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Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Ciências Econômicas Departamento de Ciências Administrativas Profa. Ana Lúcia Miranda Lopes, Dra. Eng. 2014 1. Introdução à Pesquisa Operacional 4 SUMÁRIO 1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional......................................................................................... 5 1. 2. Aplicações da Pesquisa Operacional ......................................................................................... 7 2 Programação Linear: modelagem ......................................................................................... 8 2.1. Introdução ................................................................................................................................ 8 2.2. Construção de um Modelo de Programação Linear .................................................................... 8 2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão ............................................................................... 8 2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; ....................................................................... 10 2.2.4. Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. ................................................................ 11 Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 24 ESTUDOS DE CASO .......................................................................................................................... 35 ANEXO 3: Como utilizar o Solver/Excel para resolver problemas de programação linear (PL) . 37 3. . Resolução de um Modelo de Programação Linear: Solução Gráfica .................................. 43 3.1 Introdução ............................................................................................................................... 43 3.2. Resolvendo um Modelo Linear através do Método Gráfico ...................................................... 45 3.2.1. Construindo o gráfico representativo das restrições .............................................................. 45 3.2.2. Obtendo a Solução Ótima ...................................................................................................... 49 3.3. Programas Lineares Inviáveis .................................................................................................. 52 3.4 Programas Lineares Ilimitados ................................................................................................. 53 Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 55 4. Programação Linear: Interpretando os Resultados ............................................................ 57 4.1. Forma Padrão ......................................................................................................................... 57 4.1.1. Convertendo uma desigualdade em uma igualdade............................................................... 58 4.1.1. Convertendo uma função objetivo para maximização............................................................ 60 4.2. Interpretando os resultados .................................................................................................... 60 4.2.1. Relatório de Resposta............................................................................................................ 61 4.2.2. Relatório de sensibilidade I .................................................................................................... 63 Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 69 5. Programação Linear Inteira e Binária ................................................................................ 77 5.1. Programação Linear Inteira e Binária ....................................................................................... 77 5.2. Programação Linear Inteira Mista (PLIM) ................................................................................. 81 Atividade de Fixação ....................................................................................................................... 82 1. Introdução à Pesquisa Operacional 5 1. INTRODUÇÃO Devo investir meu excedente de caixa em fundos cambiais, poupança, ações, ou outros? Como devo balançar meu investimento para obter o maior retorno possível a um risco aceitável? Quanto devo produzir dos produtos A, B e C para obter um lucro máximo, satisfazendo as restrições de horas-homem, matéria prima e capacidade das máquinas? Dada a produção de determinado produto em várias fábricas. Quanto de produto devo mandar de cada fábrica para cada ponto de varejo de modo a minimizar meu custo de transporte? Dada uma série de possibilidades de localização para determinada fábrica e um conjunto de restrições, qual local devo escolher? Se você estivesse diante de um dos problemas listados acima. Como resolveria? Estes são problemas do dia a dia das organizações e que, muitas vezes, são resolvidos com base na intuição e experiência de seus administradores. Nesta disciplina veremos como a ciência denominada Pesquisa Operacional pode contribuir para ajudar as empresas em tomadas de decisão como estas. 1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional A pesquisa operacional (Operations Research ou Management Science) teve seu surgimento durante a 2a. guerra mundial. Guerras, na maior parte das vezes, traz junto consigo a necessidade de conviver-se com toda sorte de carência de recursos. Foi por esta razão que os militares ingleses (British Air Force) formaram o primeiro grupo para o estudo das melhores condições de aproveitamento dos recursos disponíveis. Este grupo estudou a aplicação de métodos quantitativos com o objetivo de melhorar a eficiência das forças de guerra da armada inglesa. Foi então denominado de grupo de Operations Research (pesquisa operacional) e vem daí, então, o nome da ciência tão amplamente utilizada hoje em dia. Naquele momento o grupo de PO iniciou a trabalhar em problemas relacionados ao abastecimento das tropas, táticas de defesa e ataque aéreo e marítimo. A principal aplicação daquela época que se tem notícia foi na área de detecção de aviões inimigos através de radar. Dizem, hoje, que esta foi a grande arma dos britânicos que levou-os a vencer a batalha aérea na Grã-Bretanha. Logo após a criação do grupo de PO inglês, e como não poderia deixar de ser, os americanos formaram um grupo semelhante. Depois da 2a. guerra mundial os cientistas e administradores de empresas vislumbraram a possibilidade de aplicação das técnicas de PO utilizadas na guerra para a resolução de problemas dentro das empresas. Modelos foram pesquisados e desenvolvidos para a resolução de problemas nas áreas de planejamento da produção, planejamento agrícola, transporte de mercadorias, “scheduling” de refinarias de petróleo, entre outros. O que é Pesquisa Operacional? A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção, planejamento ou operação de sistemas para atingir seus objetivos. Através de desenvolvimentos de base quantitativa, a Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão sem descuidar, no entanto, dos elementos subjetivos e de enquadramentoorganizacional que caracterizam os problemas. (http://www.sobrapo.org.br). 1. Introdução à Pesquisa Operacional 6 É, portanto, uma ciência aplicada formada por um conjunto de técnicas quantitativas que tem como objetivo a determinação da melhor maneira de aproveitamento de recursos, por vezes, escassos. É particularmente pertinente em problemas complexos cujo alcance dos objetivos enfrentam restrições tais como: técnicas, econômica, temporal, de mão de obra, de demanda, etc. Aliado ao uso dos métodos quantitativos tem-se o uso de softwares eficientes para a resolução dos problemas decisórios (LINDO, What´s Best, Solver do Excel, etc...). Com a disseminação dos computadores observada nas últimas décadas tem-se podido trabalhar com grandes volumes de dados sobre as atividades das empresas tornando a representação do problema decisório cada vez mais próxima da realidade e fazendo com se observe o uso da PO em um grande número de empresas. Com a globalização a utilização eficiente dos recursos disponíveis é vital para as empresas. Utilizar- se tudo o que se tem disponível, através da ciência, experiência, etc.. para a melhoria da eficiência da empresa é de extrema relevância para a sobrevivência das mesmas em um mercado cada vez mais competitivo e pode significar a manutenção desta no mercado ou não. A utilização de métodos quantitativos para resolução de problemas decisórios envolve, normalmente, muitas pessoas dentro da organização. Todos os aspectos relevantes do problema precisam ser identificados e mapeados. O processo da aplicação das técnicas de pesquisa operacional envolve uma seqüência de passos que podem ser ilustrados na figura que segue: Figura 01 – Seqüência de Desenvolvimento de um Modelo de PO Implementação dos Resultados Definição do Problema Levantamento dos dados necessários Desenvolvimento do Modelo Matemático Desenvolvimento da Solução do Modelo o Testando a solução Análise dos Resultados e análise de sensibilidade Formulação Interpretação Solução 1. Introdução à Pesquisa Operacional 7 1. 2. Aplicações da Pesquisa Operacional As técnicas de PO são aplicadas a uma ampla variedade de problemas decisórios que vão desde a determinação de tempo em filas de um banco até filas de aviões em aeroportos. Problemas de estoques, planejamento da produção, mistura de componentes, formulação de ração a custo mínimo, redes de transporte, alocação de pessoas, problemas de redes de comunicação, programação de tarefas são também exemplos de aplicações de PO. Organizações como: IBM, HP, Microsoft, Gessy Lever, Nestlé, etc.. são exemplos de multinacionais que vem utilizando técnicas de PO em seus gerenciamentos. A nível nacional tem-se informação da aplicação de técnicas de pesquisa operacional em empresas tais como: Petrobrás, Sadia, AçoMinas, Unibanco, Bradesco, Brahma, Cosipa. Eletrobrás, entre outras. 1.1. Divisões da PO A pesquisa operacional compreende um conjunto relativamente grande de técnicas que podem ser utilizadas para resolução de problemas decisórios. As principais são: Algoritmos Genéticos Análise Muticritério de Apoio à Decisão Cadeias de Markov Data Envelopment Analysis Grafos Modelos de Estoques Modelos de Previsão Programação Dinâmica Programação Linear Programação Não-Linear Redes Neurais Simulação Teoria da Decisão Teoria das Filas Teria dos Jogos Na área de Negócios os casos de utilização da Pesquisa Operacional têm se concentrado nas técnicas de programação linear e simulação. Pelo menos 70% das aplicações envolvem estas duas áreas. 8 2 Programação Linear: modelagem 2.1. Introdução Programação linear é uma técnica de otimização utilizada para resolução de problemas decisórios que podem ser representados por meio de equações lineares. A otimização ajuda a encontrar a resposta que produz o melhor resultado para a empresa, ou seja, aquela que conduz ao maior lucro, menor custo, por exemplo. Estes modelos lineares são representados por meio de uma função objetivo e um conjunto de restrições, como segue: Modelo Geral: Otimizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn sujeito a a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn <, =, ou > b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn <, =, ou > b2 ......................................................................................... am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn <, =, ou > bm x1, x2, x3, ... Xn >=0 Onde: Z = Função Objetivo cj = coeficientes da função objetivo xj = variáveis de decisão aj = coeficientes técnicos bi = constantes do lado direito da equação (RHS) 2.2. Construção de um Modelo de Programação Linear A construção de um modelo de programação linear pode ser dividida em 4 fases, são elas: Fase 1: Definição das variáveis de decisão; Fase 2: Identificação dos dados do problema; Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo; Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. 2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão Para melhor mostrar como deve ser realizada esta e as demais fases vamos trabalhar sob um exemplo de planejamento da produção. 9 Exemplo 2.1. Só Bicicletas (SB) é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas. A empresa acaba de lançar 2 novos modelos de bicicletas infantis ( 1 para menino e 1 para menina) que está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidos. O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de $50 e da bicicleta masculina é de $30. A empresa conta para a produção destes dois novos modelos com 200 trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha 8 horas por dia. O modelo feminino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de montagem. O modelo masculino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 1 hora no departamento de montagem. Formule um modelo que informe à SB o plano de produção diário que maximiza seu lucro. Para que as variáveis de decisão possam ser determinadas pode-se iniciar perguntando: � Quais itens afetam o custo ou lucro do problema? � Quais itens estão livres para escolher e/ou tem algum controle sobre? � Quais decisões você tem que tomar? � Quais valores, uma vez determinados constituem a solução do problema? Uma vez respondidas estas perguntas ter-se-á definido as variáveis de decisão do problema. Estas devem ser representadas através de um nome simbólico que pode ser uma letra ou um conjunto de letras(nunca um número) e que auxilia no entendimento do significado da variável. � Dê um nome simbólico para a variável No exemplo 2.1 o que se quer determinar? O que se tem algum controle sobre? Se quer determinar o número de bicicletas femininas e masculinas produzir por dia pela empresa, então: Qf = o número de bicicletas femininas produzir diariamente Qm = o número de bicicletas masculinas produzir diariamente . Variável de Decisão: Representação através de um símbolo ou letra daquilo que se quer determinar e que se tem algum controle. 10 2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; Uma vezidentificadas as variáveis que representam aquilo que se deseja conhecer em um modelo decisório pode se passar para a fase de identificação dos dados do problema. Estes dados são aqueles necessários para a modelagem completa do problema. Todos os dados devem ser levantados e, quando estes podem ser obtidos com certeza estamos diante de um problema chamado de determinístico enquanto que problemas estocásticos envolvem dados incertos. No problema de planejamento de produção do exemplo 2.1 tem-se que cada bicicleta no modelo feminino necessita de 4 horas de mão de obra para sua fabricação e de 2 horas de mão de obra para sua montagem. Estes dados assim como os dados relativos ao modelo masculino devem estar representados no modelo. A disponibilidade de mão de obra em cada departamento de fabricação e montagem também farão parte do modelo. Em um problema de planejamento da produção sabe-se que o ponto crítico é não poder gastar mais recurso do que a empresa dispõe. Tem-se então que chegar aos valores de disponibilidade de cada recurso. Para chegar-se à mão de obra disponível deve-se calcular: Mão de obra disponível no departamento de fabricação: MOF= 200 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 200 x 3 x 8 = 4800 horas. Mão de obra disponível no departamento de montagem: MOM= 100 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 100 x 3 x 8 = 2400 horas. Para auxiliar no processo de modelagem do problema pode se construir uma tabela que resume todos os dados disponíveis no problema como segue: Quadro 2.1 – Tabela de Dados Exemplo 2.1 Variáveis Unidade Dados Iniciais Dados Solicitados B.Fem. B.Masc. Número de bicicletas produzir No. Qf Qm Qf>=2 50 Qm>=250 Lucro Unitário $/unid. 50 30 - Mão de Obra no Depto. de Fabricação horas/ unid. 4 4 <=4800 horas Mão de Obra no Depto. de Montagem horas/ Unid. 2 1 <=2400 horas Lucro Unitário $ 50 30 Lucro Total $ Maximizar 11 2.2.3. Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo Depois de determinadas as variáveis de decisão e os dados do problema pode-se passar à fase de construção do modelo: Este modelo matemático representa a situação da empresa que tem um objetivo e que para alcançá-lo terá de enfrentar algumas restrições. Este modelo será formado, então, por uma função objetivo e algumas restrições. A função objetivo pode ser entendida como a representação formal do objetivo da organização expresso na forma matemática em termos de dados e variáveis de decisão. Mas, qual é o objetivo da empresa (exemplo 2.1)? Pode-se concluir que o objetivo da empresa SB é obter o maior lucro possível. Para obtê-lo ela deve encontrar os valores de Qf e Qm que a conduzam a este lucro. Estes valores além de levar ao melhor lucro possível devem respeitar as restrições que a empresa enfrenta quanto à mão de obra disponível e demanda por bicicletas, oque será posteriormente representado pelas restrições. Para a construção da função objetivo tem-se, pela tabela 01, que o lucro unitário obtido na produção e venda dos modelos femininos é de $30 e dos modelos masculinos é de $50 e que a empresa deseja maximizar o lucro total. Isto pode ser representado da seguinte forma: LT = 30Qf + 50Qm Onde: LT é o lucro total obtido na produção dos dois modelos; Qf e Qm são as variáveis de decisão e, portanto, incógnitas do problema. Utilizando a função de lucro total acima tem-se como função objetivo: Max LT) 30Qf + 50Qm Temos então o objetivo da SB representado matematicamente (modelado). 2.2.4. Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. A última fase do processo de modelagem de um processo decisório é a identificação das restrições. Normalmente o alcance do objetivo de uma organização está sujeito à algumas limitações. Estas limitações podem ser: � limitações físicas: capacidade máxima de produção das máquinas ou fábrica, quantidade de matéria prima existente ou possível de se obter, mão de obra disponíveis, etc; � limitações externas: demanda dos produtos produzidos, imposições do mercado; � Imposições do administrador, do governo, das associações envolvidas: o administrador pode ter se comprometido a fornecer uma certa quantia de determinado produto para um cliente antigo; a sociedade de proteção ao ambiente impõe que somente uma determinada quantia de um produto seja produzida devido aos danos que sua produção causa ao ambiente, etc; � Relações entre as variáveis: um determinado produto deve ser produzido duas vezes mais do que outro, por exemplo; � Restrições lógicas nas variáveis: limites nas variáveis. Função objetivo: é o objetivo do problema descrito em termos de variáveis de decisão e dados. 12 A declaração no modelo de todas as limitações ou imposições necessárias para o alcance do objetivo é de vital importância para a obtenção de um resultado que realmente represente o problema real da empresa. No exemplo 2.1, lembremos que a empresa deseja saber quanto produzir de cada modelo para maximizar seu lucro. Quais são suas limitações? A principal é a mão de obra existente nos departamentos de fabricação e montagem que não é ilimitada. Lembremos que a mão de obra consumida em cada departamento deve ser menor ou igual à mão de obra disponível. Mas como representar? CONSUMO <= DISPONÍVEL Consumo de M.O. no departamento de fabricação <= M.O. disponível no departamento de fabricação Consumo de M.O. no departamento de montagen <= M.O. disponível no departamento de fabricação Para representar as relações acima primeiramente temos que construir a equação que representa o consumo de cada departamento, como segue: Consumo de Mão de obra no departamento de fabricação: 1) Consumo de M.O (bic. fem.) =mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta fem. * quantidade de bicicletas femininas produzidas (Qf) 2) Consumo de M.O. (bic.masc.) = mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta masc. * quantidade de bicicletas masculinas produzidas (Qm) E o consumo total de mão de obra no departamento de fabricação será: Consumo Total de M.O. no departamento de fabricação = Consumo na produção de bic. femininas + consumo na produção de bicicletas masculinas (1+2) Agora se temos: Disponibilidade no depto. de fabricação = 4800 horas E se consumo tem que ser menor ou igual à disponibilidade (consumo <=disponibilidade) tem-se a 1a. restrição: Restrição: É a representação matemática de restrições e/ou limitações da empresa ou limitações nos valores das variáveis. 13 Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 O mesmo pode ser feito para a restrição que irá representar o consumo e disponibilidade de horas de mão de obra no departamento de montagem, como segue: Consumo < = disponibilidade De onde tem-se: Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400 Prontas as restrições físicas pergunta-se: existe alguma outra limitação ou imposição? Sim, o departamento de marketing aconselha que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidas. Agora, então, temos que forçar que as variáveis de decisão assumam valores iguais ou maiores que 250. Como representar? Restrição 3) Qf >= 250 Restrição 4) Qm > = 250 O resultado será: Max LT = 30Qf + 50Qm s.a. Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400 Restrição 3) Qf >= 250 Restrição 4) Qm > = 250 Desta maneira o modelo está pronto. Precisamosainda resolve-lo para chegar às quantidades de bicicletas femininas e masculinas que conduzem a empresa ao lucro máximo. Isto aprenderemos nos próximos 2 capítulos. Exemplo 2.2: Uma escola pública procura uma dieta especial que forneça as quantidades mínimas diárias das vitaminas A, B e C (45 miligramas de vitamina A, 64 miligramas de vitamina B e 45 miligramas de vitamina C) a seus alunos ao menor custo possível. Conclui que poderia alcançar seu objetivo incluindo no lanche das crianças laranjas e maçãs. Em uma pesquisa nos atacadistas consegue um custo de $0.45 por kg de laranja. Este fornece 3 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 15 miligramas de vitamina C segundo a nutricionista da escola. Cada quilo de maçã custa $0.55 e fornece 15 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 9 miligramas de vitamina C. A meta da escola é determinar quantos Kg de cada fruta devem ser utilizadas diariamente de modo a minimizar o custo total. Formule o problema. 14 Fase 1) definição das variáveis de decisão Para a definição das variáveis de decisão devemos nos perguntar o que a empresa, neste caso uma escola pública, deseja obter como resposta? O que ela precisa saber? Para o problema acima a resposta à estas perguntas está bem clara: a escola deseja saber quantos quilos de laranjas e quantos quilos de maçãs devem ser utilizadas diariamente no lanche das crianças. Como representar estas variáveis? Ql = quantidade (kg) de laranjas utilizar diariamente no lanche da escola Qm = Quantidade (Kg) de maçãs utilizar diariamente no lanche da escola Lendo o problema entende-se que esta dieta deve ser tal que forneça uma quantidade mínima de vitaminas A, B,C às crianças. Estas são então as imposições que irão, mais tarde ser transformadas em restrições do problema de programação linear. Com base nos dados informados pode-se montar a tabela abaixo que irá auxiliar na construção do modelo. A tabela resume todas as informações necessárias. Quadro 2.2 – Tabelas de Dados 2.2 Variáveis Unidade Dados Iniciais Dados solicitados Laranjas Maçãs Quantidades de fruta no lanche Kg Ql Qm Ql>=0 Qm>=0 Custo $/kg 0,45 0,55 Minimizar Quantidade de vitamina A Miligramas 3 15 >= 45mg Quantidade de vitamina B Miligramas 8 8 >= 64 mg Quantidade de vitamina C Miligramas 15 9 >= 45 mg Com base nos dados da tabela constrói-se a função objetivo que buscará os valores para Ql e Qm que minimizam o custo total. As restrições irão impor alguns limites nos valores destas variáveis. Limites estes que devem ser a representação matemática de: 1) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina A 2) a dieta deve fornecer pelo menos 64 miligramas de vitamina B 3) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina C O modelo então será: Minimizar Custo total) 0,45Ql + 0,55Qm s.a. Vitamina A) 3Ql + 15Qm > = 45 Vitamina B) 8Ql + 8Qm > = 64 Vitamina C) 15Ql + 9Qm > = 45 Restrição lógica 1) Ql >=0 Restrição lógica 2) Qm > = 0 15 Uma outra importante aplicação de programação linear é na área de transportes. Na maioria dos casos de utilização de P.Linear nesta área trabalha-se com o objetivo de minimizar o custo total de transporte através da escolha do melhor caminho a seguir ou através da definição das quantidades de mercadoria que deverão ser transportadas de cada ponto de produção/distribuição até cada ponto de recebimento. Um problema clássico de transportes tem as seguintes características: Certo material deve ser transportado do ponto de produção/distribuição (origem) para o ponto de recebimento (destino); A quantidade total disponível nas origens é igual ou menor que as necessidades dos destinos; Existe uma demanda ou capacidade máxima de armazenagem associada a cada ponto de destino; Existe um custo associado à distribuição/transporte da mercadoria de cada origem para cada destino; O custo total de distribuição/transporte deve ser minimizado. Este tipo de problema pode ser representado matematicamente (modelado) e resolvido como um problema de Programação Linear. Um exemplo deste tipo de modelagem é mostrado abaixo: Exemplo 2.3 A empresa Natural tem 3 engarrafadoras de água mineral que abastecem diretamente 4 supermercados. No mês passado entregou 5400 caixas de água para estes supermercados. O transporte é feito por um terceirizado e o seu custo no mês passado foi de R$24.600,00. Isto representa quase 55% do faturamento da Natural. Devido à participação muito elevada do custo de transporte no custo total da empresa sua equipe de consultores foi chamada. A Natural quer saber se existe uma maneira de gastar menos com transporte aumentando, então, o lucro da empresa. Observe que a hipótese de baixar os preços cobrados pela terceirizada já foi tentada pelo administrador sem resultado e que esta empresa transportadora é ainda a de menor custo para a Natural. Sua equipe, então, concluiu que a única maneira de baixar o custo total com transporte é repensando o plano de transporte observando, é claro, as demandas de cada supermercado e capacidades das unidades engarrafadoras (Quadro 4.3). Os dados relativos aos custos de transporte são os descritos abaixo. Com base nestes dados formule um novo plano de transporte para o próximo mês que leve ao custo mínimo possível. Quadro 2.3 – Custos de Transporte (R$/caixa) Depósito/ Engarrafadora S1 S2 S3 S4 Capac em cx/mês EA R$ 5,00 R$ 3,00 R$ 2,00 R$ 6,00 1700 EB R$ 4,00 R$ 7,00 R$ 8,00 R$ 10,00 2000 EC R$6,00 R$ 5,00 R$ 3,00 R$8,00 1700 Demanda mês passado 1700 1000 1500 1200 - Para a construção de um modelo de transportes a elaboração de um grafo que resume todos os dados do problema é de grande importância, como pode ser observado abaixo: 16 Representação Gráfica do Exemplo 2.3 Disponibilidades Demandas (Caixas/mês) (Caixas/mês) Total: 5400 caixas 5400 caixas Dado o grafo acima pode-se iniciar a construção do modelo matemático que melhor representa o problema. No modelo mais simples de transportes, como o descrito acima, deve-se modelar a situação de maneira a obter quanto deverá ser transportado de produto ou insumo de cada região produtora para cada região consumidora resultando, portanto, nas seguintes variáveis de decisão: Definindo as Variáveis de Decisão: XA1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 1; XA2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 2; XA3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 3; XA4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 4; XB1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 1; XB2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 2; XB3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 3; XB4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 4; XC1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 1; XC2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 2; XC3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 3; XC4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado4. Ou, de maneira mais geral: Xij = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora i( i=A,B,C) para o supermercado j (j=1,2,3,4). 1 $8 EB S2 S3 S4 EA S1 EC 1700 2000 1700 1700 1000 1500 1200 $5 $3 $2 $6 $4 $7 $10 $6 $5 $3 $8 17 O segundo passo será criar a função objetivo que representará matematicamente o custo total de transporte da empresa. Isto envolverá a obtenção do custo unitário do transporte do produto ou insumo de cada região produtora para cada região consumidora (Quadro 4.3). Esta função objetivo será a soma dos custos de transportar cada caixa de cada engarrafadora até cada supermercado. Modelando a Função Objetivo Minimizar Custo Total de Transporte = Custo de transportar caixas da engarrafadora A para os supermercados 1,2,3,4 + custo de transportar caixas da engarrafadora B para os supermercados 1,2,3,4 + custo de transportar caixas da engarrafadora C para os supermercados 1,2,3,4 Ou seja: Min Custo = 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 Com a função objetivo pronta o próximo passo seria modelar matematicamente as restrições do problema de transportes. Mas, quais as restrições que esta empresa enfrenta no seu dia a dia? Duas coisas devem estar claras neste tipo de modelo: 1o) Não pode sair mais produto ou mercadoria de cada unidade produtora (origem) do que a mesma tem disponível ou pode produzir (restrições de produção): SAÍDAS <= ou = DISPONIBILIDADE NA ORIGEM 2o) Não se deve receber menos no ponto de destino do que foi solicitado (restrições de demanda): ENTRADAS >.= ou = DEMANDAS NO PONTO DE DESTINO Modelando as Restrições: Restrições de Produção: ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 Restrições de Demanda: DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 Restrições Lógicas: XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0 18 Modelo Final: Min Custo ) 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 s.a. ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0 Importante: As igualdades definidas nas restrições de produção e nas restrições de demanda somente foram possíveis porque a soma do que se tinha disponível nas engarrafadoras (5400 caixas) é exatamente igual à soma das demandas dos supermercados (5400 caixas). Em casos que não se tem a produção = demanda ou capacidade do depósito não se pode trabalhar com igualdades e sim com < = ou > =. Exemplo 2.4 A empresa SOGRÃOS (SG) compra grãos (arroz, feijão, etc.) em 3 regiões produtoras localizadas no interior de Santa Catarina e os deposita em três centros de distribuição (CD1,CD2,CD3) para posterior comercialização. Esta compra e entrega aos centros de distribuição tem um custo elevado para a SG e é realizada por uma empresa terceirizada. O Quadro abaixo mostra os custos de transporte praticados por esta terceirizada (R$/ton transportada). A empresa precisa definir para a terceirizada a cada semana quantas toneladas de grãos esta deve transportar de cada região produtora para cada CD cujas capacidades de armazenagem são CD1 = 150 ton. , CD2 = 380 ton. e CD3 = 420 toneladas de grãos. É bastante claro que esta definição deve ser a que proporciona à empresa o menor custo total de transporte. Formule o modelo sabendo que as região produtoras A, B e C entregam à empresa no máximo 310, 500 e 200 toneladas de grãos a cada semana, respectivamente. Quadro 2.4. Custo de Transporte em R$/toneladas transportadas Regiões de Produção/ CDs CD1 CD2 CD3 A 7 12 14 B 8 11 13 C 6 10 9 Para a construção de um modelo de transportes pode-se iniciar pelo grafo que representa este problema, como segue: 19 Representação Gráfica do Exemplo 2.4 Disponibilidades Capacidades dos CDs (ton/semana) (ton/semana) Total: 1010 ton. 950 ton. Definindo as variáveis de decisão: QA1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 1 QA2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 2 QA3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 3 QB1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 1 QB2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 2 QB3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 3 QC1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 1 QC2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 2 QC3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 3 Ou: Qij =Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora i (i=A,B,C) para o centro de distribuição j (1,2,3) Modelando a Função Objetivo: O objetivo da empresa SG é o de obter o menor custo possível com o transporte de grãos das três regiões produtoras para os três CDs. Tem-se, então: Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 Modelando as restrições: As restrições que representam o problema do exemplo acima devem obedecer as seguintes regras: 1o) Não pode sair mais produto (toneladas de grãos) das regiões produtoras do que elas tem disponível; 2o) Os centros de distribuição devem receber (toneladas de grãos) tudo que lhes é possível armazenar. RPB CD2 CD3 RPA CD1 RPC 200 500 310 150 380 420 $7 $12 $14 $8 $11 $13 $6 $10 $9 20 Então: Restrições de produção: CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 Restrições de capacidade de armazenagem: CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 Restrições Lógicas: QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 Modelo Final: Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 s.a. CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 Baseado nos exemplos acima é possível construir um modelo genérico que pode ser aplicado a qualquer problema de transporte de mercadorias de seus pontos de origem até seus pontos de destino. Este modelo será: m n Min Σ Σ cij xij i=1 j=1 s.a. n Σ xij = si para i = 1, ...,m j=1 m Σ xij = dj para j = 1,...,n i = 1 xij >= 0 onde: cij = custo de distribuição ou transporte de produto entre a origem i e o destino j; xij = total a ser distribuído de i para j 21 si= total produzido ou disponível; dj = total a ser armazenado ou demanda de cada local. Exemplo 2.5. (adaptado de Mathur e Sollow, 1997) A agência do Banco Bradesco situada na Trindade requer de 8 a 15 funcionários para atendimento ao público, dependendo do horário do dia. Esta agência trabalha com funcionários de tempo integral em turno de 8 horas consecutivas e recebendo $15 por hora trabalhada. Estes funcionários iniciam às 8 horas da manhã. Tem também alguns estagiários com turno de 4 horas por dia podendo iniciar às 8 horas, 10 horas ou 12horas. Estes recebem $8 por hora. O Sindicato dos Bancários estabelece que ao menos 60% dos caixas sejam funcionários em tempo integral. Como gerente de recursos humanos faça uma recomendação do número de funcionários em tempo integral e número de estagiários em tempo parcial o banco necessita para minimizar o custo total diário e que atenda aos requerimentos mínimos de funcionários em cada horário estabelecidos na tabela abaixo: Quadro 2.5 – Número Mínimo de Funcionários em cada período Período Número Mínimo de Funcionários 8 - 10 horas 8 10 – 12 horas 10 12 – 14 horas 15 14 – 16 horas 12 Solução: Obviamente estamos diante de um modelo de Programação inteira pois não se pode ter 0,8 ou 4,3 funcionários. Variáveis de Decisão: Como deseja-se conhecer o número de funcionários em tempo integral e parcial que o banco deve dispor nesta agência teremos como variáveis de decisão as seguintes: I = número de funcionários em tempo integral P = número de estagiários em tempo parcial Porém, devemos lembrar que os estagiários por trabalharem somente 4 horas por dia tem diferentes horários de entrada e, por conseguinte, diferentes turnos de trabalho. Para que o modelo retorne quantos estagiários devem trabalhar em cada turno a variável de decisão P deve ser dividida em três, uma para cada turno de trabalho. Temos então: Variáveis de Decisão: I = número de funcionários em tempo integral P8 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 8 horas; P10 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 10 horas; P12 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 12 horas; Função Objetivo: A função objetivo deve minimizar o custo total da Agência bancária, ou seja: Custo Total Diário = custo com funcionários em tempo integral + custo com estagiários que iniciam às 8 horas + custo com estagiários que iniciam às 10 horas + custo com estagiários iniciam às 12 horas 22 A função objetivo será, portanto: Min Custo) 120F + 32P8 + 32P10 + 32P12 Aonde: 120 vem de $15 por hora vezes o número de horas trabalhadas por dia (8) e 32 vem de 4 horas vezes $8. Restrições: O último passo será o de modelar as restrições que deverão obedecer os seguintes requerimentos: a) número mínimos de funcionários/estagiários em cada turno (tabela 1) b) imposição do sindicato de que ao menos 60% dos trabalhadores do banco sejam funcionários em tempo integral. Para o item a) graficamente tem-se: Tempo integral (I) Tempo parcial com Início às 8 horas (P8) Tempo parcial com Início às 10 horas (P10) Tempo parcial com Início às 12 horas (P12) Através do diagrama acima pode-se observar os intervalos para os quais teremos que construir restrições para que a solução obedeça as necessidades do banco em termos de número mínimo de funcionários em cada período. Por exemplo: segundo a tabela acima no período de 8 às 10 o banco necessita de no mínimo 8 funcionários. Olhando o diagrama tem-se que neste período somente os funcionários de tempo integral (I) e os estagiários de tempo parcial que iniciam seu turno às 8 horas estão presentes. Escreve-se, então: I + P8 >= 8 No segundo turno (10-12h) o banco necessita de 10 funcionários. Observando-se o diagrama acima tem-se que estão presentes os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 8 horas (P8) e os estagiários que iniciam às 10 horas (P10). Tem-se então: I + P8 + P10 > = 10 8 h 12 h 14 h 10 h 16 h 23 Das 12 às 14 horas o banco necessita de pelo menos 15 funcionários. Neste horário podem estar presentes, segundo o diagrama, os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 10 horas (P10) e os estagiários que iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: I + P10 + P12 > = 15 Das 14 às 16 horas o banco necessita de pelo menos 12 funcionários. Neste horário podem estar presentes, segundo o diagrama somente os funcionários de tempo integral (I),e os estagiários que iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: I + P12 > = 12 Prontas as restrições que representam o número mínimo de funcionários/estagiários em cada período tem-se ainda que construir as restrições relativas à imposição do sindicato. Lembrem que o sindicato exige que ao menos 60% do total dos bancários sejam funcionários em tempo integral (I). Isto vale para qualquer horário em que o banco estiver em funcionamento. Tem-se, então, que obedecer esta imposição durante os quatro períodos. Usando as variáveis de decisão anteriormente definidas tem-se: I > = 0.6(I+P8) ou 0.4I – 0.6P8 > =0 I > = 0.6 (I + P8 + P10) ou 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 > = 0 I > = 0.6 (I + P10 + P12) ou 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 > = 0 I > = 0.6 (I + P12) ou 0.4I – 0.6P12 > = 0 Adicionando-se as restrições lógicas que impõem que as variáveis somente assumem valores positivos e inteiros tem-se: Modelo Final: Min Custo) 120I + 32P8 + 32P10 + 32P12 s.a. Min8-10) I + P8 >= 8 Min 10-12) I + P8 + P10 > = 10 Min 12-14) I + P10 + P12 > = 15 Min 12-14) I + P12 > = 12 Prop8-10) 0.4I – 0.6P8 > =0 Prop10-12) 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 > = 0 Prop 12-14) 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 > = 0 Prop 14-16) 0.4I – 0.6P12 > = 0 I, P8, P10, P12 >= 0 e inteiros 24 Atividade de Fixação Unidade 04 1. Suponha que uma empresa tenha selecionado cinco propostas de investimentos cujas características essenciais são: Se as propostas forem independentes e os recursos limitados em R$ 1.000,00 em quais projetos a empresa deveria investir de maneira a maximizar o valor presente líquido total? 2. A microempresa SOLID COMPUTER (SC) monta 4 tipos de microcomputadores (A,B,C,D). O computador A dá à empresa um lucro de R$ 150,00 enquanto os computadores B,C e D tem lucros de R$ 190,00, R$ 180,00 e R$ 200,00, respectivamente. O micro A necessita de 0,9h/unidade de mão de obra enquanto que B, C e D necessitam 1,2h/unid., 1,0h/unid. e 1,3h/unid. de mão-de-obra. A empresa precisa de um espaço de estocagem para cada tipo de microcomputador assim estimado: 0,7 m3/unid, 1,0 m3/unid, 1,2 m3/unid. e 0,9 m3/unid. para os microcomputadores do tipos A,B,C e D, respectivamente. O consumo em R$ com matéria prima varia com o tipo de microcomputador. O tipo A consome, por semana, R$ 1.200,00/unid., o tipo B consome R$ 1.000,00/unid. o tipo C consome R$ 900,00/unid e o tipo D R$ 1.300,00/unid. As disponibilidades destes recursos são: 300 h de trabalho por semana, 260 m3 de galpão para estocagem e R$ 400.000,00 para aquisição de matéria prima por semana. A SC deseja saber quantos microcomputadores de cada tipo deve montar por semana de maneira a maximizar seu lucro. Monte o modelo. 3. MTV Companhia produz três tipos de tubos: A,B e C, que vende, respectivamente por $ 10,00, $12,00 e $9,00 por metro. Para produzir cada metro do tubo do tipo A são requeridos 0,5 minutos de tempo de processamento em um tipo particular de máquina. Cadametro do tubo tipo B precisa 0,45 minutos e cada metro do tubo do tipo C precisa de 0,6 minutos. Após a produção cada metro de tubo, independente do tipo, requer 1 kg de material de moldagem. O custo total é estimado em $3,00, $4,00, e $4,00 por metro dos tubos dos tipos A,B e C, respectivamente. Para a próxima semana, a empresa recebeu um pedido grande de 2000 metros do tubo do tipo A, 4000 metros do tubo do tipo B, e 5000 metros do tubo do tipo C. Como somente 40 horas de tempo de máquina estão disponíveis esta semana e 5500 kg de material de moldagem estão em inventário, o departamento de produção não estará apto a satisfazer estas demandas, as quais requerem um total de 97 horas de tempo de máquina e 11.000 kg de material de moldagem. Este alto nível de demanda não é esperado continuar. Antes do que expandir a capacidade de produção, o administrador da MTV está considerando comprar alguns destes tubos de fornecedores no Japão a um custo de $6 por metro do tubo tipo A, $6 por metro do tubo tipo B e $7 por metro do tubo do tipo C. Estes vários dados estão resumidos na tabela que segue. Como administrador do departamento de produção, você foi solicitado a fazer recomendações de quanto comprar de cada tipo de tubo do Japão e quanto produzir de modo a satisfazer as demandas e maximizar o lucro da empresa. Formule o modelo. Tubos Preço de venda ($/m) Demanda (m) Tempo de Máquina Material de Moldagem Custo de Produção Custo de Compra 100.000100.000100.000100.000 105.000105.000105.000105.000 200.000200.000200.000200.000 220.000220.000220.000220.000 400.000400.000400.000400.000 460.000460.000460.000460.000 300.000300.000300.000300.000 360.000360.000360.000360.000 500.000500.000500.000500.000 650.000650.000650.000650.000 Valor do Valor do Valor do Valor do Investimento NecessárioInvestimento NecessárioInvestimento NecessárioInvestimento Necessário Valor Presente dos BenefíciosValor Presente dos BenefíciosValor Presente dos BenefíciosValor Presente dos Benefícios Econômicos EsperadosEconômicos EsperadosEconômicos EsperadosEconômicos Esperados EEEE ($)($)($)($) DDDD ($)($)($)($) CCCC ($)($)($)($) BBBB ($)($)($)($) AAAA ($)($)($)($) ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS:ALTERNATIVAS: 25 (min/m) (kg/m) ($/m) ($/m) Tipo A 10 2000 0.50 1 3 6 Tipo B 12 4000 0.45 1 4 6 Tipo C 9 5000 0.60 1 4 7 3. O departamento de Nutrição do Hospital Celso Ramos prepara 30 menus de jantares, um para cada dia do mês. Uma refeição consiste de espagheti, frango, batatas assadas, espinafre e torta de maçã. Como diretor do departamento de nutrição você determinou que esta refeição deve fornecer 63000 miligramas (mg) de proteina, 10 mg de ferro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina e 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramas destes alimentos fornece a quantia de cada nutriente e gordura indicados na tabela que segue. Nutrientes (mg/100 g) Proteina Ferro Niacina Tiamina Vitamina C Gordura Espagheti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000 Frango 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000 Batatas assadas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900 Espinafre 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300 Torta de Maçã 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300 Para evitar muito alimento de um tipo, não mais do que 300 gramas de espagheti, 300 gramas de frango, 200 gramas de batatas assadas, 100 gramas de espinafre e 100 gramas de torta de maçã devem ser incluídas na refeição. Como diretor do departamento de nutrição você deve determinar a composição da refeição que satisfaça os requerimentos nutricionais e fornece uma refeição com a mínima quantidade de gordura. Formule o modelo. 4. Uma pessoa deseja investir R$ 100.000,00 em ações de empresas brasileiras. Em uma primeira análise, baseada em indicadores fundamentalistas do tipo preço/lucro da ação, preço/valor patrimonial, rentabilidade do patrimônio líquido, rentabilidade do ativo e liquidez geral, selecionou as cinco ações constantes da tabela abaixo. A coluna que informa o Beta da ação significa o quanto a mesma variou em um determinado período (1 mês) em comparação ao índice Bovespa, ou seja, um Beta de 1 significa que a ação acompanhou a variação do Ibovespa. Os valores de CAPM abaixo indicam o retorno esperado de cada ação para o período de 1 mês. Dadas estas informações o investidor deseja que você formule um modelo que indique a ele o quanto (R$) investir em cada empresa de maneira a maximizar o retorno esperado enquanto obtém um beta ponderado de 120000 (beta da ação * quantia investida em cada empresa). O investidor não deseja colocar mais do que R$ 50.000,00 na ação da empresa Klabin e deseja também investir pelo menos R$ 20.000,00 na empresa Sid Tubarão, devido ao alto risco do negócio. Monte o modelo. . Ação Código Beta CAPM (%) Telemig Celular Part PN TMCP4 -0,13 -0,1 Sid Tubarão PN CSTB4 3,83 12,76 Souza Cruz ON CRUZ3 0,67 2,57 Bradespar PN BRAP4 1,00 3,62 Klabin PN KLBN4 - 0,47 -1,11 5. Um agricultor pode produzir bois para abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano requer a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 ha de pastagens e que exige 1 hora de trabalho por dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa sessenta hectares de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros de oito mil reais por boi e de vinte e um mil reais por tonelada de lã produzidos. Seus recursos 26 produtivos são limitados a quinhentos hectares de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam no trabalho, dispõe de vinte e quatro horas de trabalho diárias. O produtor desejaria seguir um plano que maximizasse seus lucros totais. Formule o modelo. 6. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, $25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Sabe-se que a capacidade de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 120 motores, que já existem 50 motores em estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 por motor. Determine o programa de produção que minimiza o custo total de produção e armazenagem. 7. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, $25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Utilizando horas extras a empresa consegue produzir um adicional de 30 motores por mês ao custo unitário de $25 em janeiro, $27 em fevereiro, $30 em março e $32 em abril. Finalmente a empresa pode subcontratar a produção em qualquer quantidade de motores ao custo unitário de $30 em janeiro e fevereiro e $35 em março e abril. Sabe-se também que a capacidade de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 120 motores, que já existem 50 motores em estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 por motor. Determine o programa de produção que minimiza o custo total de produção e armazenagem. 8. Uma microempresa situada em Joinville produz diariamente três modelos de abrigos de moleton: luxo, padrão e infantil. Para produzir um abrigo tipo luxo é preciso utilizar 0,22 h de corte, 0,35h de costura e 2,1m2 de tecido. O lucro do abrigo luxo éde R$ 18,00. Para produzir um abrigo do tipo padrão é preciso utilizar 0,16h de corte, 0,32h de costura e 2,3 m2 de tecido. O lucro por abrigo é de R$ 14,00. Para produzir o abrigo infantil é preciso de 0,22h de corte, 0,30h de costura e 1,5m2 de tecido. O lucro por abrigo infantil é de R$ 13,00. Sabe-se que a microempresa dispõe, atualmente, de 12 funcionários no setor de corte e 15 funcionários no setor de costura, todos trabalhando 8 horas por dia. Dispõe também de 300 m2 de tecido. Formule um modelo que indique ao dono da microempresa quantas unidades de cada abrigo devem ser produzidas para maximizar o lucro total. 9. Uma serralheria produz três tipos de telas metálicas: A,B e C. Para produzir 1 m2 de tela tipo A são necessários 20m de arame, 1 hora de solda e 1,2 horas de montagem. O lucro é de R$ 13,00/m2 de tela A. Para produzir um m2 de tela tipo B são necessários 26 m de arame, 1,2 horas de solda e 1,7 horas de montagem. O lucro é de R$ 15,00/m2 de tela B. Para produzir 1 m2 de tela tipo C são necessários 15 m de arame, 0,9 horas de solda e 1,0 horas de montagem. O lucro é de R$ 10,00/m2 de tela C. A empresa dispõe de 200 m de arame, 80h de solda e 96 h de montagem para cada dia de trabalho. Formule o problema decisório de estabelecer um plano de produção diário que maximize o lucro da empresa. 10. Uma metalúrgica compra ferro velho de três fornecedores diferentes: A,B e C. Cada carga do fornecedor A contém 2,0 ton de ferro, 2,0 ton. de alumínio e 1,3 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 400,00. Cada carga do fornecedor B contém 1,3 ton de ferro, 2,4 ton. de alumínio e 1,9 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 580,00. Cada carga do fornecedor C contém 0,6 ton de ferro, 3,5 ton. de alumínio e 0,9 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 390,00. A metalurgia precisa adquirir, para a próxima semana, pelo menos 25 toneladas de cada um dos metais citados (ferro, alumínio e cobre). Quantas cargas devem ser adquiridas de cada fornecedor para minimizar o custo de aquisição dos metais? 11. A Petrobrás pode comprar dois tipos de óleo cru: óleo leve a um custo de $25 por barril e um óleo pesado a um custo de $ 22 por barril. Cada barril de óleo cru, quando refinado, produz três tipos de 27 produtos: gasolina, óleo diesel e querosene. A seguinte tabela indica as quantidades em barris de gasolina, óleo diesel e querosene produzidas por cada barril de cada tipo de óleo cru. Gasolina Óleo Diesel Querosene Óleo Leve 0.45 0.18 0.30 Óleo Pesado 0.35 0.36 0.20 A refinaria tem contratado a entrega de 1.260.000 barris de gasolina, 900.000 barris de óleo diesel e 300.000 barris de querosene. Como administrador de produção, formule um modelo para determinar a quantia de cada tipo de óleo cru comprar que minimize o custo total ao mesmo tempo que satisfaz a demanda. 12. Uma microempresa do setor de alimentos tem uma sobra de caixa de R$ 500.000,00 em determinado mês e decide investir esta quantia em fundos de investimento da corretora Hedging & Griffo. Escolheu o Fundo Verde e o Fundo Ouro para realizar este investimento. Consultando o site da corretora anotou que o fundo verde rendeu cerca de 50% no último ano e que o fundo ouro rendeu cerca de 39%. Sabe que o fundo verde tem boa parte de seus ativos aplicados em câmbio e, portanto, o risco de qualquer quantia investida neste fundo é grande. Já o fundo ouro investe em ativos bastante diversificados resultando em um risco menor para o aplicador. A empresa quer aplicar nos dois fundos e decide que o investimento no fundo verde não deve ultrapassar 65% do total investido. Devido ao risco elevado do fundo verde a empresa decide, também, que o total investido no fundo ouro deve ser de pelo menos 2 vezes o total investido no fundo verde. Formule o modelo que indique à microempresa quanto investir em cada fundo para maximizar o retorno esperado. 13. (adaptado de Ramalhete, 2000) Uma agroindústria pretende determinar as quantidades de cada tipo de ração que devem ser dadas diariamente a cada animal de maneira a conseguir formar uma ração balanceada em termos de carbohidratos, vitaminas e proteínas a um custo mínimo. Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, as quantidades mínimas diárias de ingredientes nutritivos básicos a fornecer a cada animal, bem como as quantidades destes existentes em cada tipo de ração (g/kg) constam no quadro abaixo.: Ingredientes nutritivos Ração A Ração B Quantidade Mínima Requerida(gramas) Carbohidratos(g/kg) 20 50 200 Vitaminas(g/kg) 50 10 150 Proteínas(g/kg) 30 30 210 Custo ($/kg) 10 5 Formule o modelo de programação linear. 14. A empresa “Produtos da Fazenda” tem duas máquinas diferentes para processar leite bruto em leite light, manteiga e queijo. A quantia de tempo requerida em cada máquina para produzir cada unidade do produto resultante e os lucros líquidos são apresentados na seguinte tabela: Leite Light (litros) Manteiga (kg) Queijo (kg) Máquina 1 Máquina 2 0.2 min/litro 0.3 min/litro 0.5 min/kg 0.7 min/kg 1.5 min/kg 1.2 min/kg Lucro líquido $ 0.22/litro $ 0.38/kg $ 0.72/kg Assumindo que 8 horas por dia são disponíveis em cada máquina, como administrador do departamento de produção, formule um modelo para determinar o plano de produção diário que maximize o lucro líquido da empresa e produza um mínimo de 300 litros de leite light, 200 kg de manteiga e 100 kg de queijo. 28 15. A empresa “Carrega Óleo”, situada perto do Rio de Janeiro, fornece gasolina para seus distribuidores por caminhão. Tendo fechado recentemente um contrato para começar a fornecer 800.000 litros de gasolina por mês para distribuidores em São Paulo necessita criar um frota para atender esta demanda. A companhia tem $500.000 disponível para criar esta frota consistindo de três tipos diferentes de caminhões. A capacidade, custo de operação e número máximo de viagens para cada tipo de caminhão são dados na tabela abaixo: Tipo de Caminhão Capacidade (litros) Custo Compra($) Custo por viagem ($) No. máximo de viagens por mês 1 2 3 6.000 3.000 2.000 50.000 40.000 25.000 800 650 500 20 25 30 O gerente desta empresa não quer comprar mais do que 10 caminhões para sua frota assim como gostaria de assegurar que ao menos 3 caminhões do tipo 3 sejam comprados (eles são necessários para rotas de viagens curtas e demanda baixa). Finalmente, o empresário não quer mais do que metade da sua frota formada de caminhões do tipo 1. Como administrador de operações formule um modelo para determinar a composição da frota que minimiza o custo mensal de operação enquanto satisfaz a demanda, ficando dentro do orçamento e satisfazendo os outros requerimentos da companhia. 16. A empresa “Produtos da Fazenda” tem 50 hectares de terra para plantar qualquer quantia de milho, soja, alface, algodão e brócolis. A seguinte tabela apresenta as informações relevantes com relação à produção, custo de plantio, preço de venda e os requerimentos de água por cada colheita: Colheita Produção (kg/ha) Custo ($/kg) Preço de Venda ($/kg) Requerimentos de Água (litros/Kg) Milho Soja Alface Algodão Brócolis 640 500 400 300 350 1.00 0.50 0.40 0.25 0.60 1.70 1.30 1.00 1.00 1.30 8.75 5.00 2.25 4.25 3.50 Para a próxima estação existem 100.000 litros de água disponível e a companhia tem contratado vender ao menos 5120 kg de milho. Formule o programa linear para determinar o planejamento ótimo de plantio para a empresa. Use o número de hectares de cada plantio como variável de decisão e monte um modelo cujo objetivo é de maximizar o lucro da empresa. 17. Reformule o modelo linear do exercício anteriorutilizando como variáveis de decisão o número de quilogramas de cada plantio. 18. Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme mostra a tabela 1 abaixo. Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas quantidades, conforme mostra a tabela 2. Os custos de transporte são os definidos na tabela 3. Construa um modelo que minimize o custo de transporte do exportador. Tabela 1. Estoques de Café em cada Porto Porto Quantidade (t) Paranaguá 120 Santos 100 Rio de Janeiro 100 Vitória 100 29 Tabela 2. Quantidade de Café Necessária em cada Armazém no Exterior Porto Quantidade(t) Nova York 100 Hamburgo 80 Le Havre 90 Bordeux 150 Tabela 3. Custos de Transporte ($) Porto de Destino Nova York Hamburgo LE Havre Bordeux Porto de Origem Paranaguá 70 30 20 25 Santos 50 40 10 25 Rio de Janeiro 30 20 40 80 Vitória 55 20 40 80 19. Um intermediário abastece três feirantes que operam em cidades diferentes (A, B e C) com ovos que adquire em quatro granjeiros localizados em cidades diferentes (I,II,III e IV). Os preços pagos pelo intermediário para os granjeiros não tem diferença entre si, do mesmo modo quanto aos preços que os feirantes lhe pagam. O intermediário só consegue algum lucro fazendo com que o seu custo de transporte seja o menor possível. O quadro abaixo dá o custo de transporte entre os granjeiros e os feirantes, em R$/dúzia de ovos. O quadro também mostra as quantidades de ovos que cada granjeiro pode fornecer na próxima semana e as encomendas de ovos dos feirantes: Granja \ Feirante A B C Oferta (dz) I 0,35 0,27 0,33 1700 II 0,37 0,25 0,38 1100 III 0,41 0,32 0,38 2000 IV 0,36 0,22 0,39 2000 Encomendas (dz) 1250 1550 2300 **** Formule o problema de atender as encomendas a partir das ofertas de modo a minimizar o custo. Não esqueça de explicar o significado das suas variáveis ! 20. Uma empresa tem três fábricas que distribuem sua produção para quatro depósitos. • A capacidade da fábrica 1 é de 2.2 mil unidades de produto por semana, produção esta que é obtida a um custo médio de $53 mil por mil unidades. • A capacidade da fábrica 2 é de 3,4 mil unidades de produto por semana, produção esta que é obtida a um custo médio de $68 mil por mil unidades. • A capacidade da fábrica 3 é de 1,8 mil unidades de produto por semana, a um custo médio de $84 mil por mil unidades de produto. A gerência central tem os seguintes pedidos de entrega de produto nos diversos depósitos para a próxima semana: (a) o depósito 1 solicitou um total de 0,85 mil unidades; (b) o depósito 2 solicitou um total de 0,75 mil unidades; (c) o depósito 3 solicitou um total de 1,34 mil unidades; (d) o depósito 4 solicitou um total de 1,60 mil unidades. Os custos de transporte entre as diversas fábricas e depósitos é como segue (em $ mil/mil unidades de produto): Depósitos - > Fábricas ! 1 2 3 4 1 26 30 54 43 2 45 35 30 52 30 3 53 32 41 20 O problema da gerência é estabelecer a produção e a distribuição da próxima semana de modo a minimizar o custo total de atender às solicitações dos depósitos. (obs.: supõe-se que a produção da semana pode ser toda entregue aos depósitos na mesma semana) Variável de decisão sugerida:xij = quantidade produzida na fábrica i que é destinada ao depósito j (em 1000 unidades) 21. Um fabricante de artigos de plástico possui em estoque 1200 caixas de envólucros transparentes em uma de suas fábricas e 1000 caixas em uma segunda fábrica. O fabricante recebeu pedidos deste produto proveniente de três diferentes varejistas nas quantidades de 1000, 700 e 500 caixas, respectivamente. Os custos unitários de expedição (em centavos por caixa) desde as fábricas até os varejistas são os seguintes: Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 Fábrica 1 Fábrica 2 14 13 13 13 11 12 Determine o programa de expedição que atenda todas as demandas a partir do estoque disponível, a um custo mínimo. 22. MTI é uma empresa que fabrica e exporta equipamentos de raio X de alta resolução utilizados em hospitais. Esta empresa conta, atualmente, com três fábricas no Brasil que exportam para quatro centros consumidores situados na Japão, Coréia do Sul, Nova Zelândia e Austrália. As fábricas brasileiras situadas no Ceará, São Paulo e Rio Grande do Sul tem capacidade de produzir até 100, 200 e 150 máquinas por ano, respectivamente. Para o próximo ano os consumidores no Japão emitiram um pedido de 120 máquinas enquanto que os consumidores da Coréia do Sul necessitam de 80. Aqueles situados na Nova Zelândia precisam receber 70 máquinas enquanto os consumidores situados na Austrália emitiram um pedido de 110 máquinas. O sistema de transporte da empresa conta com centros de distribuição (CDs) intermediários cuja utilização reduz o custo total com o transporte destas máquinas até os centros consumidores. Desta forma, as máquinas produzidas no Ceará e São Paulo podem ser enviadas a centros de distribuição (CDs) situados na Hungria e África. Aquelas máquinas produzidas no Rio Grande do Sul podem ser enviadas somente para o centro de distribuição situado na África. Estes centros de distribuição não entregam diretamente a mercadoria aos consumidores pois repassam tudo que receberam para outros CDs situados em pontos mais estratégicos (Filipinas e Fiji). Os CDs não armazenam máquinas em estoque e devem, então, transportar exatamente o número de máquinas que receberam. Consumidores na Coréia do Sul e Nova Zelândia podem receber máquinas vindas tanto das Filipinas quanto de Fiji. Entretanto, devido a tratados internacionais os consumidores no Japão só podem receber máquinas vindas das Filipinas enquanto que os consumidores Australianos só podem receber máquinas vindas de Fiji. Os custos de transporte das máquinas de cada fábrica até os CDs e de cada CD até os centros consumidores estão relacionados nas tabelas abaixo. Como administrador de distribuição da empresa você foi incumbido de montar um plano de transporte que forneça à MTI o menor custo de transporte. Modele o problema. Tabela 1 – Custos com transporte ($/máquina) das fábricas até os Centros de Distribuição (CDs) Centros de Distribuição Hungria África Ceará 200 400 São Paulo 300 400 Rio grande do Sul - 500 Tabela 2 – Custos de Transporte ($/máquina) entre os Centros de Distribuição (CDs) Filipinas Fiji Hungria 800 600 África 700 400 31 Tabela 3 – Custos de Transporte dos CDs até os Centros Consumidores Centros Consumidores CDs Japão Coréia do Sul Nova Zelândia Austrália Filipinas 700 600 800 - Fiji - 700 500 600 23. Uma empresa dispõe de três fábricas, localizadas nas regiões A,B e C. As fábricas A e B produzem circuitos impressos para calculadoras, enquanto que a fábrica C produz visores de cristal líquido para o mesmo fim. A montagem das calculadoras pode ser feita nas fábricas B e C. Uma calculadora requer 2 circuitos e 1 visor. A fábrica A pode produzir no máximo 200 circuitos por dia. A fábrica B pode produzir até 150 circuitos por dia. Entretanto cada calculadora montada nesta fábrica reduz sua capacidade de produção de circuitos de 1,3 unidades/dia. A fábrica C pode produzir até 180 visores/dia. Todavia, cada calculadora que for montada nesta fábrica reduz aquela capacidade em 0,8 unidades/dia. O objetivo da empresa é maximizar a produção diária de calculadoras. 24. Uma fábrica de derivados de petróleo pode utilizar diversos processos. Uma unidade do processo 1 é definida pela utilização de 2 m3 de matéria-prima A e 0,3 toneladas de matéria-prima B, gerando como produto 0,13t de produto P. O lucropor unidade do processo 1 é de $300,00. Uma unidade do processo 2 é definida pela utilização de 1 m3 de matéria-prima A, 0,6 ton. de matéria-prima B e 0,2 ton. de matéria-prima C, gerando como produto 0,1 ton. de produto P e 0,7 ton. de produto Z. O lucro por unidade do processo 2 é de $400,00. Uma unidade do processo 3 é definida pela utilização de 3 m3 de matéria-prima A, 0,5 ton. de matéria-prima C, gerando como produto 0,4 ton. de produto P, 0,15 ton. de produto Y e 0,05 ton. de produto Z. O lucro por unidade do processo 3 é de $250,00. Para o mês seguinte a fábrica dispõe de 1700 m3 de matéria-prima A, 450 ton. de matéria-prima B e 380 ton. de matéria-prima C. Por outro lado, devido a contratos já realizados, a fábrica deverá produzir pelo menos 150 ton. de cada produto (P,Y e Z). Toda quantidade produzida em excesso dos contratos pode ser comercializada sem dificuldades pela fábrica. O objetivo da gerência é maximizar lucros. (variáveis de decisão sugeridas: Xj: unidades do processo j a realizar no mês seguinte). 25. Uma firma que produz televisores tem duas fábricas (localizadas nas cidades A e B) nas quais são produzidos tubos de imagem e duas outras fábricas (localizadas nas cidades C e D) nas quais são produzidos chassis e realizadas as montagens dos televisores. Cada televisor é composto de um tubo e um chassi. A fábrica A pode produzir no máximo 900 tubos por mês a um custo médio de $ 2 mil por tubo. A fábrica B pode produzir um máximo de 1200 tubos por mês a um custo médio de $ 1,8 mil. A fábrica C dispõe de 2500 horas por mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi requer 1,2 horas de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,6 horas de trabalho. O custo de produção de um chassi na fábrica C é de 5,6 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,9 mil. A fábrica D dispõe de 1800 horas/mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi requer 1,0 h de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,7 horas de trabalho. O custo de produção de um chassi na fábrica é $5,9 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,8 mil. Os custo de transporte de tubos de imagem, em $ mil/tubo são como segue: De/Para C D A 0,34 0,41 B 0,26 0,37 O custo de transporte de um chassi de C para D (ou vice-versa) é $0,23. Após a montagem os aparelhos são levados para venda nos locais E e F. A cada um destes locais devem ser destinados 800 unidades no próximo mês. Os custos de transporte dos locais de montagem aos locais de venda, em $ mil/aparelho, são como segue: 32 De/para E F C 0,60 0,50 D 0,90 0,70 O problema consiste em cumprir os compromissos de venda ao menor custo de produção e transporte possível. Variáveis de decisão são sugeridas abaixo. QTij = quantidade de tubos produzidos em i e transportados para j(i=A,B;j=C,D) QCij = quantidade de chassis produzidos em i e transportados para j(i=C,D;j=C,D) QMik= quantidade de aparelhos montados em i e transportados para k(i=C,D;k=E,F) 26. (Lanzer, 1988) (problema de transporte com transbordo) Uma firma distribuidora de motores elétricos tem depósitos localizados em diversas cidades de um certo estado. Numa certa semana a gerência verifica que em alguns depósitos existe excesso de estoque de motores, enquanto que em outros depósitos existe falta de produto para as entregas previstas. A situação é como segue: Depósito Excesso de Estoques (unidades) Falta de Estoques (unidades) 1 - 25 2 42 - 3 - 33 4 56 - 5 - 29 O diagrama a seguir retrata os custos de transporte, em $ por motor, entre as diversas cidades de interesse: Observe, por exemplo, que é possível realizar transporte da cidade 2 para a cidade 5 diretamente ou passando pela cidade 4 ou pelas cidades 1 e 3 (entre outras alternativas). O problema é suprir os depósitos 1,3 e 5 com as quantidades requeridas a partir dos estoques em excesso existentes nos depósitos 2 e 4 ao menor custo de transporte possível. Variáveis de decisão sugeridas para formulação: Xij = número de motores transportados da cidade i para a cidade j(em unidades) 27. (Lanzer, 1988) Uma central telefônica tem os seguintes requerimentos mínimos de telefonistas em dias normais de trabalho para manter um padrão razoável de atendimento aos usuários: Período Hora do Dia No. Mínimo de telefonistas 1 0:00 – 4:00 28 2 4:00 – 8:00 35 3 8:00 – 12:00 129 4 12:00 – 16:00 151 1 4 2 3 5 14 6 14 5 21 39 8 33 5 16:00 – 20:00 116 6 20:00 – 00:00 73 Cada telefonista tem um turno de 8 horas de trabalho consecutivas. O salário varia de acordo com a hora de início do turno de trabalho: Hora de início do turno Salário ($/mês) 0:00 890,00 4:00 780,00 8:00 510,00 12:00 510,00 16:00 680,00 20:00 810,00 A central telefônica deseja saber quantas telefonistas contratar de modo a manter o padrão desejado de atendimento ao menor custo possível. Variáveis de decisão sugeridas para formulação: Xt: no. de telefonistas que iniciem o turno no período t. 28. (Lanzer, 1988 apud Robicheck et alli, 1965) A gerência financeira de uma loja de departamentos deve planejar suas decisões para os próximos meses. As previsões do Departamento de Contabilidade quanto às variáveis de interesse para o problema são as seguintes (em $ mil): Variáveis/Meses Set. Out. Nov. Dez.. Jan Fev. Realizável a Curto Prazo* 10 9 12 48 23 20 Pagamento de Fornecedores** 12 18 20 17 13 10 Déficit de Capital de Giro 5 - 6 9 - - Superávit de Capital de Giro - 3 - - 10 11 * balanço no início do mês ** supondo pagamentos em dia O problema da gerência é financiar os déficits previstos de capital de giro ao menor volume de juros possível. Três alternativas de financiamento podem ser utilizadas (em conjunto ou separadamente): a) atrasar o pagamento dos fornecedores: ao atrasar o pagamento devido aos seus fornecedores no mês t, a loja sua necessidade de capital de giro no mesmo mês; todavia o pagamento deve ser realizado no mês seguinte com um acréscimo de 3%; além disto é política da loja limitar o uso desta alternativa a, no máximo, 15% do total devido a cada mês; b) tomar empréstimos bancários mensais com base no realizável a curto prazo: no início de qualquer mês t o banco se dispõe a emprestar até 30% do realizável a curto prazo do m~es; o empréstimo deve ser pago no mês t + 1, com juro de 4%; e c) empréstimo de 180 dias: no início de setembro a loja pode tomar um empréstimo de até $10 mil para ser integralmente pago com um juro de 32%. Por outro lado, no inicio de qualquer mês a loja pode investir eventuais excessos de capital de giro previstos para o mês em operações financeiras de 30 dias, recebendo então um juro de 2%. Variáveis de decisão sugeridas para formulação: At: volume de pagamentos de fornecedores devido no mês t (em $ mil) que é colocado em atrado (em $ mil); Bt: empréstimo de curto prazo tomado no início do mês t (em $ mil); C: empréstimo tomado no inicio de setembro para pagamento em fevereiro (em $ mil); It: investimento financeiro realizado pela loja no início do mês t ( em $ mil). 34 Obs.: supõe-se que no mês de fevereiro a loja pretenda não atrasar qualquer pagamento, nem fazer empréstimo ou investir no mercado financeiro. 29. (Corrar e Theófilo, 2004, modificado) Na qualidade de assessor de investimentos da Fundabanc, uma fundação de empregados de determinado banco, você foi chamado para estudar a melhor forma de aplicar os recursos disponíveis. A necessidade de limitar os riscos da empresa conduz a três tipos de aplicações: ações preferenciais, ações de companhias de utilidade pública e títulos da dívida pública.
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