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10 Capı´tulo 2 Espacios Me´tricos 2.1 Distancias y espacios me´tricos Definicio´n 2.1.1 (Distancia). Dado un conjunto � , una distancia es una aplicacio´n ��� ��� ��� �� que a cada par � ��������� ����� le asocia un nu´mero real � � ������� y que cumple los siguientes condiciones: 1. � � ���������ff� . 2. � � �������flfi�� si, y so´lo si �ffifi�� (separacio´n). 3. � � �������flfi�� � � ��� � para todo �����!� � (simetrı´a). 4. � � ��������"ff� � ���$#%��&'� �(#)����� para todo ����� �$#*� � (desigualdad triangular). Definicio´n 2.1.2 (Espacio me´trico). Se llama espacio me´trico a un par � � �$�+� , donde � es un conjunto y � es una distancia definida en � . Ejemplo 2.1.3. (1) El espacio me´trico de los nu´meros reales con la me´trica del valor absoluto de la diferencia, es decir ��� ,�- .� �/ definida como � � �������0fi21 � � �31 . (2) El espacio me´trico discreto. Sea � un conjunto no vacı´o cualquiera; si �����4� � definimos � � �������flfi�� si �-fi�� y � � �������flfi65 si �87fi�� . � � �$�+� es un espacio me´trico. 9 Antes de continuar con el siguiente, e importante ejemplo, conviene establecer una interesante relacio´n: 11 12 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS Proposicio´n 2.1.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si ��� � ��� ������� � ��� y � � � ������� � � nu´meros reales cualesquiera, entonces: � � �� � � � ��� � " � � �� � � � � � � � �� � � � � Demostracio´n. Dado cualquier � � se verifica que � � �� � � � � �*& � � � � � . Si desarrollamos el cuadrado y agrupamos tendremos que � � � &�� ��&��,�ff� tomando � fi�� � �� � � � ��� � fi�� � �� � � � � y �,fi�� � �� � � � . En estos te´rminos, lo que queremos probar es que � � "ff�fi� . Si � fi � todos los � � fi � y por tanto tambie´n todos los � fi�� . Si � 7fi�� podemos poner � "fl� � � &ffi� � &��,fi �"!)�*& � �$# � & �fi� � � � � para todo �8� . El segundo miembro es mı´nimo si ��fi �$%& y si lo sustituimos en la expresio´n anterior � " �fi� � � � � fi(')�fi� � � � �ff� fi(')� � "fl�fi� Ejemplo 2.1.5. (1) Sea � fi � , y para los puntos �ffifi � � � ��� � � , e �*fi � � � ��� � � se definen las aplicaciones: � � � �������flfi*1 � � � � � 1 &21 � � � � � 1 � � � � �������flfi ��� � � � � � � � & � � � � � � � � � �+*,� � ��--� �������0fi .0/�13�$1 � � � � � 1 � 1 � � � � � 1 �2� � � � ������� � � � � � � � � � ������� ��--� ������� En el gra´fico anterior puede verse como es cada una de estas distancias. Las tres son generaliza- ciones de la me´trica del valor absoluto de la diferencia, y las tres tienen nombre propio: � � se llama la me´trica del taxi, � � se llama la me´trica euclı´dea o usual y �3- se llama la me´trica del ajedrez o del ma´ximo. 2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS M ´ETRICOS 13 (2) El ejemplo anterior se puede generalizar a � . Sean �-fi � � � ��� � � � � �0� � e �*fi � � � ��� � � ��� � �0� � se define: � � � �������flfi � � �� � 1 � � � � � 1 � � � � �������flfi � � � �� � � � � � � � � � � �+*,� � ��--� �������flfi �$� � � 1 � � � � � 1 ��� fi 5 ��������� � La prueba de que � � y ��- son distancias es una mera comprobacio´n. Lo mismo sucede con las propiedades (1) y (2); no ası´ con la desigualdad triangular en la que hay que utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Vea´moslo. Sean ����� �$#*� � y consideremos �(� � � ���$#%��&'� � �(#)������� � fi � � � �� � � � � � # � � � �� � & � � �� � �(# � � � � � � � ���� � fi fi � � �� � � � � � # � � � & � � �� � �(# � � � � � � &�� � � �� � � � � � # � � � �(# � � � � � � � � � aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al u´ltimo sumando de la expresio´n anterior, podemos continuar � � � �� � � � � � # � � � & � � �� � �(# � � � � � � &�� � � �� � � � � � # � � �(# � � � � �flfi � � �� ��� � � � � # � � � & �(# � � � � � � &��)� � � � # � � �(# � � � � ��� fi � � �� ��� � � � � # � �3& �(# � � � � ��� � fi fi � � �� � � � � � � � � � fi � � � �� � � � � � � � � � � ���� � fi �(� � � ��������� � Las tres me´tricas se pueden considerar generalizaciones de la me´trica del valor absoluto en vista en el Ejemplo 1.0.3(1) (3) El conjunto ff de los nu´meros complejos con la me´trica del mo´dulo de la diferencia � �(# � � # � �flfi21 # � � # � 1 con # � �$# � �fiff , es un espacio me´trico. 14 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS (4) Sea � fi � � � � � � � � (de la palabra inglesa bounded que significa acotada), el conjunto de funciones acotadas �ff� � � � � � � . Dadas dos funciones (que son los puntos de este espacio), � ���!� � , sea ��--��� ���)�flfi���� � ��� ��� ��� � 1�� � � � � � � � � 1 � � La siguiente gra´fica nos da una idea de co´mo es esta distancia. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ��- � � � El par � � �$��-�� es un espacio me´trico y la me´trica se denomina me´trica del supremo o me´trica uniforme. En concreto podemos destacar por su intere´s el espacio de las sucesiones acotadas � - fi � � � � � � � sucesio´n acotada � � � �*fi � � ��� � � � acotada � con la distancia � --��� � � � � � � � � � � �flfi���� � �fiff � 1 � � � � � 1 � . (5) El espacio flfl� � � � � � ��fi � ��� � � � � � � �ffi� continua � de las funciones reales continuas sobre un intervalo cerrado � � � � con la distancia � ��� ���)�0fi � � � 1 � � � � � � � � � 1 � � es tambie´n un espacio me´trico. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . � � � (6) Las siguientes me´tricas se pueden definir en el producto de dos espacios me´tricos. Sean � � � �$�+� y � � � �$�� � ; se define para �ffifi6� � � ��� � � , �*fi � � � ��� � � donde �����!� � � �-� � : � � � �������0fi�� � � � ��� � �3&4� � � � ��� � � � 2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS M ´ETRICOS 15 � � � �������flfi �(� � � � ��� � � � &'� � � � ��� � � � � �+*,� � ��--� �������flfi �$� � � � �� � ��� � � �$� � � � ��� � � � � Se ve claramente que se trata de una construccio´n similar a la seguida en el ejemplo 1.0.5(1) para la construccio´n de tres distancias en � ; � y �� juegan el papel de 1+1 . 9 Proposicio´n 2.1.6. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, entonces se verifica 1 � � ���$#%� � � �(#)����� 1+"ff� � ������� � para todo ����� �$#�� � Demostracio´n. Aplicando la desigualdad triangular tenemos � � ���$#%�." � � ������� & � � � �$#%��fi � � �������3&'� �(#)����� , por tanto � � ���$#%� � � �(#)����� "ff� � ������� De forma ana´loga podemos poner � �(#)����� " � �(#)��� � &ff� � ������� fi � � ���$#%� &ff� � ������� y tendremos que � � � ��������"ff� � ���$#%� � � �(#)����� . Si unimos las dos desigualdades obtenidas en los pa´rrafos anteriores � � � ������� "ff� � ���$#%� � � �(#)����� "ff� � ������� Definicio´n 2.1.7 (Subespacio me´trico). Sea � � �$�+� un espacio me´trico y sea ��� � un subcon- junto de � . Sea tambie´n ���2� � ��� � � , definida por ��� � ������� fi6� � ������� . El par � � �$��� � es un espacio me´trico y se llama un subespacio me´trico de � , y la me´trica ��� recibe el nombre de me´trica inducida por � . Si ��� � , cuando se hable de � como de un espacio me´trico, siempre se estara´ suponiendo que su me´trica es la me´trica inducida por la me´trica euclı´dea de � , salvo que se diga otra cosa en contra. En particular esto se aplica a los diferentes tipos de intervalos de nu´meros reales. Ejemplo 2.1.8. (1) � �+� 5 � con la me´trica inducida por el valor absoluto es subespacio me´trico de . (2) flfl� � � � � � � con la me´trica inducida por � - es subespacio me´trico de � � � � � � � � . (3) El espacio � � de las sucesiones reales con lı´mite 0, es subespacio me´trico de � - . 9 Definicio´n 2.1.9 (Distancia de un punto a un conjunto). Sea � � �$�+� un espacio me´trico, sea un subconjunto � � � . Definimos la distancia de un punto � � � � al subconjunto � como � � ��� � � �flfi ����� � � � ��� ��� ��� � � � � que existe dado que el conjunto sobre el que tomamos el ı´nfimo, esta´ acotado inferiormente por 0. 16 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS Definicio´n 2.1.10 (Distancia entre conjuntos). Sean � y � dos subconjuntos de � . Se define la distancia del subconjunto � al subconjunto � como � ��� � �*�flfi ����� � � � ������� � � � � ��� � � � � Ejemplo 2.1.11. (1) Si � es la me´trica discreta sobre � , � � � y � � � � � , entonces � � ��� � �0fi � 5 si ���� � � si � � � � � ��� � �*�flfi � 5 si ��� �2fi�� � si ��� � 7fi�� (2) Consideremos con la distancia usual � � �������flfi21 � � �31 y sea � fi � 5 ��� � � , entonces: � ��� � � � �flfi ����� � 1�� � � � 1%� � �4� 5 ��� � � fi�� ; � � 5 � � ��fi ����� � 1 5 � � 1 � � �4� 5 ��� � � fi�� ; � �(�+� � ��fi ����� � 1 � 1%� � �4� 5 ��� � � fi65 . Evidentemente, si ��� � , entonces � � ��� � � fi � . El recı´proco no es cierto, como muestra este ejemplo. (3) Consideremos � � �$� � � y � fi � � ������� � � � � � &ffi� � ",5 � y �2fi � � ������� � � � � &ffi�*fi ��� . Entonces � ��� � �*� fi � � 5 . Una gra´fica ayuda a realizar este sencillo ca´lculo: la distancia que queremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es � y dia´metro del cı´rculo � que es 1. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .................................... �� 5 5 � � 9 2.2. BOLAS 17 2.2 Bolas Los subconjuntos, quiza´s ma´s importantes, de un espacio me´trico, que vamos a estudiar a contin- uacio´n, son las bolas abiertas; que dara´n origen a un concepto fundamental: el de conjunto abierto. Se trata de una generalizacio´n del concepto conocido de intervalo abierto centrado en un punto en . Definicio´n 2.2.1 (Bola abierta). Sea � � �$�+� un espacio me´trico y sean � � � , y ��� � un nu´mero real. Definimos la bola abierta en � , centrada en � y de radio � como el conjunto �-� � � � �flfi � � � � � � � ��� � ��� � � � Si se necesita especificar con que´ me´trica se esta´ trabajando, se representara´ la bola abierta por ��� � � � � � . Ejemplo 2.2.2. (1) En � � 1�1 � la bola abierta de centro � y radio ��� � es el intervalo abierto de extremos � � � y � & � �-� � � � �flfi � � � � 1 � � � 1�� � � fi � � � � � � & � � (2) La palabra bola debe su origen al caso euclı´deo. En � � �$� � � , tenemos que �-� � � � � fi � � ������� � � � � � &4� � � � � � es el interior del cı´rculo de radio � centrado en � . En el espacio � � �$� � � , �-� � � � �flfi � � ����� �$#%� � � � � � &8� � &'# � � � � � es el interior de la bola o esfera so´lida de radio � centrada en � . Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia de una bola esfe´rica. En � � �$��-*� , la bola �-�(�+� � � es el interior del cuadrado de centro � y de lados paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud � � . En � � �$� � � con la me´trica � � , la bola �-�(�+� � � es el interior del cuadrado centrado en el punto �(�+�$� � y con ve´rtices en los puntos �(�+� � � � �(�+� � � � � � � �$� � � � � � �$� � . Con la gra´fica siguiente nos podemos hacer una idea de co´mo son estas tres bolas, con centro 0 y radio � fi65 en el plano � . 1 1 � 5 � 5 1 1 � 5 � 5 1 1 � 5 � 5 .................................................................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . �fi--�(�+� 5 � � � �(�+� 5 � � � �(�+� 5 � 18 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS (3) En � flfl� � �+� 5 � � � � ��- � , �-��� � � � � es el conjunto de todas las funciones continuas � en � �+� 5 � , cuya gra´fica se encuentra entre las gra´ficas de las funciones ��� � � � � � y � � � � � & � . (4) En el espacio me´trico discreto � � �$� � � se tiene que �-� � � � �flfi � � � � si � ",5 � si ��� 5 (5) Sea � fi � �+� 5 � �2 con la me´trica del valor absoluto � en . Entonces, en , ��� � 5 � 5 � fi �(�+��� � , mientras que para la me´trica inducida en � , � ��� � 5 � 5 �0fi �(�+� 5 � . 9 Las bolas abiertas en un subespacio me´trico son la interseccio´n con el subespacio de la bola del espacio total con el mismo centro y radio: Proposicio´n 2.2.3 (Bolas en subespacios me´tricos). Sea � � �$�+� un espacio me´trico, y sea � un subconjunto de � ; entonces las bolas abiertas del subespacio me´trico � � �$��� � son la intersec- cio´n de las correspondientes bolas en el espacio total con el subconjunto. Es decir, � ��� � ��� � � fi ��� � ��� � � � � 2.3 Abiertos. Propiedades Uno de los objetivos de este curso es llegar al concepto de espacio topolo´gico por medio del estudio de los espacios me´tricos, que son ma´s naturales, y de sus propiedades. Empezaremos con una propiedad caracterı´stica de las bolas abiertas, que nos va a dar lugar a introducir una primera definicio´n de conjunto abierto; en este caso, abierto en un espacio me´trico. Lema 2.3.1. Sea �-� ��� � � una bola abierta en un espacio me´trico � � �$�+� , y sea � � �-� ��� � � , entonces existe un � � � talque �-� � � � � � �-� ��� � � . .............................. � � � � � � � ������� Demostracio´n. Basta tomar � de modo que � � � � � � � � ������� . El nu´mero � se puede escoger ası´ ya que, como � � �-� ��� � � , entonces � � ������� � � . Entonces �-� � � � � � �-� � ��� � , puesto que si #*�$�-� � � � � entonces, por la desigualdad triangular, � � ���$#%� " � � ��������&'� � � �$#%� "ff� � �������3& � �ff� � �������3& � � � � �������flfi � 2.3. ABIERTOS. PROPIEDADES 19 Por tanto, # � �-� � ��� � . Teorema 2.3.2 (Propiedad de Hausdorff). Si � � �$�+� es un espacio me´trico y ����� � � son dos puntos distintos, existen � � � � � � � tales que �-� ��� � � � � �-� � � � � �flfi�� . Demostracio´n. (Ejercicio) Este resultado permite plantearse la definicio´n de un tipo de subconjuntos que verifican esta condi- cio´n, es decir, de aquellos subconjuntos tales que, para cualquier punto del subconjunto, existe una bola abierta centrada en e´l y totalmente contenida en el subconjunto. Sera´n los conjuntos abiertos. Definicio´n 2.3.3 (Conjunto abierto). Sea � � �$�+� un espacio me´trico. Diremos que un subcon- junto � � � es abierto en � � �$�+� si para cada �4� � existe un � � � � tal que �-� � � � � � � � . Observemos que el nu´mero real � � depende del punto � , es decir, para � diferentes sera´n necesar- ios diferentes radios � � . Corolario 2.3.4. Cualquier bola abierta en un espacio me´trico � � �$�+� es un abierto Ejemplo 2.3.5. (1) Cualquier intervalo abierto de la recta real, incluso los intervalos abiertos no acotados, es en subconjunto abierto de la recta real con la me´trica del valor absoluto de la diferencia. Tambie´n lo son las uniones de intervalos abiertos. Sin embargo los intervalos � � � � , � � � � y � � � � no lo son. (2) Un conjunto abierto no tiene por que´ ser una bola abierta. Ası´ el subconjunto de � : �.fi � � ��������� � � 1 � 1��,5 � 1 �31�� ��� no es una bola abierta de � para la me´trica euclı´dea, y sin embargo sı´ que es un subconjunto abierto. Sin embargo el conjunto siguiente no es abierto �2fi � � ������� � � � � 1 � 1��,5 � 1 �31%" ��� (3) En la me´trica discreta, cualquier subconjunto es abierto. (4) La condicio´n de ser abierto depende de la me´trica. El subconjunto � � � �� es abierto para la me´trica discreta, pero no lo es para la me´trica euclı´dea. (5) La condicio´n de ser abierto tambie´n depende del conjunto sobre el que se define la me´trica. Ası´, el intervalo � �+� 5 � es abierto en � � �+��� � �$� � � � � � � , pero no lo es en el espacio total con la me´trica del valor absoluto. 9 Teorema 2.3.6. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, entonces se verifican: 1. � y � son abiertos. 20 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS 2. Si � � � � �0� � � es una familia de abiertos en � , entonces � � ��� � � es un abierto. 3. Si � � � � � fi65 ���%������� � ��� es una familia finita de abiertos, entonces � � �� � � � es un abierto. Demostracio´n. (1) Es claro (2) Si � ��� � ��� � � , existira´ un � � � tal que � � ��� ; como ��� es abierto, para algu´n � � � � sera´ �-� ��� � � � � ��� � � � ��� � � , lo que quiere decir que la unio´n es un conjunto abierto. (3) Si � � � � �� � � � , entonces � ��� � para todo � fi 5 ���%������� � � y como cada � � es abierto, cada uno de estos conjuntos debe contener una bola de centro � , es decir, para cada � fi 5 ���%������� � � existira´ un � � � � tal que �-� ��� � � � � � � . Si tomamos � fi . ��� � 5 ���%������� � ��� tendremos que �-� ��� � � � �-� ��� � � � � � � para todo � fi65 ���%������� � � y por tanto �-� ��� � � � � � �� � � � . Ejemplo 2.3.7. La interseccio´n arbitraria de abiertos no es, en general un abierto. Si consideramos la familia de abiertos � � � � � � � ��� ��� � � en � � 131 � , su interseccio´n es � -� � � � � � � � �flfi � � � , que no es abierto. 9 Algunas de las propiedades e ideas ma´s importantes que abordaremos y, que de hecho, ya se esta´n abordando en ana´lisis, necesitan del estudio de lo que ocurre en un punto y, ma´s en concreto, en las cercanı´as, en los alrededores de un punto; ası´ sucede con la continuidad, con la convergen- cia,... Necesitamos realizar un estudio local. Vamos a ver algunos conceptos que facilitara´n dicho estudio. Definicio´n 2.3.8 (Entorno). Sea � � �$�+� un espacio me´trico, � � un subconjunto y ��� . Diremos que es un entorno de � si existe un ��� � tal que �-� ��� � � � . Ejemplo 2.3.9. (1) Una bola abierta en un espacio me´trico, es entorno de todos sus puntos. En concreto, en con la me´trica usual, un intervalo abierto, es entorno de todos sus puntos. (2) El intervalo � �+��� � es un entorno del punto 5 , pero no lo es del punto � . 9 Proposicio´n 2.3.10. Un subconjunto � de un espacio me´trico � � �$�+� es abierto si y so´lo si � es entorno de todos sus puntos. Demostracio´n. (Ejercicio) 2.4 Cerrados Tan importantes como los abiertos, son sus complementarios, los llamaremos cerrados. 2.4. CERRADOS 21 Definicio´n 2.4.1 (Cerrado). Sea � � �$�+� un espacio me´trico. Diremos que un subconjunto � � � es cerrado en � � �$�+� si su complementario � � fi � � � es un subconjunto abierto en � � �$�+� . Ejemplo 2.4.2. En , con la me´trica usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados; tambie´n lo son las semirrectas cerradas � � � & � � o � � � � � . No lo son los intervalos de la forma � � � � , � � � � o � � � � . 9 Proposicio´n 2.4.3. Un subconjunto � de un espacio me´trico � � �$�+� es un cerrado si y so´lo si para todo ���� � existe un ��� � tal que �-� ��� � � �$�.fi�� . Demostracio´n. ' Si � � � es cerrado quiere decir que � � es abierto, por tanto, para todo ���� � ( � � � � , existe ��� � tal que �-� ��� � � � � � , es decir, �-� ��� � � �$�,fi�� � Si para todo � �� � ( � � � � ), existe ��� � tal que �-� ��� � � � �.fi�� , entonces �-� ��� � � � � � , entonces � � es abierto, luego � es cerrado. Ejemplo 2.4.4. (1) En � � �$� � � , el conjunto �.fi � � ������� � � � 1 � 1 � 5 � 1 �31)" ��� no es cerrado y � fi � � ������� � � � 1 � 1%",5 � 1 �31+" ��� , sı´ lo es. (2) En � � �$� � � , cualquier recta es un conjunto cerrado. 9 Definicio´n 2.4.5. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, sea � � � , y � � � nu´mero real. Llamaremos bola cerrada de centro � y radio � al conjunto � � � � � �flfi � � � � � � � ��� � " � � Las bolas cerradas contienen a las correspondientes bolas abiertas. Proposicio´n 2.4.6. En un espacio me´trico, las bolas cerradas son conjuntos cerrados Demostracio´n. (Ejercicio) Teorema 2.4.7. Sea � � �$�+� un espacio me´trico, entonces se verifican: 1. � y � son cerrados. 2. Si � � � ���fl� � � es una familia de cerrados en � , entonces � � ��� � � es un cerrado. 3. Si � � � ��� fi65 ���%������� � ��� es una familia finita de cerrados, entonces � � �� � � � es un cerrado. Demostracio´n. Se trata de aplicar las leyes de Morgan. (Ejercicio) 22 CAP´ITULO 2. ESPACIOS M ´ETRICOS Ejemplo 2.4.8. (1) La unio´n arbitrario de cerrados no es, necesariamente un cerrado. Consideremos la familia � � �+� 5 � � � �3����� � � de intervalos cerrados en ; su interseccio´n � � �fiff � �+� 5 � 5 �� fi � �+� 5 � � no es cerrado. (2) En la me´trica discreta cualquier subconjunto es cerrado. (3) Hay subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo � �+� 5 � � con la me´trica euclı´dea. (4) Tambie´n es posible que un subconjunto sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo, con la me´trica discreta, cualquier subconjunto es a la vez abierto y cerrado. 9 Definicio´n 2.4.9. Sea � � �$�+� un espacio me´trico y � �2� . Diremos que � es un subconjunto acotado si eixten � � � � y ��� � tal que ��� �-� � � � � � . Ejemplo 2.4.10. (1) con la me´trica euclı´dea es un espacio me´trico no acotado. (2) con la me´trica discreta es un espacio me´trico acotado. (3) Los subespacios � 5 ��� � , � 5 ��� � y � � � � � 5 ��� � de con la me´trica euclı´dea son subespacios me´tricos acotados. El subespacio � � 5 � & � � no es acotado. (4) Cualquier bola, abierta o cerrada, es un subespacio acotado. 9 Definicio´n 2.4.11 (Dia´metro de un conjunto). Sea � � �$�+� un espacio me´trico y � � � un subconjunto acotado. Definimos el dia´metro de � , y se representa por � � � � como � � � �0fi ����� � � � ������� � ����� � � � Ejemplo 2.4.12. (1) Los dia´metros de los subconjuntos � 5 ��� � , � 5 ��� � y � � � � � 5 ��� � de con la me´trica usual son respectivamente 5 , 5 y � . (2) El subespacio � �+� 5 � � � �+� 5 � de � es un subconjunto acotado para cada una de las tres me´tricas � � , � � y ��- . Sus dia´metros para cada una de estas tres me´tricas son, respectivamente, � , � y 5 .9
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