apostila de contabilidade

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1ºBimestre 
·	 Introdução
·	Importância da Matemática financeira 
·	Fundamentos 
·	Taxas: percentual, unitária. 
·	Capital, juro e montante. 
·	Regimes de capitalização 
·	Fluxo de caixa 
·	 Juros Simples 
·	 Fórmulas do Juro e do Montante 
·	 Taxas equivalentes 
·	 Juro Exato e juro Comercial 
·	 Valor Nominal e valor Atual 
·	Descontos Simples 
Matemática Finance ira Prof. Ms. José Alberto Yemal 
·	Conceitos básicos 
·	Desconto simples Racional ou “Por Dentro”. 
·	 Desconto simples Comercial ou “Por Fora”. 
·	Taxa de Desconto e Taxa Efetiva 2ºBimestre 
·	Juros Compostos 
·	Fórmula do Montante Composto 
·	Taxas equivalentes 
·	 Cálculo do montante em um número fracionário de períodos 
·	Período de capitalização diferente do período da taxa 
·	Valor Atual e valor Nominal a juros compostos 
·	Séries de Capitais 
·	Conceito 
·	Série Básica 
·	Valor Atual da Série Básica 
·	Montante da Série Básica 
BIBLIOGRAFIA
 Bibliografia Básica: MERCHEDE, Alberto. HP-12C: Cálculos e Aplicações Financeiras . 1ª Edição. São Paulo. Editora ATLAS S. A. - 2009. BRUNI, Adriano Leal & FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 4ª Edição. São Paulo. Editora ATLAS S.A. – 2007. MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 5ª Edição. São Paulo. Editora ATLAS – 2008. Bibliografia Complementar: HAZZAN, Samuel & POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 6ª Edição. São Paulo - Editora SARAIVA, 2007. LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. São Paulo – Ed. CAMPUS/ELSEVIER - 2005. 
Conceitos básicos 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos de finem qual de verá ser a r emuneração, mais conhecida como taxa de juros. Um conceito importante no estudo da Matemática Fi nanceira é o de inflação. Entenderemos como INFLAÇÃO num determinado perío do de tempo, como sendo o aumento médio de preços, ocorrido no período considerado, usualmente medid o por um índice expresso como uma taxa percentual relativa a este mesmo período. O governo quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a inflação, diminue a quantidade de dinheiro disponível no mer cado para em préstimos. Ass im, a remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga, de smotivando -o a consumir imediatamente e atraente para quem tem o dinheiro, estimulando-o a poupar. Na época de inflação alta, quando a cad erneta de poupança pagava até 30% ao mês, alguns tinham a falsa impressão de que logo ficariam r icos, com os altos juros pagos pelo banco. O que não percebiam é que, dependendo do desejo de consumo, ele poderia ficar cada vez mais distante, subindo de preço numa proporção maior que os 30% recebidos. A taxa de juros que o banco cobr a e paga inclue, além de ítens como o r isco e o tempo de empréstimo, a expectativa de inflação para período. A remuneração real, ou taxa real de uma aplicação será calculada exclui ndo -se o percentual de inflação que a taxa efetiva embute
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente inter valo. Ou seja: o juro de cada inter valo de tem po é incor porado ao capital inicial e passa a rende e juros também.
 Quando usamos juros simples e juros compostos? 
 A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
FLUXO DE CAIXA 
 O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um per íodo de tempo. O tempo é repr esentado na hor izontal div idido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são repr esentados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são r epresentados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo: Chamamos de VP o valor presente , que significa o valor que eu te nho na data 0; VF é o valor futuro , que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
JUROS SIMPLES 
 O regime de juros ser á simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros . Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P . i . n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos) M = P . (1 + i . n) Exemplo: Calcule o mo ntante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: P = R$ 70.000,00 i = 10,5% a.a. => 10,5/100 = 0,105 => 0,105 / 360 = 0,0002916666 n = 145 dias M = P . (1 + i.n) M = 70000 (1 + 0,0002916666. 145) = R$ 72.960,42. Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Daí ter dividido 10, 5% por 360, para o bter o valor equivalente em dias, já que um ano comercial possui 360 dias. Ás vezes o período de aplicação o u empréstimo é uma fração do período expresso na taxa de juros . Nestes casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente. Ta xas Equivalentes são aquelas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo juro. Exemplo: Um banco o ferece 36 % a.a. pelo regime de juros simples. Gostaria de saber quanto ganharia, se aplicasse R$ 10.000 em 1 mês? R: R$ 300,00 0.36 / 12 = 0.03 a.m. ou 3 % a.m. 10.000 x 0.03 = 300 Neste exemplo achamos primeiro a taxa mensal equiv alente aos 36 % a.a., para calcularmos os juros gerados em 1 mês de aplicação. Exemplo: Quanto equiv alerá uma taxa de 3.05 % a.m., juros simples, em 22 dias de aplicação? ( 0.0305 / 30 ) x 22 = 0.0224 ou 2.24 % Exemplo: Q uanto devo pagar por uma dívida de R$ 550,00 a uma taxa de 12 %a.t., juros simples, se já se passou 1 ano e 4 meses? ( 0.12 / 3 ) x 16 = 0.64 550 x ( 1+ 0.64 ) = 902,00 Exercícios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 ou 2,167 % aq (a quinzena) Logo, 4m15d = 9 quinzenas (15 dias = 1 quinzena) j = 1200 x 0.02167 x 9 = 234 2 - Ca lcular os juros simples produzidos por R$ 40.000 ,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. A gora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$ 5.000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.((1,2/100)/30).(75) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Logo. 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses. Taxa de juros efetiva de uma operação de Desconto Comercial ou Bancário É a taxa que, aplicada sobre o Valor Atual (calculado pelo modo comercial ou bancário), produz o valor nominal do título (montante). Os cálculos de apuração da tax a racional (desconto por dentro) de juros podem ser substituídos pelo emprego direto da fórmula: 
D = VN. d . n 
D = 5.000 x 0,04 x 3 D = R$600,00 
Ü Valor do Desconto praticado 
VA = 5.000 - 600 
VA = R$ 4.400,00 Ü Valor recebido pela empresa
M = P . (1 + i . n) 
5.000 = 4.400. (1 + i . 3) 5.000 = 1 + 3 . i \ 1,1364 = 1 + 3 . i 
4.400 
3 . i = 1,1364 – 1 \ 3 . i = 0,1364
 i = 0,0455
 i = 4,55% am Ü Taxa Efetiva (de Juros Simples) da Operação
 Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 
 1º mês: M =P.(1 + i) 
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês a nterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
 Simplificando, obtemos a fórmula:
M=P . (1+i)
20 TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas i1e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de dif erentes sistemas de capitalização, pr oduzem o mesmo montante final. · Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . · O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) · Consideremos agora, o mes mo capital P apli cado por 12 meses a uma taxa mensal im . · O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 . Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’
2 - CAPITAL Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo constituindo assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.(n) 
3 - JUROS Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P), aplicado a uma certa taxa (i), durante um determinado período (n), ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do crédito. A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se: a) inflação 2 - CAPITAL Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo constituindo assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.(n) 
 3 - JUROS Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P), aplicado a uma certa taxa (i), durante um determinado período (n), ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do crédito. A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se: a) inflação.
 3b) risco: os juros produzidos de uma certa forma compensam os possíveis riscos do investimento. c) aspectos intrínsecos da natureza humana: quando ocorre de aquisição ou oferta de empréstimos a terceiros. Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, entre outros, motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado. Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos). Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (veremos adiante, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidame nte – segundo uma função exponencial). 
 3.1 – Juros Simples O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemá tica Financeira, é de uma certa forma, importante. Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos. Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: 
 J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual
 a i. J = P . i . n = Pin 
M = P + J = P + P.i.n = P (1+ I.N) 
Solução: 
Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses.
A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos: Façamos P.i = k. Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P . i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?). Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n são grandezas diretamente proporcionais. Daí infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: • Pelo tempo exato , pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro exato, que é aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando o período é adotada a conversão de ano civil (365 dias) • Pelo ano comercial, pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro comercial que é aquele calculado quando se adota como base o ano comercial (360 dias)
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos à mesma unidade de tempo. Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja: 
Temos que expressar i e n em relação à mesma unidade de tempo. Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses): 
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10
 n = 5 anos = 5 x 6 = 30 bimestres(pois um ano possui 6 bimestres) 
 Então: J = R$ 12.000,00 x 0,10 x 30
 = R$ 36.000,00
21 TAXAS NOMINAIS 
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Alguns exemplos: - 340% ao semestre com capitalização mensal. - 1150% ao ano com capitalização mensal. - 300% ao ano com capitalização trimestral. 
Duas taxas i1 e i 2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo 
·	Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final. 
·	 Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia. 
·	 O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) 
·	 Consideremos agora, o mes mo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . 
·	O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. 
·	 Portanto, P (1 + ia) = P (1 + im) = 12 
·	Daí concluímos que ia = (1 + im)12 -1 Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a um a taxa mensal conhecida
 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, então teremos: ia = (1 + is)2 - 1 
 ia = 1,082 - 1 
 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
a.m = ao mês
a.a = ao ano
a.b= ao bimestre
a.t= ao trimestre
a.s = ao semestre
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses. Teríamos: 
 i = 10% a x b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 
 n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses 
 Então: J = R$ 12.000,00 x 0,05 x 60 = R$ 36.000,00
 6 Solução 01: 
Temos que expressar i e n em relação à mesma unidade de tempo. Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses): 
 i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10 
 n = 5 anos = 5 x 6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres) 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,10 x 30 = R$ 36.000,00 
Solução 02: Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses. Teríamos: 
 i = 10% a x b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
 n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,05 x 60 = R$ 36.000,00 
02 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? 
 Solução 01: Temos: 
M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem: 2P = P(1 + 0,05n) ;
 (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05). 
Simplificando, fica: 2 = 1 + 0,05 n.1 = 0,05 n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses.
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando um montante, capital mais juros, do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante e assim sucessivamente.Pode-se dizer então, que cada montante formado é constituído do capital inicial, juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores. Este processo de formação de juros compostos é diferente daquele descrito para os juros simples, onde somente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que R$ 1.000,00 são empregados a uma taxa de 20% a.a. (ao ano),por um período de 4 anos a juros simples e compostos Teremos: 
Exemplo 2: 
Um empresário faz uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês por um prazo de dois meses. 1º Mês: O capital de R$ 1.000,00 produz um juros de R$ 100,00 (10% de R$ 1.000,00), pela fórmula dos juros simples já estudada anteriormente, ficaria assim: M = C x (1 + i) M = 1.000,00 x (1 + 0,10) M = 1.100,00 2º Mês: O montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim: M = 1.100,00 x (1 + 0,10) M = 1.210,00 Tomando-se como base a fórmula dos juros simples o montante do 2º mês pode ser assim decomposto: 
 C x (1 + i ) x (1 + i ) 
M = 1.000,00 x (1 + 0,10 ) x (1 + 0,10 ) 
 M = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 
 M = 1.210,00 
Exemplo 3: A loja São João financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.00,00, sem entrada, pelo prazo de 8 meses a uma taxa de 1,422. Qual o valor do montante pago pelo cliente. 
 M = C x (1 + i) n 
M = 16.000,00 x (1 + 1,422)8 
 M = 22.753,61
Fórmula para o cálculo de Juros compostos 
Considere o capital inicial(P) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês: 
• Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1) 
• Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2 
• Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)
Onde: 
 S / M = montante; 
 P / C = principal ou capital inicial
 i = taxa de juros e 
 n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. 
DESCONTO BANCÁRIO 
 Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras. É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título. Exemplo: Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas admi nistrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.