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Álgebra Linear Sistemas de Equações Lineares Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Sistemas de Equações Lineares Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Sistemas de Equações Lineares • Forma 1 de resolução: Suponha o sistema: x1 + 4x2 + 3x3 = 1 (1) 1 4 3 1 2x1 + 5x2 + 4x3 = 4 (2) 2 5 4 4 x1 – 3x2 – 2x3 = 5 (3) 1 -3 -2 5 (I) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 Ou… x1 – 3x2 – 2x3 = 5 (3) 1 -3 -2 5 Objetivo: Encontrar o valor de x1, x2 e x3 que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Ou seja…. x1 = A x2 = B x3 = C 1 0 0 A 0 1 0 B 0 0 1 C Sistemas de Equações Lineares Sistemas e Matrizes • Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 3 com aij, 1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n, números reais (ou complexos). • Uma solução para esse sistema é a n-upla de números (x1, x2, ..., xn) que satisfaça simultaneamente as m equações. a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … …. … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Sistemas de Equações Lineares Sistemas e Matrizes • O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como: a11 a12… a1n a12 a22… a2n … ... a a … a x1 x2 … b1 b2 … . = Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 4 ou A.x = B, onde am1 am2… amn xn bm a11 a12… a1n a12 a22… a2n … ... am1 am2… amn x1 x2 … xn b1 b2 … bm A = x = B = Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas Matriz dos termos indepen- dentes Sistemas de Equações Lineares Sistemas e Matrizes • Outra matriz é a chamada matriz ampliada do sistema: a11 a12… a1n a12 a22… a2n … ... b1 b2 … Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 5 … ... am1 am2… amn … bm Sistemas de Equações Lineares Operações Elementares • São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz � 1) Permuta da i-ésima e j-ésima linhas (Li↔ Lj) • Exemplo: L2↔ L3 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 6 1 0 4 -1 -3 4 → 1 0 -3 4 4 -1 Sistemas de Equações Lineares Operações Elementares • São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz � 2) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (Li→ kLi) • Exemplo: L2→ -3L2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 7 1 0 4 -1 -3 4 → 1 0 -12 3 -3 4 Sistemas de Equações Lineares Operações Elementares • São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz � 3) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j- ésima linha (Li→ Li + k.Lj) • Exemplo: L3→ L3 + 2.L1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 8 • Exemplo: L3→ L3 + 2.L1 1 0 4 -1 -3 4 → 1 0 4 -1 -1 4 Sistemas de Equações Lineares • É importante observarmos que usamos apenas operações de multiplicação e adição e permuta de linhas • Assim, todo o processo é reversível Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 9 • Assim, todo o processo é reversível • Os sistemas criados ao longo do processo são ditos equivalentes � Ou seja, a solução para qualquer um deles é solução para o outro Sistemas de Equações Lineares • Permuta de colunas é possível MAS com cuidado!!!! Lembrem que lidamos com um sistema de equações! Ou seja: x + 4x + 3x = 1 4x + x + 3x = 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 10 x1 + 4x2 + 3x3 = 1 2x1 + 5x2 + 4x3 = 4 x1 – 3x2 – 2x3 = 5 É equivalente a 4x2 + x1 + 3x3 = 1 5x2 + 2x1 + 4x3 = 4 -3x2 + x1 – 2x3 = 5 Ok, mas… Sistemas de Equações Lineares • Permuta de colunas é possível MAS com cuidado!!!! Lembrem que lidamos com um sistema de equações! Ou seja: x + 4x + 3x = 1 x + 4x + 3x = 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 11 x1 + 4x2 + 3x3 = 1 2x1 + 5x2 + 4x3 = 4 x1 – 3x2 – 2x3 = 5 NÃO é equivalente a x1 + 4x2 + 3x3 = 1 4x1 + 5x2 + 4x3 = 2 5x1 – 3x2 – 2x3 = 1 ERRADO!!!! Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Definição: Uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada se: � 1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1 � 2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 12 linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero � 3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo) � 4) Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então • k1 < k2 < .... < kr � Essa condição impõe a forma escada à matriz Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo 1: 0 1 -3 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 13 0 0 0 0 0 É forma escada. Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Contra-exemplo 1: 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 14 0 0 1 0 Não é forma escada pois a segunda condição não é satisfeita: a terceira coluna possui o primeiro elemento não nulo da terceira linha, logo todos os outros elementos da coluna deveriam ser zero. Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Contra-exemplo 2: 0 2 1 1 0 -3 0 0 0 Não é forma escada pois a primeira e a quarta condições não são satisfeitas: 1) O primeiro elemento não nulo de Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 15 0 0 0 1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula não é 1 (zero) 2) O primeiro elemento não-nulo da segunda linha deveria estar em uma posição maior do que a do primeiro elemento não-nulo da linha anterior. Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Contra-exemplo 3: 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 16 Não é forma escada pois a primeira e a terceira condições não são satisfeitas: 1) Tem uma linha nula ocorrendo acima de uma linha não nula. 2) O primeiro elemento de uma linha não-nula não é 1 (-1) Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Teorema: Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada. • Definição: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz- linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 17 linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não-nulas de B. A nulidade de A é o número n – p. Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo: Achar o posto e a nulidade de A: 1 2 1 0 -1 0 3 5 1 -2 1 1 A = Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 18 1 -2 1 1 Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo: Forma escada de A: 1 2 1 0 -1 0 3 5 1 -2 1 1 1 2 1 0 0 2 4 5 1 -2 1 1 L2=L1 + L2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 19 1 -2 1 1 1 -2 1 1 1 2 1 0 0 2 4 5 0 -4 0 1 L3 = -1.L1 + L3 1 2 1 0 0 1 2 5/2 0 -4 0 1 L2 = L2/2 Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo: Forma escada de A: 1 2 1 0 0 1 2 5/2 0 -4 0 1 1 0 -3 -5 0 1 2 5/2 0 -4 0 1 L1 = -2.L2 + L1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 20 0 -4 0 1 0 -4 0 1 1 0 -3-5 0 1 2 5/2 0 0 8 11 L3 = 4.L2 + L3 1 0 -3 -5 0 1 2 5/2 0 0 1 11/8 L3 = L3/8 Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo: Forma escada de A: 1 0 -3 -5 0 1 2 5/2 0 0 1 11/8 L2 = -2.L3 + L2 1 0 -3 -5 0 1 0 -1/4 0 0 1 11/8 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 21 0 0 1 11/8 L1 = 3.L3 + L1 0 0 1 11/8 1 0 0 -7/8 0 1 0 -1/4 0 0 1 11/8 O posto de A é 3 e a nulidade é 4 – 3 = 1 Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Semelhante à resolução de um sistema de equações � Ou seja, dado o sistema: x1 + 2x2 + x3 = 0 -x + 0x + 3x = 4 1 2 1 0 -1 0 3 5 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 22 � A solução é: -x1 + 0x2 + 3x3 = 4 x1 – 2x2 + x3 = 1 -1 0 3 5 1 -2 1 1 x1 = -7/8 x2 = -1/4 x3 = 11/8 1 0 0 -7/8 0 1 0 -1/4 0 0 1 11/8 Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo 2: Achar o posto e a nulidade de B: 2 -1 3 1 4 2 1 -5 1B = Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 23 1 -5 1 4 16 8 B = Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo 2: Forma escada de B: 2 -1 3 1 4 2 1 -5 1 L2↔ L1 1 4 2 2 -1 3 1 -5 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 24 1 -5 1 4 16 8 1 -5 1 4 16 8 1 4 2 0 -9 -1 1 -5 1 4 16 8 L2= -1.L1 + L3 1 4 2 0 -9 -1 0 -9 -1 4 16 8 L2= -2.L1 + L2 Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo 2: Forma escada de B: L4 = -4.L1 + L4 1 4 2 0 -9 -1 0 -9 -1 1 4 2 0 -9 -1 0 -9 -1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 25 L1= -4.L2 + L1 4 16 8 L2= L2 /-9 0 0 0 1 4 2 0 1 1/9 0 -9 -1 0 0 0 1 0 14/9 0 1 1/9 0 -9 -1 0 0 0 Sistemas de Equações Lineares Forma Escada • Exemplo 2: Forma escada de B: L3 = 9.L2 + L3 1 0 14/9 0 1 1/9 0 -9 -1 1 0 14/9 0 1 1/9 0 0 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 26 0 0 0 0 0 0 O posto de B é 2 e a nulidade é 3 – 2 = 1 Sistemas de Equações Lineares Soluções • Se tivermos um sistema de uma equação e uma incógnita ax = b, teremos 3 possibilidades: � a ≠ 0: neste caso, a equação tem uma única solução • x = b/a Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 27 x = b/a � a = 0 e b = 0: temos 0x = 0 o que significa que qualquer número real é solução da equação � a = 0 e b ≠ 0: temos 0x = b o que significa que não existe solução para essa equação • Vamos analisar o que acontece com sistemas de duas equações e duas incógnitas... Sistemas de Equações Lineares Soluções • Exemplo 1: � Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada 2x1 + x2 = 5 x1 - 3x2 = 6 2 1 5 1 -3 6 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 28 � Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada 2 1 5 1 -3 6 L1 = L1 / 2 1 1/2 5/2 0 -7/2 7/2 L2 = (-2/7).L2 1 1/2 5/2 0 1 -1 L2 = -1.L1 + L2 L1 = (-½).L2 + L1 1 0 3 0 1 -1 Sistemas de Equações Lineares Soluções • Exemplo 1 (cont.): � Assim, o sistema dado tem uma única solução com x = 3 2x1 + x2 = 5 x1 - 3x2 = 6 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 29 � Assim, o sistema dado tem uma única solução com x1 = 3 e x2 = -1 � O posto da matriz de coeficientes reduzidos e o da matriz ampliada é 2 1 0 3 0 1 -1 1 0 0 1 Matriz de coeficientes reduzidos Matriz ampliada Sistemas de Equações Lineares Soluções • Exemplo 2: � Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada 2x1 + x2 = 5 6x1 +3x2 = 15 2 1 5 6 3 15 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 30 � Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada � Assim, a segunda equação pode ser ignorada, pois não estabelece condição sobre x1 ou x2 L1 = L1 / 2 1 1/2 5/2 0 0 0 L2 = -6.L1 + L22 1 5 6 3 15 Sistemas de Equações Lineares Soluções • Exemplo 2 (cont.): � Assim, para resolver o sistema, consideramos a primeira equação: • 2x1 + x2 = 5 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 31 • 2x1 + x2 = 5 � e, por exemplo, assumimos que x2 = t � Dessa forma: • x1 = (5 – t)/2 � Para qualquer valor de t dentro dos reais Sistemas de Equações Lineares Soluções • Exemplo 3: � Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada 2x1 + x2 = 5 6x1 + 3x2 =10 2 1 5 6 3 10 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 32 � Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada L1 = L1 / 2 L2 = L2/(-5) L2 = -6.L1 + L22 1 5 6 3 10 1 1/2 5/2 0 0 -5 1 1/2 5/2 0 0 1 L1 = (-5/2).L2 + L1 1 1/2 0 0 0 1 Sistemas de Equações Lineares Soluções • Exemplo 3 (cont.): � No caso, tornamos o sistema equivalente a: x1 + ½x2 = 0 0x1 + 0x2 = 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 33 � Não existe nenhum valor de x1 e x2 que satisfaça a segunda equação, assim, o sistema não tem solução � O posto da matriz de coeficientes reduzidos é 1 e o da matriz ampliada é 2 1 2 1 ½ 0 0 0 1 1 ½ 0 0 Matriz de coeficientes reduzidos Matriz ampliada Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas x1, x2, ..., xn a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 34 • cujos coeficientes aij e termos constantes bi são números reais • Este sistema poderá ter: a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … …. … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • i) Uma única solução � Sistema possível (compatível) e determinado • ii) Infinitas soluções � Sistema possível (compatível) e indeterminado Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 35 � Sistema possível (compatível) e indeterminado • iii) Nenhuma solução � Sistema impossível (incompatível) Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Teorema: � i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 36 � ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n – número de incógnitas, então a solução será única � iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, então podemos escolher n – p incógnitas, as outras p incógnitas serão dadas em função dessas • O grau de liberdade do sistema é n - p Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Seja: � pc = Posto da matriz dos coeficientes � pa = Posto da matriz ampliada � Se pc = pa, chamaremos de p Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 37 � Se pc = pa, chamaremos de p � m e n são as dimensões da matriz de coeficientes • m equações com n incógnitas Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 1: 1 0 0 3 0 1 0 -2 0 0 1 2 pc = pa = 3 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 38 0 0 1 2 m = 3, n = 3 e p = 3 Logo, o sistema admite uma única solução. Ok, porquea matriz corresponde ao sistema: x = 3 y = -2 z = 2 Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 2: 1 0 7 -10 0 1 5 -6 pc = pa = 2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 39 m = 2, n = 3 e p = 2 Logo, o sistema tem grau de liberdade 1. Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 3: 1 0 7 -10 0 1 5 -6 0 0 0 2 pc = 2, pa = 3 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 40 0 0 0 2 m = 3, n = 3 Logo, o sistema é impossível e não tem solução. Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 4: 1 0 -10 -2 -10 0 1 7 1 4 0 0 0 0 0 pc = pa = 2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 41 0 0 0 0 0 m = 3, n = 4 e p = 2. Temos dois graus de liberdade. Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 5: Vamos resolver o sistema x + 2y + z + t = 0 x + 3y – z + 2t = 0 1 2 1 1 0 1 3 -1 2 0 L = -1.L + L Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 42 1 2 1 1 0 0 1 -2 1 0 L2 = -1.L1 + L2 1 0 5 -1 0 0 1 -2 1 0 L1 = -2.L2 + L1 Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 5 (cont.): � Assim, o sistema tem duas variáveis livres (grau de liberdade 2) • z e t Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 43 • z e t � Logo, se fixarmos os valores de z e t teremos: • x = -5z + t • y = 2z - t Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 6: Vamos resolver o sistema x + 3y + z = 0 2x + 6y + 2z = 0 -x – 3y – z = 0 1 3 1 0 2 6 2 0 -1 -3 -1 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 44 L2 = -2.L1 + L2 L3 = L1 + L3 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 6 (cont.): � Novamente, o sistema tem duas variáveis livres (grau de liberdade 2) • y e z Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 45 • y e z � Logo, se fixarmos os valores de y e z teremos: • x = -3y - z Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 7: Vamos resolver o sistema x + 2y + z + t = 1 x + 3y – z + 2t = 3 1 2 1 1 1 1 3 -1 2 3 L = -1.L + L Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 46 1 2 1 1 1 0 1 -2 1 2 L2 = -1.L1 + L2 1 0 5 -1 -3 0 1 -2 1 2 L1 = -2.L2 + L1 Sistemas de Equações Lineares Soluções – Caso Geral • Exemplo 7 (cont.): � Novamente, duas variáveis livres (grau de liberdade 2) • z e t � Logo, se fixarmos os valores de z e t teremos: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 47 � Logo, se fixarmos os valores de z e t teremos: • x = -5z + t - 3 • y = 2z – t + 2 Exercícios Sugeridos • 10 a 16 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 48 A Seguir… • Determinantes e Matriz Inversa LINE AR-- Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 49 ÁLGE BRA- LINE
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