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Apostila PO - UFMG

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Universidade Federal de Minas Gerais 
Faculdade de Ciências Econômicas 
Departamento de Ciências Administrativas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Ana Lúcia Miranda Lopes, Dra. Eng. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2014 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
4 
SUMÁRIO 
 
1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional......................................................................................... 5 
1. 2. Aplicações da Pesquisa Operacional ......................................................................................... 7 
2 Programação Linear: modelagem ......................................................................................... 8 
2.1. Introdução ................................................................................................................................ 8 
2.2. Construção de um Modelo de Programação Linear .................................................................... 8 
2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão ............................................................................... 8 
2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; ....................................................................... 10 
2.2.4. Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. ................................................................ 11 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 24 
ESTUDOS DE CASO .......................................................................................................................... 35 
ANEXO 3: Como utilizar o Solver/Excel para resolver problemas de programação linear (PL) . 37 
3. . Resolução de um Modelo de Programação Linear: Solução Gráfica .................................. 43 
3.1 Introdução ............................................................................................................................... 43 
3.2. Resolvendo um Modelo Linear através do Método Gráfico ...................................................... 45 
3.2.1. Construindo o gráfico representativo das restrições .............................................................. 45 
3.2.2. Obtendo a Solução Ótima ...................................................................................................... 49 
3.3. Programas Lineares Inviáveis .................................................................................................. 52 
3.4 Programas Lineares Ilimitados ................................................................................................. 53 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 55 
4. Programação Linear: Interpretando os Resultados ............................................................ 57 
4.1. Forma Padrão ......................................................................................................................... 57 
4.1.1. Convertendo uma desigualdade em uma igualdade............................................................... 58 
4.1.1. Convertendo uma função objetivo para maximização............................................................ 60 
4.2. Interpretando os resultados .................................................................................................... 60 
4.2.1. Relatório de Resposta............................................................................................................ 61 
4.2.2. Relatório de sensibilidade I .................................................................................................... 63 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 69 
5. Programação Linear Inteira e Binária ................................................................................ 77 
5.1. Programação Linear Inteira e Binária ....................................................................................... 77 
5.2. Programação Linear Inteira Mista (PLIM) ................................................................................. 81 
Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 82 
 
 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
5 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Devo investir meu excedente de caixa em fundos cambiais, poupança, ações, ou outros? 
Como devo balançar meu investimento para obter o maior retorno possível a um risco aceitável? 
 
Quanto devo produzir dos produtos A, B e C para obter um lucro máximo, satisfazendo as 
restrições de horas-homem, matéria prima e capacidade das máquinas? 
 
Dada a produção de determinado produto em várias fábricas. Quanto de produto devo mandar de 
cada fábrica para cada ponto de varejo de modo a minimizar meu custo de transporte? 
 
Dada uma série de possibilidades de localização para determinada fábrica e um conjunto de 
restrições, qual local devo escolher? 
 
 
Se você estivesse diante de um dos problemas listados acima. Como resolveria? 
Estes são problemas do dia a dia das organizações e que, muitas vezes, são resolvidos com base na 
intuição e experiência de seus administradores. 
Nesta disciplina veremos como a ciência denominada Pesquisa Operacional pode contribuir para 
ajudar as empresas em tomadas de decisão como estas. 
 
 
 
1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional 
 
A pesquisa operacional (Operations Research ou Management Science) teve seu surgimento durante 
a 2a. guerra mundial. Guerras, na maior parte das vezes, traz junto consigo a necessidade de conviver-se 
com toda sorte de carência de recursos. Foi por esta razão que os militares ingleses (British Air Force) 
formaram o primeiro grupo para o estudo das melhores condições de aproveitamento dos recursos 
disponíveis. Este grupo estudou a aplicação de métodos quantitativos com o objetivo de melhorar a 
eficiência das forças de guerra da armada inglesa. Foi então denominado de grupo de Operations 
Research (pesquisa operacional) e vem daí, então, o nome da ciência tão amplamente utilizada hoje em 
dia. Naquele momento o grupo de PO iniciou a trabalhar em problemas relacionados ao abastecimento 
das tropas, táticas de defesa e ataque aéreo e marítimo. A principal aplicação daquela época que se tem 
notícia foi na área de detecção de aviões inimigos através de radar. Dizem, hoje, que esta foi a grande 
arma dos britânicos que levou-os a vencer a batalha aérea na Grã-Bretanha. 
Logo após a criação do grupo de PO inglês, e como não poderia deixar de ser, os americanos 
formaram um grupo semelhante. 
Depois da 2a. guerra mundial os cientistas e administradores de empresas vislumbraram a 
possibilidade de aplicação das técnicas de PO utilizadas na guerra para a resolução de problemas dentro 
das empresas. Modelos foram pesquisados e desenvolvidos para a resolução de problemas nas áreas de 
planejamento da produção, planejamento agrícola, transporte de mercadorias, “scheduling” de refinarias 
de petróleo, entre outros. 
 
O que é Pesquisa Operacional? 
 
A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo 
como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção, 
planejamento ou operação de sistemas para atingir seus objetivos. Através de desenvolvimentos de base 
quantitativa, a Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade 
nos processos de tomada de decisão sem descuidar, no entanto, dos elementos subjetivos e de 
enquadramentoorganizacional que caracterizam os problemas. 
(http://www.sobrapo.org.br). 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
6 
É, portanto, uma ciência aplicada formada por um conjunto de técnicas quantitativas que tem como 
objetivo a determinação da melhor maneira de aproveitamento de recursos, por vezes, escassos. É 
particularmente pertinente em problemas complexos cujo alcance dos objetivos enfrentam restrições tais 
como: técnicas, econômica, temporal, de mão de obra, de demanda, etc. 
Aliado ao uso dos métodos quantitativos tem-se o uso de softwares eficientes para a resolução dos 
problemas decisórios (LINDO, What´s Best, Solver do Excel, etc...). 
Com a disseminação dos computadores observada nas últimas décadas tem-se podido trabalhar com 
grandes volumes de dados sobre as atividades das empresas tornando a representação do problema 
decisório cada vez mais próxima da realidade e fazendo com se observe o uso da PO em um grande 
número de empresas. 
Com a globalização a utilização eficiente dos recursos disponíveis é vital para as empresas. Utilizar-
se tudo o que se tem disponível, através da ciência, experiência, etc.. para a melhoria da eficiência da 
empresa é de extrema relevância para a sobrevivência das mesmas em um mercado cada vez mais 
competitivo e pode significar a manutenção desta no mercado ou não. 
A utilização de métodos quantitativos para resolução de problemas decisórios envolve, 
normalmente, muitas pessoas dentro da organização. Todos os aspectos relevantes do problema 
precisam ser identificados e mapeados. 
O processo da aplicação das técnicas de pesquisa operacional envolve uma seqüência de passos 
que podem ser ilustrados na figura que segue: 
Figura 01 – Seqüência de Desenvolvimento de um Modelo de PO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Implementação dos 
Resultados 
 
 
Definição do 
Problema 
Levantamento 
dos dados 
necessários 
Desenvolvimento 
do Modelo 
Matemático 
Desenvolvimento 
da Solução do 
Modelo 
o 
Testando a 
solução 
Análise dos Resultados e 
análise de sensibilidade 
Formulação 
Interpretação 
Solução 
1. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
7 
1. 2. Aplicações da Pesquisa Operacional 
 
As técnicas de PO são aplicadas a uma ampla variedade de problemas decisórios que vão desde a 
determinação de tempo em filas de um banco até filas de aviões em aeroportos. Problemas de estoques, 
planejamento da produção, mistura de componentes, formulação de ração a custo mínimo, redes de 
transporte, alocação de pessoas, problemas de redes de comunicação, programação de tarefas são 
também exemplos de aplicações de PO. 
Organizações como: IBM, HP, Microsoft, Gessy Lever, Nestlé, etc.. são exemplos de multinacionais 
que vem utilizando técnicas de PO em seus gerenciamentos. 
A nível nacional tem-se informação da aplicação de técnicas de pesquisa operacional em empresas 
tais como: Petrobrás, Sadia, AçoMinas, Unibanco, Bradesco, Brahma, Cosipa. Eletrobrás, entre outras. 
 
1.1. Divisões da PO 
 
A pesquisa operacional compreende um conjunto relativamente grande de técnicas que podem ser 
utilizadas para resolução de problemas decisórios. As principais são: 
 
Algoritmos Genéticos 
Análise Muticritério de Apoio à Decisão 
Cadeias de Markov 
Data Envelopment Analysis 
Grafos 
Modelos de Estoques 
Modelos de Previsão 
Programação Dinâmica 
Programação Linear 
Programação Não-Linear 
Redes Neurais 
Simulação 
Teoria da Decisão 
Teoria das Filas 
Teria dos Jogos 
 
 
Na área de Negócios os casos de utilização da Pesquisa Operacional têm se concentrado nas 
técnicas de programação linear e simulação. Pelo menos 70% das aplicações envolvem estas duas 
áreas. 
 
 
 
8 
2 Programação Linear: modelagem 
 
 
 
2.1. Introdução 
 
 Programação linear é uma técnica de otimização utilizada para resolução de problemas 
decisórios que podem ser representados por meio de equações lineares. 
 A otimização ajuda a encontrar a resposta que produz o melhor resultado para a empresa, ou 
seja, aquela que conduz ao maior lucro, menor custo, por exemplo. 
 Estes modelos lineares são representados por meio de uma função objetivo e um conjunto de 
restrições, como segue: 
 
Modelo Geral: 
 
Otimizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn 
 
sujeito a 
 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn <, =, ou > b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn <, =, ou > b2 
......................................................................................... 
 
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn <, =, ou > bm 
 
x1, x2, x3, ... Xn >=0 
 
 
Onde: 
Z = Função Objetivo 
cj = coeficientes da função objetivo 
xj = variáveis de decisão 
aj = coeficientes técnicos 
bi = constantes do lado direito da equação (RHS) 
 
 
2.2. Construção de um Modelo de Programação Linear 
 
A construção de um modelo de programação linear pode ser dividida em 4 fases, são elas: 
 
Fase 1: Definição das variáveis de decisão; 
Fase 2: Identificação dos dados do problema; 
Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo; 
Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. 
 
 
2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão 
 Para melhor mostrar como deve ser realizada esta e as demais fases vamos trabalhar sob um 
exemplo de planejamento da produção. 
 
 
 
9 
Exemplo 2.1. Só Bicicletas (SB) é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas. 
A empresa acaba de lançar 2 novos modelos de bicicletas infantis ( 1 para menino e 1 para menina) que 
está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for 
produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada 
modelo sejam produzidos. O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de $50 e da 
bicicleta masculina é de $30. A empresa conta para a produção destes dois novos modelos com 200 
trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A 
empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha 8 horas por dia. O modelo feminino 
necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de 
montagem. O modelo masculino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e 
de 1 hora no departamento de montagem. Formule um modelo que informe à SB o plano de produção 
diário que maximiza seu lucro. 
 
Para que as variáveis de decisão possam ser determinadas pode-se iniciar perguntando: 
 
� Quais itens afetam o custo ou lucro do problema? 
� Quais itens estão livres para escolher e/ou tem algum controle sobre? 
� Quais decisões você tem que tomar? 
� Quais valores, uma vez determinados constituem a solução do problema? 
 
Uma vez respondidas estas perguntas ter-se-á definido as variáveis de decisão do problema. 
Estas devem ser representadas através de um nome simbólico que pode ser uma letra ou um conjunto 
de letras(nunca um número) e que auxilia no entendimento do significado da variável. 
 
� Dê um nome simbólico para a variável 
 
No exemplo 2.1 o que se quer determinar? O que se tem algum controle sobre? 
Se quer determinar o número de bicicletas femininas e masculinas produzir por dia pela empresa, 
então: 
 
Qf = o número de bicicletas femininas produzir diariamente 
Qm = o número de bicicletas masculinas produzir diariamente 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
Variável de Decisão: 
Representação através de um símbolo ou letra 
daquilo que se quer determinar e que se tem algum 
controle. 
 
 
10
2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; 
 
 Uma vezidentificadas as variáveis que representam aquilo que se deseja conhecer em um 
modelo decisório pode se passar para a fase de identificação dos dados do problema. Estes dados são 
aqueles necessários para a modelagem completa do problema. Todos os dados devem ser levantados e, 
quando estes podem ser obtidos com certeza estamos diante de um problema chamado de 
determinístico enquanto que problemas estocásticos envolvem dados incertos. 
No problema de planejamento de produção do exemplo 2.1 tem-se que cada bicicleta no modelo 
feminino necessita de 4 horas de mão de obra para sua fabricação e de 2 horas de mão de obra para sua 
montagem. Estes dados assim como os dados relativos ao modelo masculino devem estar representados 
no modelo. A disponibilidade de mão de obra em cada departamento de fabricação e montagem também 
farão parte do modelo. 
Em um problema de planejamento da produção sabe-se que o ponto crítico é não poder gastar 
mais recurso do que a empresa dispõe. Tem-se então que chegar aos valores de disponibilidade de cada 
recurso. 
Para chegar-se à mão de obra disponível deve-se calcular: 
 
Mão de obra disponível no departamento de fabricação: 
 
MOF= 200 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 200 x 3 x 8 = 4800 horas. 
 
Mão de obra disponível no departamento de montagem: 
 
MOM= 100 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 100 x 3 x 8 = 2400 horas. 
 
Para auxiliar no processo de modelagem do problema pode se construir uma tabela que resume 
todos os dados disponíveis no problema como segue: 
 
 
Quadro 2.1 – Tabela de Dados Exemplo 2.1 
 
Variáveis Unidade Dados Iniciais Dados Solicitados 
B.Fem. B.Masc. 
Número de bicicletas 
produzir 
No. Qf Qm Qf>=2
50 
Qm>=250 
Lucro Unitário $/unid. 50 30 - 
Mão de Obra no Depto. de 
Fabricação 
horas/ 
unid. 
4 4 <=4800 horas 
Mão de Obra no Depto. de 
Montagem 
horas/ 
Unid. 
2 1 <=2400 horas 
Lucro Unitário $ 50 30 
Lucro Total $ Maximizar 
 
 
 
 
11
2.2.3. Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo 
 
Depois de determinadas as variáveis de decisão e os dados do problema pode-se passar à fase 
de construção do modelo: Este modelo matemático representa a situação da empresa que tem um 
objetivo e que para alcançá-lo terá de enfrentar algumas restrições. Este modelo será formado, então, 
por uma função objetivo e algumas restrições. 
A função objetivo pode ser entendida como a representação formal do objetivo da organização 
expresso na forma matemática em termos de dados e variáveis de decisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, qual é o objetivo da empresa (exemplo 2.1)? 
Pode-se concluir que o objetivo da empresa SB é obter o maior lucro possível. Para obtê-lo ela 
deve encontrar os valores de Qf e Qm que a conduzam a este lucro. Estes valores além de levar ao 
melhor lucro possível devem respeitar as restrições que a empresa enfrenta quanto à mão de obra 
disponível e demanda por bicicletas, oque será posteriormente representado pelas restrições. 
Para a construção da função objetivo tem-se, pela tabela 01, que o lucro unitário obtido na 
produção e venda dos modelos femininos é de $30 e dos modelos masculinos é de $50 e que a empresa 
deseja maximizar o lucro total. Isto pode ser representado da seguinte forma: 
 
 LT = 30Qf + 50Qm 
 
Onde: 
LT é o lucro total obtido na produção dos dois modelos; 
Qf e Qm são as variáveis de decisão e, portanto, incógnitas do problema. 
 
Utilizando a função de lucro total acima tem-se como função objetivo: 
 
Max LT) 30Qf + 50Qm 
 
 Temos então o objetivo da SB representado matematicamente (modelado). 
 
 
2.2.4. Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. 
 
A última fase do processo de modelagem de um processo decisório é a identificação das 
restrições. 
Normalmente o alcance do objetivo de uma organização está sujeito à algumas limitações. Estas 
limitações podem ser: 
� limitações físicas: capacidade máxima de produção das máquinas ou fábrica, quantidade de matéria 
prima existente ou possível de se obter, mão de obra disponíveis, etc; 
� limitações externas: demanda dos produtos produzidos, imposições do mercado; 
� Imposições do administrador, do governo, das associações envolvidas: o administrador pode ter se 
comprometido a fornecer uma certa quantia de determinado produto para um cliente antigo; a 
sociedade de proteção ao ambiente impõe que somente uma determinada quantia de um produto 
seja produzida devido aos danos que sua produção causa ao ambiente, etc; 
� Relações entre as variáveis: um determinado produto deve ser produzido duas vezes mais do que 
outro, por exemplo; 
� Restrições lógicas nas variáveis: limites nas variáveis. 
Função objetivo: 
 é o objetivo do problema descrito em termos de 
variáveis de decisão e dados. 
 
 
12
 
A declaração no modelo de todas as limitações ou imposições necessárias para o alcance do objetivo 
é de vital importância para a obtenção de um resultado que realmente represente o problema real da 
empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo 2.1, lembremos que a empresa deseja saber quanto produzir de cada modelo para 
maximizar seu lucro. Quais são suas limitações? A principal é a mão de obra existente nos 
departamentos de fabricação e montagem que não é ilimitada. 
Lembremos que a mão de obra consumida em cada departamento deve ser menor ou igual à 
mão de obra disponível. Mas como representar? 
 
 
CONSUMO <= DISPONÍVEL 
 
 
Consumo de M.O. no departamento de fabricação <= M.O. disponível no departamento de 
fabricação 
 
Consumo de M.O. no departamento de montagen <= M.O. disponível no departamento de 
fabricação 
 
 Para representar as relações acima primeiramente temos que construir a equação que 
representa o consumo de cada departamento, como segue: 
 
Consumo de Mão de obra no departamento de fabricação: 
 
1) Consumo de M.O (bic. fem.) =mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta fem. * 
quantidade de bicicletas femininas produzidas (Qf) 
 
2) Consumo de M.O. (bic.masc.) = mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta masc. * 
quantidade de bicicletas masculinas produzidas (Qm) 
 
E o consumo total de mão de obra no departamento de fabricação será: 
 
Consumo Total de M.O. no departamento de fabricação = Consumo na produção de bic. femininas 
+ consumo na produção de bicicletas masculinas (1+2) 
 
 
Agora se temos: 
 
Disponibilidade no depto. de fabricação = 4800 horas 
 
E se consumo tem que ser menor ou igual à disponibilidade (consumo <=disponibilidade) tem-se a 1a. 
restrição: 
Restrição: 
É a representação matemática de restrições e/ou 
limitações da empresa ou limitações nos valores das 
variáveis. 
 
 
13
 
 
 
Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 
 
 
O mesmo pode ser feito para a restrição que irá representar o consumo e disponibilidade de 
horas de mão de obra no departamento de montagem, como segue: 
 
 
Consumo < = disponibilidade 
 
De onde tem-se: 
Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400 
 
 
Prontas as restrições físicas pergunta-se: existe alguma outra limitação ou imposição? 
Sim, o departamento de marketing aconselha que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam 
produzidas. Agora, então, temos que forçar que as variáveis de decisão assumam valores iguais ou 
maiores que 250. Como representar? 
 
 
 
 Restrição 3) Qf >= 250 
 Restrição 4) Qm > = 250 
 
 
 O resultado será: 
 
Max LT = 30Qf + 50Qm 
 
 s.a. 
 
Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 
Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400 
 Restrição 3) Qf >= 250 
 Restrição 4) Qm > = 250 
 
Desta maneira o modelo está pronto. Precisamosainda resolve-lo para chegar às quantidades 
de bicicletas femininas e masculinas que conduzem a empresa ao lucro máximo. Isto aprenderemos nos 
próximos 2 capítulos. 
 
 
Exemplo 2.2: Uma escola pública procura uma dieta especial que forneça as quantidades mínimas 
diárias das vitaminas A, B e C (45 miligramas de vitamina A, 64 miligramas de vitamina B e 45 miligramas 
de vitamina C) a seus alunos ao menor custo possível. Conclui que poderia alcançar seu objetivo 
incluindo no lanche das crianças laranjas e maçãs. Em uma pesquisa nos atacadistas consegue um 
custo de $0.45 por kg de laranja. Este fornece 3 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 
15 miligramas de vitamina C segundo a nutricionista da escola. Cada quilo de maçã custa $0.55 e 
fornece 15 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 9 miligramas de vitamina C. A meta da 
escola é determinar quantos Kg de cada fruta devem ser utilizadas diariamente de modo a minimizar o 
custo total. Formule o problema. 
 
 
 
 
14
 
Fase 1) definição das variáveis de decisão 
 
Para a definição das variáveis de decisão devemos nos perguntar o que a empresa, neste 
caso uma escola pública, deseja obter como resposta? O que ela precisa saber? 
 Para o problema acima a resposta à estas perguntas está bem clara: a escola deseja saber 
quantos quilos de laranjas e quantos quilos de maçãs devem ser utilizadas diariamente no lanche das 
crianças. 
 
Como representar estas variáveis? 
 
 
Ql = quantidade (kg) de laranjas utilizar diariamente no lanche da escola 
Qm = Quantidade (Kg) de maçãs utilizar diariamente no lanche da escola 
 
 
Lendo o problema entende-se que esta dieta deve ser tal que forneça uma quantidade mínima de 
vitaminas A, B,C às crianças. Estas são então as imposições que irão, mais tarde ser transformadas em 
restrições do problema de programação linear. 
Com base nos dados informados pode-se montar a tabela abaixo que irá auxiliar na construção do 
modelo. A tabela resume todas as informações necessárias. 
 
 
Quadro 2.2 – Tabelas de Dados 2.2 
Variáveis Unidade Dados Iniciais Dados 
solicitados Laranjas Maçãs 
Quantidades 
de fruta no 
lanche 
Kg Ql Qm Ql>=0 
Qm>=0 
Custo $/kg 0,45 0,55 Minimizar 
Quantidade 
de vitamina A 
Miligramas 3 15 >= 45mg 
Quantidade 
de vitamina B 
Miligramas 8 8 >= 64 mg 
Quantidade 
de vitamina 
C 
Miligramas 15 9 >= 45 mg 
 
Com base nos dados da tabela constrói-se a função objetivo que buscará os valores para Ql e Qm 
que minimizam o custo total. As restrições irão impor alguns limites nos valores destas variáveis. Limites 
estes que devem ser a representação matemática de: 
1) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina A 
2) a dieta deve fornecer pelo menos 64 miligramas de vitamina B 
3) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina C 
O modelo então será: 
 
Minimizar Custo total) 0,45Ql + 0,55Qm 
 
s.a. 
 
Vitamina A) 3Ql + 15Qm > = 45 
Vitamina B) 8Ql + 8Qm > = 64 
Vitamina C) 15Ql + 9Qm > = 45 
Restrição lógica 1) Ql >=0 
 Restrição lógica 2) Qm > = 0 
 
 
15
 
 
 
Uma outra importante aplicação de programação linear é na área de transportes. Na maioria dos 
casos de utilização de P.Linear nesta área trabalha-se com o objetivo de minimizar o custo total de 
transporte através da escolha do melhor caminho a seguir ou através da definição das quantidades de 
mercadoria que deverão ser transportadas de cada ponto de produção/distribuição até cada ponto de 
recebimento. 
Um problema clássico de transportes tem as seguintes características: 
 
Certo material deve ser transportado do ponto de produção/distribuição (origem) para o ponto de 
recebimento (destino); 
A quantidade total disponível nas origens é igual ou menor que as necessidades dos destinos; 
Existe uma demanda ou capacidade máxima de armazenagem associada a cada ponto de destino; 
Existe um custo associado à distribuição/transporte da mercadoria de cada origem para cada destino; 
O custo total de distribuição/transporte deve ser minimizado. 
 
Este tipo de problema pode ser representado matematicamente (modelado) e resolvido como um 
problema de Programação Linear. Um exemplo deste tipo de modelagem é mostrado abaixo: 
 
Exemplo 2.3 A empresa Natural tem 3 engarrafadoras de água mineral que abastecem diretamente 4 
supermercados. No mês passado entregou 5400 caixas de água para estes supermercados. O transporte 
é feito por um terceirizado e o seu custo no mês passado foi de R$24.600,00. Isto representa quase 55% 
do faturamento da Natural. Devido à participação muito elevada do custo de transporte no custo total da 
empresa sua equipe de consultores foi chamada. A Natural quer saber se existe uma maneira de gastar 
menos com transporte aumentando, então, o lucro da empresa. Observe que a hipótese de baixar os 
preços cobrados pela terceirizada já foi tentada pelo administrador sem resultado e que esta empresa 
transportadora é ainda a de menor custo para a Natural. Sua equipe, então, concluiu que a única maneira 
de baixar o custo total com transporte é repensando o plano de transporte observando, é claro, as 
demandas de cada supermercado e capacidades das unidades engarrafadoras (Quadro 4.3). Os dados 
relativos aos custos de transporte são os descritos abaixo. Com base nestes dados formule um novo 
plano de transporte para o próximo mês que leve ao custo mínimo possível. 
 
Quadro 2.3 – Custos de Transporte (R$/caixa) 
Depósito/ 
Engarrafadora 
S1 
 
S2 
 
S3 
 
S4 Capac 
em 
cx/mês 
EA R$ 5,00 R$ 3,00 R$ 2,00 R$ 6,00 1700 
EB R$ 4,00 R$ 7,00 R$ 8,00 R$ 10,00 2000 
EC R$6,00 R$ 5,00 R$ 3,00 R$8,00 1700 
Demanda mês 
passado 
1700 1000 1500 1200 - 
 
 
 Para a construção de um modelo de transportes a elaboração de um grafo que resume todos os 
dados do problema é de grande importância, como pode ser observado abaixo: 
 
 
 
 
16
 
Representação Gráfica do Exemplo 2.3 
 
 
 
 
Disponibilidades Demandas 
(Caixas/mês) (Caixas/mês) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total: 5400 caixas 5400 caixas 
 
 
 
 Dado o grafo acima pode-se iniciar a construção do modelo matemático que melhor representa o 
problema. 
No modelo mais simples de transportes, como o descrito acima, deve-se modelar a situação de 
maneira a obter quanto deverá ser transportado de produto ou insumo de cada região produtora para 
cada região consumidora resultando, portanto, nas seguintes variáveis de decisão: 
 
 
Definindo as Variáveis de Decisão: 
 
XA1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 1; 
XA2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 2; 
XA3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 3; 
XA4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 4; 
XB1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 1; 
XB2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 2; 
XB3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 3; 
XB4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 4; 
XC1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 1; 
XC2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 2; 
XC3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 3; 
XC4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado4. 
 
Ou, de maneira mais geral: 
 
Xij = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora i( i=A,B,C) para o supermercado j 
(j=1,2,3,4). 
 
 
1 
$8 
EB 
S2 
S3 
S4 
EA S1 
EC 
1700 
2000 
1700 1700 
1000 
1500 
1200 
$5 
$3 
$2 
$6 
$4 $7 
$10 
$6 $5 
$3 $8 
 
 
17
O segundo passo será criar a função objetivo que representará matematicamente o custo total de 
transporte da empresa. Isto envolverá a obtenção do custo unitário do transporte do produto ou insumo 
de cada região produtora para cada região consumidora (Quadro 4.3). 
 Esta função objetivo será a soma dos custos de transportar cada caixa de cada engarrafadora até 
cada supermercado. 
 
Modelando a Função Objetivo 
 
 
Minimizar Custo Total de Transporte = Custo de transportar caixas da engarrafadora A para os 
supermercados 1,2,3,4 + custo de transportar caixas da engarrafadora B para os supermercados 1,2,3,4 
+ custo de transportar caixas da engarrafadora C para os supermercados 1,2,3,4 
 
Ou seja: 
 
Min Custo = 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 
 
 
Com a função objetivo pronta o próximo passo seria modelar matematicamente as restrições do 
problema de transportes. Mas, quais as restrições que esta empresa enfrenta no seu dia a dia? 
 Duas coisas devem estar claras neste tipo de modelo: 
 
1o) Não pode sair mais produto ou mercadoria de cada unidade produtora (origem) do que a mesma tem 
disponível ou pode produzir (restrições de produção): SAÍDAS <= ou = DISPONIBILIDADE NA ORIGEM 
 
2o) Não se deve receber menos no ponto de destino do que foi solicitado (restrições de demanda): 
ENTRADAS >.= ou = DEMANDAS NO PONTO DE DESTINO 
 
 
Modelando as Restrições: 
 
Restrições de Produção: 
 
ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 
ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 
ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 
 
Restrições de Demanda: 
 
DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 
DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 
DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 
DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 
 
Restrições Lógicas: 
 
XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0 
 
 
 
18
Modelo Final: 
 
Min Custo ) 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 
s.a. 
 
ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 
ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 
ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 
DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 
DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 
DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 
DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 
XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0 
 
Importante: As igualdades definidas nas restrições de produção e nas restrições de demanda 
somente foram possíveis porque a soma do que se tinha disponível nas engarrafadoras (5400 
caixas) é exatamente igual à soma das demandas dos supermercados (5400 caixas). Em casos 
que não se tem a produção = demanda ou capacidade do depósito não se pode trabalhar com 
igualdades e sim com < = ou > =. 
 
 
 
Exemplo 2.4 A empresa SOGRÃOS (SG) compra grãos (arroz, feijão, etc.) em 3 regiões produtoras 
localizadas no interior de Santa Catarina e os deposita em três centros de distribuição (CD1,CD2,CD3) 
para posterior comercialização. Esta compra e entrega aos centros de distribuição tem um custo elevado 
para a SG e é realizada por uma empresa terceirizada. O Quadro abaixo mostra os custos de transporte 
praticados por esta terceirizada (R$/ton transportada). A empresa precisa definir para a terceirizada a 
cada semana quantas toneladas de grãos esta deve transportar de cada região produtora para cada CD 
cujas capacidades de armazenagem são CD1 = 150 ton. , CD2 = 380 ton. e CD3 = 420 toneladas de 
grãos. É bastante claro que esta definição deve ser a que proporciona à empresa o menor custo total de 
transporte. Formule o modelo sabendo que as região produtoras A, B e C entregam à empresa no 
máximo 310, 500 e 200 toneladas de grãos a cada semana, respectivamente. 
 
Quadro 2.4. Custo de Transporte em R$/toneladas transportadas 
Regiões de 
Produção/ 
CDs 
 
CD1 
 
CD2 
 
CD3 
A 7 12 14 
B 8 11 13 
C 6 10 9 
 
 Para a construção de um modelo de transportes pode-se iniciar pelo grafo que representa este 
problema, como segue: 
 
 
 
19
Representação Gráfica do Exemplo 2.4 
 
 
Disponibilidades Capacidades dos CDs 
(ton/semana) (ton/semana) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total: 1010 ton. 950 ton. 
 
Definindo as variáveis de decisão: 
 
QA1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 1 
QA2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 2 
QA3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 3 
QB1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 1 
QB2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 2 
QB3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 3 
QC1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 1 
QC2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 2 
QC3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 3 
 
Ou: 
 
Qij =Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora i (i=A,B,C) para o centro de 
distribuição j (1,2,3) 
 
 
 
Modelando a Função Objetivo: 
 
O objetivo da empresa SG é o de obter o menor custo possível com o transporte de grãos das três 
regiões produtoras para os três CDs. Tem-se, então: 
 
Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 
 
 
Modelando as restrições: 
 
 As restrições que representam o problema do exemplo acima devem obedecer as seguintes 
regras: 
 
1o) Não pode sair mais produto (toneladas de grãos) das regiões produtoras do que elas tem disponível; 
 
2o) Os centros de distribuição devem receber (toneladas de grãos) tudo que lhes é possível armazenar. 
RPB 
CD2 
CD3 
RPA CD1 
RPC 
200 
500 
310 150 
380 
420 
$7 
$12 
$14 
$8 $11 
$13 
$6 $10 
$9 
 
 
20
 
Então: 
 
Restrições de produção: 
 
CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 
CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 
CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 
 
Restrições de capacidade de armazenagem: 
 
CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 
CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 
CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 
 
Restrições Lógicas: 
 
QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 
 
 
Modelo Final: 
 
 
Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 
s.a. 
CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 
CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 
CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 
CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 
CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 
CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 
QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 
 
 Baseado nos exemplos acima é possível construir um modelo genérico que pode ser aplicado a 
qualquer problema de transporte de mercadorias de seus pontos de origem até seus pontos de destino. 
Este modelo será: 
 
 
 m n 
Min Σ Σ cij xij 
 i=1 j=1 
 
s.a. 
 
 n 
Σ xij = si para i = 1, ...,m 
 j=1 
 
 m 
Σ xij = dj para j = 1,...,n 
i = 1 
 
xij >= 0 
 
onde: 
cij = custo de distribuição ou transporte de produto entre a origem i e o destino j; 
xij = total a ser distribuído de i para j 
 
 
21
si= total produzido ou disponível; 
dj = total a ser armazenado ou demanda de cada local. 
 
 
Exemplo 2.5. (adaptado de Mathur e Sollow, 1997) A agência do Banco Bradesco situada na Trindade 
requer de 8 a 15 funcionários para atendimento ao público, dependendo do horário do dia. Esta agência 
trabalha com funcionários de tempo integral em turno de 8 horas consecutivas e recebendo $15 por hora 
trabalhada. Estes funcionários iniciam às 8 horas da manhã. Tem também alguns estagiários com turno 
de 4 horas por dia podendo iniciar às 8 horas, 10 horas ou 12horas. Estes recebem $8 por hora. O 
Sindicato dos Bancários estabelece que ao menos 60% dos caixas sejam funcionários em tempo integral. 
Como gerente de recursos humanos faça uma recomendação do número de funcionários em tempo 
integral e número de estagiários em tempo parcial o banco necessita para minimizar o custo total diário e 
que atenda aos requerimentos mínimos de funcionários em cada horário estabelecidos na tabela abaixo: 
 
Quadro 2.5 – Número Mínimo de Funcionários em cada período 
Período Número Mínimo de Funcionários 
 8 - 10 horas 8 
10 – 12 horas 10 
12 – 14 horas 15 
14 – 16 horas 12 
 
 
Solução: 
 
Obviamente estamos diante de um modelo de Programação inteira pois não se pode ter 0,8 ou 
4,3 funcionários. 
 
Variáveis de Decisão: 
 
 
Como deseja-se conhecer o número de funcionários em tempo integral e parcial que o banco 
deve dispor nesta agência teremos como variáveis de decisão as seguintes: 
 
I = número de funcionários em tempo integral 
P = número de estagiários em tempo parcial 
 
Porém, devemos lembrar que os estagiários por trabalharem somente 4 horas por dia tem 
diferentes horários de entrada e, por conseguinte, diferentes turnos de trabalho. Para que o modelo 
retorne quantos estagiários devem trabalhar em cada turno a variável de decisão P deve ser dividida em 
três, uma para cada turno de trabalho. Temos então: 
 
Variáveis de Decisão: 
 
I = número de funcionários em tempo integral 
P8 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 8 horas; 
P10 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 10 horas; 
P12 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 12 horas; 
 
 
Função Objetivo: 
 
A função objetivo deve minimizar o custo total da Agência bancária, ou seja: 
 
Custo Total Diário = custo com funcionários em tempo integral + custo com estagiários que iniciam às 8 
horas + custo com estagiários que iniciam às 10 horas + custo com estagiários iniciam às 12 horas 
 
 
 
22
A função objetivo será, portanto: 
 
Min Custo) 120F + 32P8 + 32P10 + 32P12 
 
Aonde: 120 vem de $15 por hora vezes o número de horas trabalhadas por dia (8) e 32 vem de 4 horas 
vezes $8. 
 
Restrições: 
 
 O último passo será o de modelar as restrições que deverão obedecer os seguintes 
requerimentos: 
 
a) número mínimos de funcionários/estagiários em cada turno (tabela 1) 
b) imposição do sindicato de que ao menos 60% dos trabalhadores do banco sejam funcionários em 
tempo integral. 
 
 
 
Para o item a) graficamente tem-se: 
 
 
 
Tempo integral (I) 
 
Tempo parcial com 
Início às 8 horas (P8) 
 
Tempo parcial com 
Início às 10 horas (P10) 
 
Tempo parcial com 
Início às 12 horas (P12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Através do diagrama acima pode-se observar os intervalos para os quais teremos que construir 
restrições para que a solução obedeça as necessidades do banco em termos de número mínimo de 
funcionários em cada período. 
Por exemplo: segundo a tabela acima no período de 8 às 10 o banco necessita de no mínimo 8 
funcionários. Olhando o diagrama tem-se que neste período somente os funcionários de tempo integral 
(I) e os estagiários de tempo parcial que iniciam seu turno às 8 horas estão presentes. Escreve-se, então: 
 
I + P8 >= 8 
 
No segundo turno (10-12h) o banco necessita de 10 funcionários. Observando-se o diagrama 
acima tem-se que estão presentes os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 8 
horas (P8) e os estagiários que iniciam às 10 horas (P10). Tem-se então: 
 
I + P8 + P10 > = 10 
 
8 h 12 h 14 h 10 h 16 h 
 
 
23
Das 12 às 14 horas o banco necessita de pelo menos 15 funcionários. Neste horário podem estar 
presentes, segundo o diagrama, os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 10 
horas (P10) e os estagiários que iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: 
 
I + P10 + P12 > = 15 
 
 
Das 14 às 16 horas o banco necessita de pelo menos 12 funcionários. Neste horário podem estar 
presentes, segundo o diagrama somente os funcionários de tempo integral (I),e os estagiários que 
iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: 
 
I + P12 > = 12 
 
 
 
Prontas as restrições que representam o número mínimo de funcionários/estagiários em cada 
período tem-se ainda que construir as restrições relativas à imposição do sindicato. Lembrem que o 
sindicato exige que ao menos 60% do total dos bancários sejam funcionários em tempo integral (I). Isto 
vale para qualquer horário em que o banco estiver em funcionamento. Tem-se, então, que obedecer esta 
imposição durante os quatro períodos. 
Usando as variáveis de decisão anteriormente definidas tem-se: 
 
I > = 0.6(I+P8) ou 0.4I – 0.6P8 > =0 
I > = 0.6 (I + P8 + P10) ou 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 > = 0 
I > = 0.6 (I + P10 + P12) ou 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 > = 0 
I > = 0.6 (I + P12) ou 0.4I – 0.6P12 > = 0 
 
 
Adicionando-se as restrições lógicas que impõem que as variáveis somente assumem valores 
positivos e inteiros tem-se: 
 
Modelo Final: 
 
Min Custo) 120I + 32P8 + 32P10 + 32P12 
s.a. 
Min8-10) I + P8 >= 8 
Min 10-12) I + P8 + P10 > = 10 
Min 12-14) I + P10 + P12 > = 15 
Min 12-14) I + P12 > = 12 
Prop8-10) 0.4I – 0.6P8 > =0 
Prop10-12) 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 > = 0 
Prop 12-14) 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 > = 0 
Prop 14-16) 0.4I – 0.6P12 > = 0 
 I, P8, P10, P12 >= 0 e inteiros 
 
 
 
 
24
Atividade de Fixação 
Unidade 04 
 
 
1. Suponha que uma empresa tenha selecionado cinco propostas de investimentos cujas características essenciais 
são: 
 
 
 
 
Se as propostas forem independentes e os recursos limitados em R$ 1.000,00 em quais projetos a empresa deveria 
investir de maneira a maximizar o valor presente líquido total? 
 
2. A microempresa SOLID COMPUTER (SC) monta 4 tipos de microcomputadores (A,B,C,D). O 
computador A dá à empresa um lucro de R$ 150,00 enquanto os computadores B,C e D tem lucros 
de R$ 190,00, R$ 180,00 e R$ 200,00, respectivamente. O micro A necessita de 0,9h/unidade de 
mão de obra enquanto que B, C e D necessitam 1,2h/unid., 1,0h/unid. e 1,3h/unid. de mão-de-obra. A 
empresa precisa de um espaço de estocagem para cada tipo de microcomputador assim estimado: 
0,7 m3/unid, 1,0 m3/unid, 1,2 m3/unid. e 0,9 m3/unid. para os microcomputadores do tipos A,B,C e D, 
respectivamente. O consumo em R$ com matéria prima varia com o tipo de microcomputador. O tipo 
A consome, por semana, R$ 1.200,00/unid., o tipo B consome R$ 1.000,00/unid. o tipo C consome 
R$ 900,00/unid e o tipo D R$ 1.300,00/unid. As disponibilidades destes recursos são: 300 h de 
trabalho por semana, 260 m3 de galpão para estocagem e R$ 400.000,00 para aquisição de matéria 
prima por semana. A SC deseja saber quantos microcomputadores de cada tipo deve montar por 
semana de maneira a maximizar seu lucro. Monte o modelo. 
 
3. MTV Companhia produz três tipos de tubos: A,B e C, que vende, respectivamente por $ 10,00, 
$12,00 e $9,00 por metro. Para produzir cada metro do tubo do tipo A são requeridos 0,5 minutos de 
tempo de processamento em um tipo particular de máquina. Cadametro do tubo tipo B precisa 0,45 
minutos e cada metro do tubo do tipo C precisa de 0,6 minutos. Após a produção cada metro de tubo, 
independente do tipo, requer 1 kg de material de moldagem. O custo total é estimado em $3,00, 
$4,00, e $4,00 por metro dos tubos dos tipos A,B e C, respectivamente. 
Para a próxima semana, a empresa recebeu um pedido grande de 2000 metros do tubo do tipo A, 
4000 metros do tubo do tipo B, e 5000 metros do tubo do tipo C. Como somente 40 horas de tempo 
de máquina estão disponíveis esta semana e 5500 kg de material de moldagem estão em inventário, 
o departamento de produção não estará apto a satisfazer estas demandas, as quais requerem um 
total de 97 horas de tempo de máquina e 11.000 kg de material de moldagem. Este alto nível de 
demanda não é esperado continuar. Antes do que expandir a capacidade de produção, o 
administrador da MTV está considerando comprar alguns destes tubos de fornecedores no Japão a 
um custo de $6 por metro do tubo tipo A, $6 por metro do tubo tipo B e $7 por metro do tubo do tipo 
C. Estes vários dados estão resumidos na tabela que segue. Como administrador do departamento 
de produção, você foi solicitado a fazer recomendações de quanto comprar de cada tipo de tubo do 
Japão e quanto produzir de modo a satisfazer as demandas e maximizar o lucro da empresa. 
Formule o modelo. 
Tubos Preço de 
venda ($/m) 
Demanda 
(m) 
Tempo de 
Máquina 
Material de 
Moldagem 
Custo de 
Produção 
Custo de 
Compra 
100.000100.000100.000100.000 
 
 
105.000105.000105.000105.000 
 
200.000200.000200.000200.000 
 
 
220.000220.000220.000220.000 
 
400.000400.000400.000400.000 
 
 
460.000460.000460.000460.000 
 
300.000300.000300.000300.000 
 
 
360.000360.000360.000360.000 
 
500.000500.000500.000500.000 
 
 
650.000650.000650.000650.000 
 
Valor do Valor do Valor do Valor do Investimento NecessárioInvestimento NecessárioInvestimento NecessárioInvestimento Necessário 
 
Valor Presente dos BenefíciosValor Presente dos BenefíciosValor Presente dos BenefíciosValor Presente dos Benefícios 
 Econômicos EsperadosEconômicos EsperadosEconômicos EsperadosEconômicos Esperados 
 
EEEE 
($)($)($)($) 
DDDD 
($)($)($)($) 
CCCC 
($)($)($)($) 
BBBB 
($)($)($)($) 
AAAA 
($)($)($)($) 
ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS: 
 
 
25
(min/m) (kg/m) ($/m) ($/m) 
Tipo A 10 2000 0.50 1 3 6 
Tipo B 12 4000 0.45 1 4 6 
Tipo C 9 5000 0.60 1 4 7 
 
 
 
3. O departamento de Nutrição do Hospital Celso Ramos prepara 30 menus de jantares, um para cada 
dia do mês. Uma refeição consiste de espagheti, frango, batatas assadas, espinafre e torta de maçã. 
Como diretor do departamento de nutrição você determinou que esta refeição deve fornecer 63000 
miligramas (mg) de proteina, 10 mg de ferro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina e 50 mg de vitamina 
C. Cada 100 gramas destes alimentos fornece a quantia de cada nutriente e gordura indicados na 
tabela que segue. 
 
Nutrientes (mg/100 g) 
 Proteina Ferro Niacina Tiamina Vitamina C Gordura 
Espagheti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000 
Frango 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000 
Batatas assadas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900 
Espinafre 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300 
Torta de Maçã 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300 
 
Para evitar muito alimento de um tipo, não mais do que 300 gramas de espagheti, 300 gramas de 
frango, 200 gramas de batatas assadas, 100 gramas de espinafre e 100 gramas de torta de maçã 
devem ser incluídas na refeição. Como diretor do departamento de nutrição você deve determinar a 
composição da refeição que satisfaça os requerimentos nutricionais e fornece uma refeição com a 
mínima quantidade de gordura. Formule o modelo. 
 
4. Uma pessoa deseja investir R$ 100.000,00 em ações de empresas brasileiras. Em uma primeira 
análise, baseada em indicadores fundamentalistas do tipo preço/lucro da ação, preço/valor 
patrimonial, rentabilidade do patrimônio líquido, rentabilidade do ativo e liquidez geral, selecionou as 
cinco ações constantes da tabela abaixo. A coluna que informa o Beta da ação significa o quanto a 
mesma variou em um determinado período (1 mês) em comparação ao índice Bovespa, ou seja, um 
Beta de 1 significa que a ação acompanhou a variação do Ibovespa. Os valores de CAPM abaixo 
indicam o retorno esperado de cada ação para o período de 1 mês. Dadas estas informações o 
investidor deseja que você formule um modelo que indique a ele o quanto (R$) investir em cada 
empresa de maneira a maximizar o retorno esperado enquanto obtém um beta ponderado de 120000 
(beta da ação * quantia investida em cada empresa). O investidor não deseja colocar mais do que R$ 
50.000,00 na ação da empresa Klabin e deseja também investir pelo menos R$ 20.000,00 na 
empresa Sid Tubarão, devido ao alto risco do negócio. Monte o modelo. 
. 
 
Ação Código Beta CAPM (%) 
Telemig Celular Part 
PN 
TMCP4 -0,13 -0,1 
Sid Tubarão PN CSTB4 3,83 12,76 
Souza Cruz ON CRUZ3 0,67 2,57 
Bradespar PN BRAP4 1,00 3,62 
Klabin PN KLBN4 - 0,47 -1,11 
 
5. Um agricultor pode produzir bois para abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano requer 
a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 ha de pastagens e que exige 1 hora de trabalho por 
dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa 
sessenta hectares de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros 
de oito mil reais por boi e de vinte e um mil reais por tonelada de lã produzidos. Seus recursos 
 
 
26
produtivos são limitados a quinhentos hectares de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam 
no trabalho, dispõe de vinte e quatro horas de trabalho diárias. O produtor desejaria seguir um plano 
que maximizasse seus lucros totais. Formule o modelo. 
 
6. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os 
próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. 
A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, 
$25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Sabe-se que a capacidade 
de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 120 motores, que já existem 50 motores em 
estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 por motor. Determine o programa de 
produção que minimiza o custo total de produção e armazenagem. 
 
7. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os 
próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. 
A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, 
$25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Utilizando horas extras a 
empresa consegue produzir um adicional de 30 motores por mês ao custo unitário de $25 em janeiro, 
$27 em fevereiro, $30 em março e $32 em abril. Finalmente a empresa pode subcontratar a produção 
em qualquer quantidade de motores ao custo unitário de $30 em janeiro e fevereiro e $35 em março 
e abril. Sabe-se também que a capacidade de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 
120 motores, que já existem 50 motores em estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 
por motor. Determine o programa de produção que minimiza o custo total de produção e 
armazenagem. 
 
 
8. Uma microempresa situada em Joinville produz diariamente três modelos de abrigos de moleton: 
luxo, padrão e infantil. Para produzir um abrigo tipo luxo é preciso utilizar 0,22 h de corte, 0,35h de 
costura e 2,1m2 de tecido. O lucro do abrigo luxo éde R$ 18,00. Para produzir um abrigo do tipo 
padrão é preciso utilizar 0,16h de corte, 0,32h de costura e 2,3 m2 de tecido. O lucro por abrigo é de 
R$ 14,00. Para produzir o abrigo infantil é preciso de 0,22h de corte, 0,30h de costura e 1,5m2 de 
tecido. O lucro por abrigo infantil é de R$ 13,00. Sabe-se que a microempresa dispõe, atualmente, de 
12 funcionários no setor de corte e 15 funcionários no setor de costura, todos trabalhando 8 horas por 
dia. Dispõe também de 300 m2 de tecido. Formule um modelo que indique ao dono da microempresa 
quantas unidades de cada abrigo devem ser produzidas para maximizar o lucro total. 
 
9. Uma serralheria produz três tipos de telas metálicas: A,B e C. Para produzir 1 m2 de tela tipo A são 
necessários 20m de arame, 1 hora de solda e 1,2 horas de montagem. O lucro é de R$ 13,00/m2 de 
tela A. Para produzir um m2 de tela tipo B são necessários 26 m de arame, 1,2 horas de solda e 1,7 
horas de montagem. O lucro é de R$ 15,00/m2 de tela B. Para produzir 1 m2 de tela tipo C são 
necessários 15 m de arame, 0,9 horas de solda e 1,0 horas de montagem. O lucro é de R$ 10,00/m2 
de tela C. A empresa dispõe de 200 m de arame, 80h de solda e 96 h de montagem para cada dia 
de trabalho. Formule o problema decisório de estabelecer um plano de produção diário que maximize 
o lucro da empresa. 
 
10. Uma metalúrgica compra ferro velho de três fornecedores diferentes: A,B e C. Cada carga do 
fornecedor A contém 2,0 ton de ferro, 2,0 ton. de alumínio e 1,3 ton. de cobre. O custo da carga é de 
R$ 400,00. Cada carga do fornecedor B contém 1,3 ton de ferro, 2,4 ton. de alumínio e 1,9 ton. de 
cobre. O custo da carga é de R$ 580,00. Cada carga do fornecedor C contém 0,6 ton de ferro, 3,5 
ton. de alumínio e 0,9 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 390,00. A metalurgia precisa adquirir, 
para a próxima semana, pelo menos 25 toneladas de cada um dos metais citados (ferro, alumínio e 
cobre). Quantas cargas devem ser adquiridas de cada fornecedor para minimizar o custo de 
aquisição dos metais? 
 
11. A Petrobrás pode comprar dois tipos de óleo cru: óleo leve a um custo de $25 por barril e um óleo 
pesado a um custo de $ 22 por barril. Cada barril de óleo cru, quando refinado, produz três tipos de 
 
 
27
produtos: gasolina, óleo diesel e querosene. A seguinte tabela indica as quantidades em barris de 
gasolina, óleo diesel e querosene produzidas por cada barril de cada tipo de óleo cru. 
 
 Gasolina Óleo Diesel Querosene 
Óleo Leve 0.45 0.18 0.30 
Óleo Pesado 0.35 0.36 0.20 
 
A refinaria tem contratado a entrega de 1.260.000 barris de gasolina, 900.000 barris de óleo diesel e 
300.000 barris de querosene. Como administrador de produção, formule um modelo para determinar 
a quantia de cada tipo de óleo cru comprar que minimize o custo total ao mesmo tempo que satisfaz 
a demanda. 
 
12. Uma microempresa do setor de alimentos tem uma sobra de caixa de R$ 500.000,00 em 
determinado mês e decide investir esta quantia em fundos de investimento da corretora Hedging & 
Griffo. Escolheu o Fundo Verde e o Fundo Ouro para realizar este investimento. Consultando o site 
da corretora anotou que o fundo verde rendeu cerca de 50% no último ano e que o fundo ouro rendeu 
cerca de 39%. Sabe que o fundo verde tem boa parte de seus ativos aplicados em câmbio e, 
portanto, o risco de qualquer quantia investida neste fundo é grande. Já o fundo ouro investe em 
ativos bastante diversificados resultando em um risco menor para o aplicador. A empresa quer aplicar 
nos dois fundos e decide que o investimento no fundo verde não deve ultrapassar 65% do total 
investido. Devido ao risco elevado do fundo verde a empresa decide, também, que o total investido 
no fundo ouro deve ser de pelo menos 2 vezes o total investido no fundo verde. Formule o modelo 
que indique à microempresa quanto investir em cada fundo para maximizar o retorno esperado. 
 
13. (adaptado de Ramalhete, 2000) Uma agroindústria pretende determinar as quantidades de cada tipo 
de ração que devem ser dadas diariamente a cada animal de maneira a conseguir formar uma ração 
balanceada em termos de carbohidratos, vitaminas e proteínas a um custo mínimo. 
Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, as quantidades mínimas diárias de ingredientes 
nutritivos básicos a fornecer a cada animal, bem como as quantidades destes existentes em cada 
tipo de ração (g/kg) constam no quadro abaixo.: 
 
Ingredientes nutritivos Ração A Ração B Quantidade Mínima 
Requerida(gramas) 
Carbohidratos(g/kg) 20 50 200 
Vitaminas(g/kg) 50 10 150 
Proteínas(g/kg) 30 30 210 
Custo ($/kg) 10 5 
 
Formule o modelo de programação linear. 
 
14. A empresa “Produtos da Fazenda” tem duas máquinas diferentes para processar leite bruto em leite 
light, manteiga e queijo. A quantia de tempo requerida em cada máquina para produzir cada unidade 
do produto resultante e os lucros líquidos são apresentados na seguinte tabela: 
 Leite Light 
(litros) 
Manteiga 
(kg) 
Queijo 
(kg) 
Máquina 1 
Máquina 2 
0.2 min/litro 
0.3 min/litro 
0.5 min/kg 
0.7 min/kg 
1.5 min/kg 
1.2 min/kg 
Lucro líquido $ 0.22/litro $ 0.38/kg $ 0.72/kg 
Assumindo que 8 horas por dia são disponíveis em cada máquina, como administrador do 
departamento de produção, formule um modelo para determinar o plano de produção diário que 
maximize o lucro líquido da empresa e produza um mínimo de 300 litros de leite light, 200 kg de 
manteiga e 100 kg de queijo. 
 
 
 
28
15. A empresa “Carrega Óleo”, situada perto do Rio de Janeiro, fornece gasolina para seus 
distribuidores por caminhão. Tendo fechado recentemente um contrato para começar a fornecer 
800.000 litros de gasolina por mês para distribuidores em São Paulo necessita criar um frota para 
atender esta demanda. A companhia tem $500.000 disponível para criar esta frota consistindo de três 
tipos diferentes de caminhões. A capacidade, custo de operação e número máximo de viagens para 
cada tipo de caminhão são dados na tabela abaixo: 
Tipo de 
Caminhão 
Capacidade 
(litros) 
Custo 
Compra($) 
Custo por 
viagem ($) 
No. máximo de 
viagens por mês 
 
1 
2 
3 
 
6.000 
3.000 
2.000 
50.000 
40.000 
25.000 
800 
650 
500 
20 
25 
30 
O gerente desta empresa não quer comprar mais do que 10 caminhões para sua frota assim como 
gostaria de assegurar que ao menos 3 caminhões do tipo 3 sejam comprados (eles são necessários 
para rotas de viagens curtas e demanda baixa). Finalmente, o empresário não quer mais do que 
metade da sua frota formada de caminhões do tipo 1. Como administrador de operações formule um 
modelo para determinar a composição da frota que minimiza o custo mensal de operação enquanto 
satisfaz a demanda, ficando dentro do orçamento e satisfazendo os outros requerimentos da 
companhia. 
 
16. A empresa “Produtos da Fazenda” tem 50 hectares de terra para plantar qualquer quantia de milho, 
soja, alface, algodão e brócolis. A seguinte tabela apresenta as informações relevantes com relação 
à produção, custo de plantio, preço de venda e os requerimentos de água por cada colheita: 
Colheita Produção 
(kg/ha) 
Custo 
($/kg) 
Preço de 
Venda ($/kg) 
Requerimentos de 
Água (litros/Kg) 
 
Milho 
Soja 
Alface 
Algodão 
Brócolis 
640 
500 
400 
300 
350 
1.00 
0.50 
0.40 
0.25 
0.60 
1.70 
1.30 
1.00 
1.00 
1.30 
8.75 
5.00 
2.25 
4.25 
3.50 
Para a próxima estação existem 100.000 litros de água disponível e a companhia tem contratado 
vender ao menos 5120 kg de milho. Formule o programa linear para determinar o planejamento ótimo 
de plantio para a empresa. Use o número de hectares de cada plantio como variável de decisão e 
monte um modelo cujo objetivo é de maximizar o lucro da empresa. 
 
17. Reformule o modelo linear do exercício anteriorutilizando como variáveis de decisão o número de 
quilogramas de cada plantio. 
 
18. Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme 
mostra a tabela 1 abaixo. Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia 
precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas 
quantidades, conforme mostra a tabela 2. Os custos de transporte são os definidos na tabela 3. 
Construa um modelo que minimize o custo de transporte do exportador. 
 
Tabela 1. Estoques de Café em cada Porto 
Porto Quantidade (t) 
Paranaguá 120 
Santos 100 
Rio de Janeiro 100 
Vitória 100 
 
 
 
29
Tabela 2. Quantidade de Café Necessária em cada Armazém no Exterior 
Porto Quantidade(t) 
Nova York 100 
Hamburgo 80 
Le Havre 90 
Bordeux 150 
 
 
Tabela 3. Custos de Transporte ($) 
Porto de Destino Nova York Hamburgo LE Havre Bordeux 
Porto de Origem 
Paranaguá 70 30 20 25 
Santos 50 40 10 25 
Rio de Janeiro 30 20 40 80 
Vitória 55 20 40 80 
 
19. Um intermediário abastece três feirantes que operam em cidades diferentes (A, B e C) com ovos que 
adquire em quatro granjeiros localizados em cidades diferentes (I,II,III e IV). Os preços pagos pelo 
intermediário para os granjeiros não tem diferença entre si, do mesmo modo quanto aos preços que 
os feirantes lhe pagam. O intermediário só consegue algum lucro fazendo com que o seu custo de 
transporte seja o menor possível. O quadro abaixo dá o custo de transporte entre os granjeiros e os 
feirantes, em R$/dúzia de ovos. O quadro também mostra as quantidades de ovos que cada granjeiro 
pode fornecer na próxima semana e as encomendas de ovos dos feirantes: 
 
 
Granja \ Feirante A B C Oferta (dz) 
I 0,35 0,27 0,33 1700 
II 0,37 0,25 0,38 1100 
III 0,41 0,32 0,38 2000 
IV 0,36 0,22 0,39 2000 
Encomendas (dz) 1250 1550 2300 **** 
 
Formule o problema de atender as encomendas a partir das ofertas de modo a minimizar o custo. 
Não esqueça de explicar o significado das suas variáveis ! 
 
20. Uma empresa tem três fábricas que distribuem sua produção para quatro depósitos. 
• A capacidade da fábrica 1 é de 2.2 mil unidades de produto por semana, produção esta que é 
obtida a um custo médio de $53 mil por mil unidades. 
• A capacidade da fábrica 2 é de 3,4 mil unidades de produto por semana, produção esta que é 
obtida a um custo médio de $68 mil por mil unidades. 
• A capacidade da fábrica 3 é de 1,8 mil unidades de produto por semana, a um custo médio de 
$84 mil por mil unidades de produto. 
A gerência central tem os seguintes pedidos de entrega de produto nos diversos depósitos para a 
próxima semana: (a) o depósito 1 solicitou um total de 0,85 mil unidades; (b) o depósito 2 solicitou um 
total de 0,75 mil unidades; (c) o depósito 3 solicitou um total de 1,34 mil unidades; (d) o depósito 4 
solicitou um total de 1,60 mil unidades. 
Os custos de transporte entre as diversas fábricas e depósitos é como segue (em $ mil/mil unidades 
de produto): 
Depósitos - > 
Fábricas ! 
1 2 3 4 
1 26 30 54 43 
2 45 35 30 52 
 
 
30
3 53 32 41 20 
O problema da gerência é estabelecer a produção e a distribuição da próxima semana de modo a 
minimizar o custo total de atender às solicitações dos depósitos. (obs.: supõe-se que a produção da 
semana pode ser toda entregue aos depósitos na mesma semana) 
Variável de decisão sugerida:xij = quantidade produzida na fábrica i que é destinada ao depósito j 
(em 1000 unidades) 
 
21. Um fabricante de artigos de plástico possui em estoque 1200 caixas de envólucros transparentes em 
uma de suas fábricas e 1000 caixas em uma segunda fábrica. O fabricante recebeu pedidos deste 
produto proveniente de três diferentes varejistas nas quantidades de 1000, 700 e 500 caixas, 
respectivamente. Os custos unitários de expedição (em centavos por caixa) desde as fábricas até os 
varejistas são os seguintes: 
 Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 
Fábrica 1 
Fábrica 2 
14 
13 
13 
13 
11 
12 
Determine o programa de expedição que atenda todas as demandas a partir do estoque disponível, a 
um custo mínimo. 
 
 
22. MTI é uma empresa que fabrica e exporta equipamentos de raio X de alta resolução utilizados em 
hospitais. Esta empresa conta, atualmente, com três fábricas no Brasil que exportam para quatro 
centros consumidores situados na Japão, Coréia do Sul, Nova Zelândia e Austrália. As fábricas 
brasileiras situadas no Ceará, São Paulo e Rio Grande do Sul tem capacidade de produzir até 100, 
200 e 150 máquinas por ano, respectivamente. Para o próximo ano os consumidores no Japão 
emitiram um pedido de 120 máquinas enquanto que os consumidores da Coréia do Sul necessitam 
de 80. Aqueles situados na Nova Zelândia precisam receber 70 máquinas enquanto os consumidores 
situados na Austrália emitiram um pedido de 110 máquinas. O sistema de transporte da empresa 
conta com centros de distribuição (CDs) intermediários cuja utilização reduz o custo total com o 
transporte destas máquinas até os centros consumidores. Desta forma, as máquinas produzidas no 
Ceará e São Paulo podem ser enviadas a centros de distribuição (CDs) situados na Hungria e África. 
Aquelas máquinas produzidas no Rio Grande do Sul podem ser enviadas somente para o centro de 
distribuição situado na África. Estes centros de distribuição não entregam diretamente a mercadoria 
aos consumidores pois repassam tudo que receberam para outros CDs situados em pontos mais 
estratégicos (Filipinas e Fiji). Os CDs não armazenam máquinas em estoque e devem, então, 
transportar exatamente o número de máquinas que receberam. Consumidores na Coréia do Sul e 
Nova Zelândia podem receber máquinas vindas tanto das Filipinas quanto de Fiji. Entretanto, devido 
a tratados internacionais os consumidores no Japão só podem receber máquinas vindas das Filipinas 
enquanto que os consumidores Australianos só podem receber máquinas vindas de Fiji. Os custos de 
transporte das máquinas de cada fábrica até os CDs e de cada CD até os centros consumidores 
estão relacionados nas tabelas abaixo. Como administrador de distribuição da empresa você foi 
incumbido de montar um plano de transporte que forneça à MTI o menor custo de transporte. Modele 
o problema. 
 
Tabela 1 – Custos com transporte ($/máquina) das fábricas até os Centros de Distribuição (CDs) 
 Centros de Distribuição 
 Hungria África 
Ceará 200 400 
São Paulo 300 400 
Rio grande do Sul - 500 
 
Tabela 2 – Custos de Transporte ($/máquina) entre os Centros de Distribuição (CDs) 
 Filipinas Fiji 
Hungria 800 600 
África 700 400 
 
 
 
31
Tabela 3 – Custos de Transporte dos CDs até os Centros Consumidores 
 Centros Consumidores 
CDs Japão Coréia do Sul Nova Zelândia Austrália 
Filipinas 700 600 800 - 
Fiji - 700 500 600 
 
 
23. Uma empresa dispõe de três fábricas, localizadas nas regiões A,B e C. As fábricas A e B produzem 
circuitos impressos para calculadoras, enquanto que a fábrica C produz visores de cristal líquido 
para o mesmo fim. A montagem das calculadoras pode ser feita nas fábricas B e C. Uma 
calculadora requer 2 circuitos e 1 visor. 
A fábrica A pode produzir no máximo 200 circuitos por dia. 
A fábrica B pode produzir até 150 circuitos por dia. Entretanto cada calculadora montada nesta 
fábrica reduz sua capacidade de produção de circuitos de 1,3 unidades/dia. 
A fábrica C pode produzir até 180 visores/dia. Todavia, cada calculadora que for montada nesta 
fábrica reduz aquela capacidade em 0,8 unidades/dia. 
O objetivo da empresa é maximizar a produção diária de calculadoras. 
 
24. Uma fábrica de derivados de petróleo pode utilizar diversos processos. Uma unidade do processo 1 
é definida pela utilização de 2 m3 de matéria-prima A e 0,3 toneladas de matéria-prima B, gerando 
como produto 0,13t de produto P. O lucropor unidade do processo 1 é de $300,00. 
Uma unidade do processo 2 é definida pela utilização de 1 m3 de matéria-prima A, 0,6 ton. de 
matéria-prima B e 0,2 ton. de matéria-prima C, gerando como produto 0,1 ton. de produto P e 0,7 
ton. de produto Z. O lucro por unidade do processo 2 é de $400,00. 
Uma unidade do processo 3 é definida pela utilização de 3 m3 de matéria-prima A, 0,5 ton. de 
matéria-prima C, gerando como produto 0,4 ton. de produto P, 0,15 ton. de produto Y e 0,05 ton. de 
produto Z. O lucro por unidade do processo 3 é de $250,00. 
Para o mês seguinte a fábrica dispõe de 1700 m3 de matéria-prima A, 450 ton. de matéria-prima B e 
380 ton. de matéria-prima C. Por outro lado, devido a contratos já realizados, a fábrica deverá 
produzir pelo menos 150 ton. de cada produto (P,Y e Z). Toda quantidade produzida em excesso 
dos contratos pode ser comercializada sem dificuldades pela fábrica. O objetivo da gerência é 
maximizar lucros. (variáveis de decisão sugeridas: Xj: unidades do processo j a realizar no mês 
seguinte). 
 
25. Uma firma que produz televisores tem duas fábricas (localizadas nas cidades A e B) nas quais são 
produzidos tubos de imagem e duas outras fábricas (localizadas nas cidades C e D) nas quais são 
produzidos chassis e realizadas as montagens dos televisores. Cada televisor é composto de um 
tubo e um chassi. 
A fábrica A pode produzir no máximo 900 tubos por mês a um custo médio de $ 2 mil por tubo. 
A fábrica B pode produzir um máximo de 1200 tubos por mês a um custo médio de $ 1,8 mil. 
A fábrica C dispõe de 2500 horas por mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi 
requer 1,2 horas de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,6 horas de trabalho. O custo de 
produção de um chassi na fábrica C é de 5,6 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,9 mil. 
A fábrica D dispõe de 1800 horas/mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi 
requer 1,0 h de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,7 horas de trabalho. O custo de 
produção de um chassi na fábrica é $5,9 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,8 mil. 
Os custo de transporte de tubos de imagem, em $ mil/tubo são como segue: 
 
De/Para C D 
A 0,34 0,41 
B 0,26 0,37 
 
O custo de transporte de um chassi de C para D (ou vice-versa) é $0,23. 
Após a montagem os aparelhos são levados para venda nos locais E e F. A cada um destes locais 
devem ser destinados 800 unidades no próximo mês. Os custos de transporte dos locais de 
montagem aos locais de venda, em $ mil/aparelho, são como segue: 
 
 
32
 
De/para E F 
C 0,60 0,50 
D 0,90 0,70 
 
 
O problema consiste em cumprir os compromissos de venda ao menor custo de produção e 
transporte possível. Variáveis de decisão são sugeridas abaixo. 
 
QTij = quantidade de tubos produzidos em i e transportados para j(i=A,B;j=C,D) 
QCij = quantidade de chassis produzidos em i e transportados para j(i=C,D;j=C,D) 
QMik= quantidade de aparelhos montados em i e transportados para k(i=C,D;k=E,F) 
 
26. (Lanzer, 1988) (problema de transporte com transbordo) Uma firma distribuidora de motores 
elétricos tem depósitos localizados em diversas cidades de um certo estado. Numa certa semana a 
gerência verifica que em alguns depósitos existe excesso de estoque de motores, enquanto que em 
outros depósitos existe falta de produto para as entregas previstas. A situação é como segue: 
 
Depósito Excesso de Estoques 
(unidades) 
Falta de Estoques 
(unidades) 
1 - 25 
2 42 - 
3 - 33 
4 56 - 
5 - 29 
 
 
O diagrama a seguir retrata os custos de transporte, em $ por motor, entre as diversas cidades de 
interesse: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe, por exemplo, que é possível realizar transporte da cidade 2 para a cidade 5 diretamente ou 
passando pela cidade 4 ou pelas cidades 1 e 3 (entre outras alternativas). 
O problema é suprir os depósitos 1,3 e 5 com as quantidades requeridas a partir dos estoques em 
excesso existentes nos depósitos 2 e 4 ao menor custo de transporte possível. 
Variáveis de decisão sugeridas para formulação: 
Xij = número de motores transportados da cidade i para a cidade j(em unidades) 
 
27. (Lanzer, 1988) Uma central telefônica tem os seguintes requerimentos mínimos de telefonistas em 
dias normais de trabalho para manter um padrão razoável de atendimento aos usuários: 
 
Período Hora do Dia No. Mínimo de telefonistas 
1 0:00 – 4:00 28 
2 4:00 – 8:00 35 
3 8:00 – 12:00 129 
4 12:00 – 16:00 151 
1 
4 2 
3 
5 
14 
6 
14 
5 
21 
39 
8 
 
 
33
5 16:00 – 20:00 116 
6 20:00 – 00:00 73 
 
 
Cada telefonista tem um turno de 8 horas de trabalho consecutivas. O salário varia de acordo com a 
hora de início do turno de trabalho: 
Hora de início do turno Salário ($/mês) 
0:00 890,00 
4:00 780,00 
8:00 510,00 
12:00 510,00 
16:00 680,00 
20:00 810,00 
 
A central telefônica deseja saber quantas telefonistas contratar de modo a manter o padrão desejado 
de atendimento ao menor custo possível. 
Variáveis de decisão sugeridas para formulação: 
Xt: no. de telefonistas que iniciem o turno no período t. 
 
28. (Lanzer, 1988 apud Robicheck et alli, 1965) A gerência financeira de uma loja de departamentos 
deve planejar suas decisões para os próximos meses. As previsões do Departamento de 
Contabilidade quanto às variáveis de interesse para o problema são as seguintes (em $ mil): 
 
 
Variáveis/Meses Set. Out. Nov. Dez.. Jan Fev. 
Realizável a Curto 
Prazo* 
10 9 12 48 23 20 
Pagamento de 
Fornecedores** 
12 18 20 17 13 10 
Déficit de Capital de 
Giro 
5 - 6 9 - - 
Superávit de Capital 
de Giro 
- 3 - - 10 11 
* balanço no início do mês 
** supondo pagamentos em dia 
 
O problema da gerência é financiar os déficits previstos de capital de giro ao menor volume de juros 
possível. Três alternativas de financiamento podem ser utilizadas (em conjunto ou separadamente): 
a) atrasar o pagamento dos fornecedores: ao atrasar o pagamento devido aos seus fornecedores no 
mês t, a loja sua necessidade de capital de giro no mesmo mês; todavia o pagamento deve ser 
realizado no mês seguinte com um acréscimo de 3%; além disto é política da loja limitar o uso 
desta alternativa a, no máximo, 15% do total devido a cada mês; 
b) tomar empréstimos bancários mensais com base no realizável a curto prazo: no início de 
qualquer mês t o banco se dispõe a emprestar até 30% do realizável a curto prazo do m~es; o 
empréstimo deve ser pago no mês t + 1, com juro de 4%; e 
c) empréstimo de 180 dias: no início de setembro a loja pode tomar um empréstimo de até $10 mil 
para ser integralmente pago com um juro de 32%. 
Por outro lado, no inicio de qualquer mês a loja pode investir eventuais excessos de capital de giro 
previstos para o mês em operações financeiras de 30 dias, recebendo então um juro de 2%. 
Variáveis de decisão sugeridas para formulação: 
At: volume de pagamentos de fornecedores devido no mês t (em $ mil) que é colocado em atrado 
(em $ mil); 
Bt: empréstimo de curto prazo tomado no início do mês t (em $ mil); 
C: empréstimo tomado no inicio de setembro para pagamento em fevereiro (em $ mil); 
It: investimento financeiro realizado pela loja no início do mês t ( em $ mil). 
 
 
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Obs.: supõe-se que no mês de fevereiro a loja pretenda não atrasar qualquer pagamento, nem fazer 
empréstimo ou investir no mercado financeiro. 
 
29. (Corrar e Theófilo, 2004, modificado) Na qualidade de assessor de investimentos da Fundabanc, 
uma fundação de empregados de determinado banco, você foi chamado para estudar a melhor 
forma de aplicar os recursos disponíveis. A necessidade de limitar os riscos da empresa conduz a 
três tipos de aplicações: ações preferenciais, ações de companhias de utilidade pública e títulos da 
dívida pública.

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