Slides_Yared_Cap10 [Modo de Compatibilidade]

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Instituto de Ciências Exatas e 
Aplicadas (ICEA) - UFOP
Departamento de Engenharia Elétrica 
(DEELT)
Sinais e Sistemas – CEA562
Prof. Glauco F. G. Yared
Baseado em OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 
2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Capítulo 10
Transformada Z
Transformada Z
• A Transformada Z pode ser vista como 
uma generalização da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto, porém 
considerando que a variável complexa considerando que a variável complexa 
agora pode assumir a forma , ao 
invés de um número imaginário com 
módulo unitário ( )
jz re ω=
jz e ω=
Transformada Z
• A Transformada Z permite a análise de uma 
classe mais ampla de sinais do que a 
Transformada de Fourier de Tempo Discreto, 
inclusive aqueles instáveis
• A Transformada Z é o correspondente em 
tempo discreto da Transformada de Laplace
• Pode-se observar que para r = 1, a 
Transformada Z corresponde a Transformada 
de Fourier de tempo discreto ( )jz e ω=
Transformada Z
• Considerando que um sistema LIT 
responde a uma entrada do tipo 
exponencial complexa rejω (autofunção), 
ponderada por um autovalor H(z), por ponderada por um autovalor H(z), por 
meio da relação
então a Transformada Z é definida por
[ ] ( ) n
n
y n H z z
∞
=−∞
= ∑
( ) [ ] n
n
H z h n z
∞
−
=−∞
= ∑ , sendo jz re ω=
Transformada Z
• Outra notação para a relação entre o sinal 
e a Transformada Z correspondente é 
dada por
[ ] ( )Zh n H z←→
• Note que 
[ ] ( )h n H z←→
( ) ( ) [ ] [ ]j n n j n
n n
X re X z x n z x n r eω ω
∞ ∞
− − −
=−∞ =−∞
= = =∑ ∑
( ) [ ] n j n
n
X z x n r e ω
∞
− −
=−∞
 =  ∑
Transformada Z da
sequência x[n]
Transformada de Fourier de x[n].r-n
Transformada Z
• Considerando que s = σ + jω, a Transformada 
de Laplace se reduz a Transformada de Fourier 
de Tempo Contínuo quando Re{s} = 0, ou seja, 
para s = jω (eixo imaginário)
• Considerando que z = rejω, a Transformada Z se 
reduz a Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto quando |z| = r = 1, ou seja, para z = ejω
(círculo de raio unitário) 
Transformada Z
Transformada Z
• A expressão da Transformada Z possui 
um somatório com limites tendendo ao 
infinito e, por esta razão, é fundamental 
definir a condições de convergência
• De forma similar a Transformada de 
Laplace, a Transformada Z também 
requer a determinação da região de 
convergência (valores de “z” para os quais 
o somatório converge)
Transformada Z
• Exemplo: Determine a Transformada Z de 
[ ] [ ]nx n a u n=
( ) [ ] [ ] ( )1 nn n nX z x n z a u n z az∞ ∞ ∞− − −= = =∑ ∑ ∑
Resolução: 
( ) [ ] [ ] ( )
0n n n
X z x n z a u n z az
=−∞ =−∞ =
= = =∑ ∑ ∑
A série acima converge se |az-1| < 1
( ) 111
zX z
az z a−
= =
− −
para 1 1az z a− < → >
Transformada Z
Transformada Z
• Exemplo: Determine a Transformada Z de 
[ ] [ ]1nx n a u n= − − −
( ) [ ] [ ] ( )1 11 nn n nX z x n z a u n z az∞ ∞ −− − −= = − − − = −∑ ∑ ∑
Resolução:
( ) [ ] [ ] ( )11n n n
n n n
X z x n z a u n z az− − −
=−∞ =−∞ =−∞
= = − − − = −∑ ∑ ∑
( ) ( )0 11 n
n
X z az−
=−∞
= − ∑
Mudança de variável m = -n
a série converge se |a-1z| < 1 1 1a z z a− < → <
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
0 0
11 1 1
1
m m
m m
zX z az a z X z
a z z a
∞ ∞
−
− −
−
= =
= − = − → = − =
− −
∑ ∑
para
Transformada Z
Transformada Z
• Conforme apresentado nos dois exemplos 
anteriores, a Transformada Z de dois sinais 
distintos podem resultar na mesma expressão 
algébrica, sendo necessária a definição da 
região de convergência para diferenciá-losregião de convergência para diferenciá-los
• A completa especificação da Transformada Z 
consiste na determinação da expressão 
algébrica e da região de convergência (RDC)
Transformada Z
• De forma análoga a Transformada de 
Laplace, a expressão racional da 
Transformada Z deve possuir pólo(s) no 
infinito quando a ordem do numerador for infinito quando a ordem do numerador for 
maior que a ordem do denominador. Além 
disso, deve possuir zero(s) no infinito 
quando a ordem do numerador for menor 
que a ordem do denominador
Propriedades da RDC
• Propriedade 1: 
– A região de convergência (RDC) consiste de 
um anel centrado na origem do plano Z
• Propriedade 2:• Propriedade 2:
– A RDC não contém pólos
• Propriedade 3:
– A RDC consiste de todo o plano Z, caso o 
sinal x[n] tenha duração finita
( ) [ ]2
1
N
n
n N
X z x n z−
=
= ∑
Propriedades da RDC
• Propriedade 4:
– Se x[n] for uma sequência lateral direita, 
então a RDC será aquela externa a uma 
circunferência de raio r0circunferência de raio r0
• Dado x[n] = r0 n, tem-se
logo a condição para que a série possa convergir é
( ) [ ] ( )
1 1
1
0 0
nnn n
n n N n N
X z x n z r z r z
∞ ∞ ∞
− − −
=−∞ = =
= = =∑ ∑ ∑
1
0 01r z z r
− < → >
Propriedades da RDC
• Propriedade 5:
– Se x[n] for uma sequência lateral esquerda, 
então a RDC será aquela interna a uma 
circunferência de raio r0circunferência de raio r0
• Dado x[n] = r0 n, tem-se
( ) [ ] ( )2 2 10 0N N nnn n
n n n
X z x n z r z r z
∞
− − −
=−∞ =−∞ =−∞
= = =∑ ∑ ∑
Mudança de variável m = - n
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
0 0
m m
m N m N
X z r z r z
∞ ∞
−
− −
=− =−
= =∑ ∑
1
0 01r z z r
− < → <
Propriedades da RDC
• Propriedade 6:
– Se x[n] for uma sequência bilatera, então a 
RDC consistirá em um anel no plano Z
• Um sinal bilateral pode ser decomposto como uma • Um sinal bilateral pode ser decomposto como uma 
soma de um sinal lateral direito e outro lateral 
esquerdo. Então é intuitivo que o sinal bilateral 
tenha como região de convergência a intersecção 
daquelas regiões correspondentes aos sinais 
lateral direito e esquerdo
Propriedades da RDC
Propriedades da RDC
• Propriedade 7:
– Se X(z) for um racional, então a RDC é limitada por 
pólos ou se extende ao inifinito
• Propriedade 8:
– Se x[n] for um sinal lateral direito e X(z) for racional, – Se x[n] for um sinal lateral direito e X(z) for racional, 
então a RDC será a região do plano Z externa ao 
pólo de maior módulo (mais externo)
• Propriedade 9:
– Se x[n] for um sinal lateral esquerdo e X(z) for 
racional, então a RDC será a região do plano Z 
interna ao pólo de menor módulo (mais interno)
Propriedades da RDC
Transformada Z Inversa
( ) ( ) [ ] [ ]( )j n n j n
n n
X z X re x n z x n r eω ω
∞ ∞
− − −
=−∞ =−∞
= = =∑ ∑
( ) ( ) [ ]{ }j nX z X re F x n rω −= =
Transformada Inversa de [ ] ( )12 j n j nx n X re r e dω ω ωpi= ∫Transformada Inversa deFourier (tempo discreto)
[ ] ( ){ }1n jx n r F X re ω− −=
[ ] ( )
2
1
2
n j j nx n r X re e dω ω
pi
ω
pi
−
= ∫
[ ] ( )
22
n
j j nrx n X re e dω ω
pi
ω
pi
= ∫
[ ] ( )
22
x n X re r e d
pi
ω
pi
= ∫
[ ] ( )( )
2
1
2
nj jx n X re re dω ω
pi
ω
pi
= ∫
j jz re dz jre dω ω ω= ⇒ =
1d dzjzω =
[ ] ( ) 1
2
1
2
nx n X z z dzj pipi
−
= ∫�
Integração 
sobre um 
círculo de 
raio “r”
Transformada Z Inversa
• A Transformada Z Inversa pode ser calculada pela 
expressão
• Em geral, para expressões racionais da Transformada 
[ ] ( ) 1
2
1
2
nx n X z z dzj pipi
−
= ∫�
• Em geral, para expressões racionais da Transformada 
Z, realiza-se a Expansão em Frações Parciais para a 
obtenção da Transformada Z inversa
• Outro método para a determinação da Transformada Z 
inversa consiste na realização da Divisão Longa
(Expansão em Série de Potências)
Transformada Z Inversa
• Exemplo: Divisão longa (Expansão em 
Série de Potências)
– Calcule a Transformada inversade usando 
divisão longa
( ) 111X z az−= −
1 11 az−−
111 az−−
1az− 11 az−−
11 az−−
1az−1 2 2az a z− −−
2 2a z−
2 2a z−2 2 3 3a z a z− −−
11 az−−3 3a z−
3 3 4 4a z a z− −−
3 3
a z−
M
Transformada Z Inversa
• Assim, pode-se observar que X(z) será dada pela 
seguinte expansão em série de potências:
Deste modo, comparando-se a expressão acima
com a definição da Transformada Z
( ) 1 2 2 3 31 n nX z az a z a z a z− − − −= + + + + +L
com a definição da Transformada Z
é possível verificar que
( ) [ ] n
n
X z x n z
∞
−
=−∞
= ∑
[ ] [ ]nx n a u n=
Propriedades da Transformada Z
Sinais e Transformadas Z
Análise e Caracterização de Sistemas 
LIT por meio de Transformadas Z
• Dado um sinal de entrada x[n] e a 
resposta ao impulso h[n] de um sistema 
LIT, então a saída será dada por
[ ] [ ] [ ]y n x k h n k∞= −∑
No domínio da frequência, tem-se
sendo H(z) a função de transferência
[ ] [ ] [ ]
k
y n x k h n k
=−∞
= −∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
Y z
Y z X z H z H z
X z
= ⇒ =
Análise e Caracterização de Sistemas 
LIT por meio de Transformadas Z
• Causalidade
– Um sistema LIT é causal se a saída, em qualquer 
instante, depender apenas dos valores presentes e 
passados das entradas
– Um sistema causal deve possuir função de – Um sistema causal deve possuir função de 
transferência do tipo
– Um sistema LIT é causal se a RDC for o exterior de 
um círculo que inclui o polo mais externo (sinal 
lateral direito) e a ordem do numerador for menor que 
a do denominador (o inifinito está incluído na RDC)
( ) [ ]
0
n
n
H z h n z
∞
−
=
=∑
Análise e Caracterização de Sistemas 
LIT por meio de Transformadas Z
• Estabilidade
– Um sistema LIT é estável se a sua 
Transformada de Fourier for definida. Então, 
a RDC deve inlcuir o círculo de raio unitárioa RDC deve inlcuir o círculo de raio unitário
– Um sistema LIT causal é estável se todos os 
pólos da expressão algébrica tiverem módulo 
menor que 1, ou seja, todos os pólos devem 
estar dentro do círculo de raio unitário
Sistemas LIT Caracterizados por Equações de 
Diferenças Lineares com Coeficientes Constantes
• A expressão genérica de uma equação de 
diferenças linear com coeficientes 
constantes é dada por
[ ] [ ]N M∑ ∑[ ] [ ]
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
= =
− = −∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0 0
0
M
k
kN M
k k k
k k N
kk k
k
k
b zY z
a z Y z b z X z H z
X z
a z
−
− − =
−= =
=
= ⇒ = =
∑
∑ ∑
∑
Transformada Z
Transformada Z Unilateral
• Particularmente útil na análise de 
sistemas causais
[ ]{ } [ ]
0
n
n
UZ x n x n z
∞
−
=
=∑
• A Transformada Z Unilateral de x[n] é 
equivalente a Transformada Z bilateral de 
x[n]u[n]
• A RDC é sempre o exterior de um 
determinado círculo de raio r0
0n