AP2-MetDet1-2012-1gabarito

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ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2012.1
Questa˜o 1 (2 pontos). Resolva o sistema de equac¸o˜es:


x2 + y2 = 16
x
x− y =
1
2
Soluc¸a˜o:
Vamos resolver por substituic¸a˜o. Para isso, vamos isolar x na primeira equac¸a˜o:
x
x− y =
1
2
⇔ 2x = x− y
⇔ x = −y
Substituindo na primeira equac¸a˜o, temos
(−y)2 + y2 = 16
donde, 2y2 = 16. Resolvendo, obtemos as soluc¸o˜es y1 = −2
√
2 e y2 = 2
√
2.
Agora podemos obter os valores de x por substituic¸a˜o:
x1 = −y1 = −(−2
√
2) = 2
√
2 e x2 = −y2 = −2
√
2
Logo, temos as seguintes soluc¸o˜es: (2
√
2,−2√2) e (−2√2, 2√2).
Questa˜o 2 (2,5 pontos). Represente graficamente o conjunto:
C = {(x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≥ 0, 5x+ 4y ≤ 20 e 3x− 4y ≤ −4}
1
Soluc¸a˜o: As duas primeiras condic¸o˜es nos restringem ao quadrante com x e y positivos.
Das duas u´ltimas obtemos as equac¸o˜es de retas 5x + 4y = 20 e 3x − 4y = −4 que limitam
a regia˜o do conjunto C. Para trac¸ar a primeira reta, utilizamos os pontos A = (0, 5) e
B = (4, 0) que sa˜o obtidos quando substitu´ımos x e y respectivamente por zero na primeira
equac¸a˜o. Para trac¸ar a segunda reta, utilizamos os pontos D = (0, 1), obtido substituindo
x por zero na segunda equac¸a˜o, e o ponto E = (2, 2.5) que e´ o ponto em que as duas retas
se cruzam (para obter este ponto resolvemos o sistema linear formado pelas duas equac¸o˜es:
pelo me´todo da adic¸a˜o obtemos 8x = 16, donde descobrimos que x = 2 e, por substituic¸a˜o,
y = 2, 5). Observando as desigualdades nas inequac¸o˜es, quando colocamos y em evideˆncia
(y ≤ (20 − 5x)/4 e y ≥ (3x + 4)/4 ) conclu´ımos que a regia˜o buscada deve estar abaixo
das primeira reta e acima da segunda. Esclarecemos ainda que os segmentos que formam os
lados do pol´ıgono que caracteriza o conjunto C tambe´m pertencem a tal conjunto.
Questa˜o 3 (2,5 pontos). Encontre o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es:
a) (x2 − 1)(x+ 2) > 0
2
b)
−1
3(x− 1) +
4
(x+ 2)
> 0
Soluc¸a˜o:
a) Primeiro observamos que (x2 − 1) = (x + 1)(x− 1). Vamos, enta˜o, fazer a ana´lise de
sinais de (x+ 1)(x− 1)(x+ 2):
Como vemos pela ana´lise de sinal, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ S = (−2,−1) ∪
(−1,∞).
b) Vamos desenvolver a expressa˜o que esta´ no lado esquerdo da inequac¸a˜o:
−1
3(x− 1) +
4
(x+ 2)
=
−(x+ 2)
3(x− 1)(x+ 2) +
4 ∗ 3(x− 1)
3(x− 1)(x+ 2)
=
−x − 2 + 12x− 12
3(x− 1)(x+ 2)
=
11x− 14
3(x− 1)(x+ 2)
Segue a ana´lise de sinais:
3
Como vemos pela ana´lise de sinal, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ S = (−2, 1)∪(14/11,∞).
Questa˜o 4 (3 pontos). Considere a demanda de mercado D = 15200 − 200P e a oferta
Q = P 2 − 400.
a) Esboce, em um mesmo plano cartesiano, as curvas de demanda e de oferta.
b) Encontre o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio.
Soluc¸a˜o: Vamos antes esboc¸ar os gra´ficos das func¸o˜es relativas a` demanda e oferta, sem
nos preocuparmos com o domı´nio em que estas func¸o˜es devem estar definidas. Para esboc¸ar
o gra´fico de D = 15200 − 200P , precisamos encontrar dois pontos no gra´fico da func¸a˜o
(pois trata-se de uma reta). Usamos os pontos F = (0, 15200) e G = (76, 0) que obtemos
substituindo P ou D por zero. Em seguida, para trac¸ar o gra´fico de Q = P 2 − 400 devemos
encontrar as ra´ızes (o que podemos fazer por fatorac¸a˜o utilizando produtos nota´veis) e o
ve´rtice da para´bola. Obtemos para ra´ızes os pontos C = (−20, 0) e D = (20, 0) e para
ve´rtice, o ponto J = (0,−400). Segue o gra´fico obtido:
4
Contudo, devemos lembrar que prec¸o, oferta e demanda sa˜o varia´veis que so´ fazem sentido
quando positivas. Com isso os gra´ficos se restringem conforme a ilustrac¸a˜o abaixo.
Para encontrar o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio, devemos igualar oferta e demanda:
5
P 2 − 400 = 15200− 200P
Donde obtemos P 2 + 200P − 15600. Resolvendo por Bhaskara, temos:
∆ = 40000 + 4× 15600 = 40000 + 62400 = 102400
As ra´ızes sa˜o dadas por (−200±√102400)/2 = (−200± 320)/2.
Observando que no contexto em questa˜o so´ nos interessa a raiz positiva, conclu´ımos que
o prec¸o de equil´ıbrio e´ P = 60 unidades moneta´rias.
Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio, vamos substituir este valor na func¸a˜o oferta:
Q = 602 − 400 = 3600− 400 = 3200
Portanto a quantidade de equil´ıbrio e´ de 3200 unidades.
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