Resumo P1 (Cal4)

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RESUMO P1 
(MAT1154 – CÁLCULO IV) 
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem 
 
São equações com a seguinte cara: 
����� ����� � ����� ���� 	 
��� 
 
o Se ���� 	 
 (Método das Equações Separáveis) 
1. Jogar o que não é derivada para o outro lado 
 ����� ����� 	 ����� ���� 
2. Substituir ����� por ��
��
 e passar tudo que tem y para a esquerda e o que não 
tem para a direita 
 
��
����
	 ����
����
� �� 
3. Fazer a integral dos dois lados, sendo o esquerdo em y e o direito em x 
 �
�
����
�� 	 �
����
����
�� 
 
o Se ���� � 
 (Método do fator integrante) 
 
1. Multiplicar a EDO por uma função (����) a ser determinada: 
 ����� ������ ���� � ����� ����� ���� 	 
���� ���� 
 
2. Encontrar ���� tal que ���������� ���� seja igual a ����� ���������� 
 
�����
����
	 � ����
����
 
 ���� 	���
����
���� 
3. Pela regra do produto sabemos que �� ��� � ��� � 	 ��� ��� , logo: 
 ������ ���� � 	 
���� ���� 
 ���� 	 � !
����
� �"���� ������� 
Equações Diferenciais Ordinárias Exatas 
 
São equações com a seguinte cara: 
���#���� � ���# ���� 	 
 ou ����� 	 ���#��
���#��
 
A função ����� é definida implicitamente pela equação $��# ��, que é a solução dessa EDO Exata. 
 
o Método para determinar $��# �� 
1. Verificar se a Equação é uma EDO Exata 
 
��
��
	 ��
��
 
2. Se der certo, sabemos que existe uma $��# �� , onde , logo, para 
acharmos $��# �� integramos UMA das equações 
 $��# �� 	 ���� �� � %��� 
OU 
 $��# �� 	 ���� �� � %��� 
Resolvido pelo método das equações 
separáveis 
�$
��
	 �� 
�$
��
	 �� 
 
Essa é a solução, porem precisamos achar k(x), e para tal seguimos os seguintes passos: 
3. Derivar a equação do passo 2 pela OUTRA derivada e igualar a outra equação 
 
��%���&� �����
��
	 � 
OU 
 
��%���&������
��
	 � 
4. Isolar k e integrar tudo em sua variável 
 '��� 	 �(� �� )��*� �� 
OU 
 '��� 	 �*� �� )�� (� �� 
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2ª Ordem 
 
São equações com a seguinte cara: 
�� ������ � �� ����� � +� ���� �	 
��� 
Para resolver EDO’s de 2ª Ordem precisamos encontrar a Solução Homogênea e soma-la com 
Solução particular (Se 
��� � 
) 
 
o Encontrar a Solução Homogênea (Fingir que 
��� 	 
) 
1. Encontrar e resolver a Equação característica, transformando os ����em ,’s , 
onde as derivadas se transformam em potencias 
 Eq. Carac. = �� -. � �� - � + 	 
 
2. Substituir os -�/ na equação correspondente: 
Se os -�/ forem reais e diferentes (0 1 
� 
 �2 	 +!� �-! �� � +. � �-. �� 
Se os -�/ forem iguais (0 	 
� , deriva-se um dos termos, ou seja, a equação ficará: 
 �2 	 +!� �-! �� � +.�� �-.�� 
Se os -�/ forem imaginários �0 3 
� e da forma - 	 4 � 5�i , a equação deve ser: 
 �2 	 +!� �4��� 67
8�5� �� � +. � �4�� � 89
:�5� �� 
 
o Encontrar a Solução Particular (Metodo dos Coeficientes a determinar) 
 
Para que a Solução Particular possa ser encontrada 
��� deve ser exponencial, polinomial ou sen 
e/ou cos . Nesse método “chutaremos” uma solução particular condizente a 
 
��� , ou seja: 
 �� 	 ;� �. � <� � � % * 
OU 
 �� 	 ;� �<� 
OU 
 �� 	 ;� 8=
:�<� �� � �%� 678�<� �� 
1. Derivar 2 vezes a solução particular: 
 �� 	 ;� �. � <� � � %�>���� 	 .;� �. � <�>����� 	 .;�� 
 �� 	 ;� �<��>���� 	 ;�<� �<��>����� 	 ;�<.� �<� 
 �� 	 ;� 8=
:�<� �� � �%� 678�<� ���>���� 	 );� 67
8�<� �� ) �%� 89:�<� ��� 
 >����� 	 );� 8=
:�<� �� ) �%� 678�<� �� 
2. Substituir os ���# ���������� na EDO dada 
3. Encontrar m, n e k , igualando a 
��� 
o Encontrar a Solução Geral 
1. Somar a Solução Particular com a Homogênea. 
 ���� 	 �2 ���� 
Em ambos os casos 
n deve ser 
EXATAMENTE 
igual ao de 
��� 
* O grau do 
polinómio será 
igual ao grau do 
polinómio de 
��� 
+ o menor grau 
de derivada.