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Espacios Métricos

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10
Capı´tulo 2
Espacios Me´tricos
2.1 Distancias y espacios me´tricos
Definicio´n 2.1.1 (Distancia). Dado un conjunto � , una distancia es una aplicacio´n ��� ���
���	��
que a cada par �
��������� ����� le asocia un nu´mero real �	�
������� y que cumple los
siguientes condiciones:
1. �	�
���������ff� .
2. �	�
�������flfi�� si, y so´lo si �ffifi�� (separacio´n).
3. �	�
�������flfi��	�
�	��� � para todo �����!� � (simetrı´a).
4. �	�
��������"ff�	�
���$#%��&'�	�(#)����� para todo �����	�$#*� � (desigualdad triangular).
Definicio´n 2.1.2 (Espacio me´trico). Se llama espacio me´trico a un par � � �$�+� , donde � es un
conjunto y � es una distancia definida en � .
Ejemplo 2.1.3.
(1) El espacio me´trico de los nu´meros reales con la me´trica del valor absoluto de la diferencia, es
decir ��� 
,�-
.�	�/
 definida como �	�
�������0fi21 � � �31 .
(2) El espacio me´trico discreto. Sea � un conjunto no vacı´o cualquiera; si �����4� � definimos
�	�
�������flfi�� si �-fi�� y �	�
�������flfi65 si �87fi�� . � � �$�+� es un espacio me´trico. 9
Antes de continuar con el siguiente, e importante ejemplo, conviene establecer una interesante
relacio´n:
11
12 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS
Proposicio´n 2.1.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si ��� � ��� ������� � ��� y 	 � � 	 � ������� � 	 � nu´meros
reales cualesquiera, entonces:
�
� ��
�
�
�
	
���
�
"
�
� ��
�
�
�
�
�
�
� ��
�
	
�
�
�
Demostracio´n. Dado cualquier � � 
 se verifica que �
�
��
�
�
�
�
�*&
	
�
�
�
� � . Si desarrollamos el
cuadrado y agrupamos tendremos que � �
�
&�� ��&��,�ff� tomando � fi��
�
��
�
�
�
���
� fi��
�
��
�
�
�
	
�
y �,fi��
�
��
�
	
�
�
.
En estos te´rminos, lo que queremos probar es que �
�
"ff�fi� . Si � fi � todos los �
�
fi � y por
tanto tambie´n todos los 	
�
fi�� . Si � 7fi�� podemos poner
� "fl� �
�
&ffi� � &��,fi �"!)�*&
�
�$#
�
&
�fi�
�
�
�
�
para todo �8� 
 . El segundo miembro es mı´nimo si ��fi �$%& y si lo sustituimos en la expresio´n
anterior
� "
�fi�
�
�
�
�
fi(')�fi�
�
�
�
�ff� fi(')�
�
"fl�fi�
Ejemplo 2.1.5.
(1) Sea � fi 
�
, y para los puntos �ffifi �
� � ��� � � , e �*fi �
� � ��� � � se definen las aplicaciones:
�
�
�
�������flfi*1 �
�
�
�
�
1 &21 �
�
�
�
�
1 �
�
�
�
�������flfi ���
�
�
�
�
�
�
�
& �
�
�
�
�
�
�
�
�
�+*,�
�
��--�
�������0fi .0/�13�$1 �
�
�
�
�
1 � 1 �
�
�
�
�
1 �2�
�
�
�
�������
�
� �
�
�
�
�
�
�
������� ��--�
�������
En el gra´fico anterior puede verse como es cada una de estas distancias. Las tres son generaliza-
ciones de la me´trica del valor absoluto de la diferencia, y las tres tienen nombre propio: � � se
llama la me´trica del taxi, � � se llama la me´trica euclı´dea o usual y �3- se llama la me´trica del
ajedrez o del ma´ximo.
2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS M ´ETRICOS 13
(2) El ejemplo anterior se puede generalizar a 
�
. Sean �-fi �
� � ��� � � � � �0� 
�
e �*fi �
� � ��� � � ��� � �0�
�
se define:
�
�
�
�������flfi
�
�
��
�
1 �
�
�
�
�
1 �
�
�
�
�������flfi �
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�+*,�
�
��--�
�������flfi
�$�
�
�
1 �
�
�
�
�
1 ��� fi 5 ��������� �
La prueba de que � � y ��- son distancias es una mera comprobacio´n. Lo mismo sucede con las
propiedades (1) y (2); no ası´ con la desigualdad triangular en la que hay que utilizar la desigualdad
de Cauchy-Schwarz. Vea´moslo.
Sean �����	�$#*� 
�
y consideremos
�(�
�
�
���$#%��&'�
�
�(#)�������
�
fi
�	
�
� ��
�
�
�
�
�
#
�
�
�
��
�
&
�
� ��
�
�(#
�
�
�
�
�
�
�
����
�
fi
fi
�
� ��
�
�
�
�
�
#
�
�
�
&
�
� ��
�
�(#
�
�
�
�
�
�
&��
�
� ��
�
�
�
�
�
#
�
�
�
�(#
�
�
�
�
�
�
�
�
�
aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al u´ltimo sumando de la expresio´n anterior, podemos
continuar
�
�
�
��
�
�
�
�
�
#
�
�
�
&
�
�
��
�
�(#
�
�
�
�
�
�
&��
�
�
��
�
�
�
�
�
#
�
� �(#
�
�
�
�
�flfi
�
� ��
���
�
�
�
�
#
�
�
�
& �(#
�
�
�
�
�
�
&��)�
�
�
�
#
�
� �(#
�
�
�
�
��� fi
�
� ��
���
�
�
�
�
#
�
�3& �(#
�
�
�
�
���
�
fi
fi
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
�	
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
����
�
fi �(�
�
�
���������
�
Las tres me´tricas se pueden considerar generalizaciones de la me´trica del valor absoluto en 
 vista
en el Ejemplo 1.0.3(1)
(3) El conjunto ff de los nu´meros complejos con la me´trica del mo´dulo de la diferencia �	�(# � �
#
�
�flfi21 #
�
�
#
�
1 con # � �$# � �fiff , es un espacio me´trico.
14 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS
(4) Sea � fi � �
�
�
�
	
� �
� (de la palabra inglesa bounded que significa acotada), el conjunto de
funciones acotadas �ff�
�
�
�
	
�
�	� 
. Dadas dos funciones (que son los puntos de este espacio),
�	���!�
�
, sea
��--���	���)�flfi����
	
�
��� ��� ���
�
1�� �
� �
�
� �
� � 1 � �
La siguiente gra´fica nos da una idea de co´mo es esta distancia.
..
..
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.
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..
..
..
..
.
��-
�
�
�
	
El par � � �$��-�� es un espacio me´trico y la me´trica se denomina me´trica del supremo o me´trica
uniforme.
En concreto podemos destacar por su intere´s el espacio de las sucesiones acotadas
�
-
fi
�
�
�
�
�
�
� sucesio´n acotada � � � 
 �*fi
�
� ���
�	� 
� acotada �
con la distancia � --���
� � � � � �
� � � � �flfi����
	 � �fiff
�
1 �
�
�
�
�
1 � .
(5) El espacio flfl�
�
�
�
	
� �
��fi
�
���
�
�
�
	
�
� � 
�ffi� continua � de las funciones reales continuas
sobre un intervalo cerrado
�
�
�
	
� con la distancia
�	���	���)�0fi
�
�
�
1 � �
� �
�
� �
� � 1 � �
es tambie´n un espacio me´trico.
..
..
..
..
..
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.
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..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
�
�
�
	
(6) Las siguientes me´tricas se pueden definir en el producto de dos espacios me´tricos. Sean � � � �$�+�
y �
�
�
�$�� � ; se define para �ffifi6�
� � ��� � � , �*fi �
� � ��� � � donde �����!� � � �-� � :
�
�
�
�������0fi��	�
�
�
���
�
�3&4�
 
�
�
�
���
�
� �
2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS M ´ETRICOS 15
�
�
�
�������flfi �(�	�
�
�
���
�
�
�
&'�
 
�
�
�
���
�
�
�
�
�+*,�
�
��--�
�������flfi
�$�
�
�
�	��
�
���
�
� �$�
 
�
�
�
���
�
� � �
Se ve claramente que se trata de una construccio´n similar a la seguida en el ejemplo 1.0.5(1) para
la construccio´n de tres distancias en 
�
; � y �� juegan el papel de 1+1 . 9
Proposicio´n 2.1.6. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, entonces se verifica
1 �	�
���$#%�
�
�	�(#)����� 1+"ff�	�
������� � para todo �����	�$#�� �
Demostracio´n. Aplicando la desigualdad triangular tenemos �	�
���$#%�." �	�
������� & �	�
�	�$#%��fi
�	�
�������3&'�	�(#)����� , por tanto �	�
���$#%�
�
�	�(#)����� "ff�	�
�������
De forma ana´loga podemos poner �	�(#)����� " �	�(#)��� � &ff�	�
������� fi �	�
���$#%� &ff�	�
������� y tendremos
que
�
�	�
��������"ff�	�
���$#%�
�
�	�(#)����� .
Si unimos las dos desigualdades obtenidas en los pa´rrafos anteriores
�
�	�
������� "ff�	�
���$#%�
�
�	�(#)����� "ff�	�
�������
Definicio´n 2.1.7 (Subespacio me´trico). Sea � � �$�+� un espacio me´trico y sea ��� � un subcon-
junto de � . Sea tambie´n ���2� � ��� �	� 
 , definida por ��� �
������� fi6�	�
������� . El par � � �$��� �
es un espacio me´trico y se llama un subespacio me´trico de � , y la me´trica ��� recibe el nombre
de me´trica inducida por � .
Si ��� 
�
, cuando se hable de � como de un espacio me´trico, siempre se estara´ suponiendo que
su me´trica es la me´trica inducida por la me´trica euclı´dea de 
�
, salvo que se diga otra cosa en
contra. En particular esto se aplica a los diferentes tipos de intervalos de nu´meros reales.
Ejemplo 2.1.8.
(1)
�
�+� 5 � con la me´trica inducida por el valor absoluto es subespacio me´trico de 
 .
(2) flfl�
�
�
�
	
� �
� con la me´trica inducida por � - es subespacio me´trico de
�
�
�
�
�
	
� �
� .
(3) El espacio �	� de las sucesiones reales con lı´mite 0, es subespacio me´trico de � - . 9
Definicio´n 2.1.9 (Distancia de un punto a un conjunto). Sea � � �$�+� un espacio me´trico, sea un
subconjunto � � � . Definimos la distancia de un punto �
� � � al subconjunto � como
�	�
��� � � �flfi
�����
�
�	�
��� ��� ��� � � � �
que existe dado que el conjunto sobre el que tomamos el ı´nfimo, esta´ acotado inferiormente por 0.
16 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS
Definicio´n 2.1.10 (Distancia entre conjuntos). Sean � y � dos subconjuntos de � . Se define la
distancia del subconjunto � al subconjunto � como
�	��� � �*�flfi
�����
�
�	�
������� � � � � ��� � � � �
Ejemplo 2.1.11.
(1) Si � es la me´trica discreta sobre � , � � � y � � � � � , entonces
�	�
��� � �0fi
�
5 si ���� �
� si � � �
� �	��� � �*�flfi
�
5 si ��� �2fi��
� si ��� � 7fi��
(2) Consideremos 
 con la distancia usual �	�
�������flfi21 � � �31 y sea � fi � 5 ��� � � 
 , entonces:
�	���
�
� � �flfi
�����
�
1��
�
�
� 1%� � �4� 5 ��� � � fi�� ;
�	� 5 � � ��fi
�����
�
1 5
�
� 1 � � �4� 5 ��� � � fi�� ;
�	�(�+� � ��fi
�����
�
1 � 1%� � �4� 5 ��� � � fi65 .
Evidentemente, si ��� � , entonces �	�
��� � � fi � . El recı´proco no es cierto, como muestra este
ejemplo.
(3) Consideremos � 
�
�$�
�
� y � fi
�
�
������� �
�
� �
�
&ffi�
�
",5 � y �2fi
�
�
������� �
�
� � &ffi�*fi ��� .
Entonces �	��� � �*� fi
	 �
�
5 . Una gra´fica ayuda a realizar este sencillo ca´lculo: la distancia que
queremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que
es 	 � y dia´metro del cı´rculo � que es 1.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....................................
��
5
5
�
�
9
2.2. BOLAS 17
2.2 Bolas
Los subconjuntos, quiza´s ma´s importantes, de un espacio me´trico, que vamos a estudiar a contin-
uacio´n, son las bolas abiertas; que dara´n origen a un concepto fundamental: el de conjunto abierto.
Se trata de una generalizacio´n del concepto conocido de intervalo abierto centrado en un punto en
.
Definicio´n 2.2.1 (Bola abierta). Sea � � �$�+� un espacio me´trico y sean � � � , y ��� � un nu´mero
real. Definimos la bola abierta en � , centrada en � y de radio � como el conjunto
�-�
�
�
�
�flfi
�
� �
�
� �	�
���
�
���
�
� �
Si se necesita especificar con que´ me´trica se esta´ trabajando, se representara´ la bola abierta por
��� �
�
�
�
� .
Ejemplo 2.2.2.
(1) En � 
 � 1�1 � la bola abierta de centro � y radio ��� � es el intervalo abierto de extremos � � � y
�
&
�
�-�
�
�
�
�flfi
�
� �
� 1 �
�
�
1��
�
� fi �
�
�
�
�
�
&
�
�
(2) La palabra bola debe su origen al caso euclı´deo. En � 
�
�$�
�
� , tenemos que
�-�
�
�
�
� fi
�
�
������� �
�
� �
�
&4�
�
�
�
�
�
es el interior del cı´rculo de radio � centrado en � .
En el espacio � 
�
�$�
�
� , �-�
�
�
�
�flfi
�
�
�����	�$#%� �
�
� �
�
&8�
�
&'#
�
�
�
�
� es el interior de la bola o
esfera so´lida de radio � centrada en � .
Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia de
una bola esfe´rica. En � 
�
�$��-*� , la bola �-�(�+� � � es el interior del cuadrado de centro � y de lados
paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud � � .
En �
�
�$�
�
� con la me´trica � � , la bola �-�(�+� � � es el interior del cuadrado centrado en el punto �(�+�$� �
y con ve´rtices en los puntos �(�+� � � � �(�+� � � � � � � �$� � � � � � �$� � . Con la gra´fica siguiente nos podemos
hacer una idea de co´mo son estas tres bolas, con centro 0 y radio � fi65 en el plano 
�
.
1
1
�
5
�
5
1
1
�
5
�
5
1
1
�
5
�
5
..................................................................................................
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
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..
..
..
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...
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..
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..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
�fi--�(�+� 5 � �
�
�(�+� 5 � �
�
�(�+� 5 �
18 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS
(3) En � flfl�
�
�+� 5 � �
� � ��- � , �-��� � �
�
� es el conjunto de todas las funciones continuas � en
�
�+� 5 � , cuya
gra´fica se encuentra entre las gra´ficas de las funciones ��� �
� � � � y � � �
� � & � .
(4) En el espacio me´trico discreto � � �$� � � se tiene que
�-�
�
�
�
�flfi
�
�
�
� si � ",5
�
si ��� 5
(5) Sea � fi
�
�+� 5 �
�2
con la me´trica del valor absoluto � en 
 . Entonces, en 
 , ��� � 5 � 5 � fi
�(�+��� � , mientras que para la me´trica inducida en � , � ��� � 5 � 5 �0fi �(�+� 5 � . 9
Las bolas abiertas en un subespacio me´trico son la interseccio´n con el subespacio de la bola del
espacio total con el mismo centro y radio:
Proposicio´n 2.2.3 (Bolas en subespacios me´tricos). Sea � � �$�+� un espacio me´trico, y sea � un
subconjunto de � ; entonces las bolas abiertas del subespacio me´trico � � �$��� � son la intersec-
cio´n de las correspondientes bolas en el espacio total con el subconjunto. Es decir, � ��� �
��� � � fi
��� �
���
�
� �
�
2.3 Abiertos. Propiedades
Uno de los objetivos de este curso es llegar al concepto de espacio topolo´gico por medio del
estudio de los espacios me´tricos, que son ma´s naturales, y de sus propiedades. Empezaremos con
una propiedad caracterı´stica de las bolas abiertas, que nos va a dar lugar a introducir una primera
definicio´n de conjunto abierto; en este caso, abierto en un espacio me´trico.
Lema 2.3.1. Sea �-�
��� � � una bola abierta en un espacio me´trico � � �$�+� , y sea � � �-�
��� � � ,
entonces existe un
�
�
� talque �-�
�	�
�
�
�
�-�
���
�
� .
..............................
�
�
� �
�
�	�
�������
Demostracio´n. Basta tomar
�
de modo que � �
�
�
�
�
�	�
������� . El nu´mero
�
se puede escoger
ası´ ya que, como � � �-�
��� � � , entonces �	�
������� � � . Entonces �-�
�	�
�
�
�
�-�
�
���
� , puesto que si
#*�$�-�
�	�
�
� entonces, por la desigualdad triangular,
�	�
���$#%� " �	�
��������&'�	�
�	�$#%� "ff�	�
�������3&
�
�ff�	�
�������3&
�
�
�	�
�������flfi
�
2.3. ABIERTOS. PROPIEDADES 19
Por tanto, # � �-�
�
���
� .
Teorema 2.3.2 (Propiedad de Hausdorff). Si � � �$�+� es un espacio me´trico y ����� � � son dos
puntos distintos, existen � � � � � � � tales que �-�
��� � � � � �-�
�	� � � �flfi�� .
Demostracio´n. (Ejercicio)
Este resultado permite plantearse la definicio´n de un tipo de subconjuntos que verifican esta condi-
cio´n, es decir, de aquellos subconjuntos tales que, para cualquier punto del subconjunto, existe una
bola abierta centrada en e´l y totalmente contenida en el subconjunto. Sera´n los conjuntos abiertos.
Definicio´n 2.3.3 (Conjunto abierto). Sea � � �$�+� un espacio me´trico. Diremos que un subcon-
junto � � � es abierto en � � �$�+� si para cada �4� � existe un � � � � tal que �-�
�	� � � � � � .
Observemos que el nu´mero real � � depende del punto � , es decir, para � diferentes sera´n necesar-
ios diferentes radios � � .
Corolario 2.3.4. Cualquier bola abierta en un espacio me´trico � � �$�+� es un abierto
Ejemplo 2.3.5.
(1) Cualquier intervalo abierto de la recta real, incluso los intervalos abiertos no acotados, es en
subconjunto abierto de la recta real con la me´trica del valor absoluto de la diferencia. Tambie´n lo
son las uniones de intervalos abiertos. Sin embargo los intervalos
�
�
�
	
� ,
�
�
�
	
� y � � �
	
� no lo son.
(2) Un conjunto abierto no tiene por que´ ser una bola abierta. Ası´ el subconjunto de 
�
:
�.fi
�
�
���������
�
�	1 � 1��,5 � 1 �31�� ���
no es una bola abierta de 
�
para la me´trica euclı´dea, y sin embargo sı´ que es un subconjunto
abierto. Sin embargo el conjunto siguiente no es abierto
�2fi
�
�
������� �
�
�
� 1 � 1��,5 � 1 �31%" ���
(3) En la me´trica discreta, cualquier subconjunto es abierto.
(4) La condicio´n de ser abierto depende de la me´trica. El subconjunto � � � ��
 es abierto para la
me´trica discreta, pero no lo es para la me´trica euclı´dea.
(5) La condicio´n de ser abierto tambie´n depende del conjunto sobre el que se define la me´trica.
Ası´, el intervalo
�
�+� 5 � es abierto en �
�
�+��� � �$�
� � �
�
�
� , pero no lo es en el espacio total 
 con la me´trica
del valor absoluto. 9
Teorema 2.3.6. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, entonces se verifican:
1.
�
y � son abiertos.
20 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS
2. Si
�
�
�
� �0�
�
� es una familia de abiertos en � , entonces �
�
���
�
�
es un abierto.
3. Si
�
�
�
� � fi65 ���%������� � ��� es una familia finita de abiertos, entonces �
�
��
�
�
�
es un abierto.
Demostracio´n. (1) Es claro
(2) Si � ���
�
���
�
�
, existira´ un � � � tal que � � ��� ; como ��� es abierto, para algu´n � � � � sera´
�-�
���
�
� �
�
���
�
�
�
���
�
�
, lo que quiere decir que la unio´n es un conjunto abierto.
(3) Si � � �
�
��
�
�
�
, entonces � ���
�
para todo � fi 5 ���%������� � � y como cada �
�
es abierto, cada
uno de estos conjuntos debe contener una bola de centro � , es decir, para cada � fi 5 ���%������� � �
existira´ un �
�
�
� tal que �-�
��� �
�
�
�
�
�
. Si tomamos � fi . ���
�
5 ���%������� � ��� tendremos que
�-�
���
�
�
�
�-�
���
�
�
�
�
�
�
para todo � fi65 ���%������� � � y por tanto �-�
��� � � � �
�
��
�
�
�
.
Ejemplo 2.3.7.
La interseccio´n arbitraria de abiertos no es, en general un abierto. Si consideramos la familia de
abiertos
�
�
�
�
�
�
�
��� ��� � � en �
� 131 � , su interseccio´n es � -�
�
�
�
�
�
�
�
�flfi
�
� � , que no es abierto. 9
Algunas de las propiedades e ideas ma´s importantes que abordaremos y, que de hecho, ya se esta´n
abordando en ana´lisis, necesitan del estudio de lo que ocurre en un punto y, ma´s en concreto, en
las cercanı´as, en los alrededores de un punto; ası´ sucede con la continuidad, con la convergen-
cia,... Necesitamos realizar un estudio local. Vamos a ver algunos conceptos que facilitara´n dicho
estudio.
Definicio´n 2.3.8 (Entorno). Sea � � �$�+� un espacio me´trico, 	 � � un subconjunto y ���
	 .
Diremos que 	 es un entorno de � si existe un ��� � tal que �-�
��� � � � 	 .
Ejemplo 2.3.9.
(1) Una bola abierta en un espacio me´trico, es entorno de todos sus puntos. En concreto, en 
 con
la me´trica usual, un intervalo abierto, es entorno de todos sus puntos.
(2) El intervalo
�
�+��� � es un entorno del punto 5 , pero no lo es del punto � . 9
Proposicio´n 2.3.10. Un subconjunto � de un espacio me´trico � � �$�+� es abierto si y so´lo si � es
entorno de todos sus puntos.
Demostracio´n. (Ejercicio)
2.4 Cerrados
Tan importantes como los abiertos, son sus complementarios, los llamaremos cerrados.
2.4. CERRADOS 21
Definicio´n 2.4.1 (Cerrado). Sea � � �$�+� un espacio me´trico. Diremos que un subconjunto � � �
es cerrado en � � �$�+� si su complementario � � fi � � � es un subconjunto abierto en � � �$�+� .
Ejemplo 2.4.2.
En
, con la me´trica usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados; tambie´n lo son las
semirrectas cerradas
�
�
� &
�
� o �
�
�
�
	
� . No lo son los intervalos de la forma
�
�
�
	
� , �
�
�
	
� o � � �
	
� .
9
Proposicio´n 2.4.3. Un subconjunto � de un espacio me´trico � � �$�+� es un cerrado si y so´lo si para
todo ���� � existe un ��� � tal que �-�
��� � � �$�.fi�� .
Demostracio´n. ' Si � � � es cerrado quiere decir que �
�
es abierto, por tanto, para todo
���� � ( � � � � , existe ��� � tal que �-�
��� � � � � � , es decir, �-�
��� � � �$�,fi��
� Si para todo � �� � ( � � � � ), existe ��� � tal que �-�
��� � � � �.fi�� , entonces �-�
��� � � � � � ,
entonces �
�
es abierto, luego � es cerrado.
Ejemplo 2.4.4.
(1) En � 
�
�$�
�
� , el conjunto �.fi � �
������� � 
�
� 1 � 1 � 5 � 1 �31)" ��� no es cerrado y � fi
�
�
������� �
�
�	1 � 1%",5 � 1 �31+" ��� , sı´ lo es.
(2) En � 
�
�$�
�
� , cualquier recta es un conjunto cerrado. 9
Definicio´n 2.4.5. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, sea � � � , y � � � nu´mero real. Llamaremos
bola cerrada de centro � y radio � al conjunto
� �
�
�
�
�flfi
�
�
�
� �	�
�
��� � "
�
�
Las bolas cerradas contienen a las correspondientes bolas abiertas.
Proposicio´n 2.4.6. En un espacio me´trico, las bolas cerradas son conjuntos cerrados
Demostracio´n. (Ejercicio)
Teorema 2.4.7. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, entonces se verifican:
1.
�
y � son cerrados.
2. Si
�
�
�
���fl�
�
� es una familia de cerrados en � , entonces �
�
���
�
�
es un cerrado.
3. Si
�
�
�
��� fi65 ���%������� � ��� es una familia finita de cerrados, entonces �
�
��
�
�
�
es un cerrado.
Demostracio´n. Se trata de aplicar las leyes de Morgan. (Ejercicio)
22 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS
Ejemplo 2.4.8.
(1) La unio´n arbitrario de cerrados no es, necesariamente un cerrado. Consideremos la familia
�
�
�+� 5
�
�
�
�3����� � � de intervalos cerrados en 
 ; su interseccio´n
�
�
�fiff
�
�+� 5
� 5
�� fi
�
�+� 5 � �
no es cerrado.
(2) En la me´trica discreta cualquier subconjunto es cerrado.
(3) Hay subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo
�
�+� 5 �
� 
con la me´trica
euclı´dea.
(4) Tambie´n es posible que un subconjunto sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo, con la
me´trica discreta, cualquier subconjunto es a la vez abierto y cerrado. 9
Definicio´n 2.4.9. Sea � � �$�+� un espacio me´trico y � �2� . Diremos que � es un subconjunto
acotado si eixten � � � � y ��� � tal que ��� �-�
� � � � � .
Ejemplo 2.4.10.
(1) 
 con la me´trica euclı´dea es un espacio me´trico no acotado.
(2) 
 con la me´trica discreta es un espacio me´trico acotado.
(3) Los subespacios
�
5 ��� � ,
�
5 ��� � y
�
� � �
�
5 ��� � de 
 con la me´trica euclı´dea son subespacios
me´tricos acotados. El subespacio
�
�
5 � &
�
� no es acotado.
(4) Cualquier bola, abierta o cerrada, es un subespacio acotado. 9
Definicio´n 2.4.11 (Dia´metro de un conjunto). Sea � � �$�+� un espacio me´trico y � � � un
subconjunto acotado. Definimos el dia´metro de � , y se representa por � � � � como
�
�
�
�0fi
�����
�
�	�
������� � ����� �
�
�
Ejemplo 2.4.12.
(1) Los dia´metros de los subconjuntos
�
5 ��� � ,
�
5 ��� � y
�
� � �
�
5 ��� � de 
 con la me´trica usual son
respectivamente 5 , 5 y � .
(2) El subespacio
�
�+� 5 �
�
�
�+� 5 � de 
�
es un subconjunto acotado para cada una de las tres me´tricas
�
�
, �
� y ��- . Sus dia´metros para cada una de estas tres me´tricas son, respectivamente, � , 	 � y 5 .9