Alg Aula07 Diagonalizacao operadores

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Álgebra Linear
Diagonalização de Operadores
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Diagonalização de Operadores
• Objetivo: Encontrar uma base no espaço vetorial 
na qual a matriz de um determinado operador 
linear seja a mais simples possível
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linear seja a mais simples possível
Base de Autovetores
• Dado um operador linear T:V→V, nosso objetivo é 
conseguir uma base β de V na qual a matriz do 
operador nessa base ([T]β ) seja uma matriz 
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operador nessa base ([T]ββ) seja uma matriz 
diagonal que é a forma mais simples possível de 
se representar uma transformação
Base de Autovetores
• Teorema: Autovetores associados a autovalores 
distintos são linearmente independentes.
• Corolário: Se V é um espaço vetorial de 
dimensão n e T:V→V é um operador linear que 
possui n autovetores distintos, então V possui 
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possui n autovetores distintos, então V possui 
uma base cujos vetores são todos autovetores de 
T
�Em outras palavras, se conseguirmos encontrar tantos 
autovetores distintos quanto for a dimensão do espaço, 
podemos garantir a existência de uma base de 
autovetores
Base de Autovetores
• Exemplo 1: Seja T:R2→R2 o operador linear 
definida por T(x, y) = (-3x+4y, -x + 2y) cuja matriz 
em relação à base canônica α é:
[T]αα = 
-3 4
-1 2
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• queremos encontrar uma base β de autovetores, 
se possível, e ainda observar de que tipo é a 
matriz [T]αα
[T] α = 
-1 2
Base de Autovetores
• Exemplo: 1 Cálculo dos autovalores e autovetores:
det = 0
λ2 + λ - 2 = 0 ⇒ λ1 = 1 e λ2 = -2
-3-λ 4
-1 2-λ
Cont.
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λ2 + λ - 2 = 0 ⇒ λ1 = 1 e λ2 = -2
λ1 = 1 ⇒ v1 = (y, y) 
λ2 = -2 ⇒ v2 = (4y, y)
Base de Autovetores
• Exemplo 1: Como temos dois autovalores 
diferentes podemos garantir, a existência de uma 
base de autovetores
�Lembrando que estamos no R2 e dim R2 = 2
• Temos dois autovetores associados a λ1 e λ2
Cont.
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• Temos dois autovetores associados a λ1 e λ2
�Com eles podemos formar os vetores v1 = (1, 1) e v2 = 
(4, 1) os quais formam uma base em R2
� Isto é, o espaço admite uma base β = {v1, v2} formada 
por autovetores de T
• Calculemos [T]ββ ....
Base de Autovetores
• Exemplo 1: Como, por definição:
�T(v1) = λ1v1 = λ1v1 + 0.v2 = 1.v1 + 0.v2
�T(v2) = λ2v2 = 0.v1 + λ2.v2 = 0.v1 - 2.v2
• Então: [T]β =
Cont.
1 0
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• Então: [T]ββ =
• Observando que a matriz em relação à base de 
autovetores é diagonal
1 0
0 -2
Base de Autovetores
• Exemplo 2: Seja T:R3→R3 o operador linear cuja 
matriz em relação à base canônica α é:
[T]αα = 
3 0 -4
0 3 5
0 0 -1
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• p(λ) = det([T]αα - λI) = (3 - λ)2(-1 - λ)
• ⇒λ1 = 3 e λ2 = -1
�Observe que λ1 = 3 tem dupla multiplicidade
0 0 -1
Base de Autovetores
• Exemplo 2: 
�Para λ1 = 3 temos v = (x, y, 0) ⇒ [(1, 0, 0), (0, 1, 0)]
• v1 = (1, 0, 0)
• v2 = (0, 1, 0)
�Para λ2 = -1 temos v = (z, -5z/4, z) ⇒ [(1, -5/4, 1)]
• v = (1, -5/4, 1)
Cont.
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• v3 = (1, -5/4, 1)
�Então β = {v1, v2, v3} é uma base de R3 constituída de 
autovetores de T e 
[T]ββ = 
3 0 0
0 3 0
0 0 -1
Observe que, dada a dupla
multiplicidade, λ1 aparece
duas vezes
Novamente, temos uma
matriz diagonal...
Base de Autovetores
• Não é por acaso que as duas matrizes dos 
exemplos anteriores são diagonais
• Dada uma transformação linear qualquer T:V→V, 
se conseguirmos uma base β = {v1, v2,..., vn} 
formada por n autovetores de T, então, como:
�T(v ) = λ v + 0.v + .... + 0.v
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�T(v1) = λ1v1 + 0.v2 + .... + 0.vn
�T(v2) = 0.v1 + λ2.v2 + .... + 0.vn
� ....
�T(vn) = 0.v1 + 0.v2 + .... + λn.vn
• A matriz [T]ββ será uma matriz diagonal onde os 
elementos da diagonal principal são os 
autovetores λi
Base de Autovetores
[T]ββ =
λ1 0 ... 0
0 λ2 ... 0
... ... .... ...
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... ... .... ...
0 0 ... λn
Base de Autovetores
• Definição: T:V→V um operador linear. Dizemos 
que T é um operador diagonalizável se existe 
uma base de V cujos elementos são autovetores 
de T
• Os exemplos 1 e 2 anteriores são 
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• Os exemplos 1 e 2 anteriores são 
diagonalizáveis
Base de Autovetores
• Exemplo 3: Seja T:R3→R3 o operador linear 
cuja matriz em relação à base canônica α é:
[T]αα = 
3 -3 -4
0 3 5
0 0 -1
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• p(λ) = (3 - λ)2(-1 - λ)
�Para λ1 = 3 ⇒ v1 = (x, 0, 0) ou [(1, 0, 0)]
�Para λ2 = -1 ⇒ v2 = (-z/16, -5z/4, z) ou [(-1, -20, 16)]
• Nesse caso, temos apenas dois autovetores LI 
não podendo formar uma base de R3
�Logo T não é diagonalizável
Polinômio Minimal
• Definição: Seja p(x) = anxn + .. + a1x + a0 um 
polinômio e A uma matriz quadrada. Então p(A) 
é a matriz:
�p(A) = anAn + .. + a1A + a0I
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�p(A) = anAn + .. + a1A + a0I
�onde I é a matriz identidade
• Quando p(A) = 0, dizemos que o polinômio 
anula a matriz A
Polinômio Minimal
• Exemplo:
�p(x) = x2 – 9, q(x) = 2x + 3
�A = 
-1 4
2 1
-1 4 -1 4 1 0 0 0
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p(A) = - 9. =-1 4
2 1
-1 4
2 1
1 0
0 1
0 0
0 0
q(A) = 2. + 3. =-1 4
2 1
1 0
0 1
1 8
4 5
Logo, p(x) anula A e q(x) não anula A
Polinômio Minimal
• Definição: Seja A uma matriz quadrada. O 
polinômio minimal de A é um polinômio
�m(x) = xk + ak-1xk-1 + ... + a0
• Tal que:
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• Tal que:
� i) m(A) = 0, i.e., m(x) anula a matriz A
� ii) m(x) é o polinômio de menor grau dentre aqueles 
que anulam A
• Observe que ak = 1
Polinômio Minimal
• Teorema: Sejam T:V→V um operador linear e α
uma base qualquer de V de dimensão n:
• Então T é diagonalizável se, e somente se, o 
polinômio minimal de [T]α é da forma
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polinômio minimal de [T]αα é da forma
�m(x) = (x – λ1)(x – λ2).... (x – λk)
�Com λ1, λ2, ..., λk distintos
Polinômio Minimal
• Teorema de Cayley-Hamilton: Seja T:V→V um 
operador linear, α uma base de V e p(x) um 
polinômio característico de T:
• Então:
p([T]αα) = 0
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p([T] α) = 0
• Isto significa que o polinômio característico é um 
candidato a polinômio minimal porque ele 
satisfaz a condição (i) da definição de polinômio 
minimal
Polinômio Minimal
• Exemplo: No caso de uma matriz 2x2:
• Seja
� [T]αα = 
• Então o polinômio característico é:
a b
c d
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• Então o polinômio característico é:
�p(λ) = det - λ. = (a– λ)(d – λ) - bc
�Fazendo λ = [T]αα, temos:
a b
c d
1 0
0 1
Polinômio Minimal
• Exemplo:
�p([T]αα) = (a - )(d - ) -
- bc = 
a b
c d
1 0
0 1
Cont.
1 0
0 1
a b
c d
1 0
0 1
0 0
0 0
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- bc = 
0 1 0 0
Polinômio Minimal
• Teorema: As raízes do polinômio minimal são 
as mesmas raízes (distintas) do polinômio 
característico
• Com esses dois teoremas, sabemos que o 
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• Com esses dois teoremas, sabemos que o 
polinômio minimal deve ser de grau menor ou, 
no máximo, igual ao do polinômio característico 
e deve ter as mesmas raízes
Polinômio Minimal
• Exemplo: Seja T:V→V um operador linear e α
uma base de V. Suponhamos que o polinômio 
característico de T seja:
�p(λ) = (λ – 3)2(λ – 1)3(λ + 5)
• Então seu polinômio característico será um dos 
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• Então seu polinômio característico será um dos 
polinômios
�p(λ) = (λ – 3)r(λ – 1)s(λ + 5), 1 ≤ r ≤ 2, 1 ≤ s ≤ 3
• Como o polinômio minimal é o de menor grau, 
verificamos primeiro para r = s = 1
• Se p1([T]αα) = 0, então ele é o minimal, senão 
testamos o próximo
Polinômio Minimal
• Teorema: Sejam λ1, λ2, ..., λr os autovalores 
distintos de um operador linear T. Então T será 
diagonalizável se, e somente se o polinômio:
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� (x - λ1)(x – λ2).... (x - λr)
• anular a matriz de T.
Polinômio Minimal
• Exemplo: O operador linear T:R4→R4 definido 
por T(x, y, z, t) = (3x – 4z, 3y – 5z, -z, -t) é 
diagonalizável?
• Solução:
�α = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
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�α = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
� [T]αα = 
�Polinômio característico:
• p(λ) = det([T]αα - λI) = (3 - λ)2(-1 - λ)2
3 0 -4 0
0 3 -5 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
Polinômio Minimal
• Exemplo: Tanto λ1 = 3 quanto λ2 = -1 têm 
multiplicidade 2
• Então os candidatos a polinômio minimal são:
�p1(x) = (x - 3)(x + 1)
�p2(x) = (x - 3)2(x + 1)
Cont.
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�p2(x) = (x - 3) (x + 1)
�p3(x) = (x - 3)(x + 1)2
�p4(x) = (x - 3)2(x + 1)2
• Testando, temos que p1([T]αα) = 0
• Logo, ele é o polinômio minimal (o de menor 
grau)
Polinômio Minimal
• Exemplo: Assim, T é diagonalizável
• Isto é, existe uma base β de autovalores e, 
nesta base:
� [T]ββ = 
Cont.
3 0 0 0
0 3 0 0
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� [T]ββ = 0 3 0 00 0 -1 0
0 0 0 -1
Diagonalização de Operadores
• Exemplo: (Exercício 6) T: R3→ R3 linear, α = 
{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e β = {(0,1,1), (0,-1,1), 
(1,0,1)} e
� [T]αα =
2 0 1
0 -3 1
0 0 -3
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�a) Encontre o polinômio característico de T, os 
autovalores e os autovetores.
�b) Ache [T]ββ e o polinômio característico.
�c) Encontre uma base γ de R3, se possível, tal que 
[T]γγ seja diagonal.
0 0 -3
Diagonalização de Operadores
• Exemplo: (Exercício 6)
�a) Polinômio característico
Cont.
2-λ 0 1
0 -3-λ 1
0 0 -3-λ
det = 0
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0 0 -3-λ
(2 - λ)(-3 - λ)2 = 0
(2 - λ)(9 + 6λ + λ2) = 0
λ3 + 4λ2 - 3λ - 18 = 0 Polinômio
Característico
Diagonalização de Operadores
• Exemplo: (Exercício 6)
�a) Autovalores
Cont.
2-λ 0 1
0 -3-λ 1
0 0 -3-λ
det = 0
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0 0 -3-λ
(2 - λ)(-3 - λ)2 = 0
(2 - λ)(3 + λ)2 = 0
λ1 = 2, λ2 = -3 Autovalores
Diagonalização de Operadores
• Exemplo: (Exercício 6)
�a) Autovetores
Cont.
2x + z = λx
-3y + z = λy
-3z = λz
λ = 2
De forma geral:
λ = -3
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λ1 = 2 λ2 = -3
2x + z = 2x
-3y + z = 2y
-3z = 2z
2x + z = -3x
-3y + z = -3y
-3z = -3z
z = 0
⇒ y = 0
⇒ x = x
⇒ v1 = (x, 0, 0)
z = z
⇒ z = 0
⇒ x = 0
⇒ v2 = (0, y, 0)
Diagonalização de Operadores
• Exemplo:
�b) Ache [T]ββ e o polinômio característico.
� [T]ββ = A.[T]αα.A-1, onde A = [ I ]αβ
� [ I ]αβ = ?
Cont.
Linhas
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β
� (1, 0, 0) = a(0, 1, 1) + b(0, -1, 1) + c(1, 0, 1)
� (0, 1, 0) = d(0, 1, 1) + e(0, -1, 1) + f(1, 0, 1)
� (0, 0, 1) = g(0, 1, 1) + h(0, -1, 1) + i(1, 0, 1)
a = -1/2, b = -1/2, c = 1
d = 1/2, e = -1/2, f = 0
g = 1/2, h = 1/2, I = 0
-1/2 1/2 1/2
-1/2 -1/2 1/2
1 0 0
[ I ]αβ =
a d g
b e h
c f i
viram
Colunas!
Diagonalização de Operadores
• Exemplo:
�b) Ache [T]ββ e o polinômio característico.
� [T]ββ = A.[T]αα.A-1, onde A = [ I ]αβ
Cont.
-1/2 1/2 1/2
-1/2 -1/2 1/2[ I ]αβ =
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-1/2 -1/2 1/2
1 0 0
0 0 1
1 -1 0
1 1 1
([ I ]βα) = ([ I ]αβ)-1 = 
Diagonalização de Operadores
• Exemplo:
�b) Ache [T]ββ e o polinômio característico.
� [T]ββ = A.[T]αα.A-1, onde A = [ I ]αβ
Cont.
-1/2 1/2 1/2
-1/2 -1/2 1/2[ T ]ββ =
0 0 1
1 -1 0
2 0 1
0 -3 1
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-1/2 -1/2 1/2
1 0 0
[ T ]ββ = 1 -1 0
1 1 1
0 -3 1
0 0 -3
[ T ]ββ =
-3 0 -5/2
-1 -4 -7/2
1 1 3
Diagonalização de Operadores
• Exemplo:
�b) Ache [T]ββ e o polinômio característico.
Cont.
det = 0 
-3-λ 0 -5/2
-1 -4-λ -7/2
1 1 3-λ
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1 1 3-λ
λ3 + 4λ2 - 3λ - 18 = 0 PolinômioCaracterístico
Igual ao da letra a!!!
Diagonalização de Operadores
• Exemplo: (Exercício 6) 
�c) Encontre uma base γ de R3, se possível, tal que 
[T]γγ seja diagonal.
�Só temos dois autovetores distintos em T. Como V= 
R3, precisaríamos de 3 autovetores para T ser 
Cont.
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R3, precisaríamos de 3 autovetores para T ser 
diagonalizável. E isso não pode ser modificado com 
uma mudança de base. Assim, não é possível achar 
uma base tal que T seja diagonal.
Exercícios Sugeridos
• 1
• 3
• 5
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A Seguir...
Produto Interno
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Putz, de 
novo!