞ −∞
= − ≤ −∫ ∫
Caracterização de Sistemas LIT
– Assim, a condição para estabilidade do 
sistema deve ser absolutamente integrável
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t d y t B h t dτ τ τ τ
∞ ∞
−∞ −∞
≤ − → ≤ −∫ ∫
−∞ −∞
∫ ∫
( ) ( )B h t d h t dτ τ τ τ
∞ ∞
−∞ −∞
− < ∞→ − < ∞∫ ∫
Caracterização de Sistemas LIT
• Resposta ao degrau unitário
– Seja um sistema LIT de tempo discreto ou 
contínuo, então para uma entrada x[n] = u[n] 
e uma resposta ao impulso h[n], pode-se e uma resposta ao impulso h[n], pode-se 
escrever (considerando a propriedade 
comutativa da convolução)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1
0
n
k m
para m n
para m n
s n u n h n u k h n k h m u n m
∞
=−∞ =−∞
= ≤
= >
= ∗ = − = −∑ ∑ 14243
[ ] [ ]n
m
s n h m
=−∞
= ∑ [ ] [ ] [ ]1h n s n s n= − −
Caracterização de Sistemas LIT
– Analogamente, para sistemas LIT de tempo 
contínuo pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
s t u t h t x t h t d h m u t m dmτ τ
∞
−∞ −∞
= ≤
= ∗ = − = −∫ ∫ 14243
1
0
para m t
para m t
−∞ −∞
= ≤
= >
( ) ( )
t
s t h m dm
−∞
= ∫ ( ) ( )ds th t dt=
Mudança de variável m = t-τ
Caracterização de Sistemas LIT
• Equações Diferenciais Lineares com 
Coeficientes Constantes
– A solução destas equações é obtida como a soma de 
uma solução particular e de uma solução homogênea( ) ( ) ( )y t y t y t= +
em que yp(t) é calculada admitindo que a saída
tem a mesma forma da entrada (resposta
forçada) e yh(t) é calculada como a solução da
equação homogênea (entrada nula). A solução 
homogênea também é denominada resposta natural
( ) ( ) ( )p hy t y t y t= +
Caracterização de Sistemas LIT
– Generalizando, uma equação diferencial 
linear com coeficientes constantes de ordem 
“N” pode ser escrita como
( ) ( )k k( ) ( )
0 0
k kN M
k kk k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
=∑ ∑
Caracterização de Sistemas LIT
• Equações de Diferenças
– Analogamente, um sistema LIT de tempo 
discreto pode ser descrito por meio de 
equações de diferenças, cuja forma geral éequações de diferenças, cuja forma geral é
[ ] [ ]
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
= =
− = −∑ ∑
[ ] [ ] [ ]
0 10
1 M N
k k
k k
y n b x n k a y n k
a
= =
    
= − − −    
    
∑ ∑
1 Infinite Impulse Response (IIR)Se N ≥ →
0 Finite Impulse Response (FIR)Se N = →
Sistema possuiIIR
Sistema possui FIR
Funções de Singularidade
• São funções relacionadas com o impulso 
unitário as quais podem ser utilizadas na prática 
como aproximações destes sinais ideais
• Considerando a propriedade seletiva do • Considerando a propriedade seletiva do 
impulso, pode-se escrever
• Para a aproximação definida por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )se x t tx t x t t t t tδδ δ δ δ== ∗ → = ∗
( )tδ∆
( )
1
, para 0
0, para t fora do intervalo
t
tδ∆
 ≤ ≤ ∆
= ∆
 ∀
Funções de Singularidade
• Assim, a função pode ser 
representada graficamente por 
( )tδ∆
Pulso suficientemente curto
Note que é possível obter uma função
tal que
( )r t∆
( ) ( ) ( )r t t tδ δ∆ ∆ ∆= ∗
Funções de Singularidade
• Análise dos intervalos:
( )0 0para t r t∆< → =
( ) 21 1 10
t
para t r t d tτ∆≤ ≤ ∆→ = =∆ ∆ ∆∫0 ∆ ∆ ∆∫
( ) ( )2 21 1 1 12 2t
t
para t r t d tτ τ
∆ ∆
∆
−∆
−∆
∆ ≤ ≤ ∆→ = = = ∆ −
∆ ∆ ∆ ∆∫
( )2 0para t r t∆> ∆→ =
No limite quando ∆→0, a função 
se comporta como um 
impulso
( )r t∆
Funções de Singularidade
• As funções de singularidade podem ser 
definidas operacionalmente de acordo 
com o comportamento na convolução
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
• Seja uma função Doublet unitário u1(t) definida 
como a resposta ao impulso de um sistema cuja 
saída é dada por
( ) ( ) ( ) ( )dx t d ty t u t δ= → =
A convolução deste sinal com outro genérico x(t) é
( ) ( )1y t u tdt dt= → =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 d ty t x t u t x u t d x ddt
δ τ
τ τ τ τ τ
∞ ∞
−∞ −∞
−
= ∗ = − =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1dx t dx tdy t x t u t x t d x t u tdt dt dtτ δ τ τ
∞
−∞
 
= ∗ = − = ⇒ ∗ = 
 
∫
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
Analogamente, pode-se definir uma função
Doublet unitário u2(t) como a resposta ao 
impulso de um sistema LIT cuja saída é dada por
( ) ( )2 2d x t d tδ
A convolução deste sinal com outro genérico x(t) é
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
22 2
d x t d t
y t u t
dt dt
δ
= → =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2
d x tdy t x t u t x t d
dt dt
τ δ τ τ
∞
−∞
 
= ∗ = − = 
 
∫
( ) ( ) ( )
2
2 2
d x t
x t u t
dt
∗ =
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
( ) ( ) ( )
2
2 2
d x t
x t u t
dt
∗ =
( ) ( )
{
( )2
2
d x t dx t dw td
dt dt dt dt
 
 
 
= =
 
 
Usando o fato que , então
( ) ( )
{
dx t
w t
dt
dt dt dt dt
=
 
 
  
( ) ( ) ( )1dx t x t u tdt = ∗( ) ( ) ( )
( )
{
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 12
dx t
dt
d x t dw t
w t u t x t u t u t
dt dt
=
= = ∗ = ∗ ∗  
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
Comparando-se as expressões
e
( ) ( ) ( )
2
2 2
d x t
x t u t
dt
∗ =
e
pode-se concluir que
( ) ( ) ( )
( )
{
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 12
dx t
dt
d x t dw t
w t u t x t u t u t
dt dt
=
= = ∗ = ∗ ∗  
( ) ( ) ( )2 1 1u t u t u t= ∗
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
Generalizando a função Doublet unitário
uk(t) deve ser
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1ku t u t u t u t= ∗ ∗ ∗L14444244443( ) ( ) ( ) ( )1 1 1k
k vezes
u t u t u t u t= ∗ ∗ ∗L
14444244443
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
• Seja uma função Doublet unitário u
-1(t) definida como a 
resposta ao impulso de um sistema cuja saída é dada 
por
( ) ( ) ( ) ( )
t t
y t x d u t dτ τ δ τ τ
−
= → =∫ ∫
Equivalente a definição de 
Degrau Unitário
Então é possível escrever a saída de um sistema, cuja 
resposta ao impulso seja a função degrau unitário e cuja
entrada genérica seja x(t), como
( ) ( ) ( ) ( )1y t x d u t dτ τ δ τ τ−
−∞ −∞
= → =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 .1.
t
y t x t u t x u t d x dτ τ τ τ τ
∞
− −
−∞ −∞
= ∗ = − =∫ ∫
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
Analogamente, é possível definir uma
Função u
-2(t) como a resposta ao impulso
da saída de um segundo integrador
colocado em cascata com o primeiro comocolocado em cascata com o primeiro como
( ) ( ) ( )
t t
w t x d d d d
σ σ
τ τ σ δ τ τ σ
−∞ −∞ −∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2
0
1.
t t
w t u d d tu t u tσ σ σ
− − −
−∞
= = = =∫ ∫
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
Adicionalmente, para três integradores em
cascata tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
z t x d d d d d d w d
α σ α σ
τ τ σ α δ τ τ σ α α α
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞
= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
e para quatro integradores tem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 30
0
.
2 2
t t t t
z t u d d u t u t u tαα α α α α
− − − −
−∞
 
= = = = = 
 
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3
1 1 1 40
02 2 6 6
t t t tp t u d d u t u t u tβ β ββ β β
− − − −
−∞
 
= = = = = 
 
∫ ∫
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
p t x d d d d d d d d z d
β βα σ α σ
τ τ σ α β δ τ τ σ α β β β
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞
= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
Assim, generalizando, a expressão da resposta ao
impulso do k-ésimo integrador em cascata u
-k(t) é
( )
( )
( ) ( )
1
11
k
k
t
u t u t
k
−
− −
=
− !
sendo u
-k(t) a resposta ao impulso do k-ésimo 
integrador.
Por fim, a saída do segundo integrador da
cascata tem como entrada a saída do primeiro
integrador, o que permite escrever 
( )1k −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1w t y t u t x t u t u t− − −= ∗ = ∗ ∗  
!
Funções de Singularidade –
Doublet Unitário
Enquanto a saída do terceiro integrador 
possui como entrada a saída do segundo 
integrador, o que permite escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z t w t u t x t u t u t u t= ∗ = ∗ ∗ ∗ 
Portanto, para um conjunto de “k” 
integradores em cascata pode-se escrever
para a saída do k-ésimo integrador
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1z t w t u t x t u t u t u t− − − −= ∗ = ∗ ∗ ∗  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
k vezes
out t x t u t u t u t u t
− − − −
= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗K
144444424444443