MATEMÁTICA EBOOK

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apítulo 1 05 Introdução O ensino de Matemática no Brasil foi e é marcado por diversas concepções filosóficas que, de alguma forma, refletem no currículo escolar bem como na própria prática docente. Nesse sentido, percebe-se que atualmente temos um ensino desta disciplina que mais valoriza a técnica do que realmente o seu conceito e sua história. Logo, como trabalhar com a história a fim de colaborar no ensino e prática de Matemática no ensino fundamental? Se os discentes são pessoas importantes nesse processo escolar, como propor atividades de cunho qualitativo? Matemática não é apenas número. Matemática em seu cerne tinha como proposta colaborar na sobrevivência do ser humano, e sua evolução cria novas formas de pensar sobre os objetos, refletindo em mais qualidade de vida. Ou seja, esse questionamento postula a intenção de que é possível trabalhar qualidade e quantidade com matemática. Neste capítulo a proposta é apresentar a você uma discussão histórica da matemática aliada às possibilidades de conteúdo que perpassar o currículo escolar, bem como a própria prática docente. Ou seja, é possível estabelecer um contexto de matemática mais ativo e intuitivo? Você perceberá que isso é possível, trabalhando em um contexto que a ação parte da reflexão e que a reflexão gera a ação. Dessa forma, é preciso ser crítico e reflexivo, pensando por meio das perguntas básicas da filosofia, focalizando especificamente nos objetos matemáticos: “O que existe?”, “O que é conhecimento?”, “O que vale?” E, ainda: “Os objetos e as leis matemáticas são inventados (construídos) ou descobertos?”. Pronto(a) para começar seus estudos? Há muito o que conhecer e refletir sobre ensino e prática da Matemática no ensino fundamental. 1.1 Sistema de numeração decimal: Números Naturais, Inteiros e Racionais A numeração é tão antiga quanto a humanidade. Sua disseminação ocorre na medida em que os mais diversos povos e nações vão entendo a importância de se contar, guardar, trocar, entre outros processos necessários para a vida em sociedade. Desde os povos nômades até a constituição das primeiras cidades, é possível perceber no contexto histórico que o ser humano utiliza-se de técnica capazes de ir ao encontro de sua sobrevivência. Com isso, é possível afirmar que a matemática representava a capacidade do ser humano de construir possibilidades e lógicas inerentes à sobrevivência dos seus entes. Nesse sentido, a capacidade matemática de se pensar e resolver problemas diários era extremamente um cálculo mental ou, em outras palavras, era mais uma manifestação do senso numérico e reconhecimento de modelos. De lá até os tempos contemporâneos, a matemática avançou significativamente em termos numéricos e tecnológicos. No entanto, continua tendo como premissa a necessidade de resolução de problemas no que compete a criação e desenvolvimento de objetos necessários à vida humana. Por isso, é possível refletir: de que forma na história constitui-se a necessidade de uma numeração que dê conta do desenvolvimento humano e, principalmente, da fragmentação em Quais os fundamentos de aritmética e geometria plana? 06 Laureate- International Universities Ensino e Prática de Matemática no Ensino Fundamental conjuntos dos números reais? Ou ainda: de que forma a numeração decimal e suas vertentes são importantes para um mundo globalizado bem como para a educação escolar? Ao estudar os conteúdos apresentados a seguir você poderá responder a estas e outras perguntas sobre a evolução da matemática e sobre suas possibilidades numéricas inerentes ao ensino e prática da disciplina no ensino fundamental. 1.1.1 Sistema de numeração decimal e Números Naturais Conforme o historiador matemático Eves (1997), o conceito de número e o processo de contar desenvolvem-se antes dos primeiros registros históricos, sendo que, segundo evidências arqueológicas, há cerca de 50mil anos o ser humano já era capaz de contar. Nesse sentido, “a história do homem sobre a terra mal devia ter começado quando ele começou a modelar instrumentos e objetos, pois estes são encontrados juntos de seus restos” (FORBES; DIJKSTERHUIS, 1963, p.25). Por volta do quarto milênio, de acordo com Forbes e Dijksterhuis (1963), a escrita foi inventada próximo ao Oriente, na Mesopotâmia, e alguns séculos mais tarde se estendeu ao Egito, onde – de acordo com estes autores – tem-se uma percepção mais forte do papel desempenhado pelas observações científicas nessas civilizações. Ainda conforme Forbes e Dijksterhuis (1963, p.30), “a escrita, segundo parece, foi inventada com o propósito de conservar os registros dos templos da Mesopotâmia nos tempos antigos e para registrar cereais, carneiros e outros tributos”. Como afirma Childe (1981, p.183): “[...] a escrita era, na verdade, uma profissão, como a metalurgia, a tecelagem ou a guerra, e essa alfabetização era encarada como uma prosperidade e avanço social”. Childe (1981) reitera que a partir da escrita, tem início a representação das ciências pelos sacerdotes e escribas com uma posição privilegiada nos reinos em comparação aos outros membros. Tinha-se uma escrita cuneiforme na qual os símbolos representavam letras e poderiam ter diferentes valores. A partir disso, o conhecimento era repassado em “escolas” dos templos com ensinamentos na arte de escrever. Forbes e Dijksterhuis (1963, p.16) comentam: “[...] a ciência não constituía, por si própria, um assunto; consistia, sim, numa série de regras e métodos de cálculo utilizados no comércio e nos negócios, na engenharia, nos tributos ou na predição de fenômenos astronômicos”. Diferentemente de outros animais, o ser humano sempre buscou dar sentido às situações que eram imprescindíveis à vida na Terra. E a matemática vem sendo, ao longo da história, presente nesses enredos. Acredita-se que em 2200 a.C já existia uma representação da matemática pelas “Tábuas matemáticas de Nippur” e, em 1650 a.C., pelo “Papiro de Rhind” (CHILDE, 1981). Conforme explicita Davis e Hersh, 1985, p. 27: A matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em uma certa medida, todos são matemáticos e fazem matemática conscientemente. Comprar no supermercado, medir um rolo de papel de parede ou decorar uma jarra de cerâmica com um desenho regular é fazer matemática. Além disso, todos são, em uma certa medida filósofos da matemática. Inicialmente, conforme Eves (1997), as primeiras práticas matemáticas empregavam-se à correspondência biunívoca, utilizando os dedos das mãos, fazendo ranhuras no barro ou na pedra, entalhes em pedaços de madeira, fazendo nós em cordas. E com o aprimoramento da escrita vão surgindo os símbolos com o intuito de representar os números. Na evolução da sociedade, com a concepção das primeiras cidades e consequentemente dos sistemas de organização social, criam-se sistemas de numeração a fim de atender a compras, vendas e principalmente às trocas de mercadorias entre os povos. Surge então um sistema de numeração muito avançado, denominado de sistema de numeração Indo-Arábico, o qual é utilizado até hoje. “Os mais antigos exemplos de nossos atuais símbolos numéricos encontram-se em algumas colunas primitivas de pedra erigidas na Índia por volta do ano 250 a.C” (EVES, 1997, p.40). 07 A obra História da Ciência e da Técnica: obedecendo a natureza, conquistá-la: Da antiguidade ao século XVII, de Forbes e Dijksterhuis (1963) aborda a história da matemática e das ciências naturais, dentro do contexto da história da ciência e da técnica. O objetivo é esclarecer sobre os “começos” da história da matemática e das ciências naturais, desde os antigos Caldeus aos Gregos. VOCÊ QUER LER? É possível observar na história da matemática que estase fez presente nas grandes revoluções, como por exemplo, na revolução agrícola (6000 a.C.) e na revolução industrial (séc. XVIII). Nota-se também que sua constituição obteve um grande florescimento a partir das discussões filosóficas que ocorriam nas sociedades babilônicas e egípcias, estendendo-se à sociedade grega que, de acordo com Eves (1997) e Childe (1981) colaboroucom o grande avanço da matemática em suas definições e sistematizações abstratas. Atualmente trabalha-se no contexto da matemática com o Sistema de Numeração Decimal (SND), ou seja, os algarismos 0, 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 formam a base numérica que nos permite ler e escrever qualquer número com o uso de regras, agrupando-se de 10 em 10 unidades. E a esse agrupamento de 10 em 10 denomina-o de decimal. Dentro do SND há algumas regras que constituem o seu processo estrutural, que discutiremos na sequência. Veja o exemplo da população para a cidade de São Paulo em 2016, estimada em 12.038.175 pessoas (IBGE, 2010). Pode-se afirmar que esse numeral é constituído de oito símbolos chamados de algarismos ou dígitos. Nesse sentido, uma das primeiras premissas desse SND é que os números são formados por algarismos ou dígitos, ou seja, o número 29 apresenta dois algarismos (o 2 e o 9), que consequentemente juntos formam um numeral. Outra premissa importante refere-se ao lugar ocupado por um determinado algarismo em um número. Ou seja, a ordem e a quantidade indicada por um algarismo dependem da posição que ele ocupa no número. Por exemplo, pode-se ter distintos números formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, entre eles o 1234, 4312, 1324, 1423,2341, entre outras possibilidades. Essa ordem no contexto da matemática é numerada da direita para a esquerda, conforme o quadro a seguir. 5ª classe 4ª classe 3ª classe 2ª classe 1ª classe trilhões bilhões milhões milhares unidades C D U C D U C D U C D U C D U Quadro 1– Classes das unidades. Fonte: Elaborado pelo autor, 2016. Deve ser obedecido o princípio de que 10 unidades formam uma unidade de ordem superior e de que todo algarismo à esquerda representa uma unidade de ordem superior (10 vezes maior). Por exemplo, no número 356 temos o 6 sendo unidade, o 5 sendo dezena e o 3 sendo centena, podendo ser representado da seguinte forma: 300 + 50 + 6. Lembrando que a cada 10 unidades forma-se uma dezena; a cada 10 dezenas forma-se uma centena. E assim segue a lógica na classe dos milhares, milhões, bilhões, trilhões e as outras classes. O quadro anterior apresenta até a 5ª classe, mas é importante salientar que como os números são infinitos, consequentemente é possível ter infinitas classes. 08 Laureate- International Universities Ensino e Prática de Matemática no Ensino Fundamental A questão da ordem é importante para as separações das classes, como por exemplo, no número 7777. O algarismo 7 nesse exemplo representa, da direita para esquerda: • 7 unidades; • 7 dezenas; • 7 centenas; • 7 unidades de milhar. Por meio desse exemplo é possível conceituar o valor relativo, ou posicional, e o valor absoluto. No número 7777 tem-se: Algarismo Valor absoluto Valor relativo 7 7 7 milhares ou 7000 7 7 7 centenas ou 700 7 7 7 dezenas ou 70 7 7 7 unidades ou 7 Tabela 1 – Valor relativo e valor absoluto. Fonte: Elaborada pelo autor, 2016. É possível concluir que o valor relativo refere-se à posição do algarismo no numeral, e o valor absoluto refere-se ao valor do algarismo no numeral. A vantagem do SND é ser posicional e ser classificado em ordens. Isso gera uma segurança maior principalmente quando envolve a necessidade de somar, subtrair, multiplicar e dividir. Com isso é possível conceituar o que é um número natural. O número natural pode ser representado da seguinte forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} A letra N representa os números naturais, sendo considerados algarismos positivos e infinitos. Quando trabalha-se com os números naturais na escola com o público do 1º ano ao 6º ano, as operações matemáticas são apresentadas com números positivos. É importante salientar aos docentes que dizer aos estudantes que “os números negativos não existem” ou que “só temos números positivos” é um equívoco, ocasionando no 7º ano uma experiência drástica, pois é a partir desta série que os números negativos começam a ser trabalhados na disciplina de Matemática. Talvez seja interessante expor aos estudantes que os números negativos existem sim, mas que por uma questão curricular nos primeiros anos são trabalhados apenas os positivos a fim de compreender o processo do SND que, para crianças das séries iniciais, não é um processo tão fácil de aprendizagem. Kamii e Joseph (2001) defendem a necessidade de que a criança, antes de operar com adição, subtração, multiplicação e divisão, compreenda o que foi dito anteriormente. Ou seja, é necessário uma real compreensão acerca do sistema de numeração decimal, pois sem essa compreensão as operações serão meras técnicas de repetição gerando nesses casos vários problemas com a Matemática e até mesmo com outras áreas que de alguma utilizam-se desta disciplina em sua construção de aprendizagem. Interessante compreender que o conceito de número para uma criança que recém entra na escola não é algo tão organizado quanto se pensa. Há diversos processos mentais sendo trabalhados pela mente dessa criança, entendendo a inteligência como um processo complexo que exige 09 mais do que repetição e técnicas de como fazer. Exige certamente a compreensão sobre o objeto estudado, o que Piaget (1971) afirma em seus estudos. Piaget (1971), por meio da Psicologia da Inteligência, buscou responder o seguinte questionamento: Como os seres humanos constroem conhecimento? E como as crianças são os seres que mais constroem conhecimento? Suas pesquisas foram realizadas essencialmente com crianças de 0 a 10 anos de idade. De acordo com Piaget (1971), a inteligência deve ser entendida como função e estrutura. Enquanto função, a inteligência é uma adaptação, ou seja, na busca de sobrevivência o ser deve se adaptar ao meio. Por outro lado, enquanto estrutura, a inteligência é uma organização de processos. Crescer é reorganizar e não apenas acumular. Ao trabalhar Matemática com as crianças, inicialmente, é necessário que elas compreendam que todo número natural tem um sucessor (o que vem imediatamente depois) e que todo número natural (exceto o 0) tem um sucessor (que vem antes). Também é importante salientar que dois ou mais números naturais são consecutivos quando cada um deles é sucessor do anterior. Exemplo: O sucessor de 8 é 9. O sucessor de 0 é 1. O antecessor de 8 é 7. O antecessor de 6 é 5. Os algarismos 70, 71 e 72 são consecutivos. Conforme Bittar et al. (2013, p.23): [...]a adição é considerada a principal entre as quatro operações básicas. As demais seriam decorrentes dela, em particular a subtração cujo nível de conexão é tal que, segundo Vergnaud (1990), os conceitos envolvendo essas duas operações, formam um campo, por ele denominado de campo conceitual aditivo. A utilização da adição não precisa ser abordada de forma desconectada com as outras operações. Ainda de acordo com os autores citados, a decomposição de um número em unidades, dezenas e centenas é muito útil para calcular o resultado de uma adição. Exemplo: 125 + 212 = (100 + 20 + 5) + (200 + 10 + 2) = (100 + 200) + (20 + 10) + (5 + 2) = 300 + 30 +7 = 337 No que compete à subtração de dois números naturais deve-se levar em conta o que é minuendo, subtraendo e diferença, respeitando seu princípio: somando-se a diferença ao subtraendo obtém-se o minuendo. Se 9 - 5 = 4 então 4 + 5 = 9 minuendo subtraendo diferença Figura 1 – Minuendo e subtraendo. Fonte: Elaborado pelo autor 10 Laureate- International Universities Ensino e Prática de Matemática no Ensino Fundamental Há de se lembrar que existem diversas formas de se calcular com a subtração. No entanto, independentemente da forma utilizada, é necessário expor ao estudante o que está sendo feito e como está sendo feito, atribuindo significado às operações. É indicado para as crianças recém-ingressantes na escola o uso de materiais concretos, como por exemplo, o Material Dourado, a fim de que possam construir lógicas nas operações, utilizando principalmente as unidades, dezenas e centenas. O material concreto, além de ser importante para a ludicidade, trata-se de objetos manipulativos, pelos quais as crianças têm uma noção no real doque realmente estão fazendo com as “continhas” em seus cadernos. Lembre-se que adicionar e subtrair é muito mais do que “juntar” e “retirar”. Seguindo essa ideia, no contexto das quatro operações básicas da Matemática, há certas propriedades que compõem o itinerário dessas operações. Veja os da adição: fechamento, associativa, elemento neutro e comutativa. Diz-se que a adição no conjunto dos números naturais é fechada uma vez que a soma de dois números naturais sempre terá como resultado outro valor natural. Por outro lado, é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos. Exemplo: A + B + C = A + B + C Substituindo A = 2; B = 5 e C = 8, temos: 2 + 5 + 8 = 2 + 5 + 8 Ou seja, ao somar 2 + 5 e ao seu resultado adicionar 8, o resultado será o mesmo que somar 5 + 8 e adicionar 2. Por isso é denominada de associativa, ou seja, quaisquer que seja a soma, o resultado sempre será o mesmo dos dois lados da equação. Já o elemento neutro da adição diz respeito ao algarismo que somado a ele o resultado será sempre o próprio número natural. O elemento neutro da adição é o algarismo 0, conforme o exemplo: 2 + 0 = 2 = 0 + 2 É comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, isto é, somando a primeira com a segunda parcela o valor final será o mesmo. Observe: 5 + 3 = 8 e 3 + 5 = 8.