Alg_Aula08_Produto Interno

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Álgebra Linear
Produto Interno
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Produto Interno
• Definição: Seja V um espaço vetorial. Um 
produto interno sobre V é uma função que a 
cada par de vetores v1 e v2 associa-se um 
número, <v1,v2>, satisfazendo:
� i) <v, v> ≥ 0, para todo v e <v, v> = 0, sse v = 0
� ii) <αv , v > = α<v , v >, α real
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� ii) <αv1, v2> = α<v1, v2>, α real
� iii) <v1 + v2, v3> = <v1, v3> + <v2, v3>
� iv) <v1, v2> = <v2, v1>
• Ex: v1 = (x1, x2, x3) e v2 = (y1, y2, y3)
⇒ <v1, v2> = x1.y1 + x2.y2 + x3.y3
Produto Interno
• Definição: Seja V um espaço vetorial com 
produto interno < , >. Diz-se que dois vetores v
e w de V são ortogonais (em relação a esse 
produto interno) se <v, w> = 0
�No caso, escrevemos v ⊥ w
• Propriedades:
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• Propriedades:
� i) 0 ⊥ v, para todo v ∈ V
� ii) v ⊥ w implica que w ⊥ v
� iii) Se v ⊥ w, para todo w ∈ V, então v = 0
� iv) Se v1 ⊥ w e v2 ⊥ w, então v1 + v2 ⊥ w
�v) Se v ⊥ w e λ é um escalar, então λv ⊥ w
Produto Interno
• Teorema: Seja {v1, ..., vn} um conjunto de 
vetores não nulos dois a dois ortogonais, isto é:
�<vi, vj> = 0, para todo i ≠ j
• então {v1, ..., vn} é LI
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• Definição: Diz-se que uma base {v1, ..., vn} de 
V é base ortogonal se <vi, vj> = 0, para todo i≠j. 
Isto é, os vetores da base são dois a dois 
ortogonais
Norma
• Definição: Seja V um espaço vetorial com 
produto interno < , >. Definimos a norma (ou 
comprimento) de um vetor v em relação a esse 
produto interno como ||v|| = √<v, v>
• Se ||v|| = 1, isto é, <v, v> = 1, v é chamado de 
vetor unitário (diz-se que v está normalizado)
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vetor unitário (diz-se que v está normalizado)
• Propriedades:
� i) ||v|| ≥ 0 e ||v|| = 0, sse, v = 0
� ii) ||αv|| = |α|.||v||, α real
� iii) |<v, w>| ≤ ||v||.||w|| (Desigualdade de Schwarz)
� iv) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| (Desigualdade Triangular)
Ângulo entre Dois Vetores
• Existe um ângulo θ entre 0 e π radianos tal que:
�cos θ = <v, w> / (||v||.||w||)
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Base Ortonormal
• Definição: Seja V um espaço vetorial com 
produto interno. Diz-se que uma base β = {v1, ..., 
vn} de V é ortonormal se for ortogonal e cada 
vetor for unitário, isto é:
�<vi, vj> = 
• 0, se i ≠ j
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• 0, se i ≠ j
• 1, se i = j
• Observe que, se tivermos uma base ortonormal 
{v1, ..., vn}, os coeficientes xi de um vetor 
w=x1v1+...+xnvn são dados por:
�xi = <w, vi> / <vi, vi> = <w, vi>
Chamados de 
coeficientes de Fourier
Base Ortonormal
• Exemplo: Seja V = R2 e < , > o produto interno 
usual e β = {(1, 0), (0, 1)} uma base ortonormal, 
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temos x1 = <v, e1> e x2 = <v, e2>
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• A partir de uma base qualquer de um espaço 
vetorial existe um processo para se obter uma 
base ortonormal
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• Vamos entender o processo para uma base β = 
{v1, v2} e depois generalizaremos o processo...
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Seja v1’ = v1
• Precisamos encontrar, a partir de v2 um novo 
vetor v2’ ortogonal a v1’, isto é:
�<v2’, v1’> = 0
• Para isso, tomamos v2’ = v2 – c.v1’, onde c é um 
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número escolhido de modo que <v2’,v1’>=0, isto 
é, <v2 – c.v1’, v1’>=0
• Isso significa que c = <v2, v1’>
<v1’, v1’>
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
v2’ = v2 – c.v1’
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Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Ficamos então com
�v1’ = v1
�v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>). v1’
• Observe que v2’ foi obtido de v2, subtraindo 
deste a projeção do vetor v2 na direção de v1’
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� (<v2, v1’>/<v1’, v1’>). v1’
• e que v1’ e v2’ são vetores ortogonais não nulos
• Podemos então normalizá-los:
�u1 = v1’/||v1’|| e u2 = v2’/||v2’||
• β = {u1, u2} é ortonormal
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Exemplo: Seja β = {(2,1), (1,1)} uma base do R2
• Vamos obter a partir de β uma base ortonormal 
em relação ao produto interno usual
�Sejam v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1)
�v1’ = v1 = (2, 1)
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�v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>). v1’
�v2’ = (1,1) – (<(1,1), (2,1)>/<(2,1),(2,1)>). (2,1)=( -1, 2)
�Normalizando os vetores temos:
�u1= v1’/||v1’|| = (2/√5,1/√5) e u2=v2’/||v2’||= (-1/√5,2/√5)
• β = {u1, u2} é uma base ortonormal
5 5
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• De maneira geral, a partir de uma base β= {v1, 
..., vn} de um espaço vetorial V, construímos a 
base ortonormal {v1’, ..., vn’} dada por:
�v1’ = v1
�v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>).v1’
�v ’=v - <v ,v ’>.v ’ - <v ,v ’>.v ’
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�v3’=v3 - <v3,v2’>.v2’ - <v3,v1’>.v1’
� ....
�vn’ = vn – (<vn, vn-1’>/<vn-1’, vn-1’>).vn-1’ – .... –
(<vn,v1’>/<v1’,v1’>).v1’
• Esse procedimento é conhecido como processo 
de ortogonalização de Gram-Schmidt
<v2’,v2’> <v1’,v1’>
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Se quisermos obter uma base ortonormal basta 
normalizarmos os vetores vi’
• Isto é, tomando ui = vi’/||vi’||, obtemos a base de 
vetores ortonormais {u , ..., u } 
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vetores ortonormais {u1, ..., un} 
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Exemplo 1: Seja β={(1,1,1),(0,2,1),(0,0,1)} uma 
base de R3
• Vamos obter a partir de β uma base ortonormal 
em relação ao produto interno
• Sejam:
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�v1 = (1, 1, 1)
�v2 = (0, 2, 1)
�v3 = (0, 0, 1)
• Temos:
�v1’ = v1 = (1, 1, 1)
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Exemplo 1:
�v2’ = v2 – <v2, v1’>.v1’
�v2’ =(0,2,1)–(<(0,2,1),(1,1,1)>/<(1,1,1),(1,1,1)>).(1,1,1)
�v2’ = (-1, 1, 0)
Cont.
<v1’,v1’>
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�v3’ =v3 – <v3,v2’>.v2’ – <v3,v1’>.v1’
�v3’=(0,0,1)–(<(0,0,1),(-1,1,0)>/<(-1,1,0),(-1,1,0)>).(-1,1,0) 
– (<(0,0,1),(1,1,1)>/<(1,1,1,),(1,1,1>).(1,1,1)
�v3’ = (-1/3, -1/3, 2/3)
<v1’,v1’><v2’,v2’>
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Exemplo 1:
• Normalizando:
�u1 = (1/√3, 1/√3, 1/√3)
�u2 = (-1/√2, 1/√2, 0)
�u3 = (-1/√6, -1/√6, 2/√6)
Cont.
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• e β = {u1, u2, u3} é uma base ortonormal
• Poderíamos gerar um outra base ortonormal a 
partir de v2 ou v3 (por exemplo, fazendo v1’=v3)
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Exemplo 2:
• Seja β = {(1,0), (0,1)} a base canônica de R2
• Vamos obter a partir de β uma base ortonormal 
em relação ao produto interno de R2, definido por
�<(x1, y1),(x2, y2)> = 2x1x2 – x1y2 – x2y1 + y1y2
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1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
• Sejam v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1)
�v1’ = (1,0) ⇒ u1 = (1/√2, 0) (normalizando)
�v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>).v1’ = (½, 1)
⇒ u2 = (√2/2, √2) (normalizando)
• β = {u1, u2} é uma base ortonormal
Complemento Ortogonal
• Consideremos um espaço vetorial V munido de 
um produto interno < ,> e um subconjunto não-
vazio S de V (S não é necessariamente um 
subespaço)
• Consideremos então o subconjunto de V:�S⊥ = {v∈V: v é ortogonal a todos os vetores de S}
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�S⊥ = {v∈V: v é ortogonal a todos os vetores de S}
�S⊥ é chamado de complemento ortogonal de S
Produto Interno
• Exemplo: (Exercício 5) Seja β = {(1,1,0), (1,0,1), 
(0,2,0)}. Ache uma base ortonormal β’ de R3, em 
relação ao produto interno usual.
• Solução:
�v1’ = (1, 1, 0)
�v ’ = v - <v , v ’> .v ’ = (1/2, -1/2, 1)
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�v2’ = v2 - <v2, v1’> .v1’ = (1/2, -1/2, 1)
�v3’ =v3 – <v3,v2’>.v2’ – <v3,v1’>.v1’
�v3’ = (-4/5, 4/5, 2/5)
<v1’, v1’>
<v1’,v1’><v2’,v2’>
Produto Interno
• Exemplo: (Exercício 8) Seja W ⊂ R3 o 
subespaço gerado por (1, 0, 1) e (1, 1, 0).
�a) Considere W⊥ =em relação ao produto interno 
canônico. Encontre uma base para W⊥.
• Solução:
�W⊥ = conjunto de vetores ortogonais a todos os 
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�W⊥ = conjunto de vetores ortogonais a todos os 
vetores de W:
� {(x,y,z) | <(x,y,z),(1,0,1)> = 0 e <(x,y,z),(1,1,0)> = 0}
• <(x,y,z),(1,0,1)> = 0 ⇒ x + z = 0 ⇒ z = -x
• <(x,y,z),(1,1,0)> = 0 ⇒ x + y = 0 ⇒ y = -x
�W⊥ = (x, -x, -x) ⇒ [(1, -1, -1)]
Exercícios Sugeridos
• 2
• 4
• 6
• 7
• 8b
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• 8b
• 9
• 10
• 11
• 13
A Seguir...
Tipos Especiais de
Operadores Lineares
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E é o último!!!!