AP1_Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos II – 23/03/2014
Questa˜o 1: (2,5pts) Seja f : R − {−1
2
} −→ R dada pela expressa˜o f(x) = x+1
2x+1
. Encontre a
expressa˜o de f−1 e tambe´m o dom´ınio e a imagem de f−1.
Soluc¸a˜o: (1,5 pt se determinar a expressa˜o de f−1 e 0,5 pt se determinar a imagem e 0,5 pt se
determinar o dom´ınio de f−1) Vamos comec¸ar determinando a inversa de f , para isso, troque x por
y e depois isole o y, como e´ feito abaixo:
x =
y + 1
2y + 1
⇔ x(2y + 1) = y + 1⇔ 2yx+ x = y + 1⇔ 2yx− y = 1− x⇔ y = 1− x
2x− 1 .
Portanto, f−1(x) = 1−x
2x−1 e o dom´ınio de f
−1 sa˜o todos os x ∈ R tais que 2x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 1
2
.
E como o dom´ınio de f(x) sa˜o todos os x ∈ R tais que x 6= −1
2
segue que a imagem de f−1 sa˜o
todos os x ∈ R tais que x 6= −1
2
.
Questa˜o 2: (2,5pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x2 + 3x e g(x) = 2x + 1.
Determine:
i) O valor de (g ◦ f) (2);
ii) A lei de definic¸a˜o de f ◦ g e, tambe´m, os valores do dom´ınio de f ◦ g que teˆm imagem 4.
Soluc¸a˜o: (0,5 pt para o item i) e 2,0 pt para o item ii) sendo 1,0 pt para a lei de g ◦ f e 1,0 pt para
os x tais que (f ◦ g)(x) = 4)
i) Queremos calcular (g ◦ f) (2) = g(f(2)). Calculando f(2) = 10 e, portanto, g(f(2)) = f(10) =
20 + 1 = 21.
ii)
(f ◦ g)(x) = f(2x+ 1) = (2x+ 1)2 + 3(2x+ 1) = 4x2 + 4x+ 1 + 6x+ 3 = 4x2 + 10x+ 4 = 4
Mas isso e´ equivalente a`:
4x2 + 10x+ 4 = 4⇔ 4x2 + 10x = x(4x+ 10) = 0⇔ x = 0 ou x = −10
4
= −5
2
.
Questa˜o 3: (3,0pts) Considere f(x) = 23x−6 e g(x) = logx−2(x
2 − 4x+ 4).
a) Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x).
b) Calcule f
(
3g(7)+4
2
)
.
Soluc¸a˜o: (o item a vale 1,5pt e o item b vale 1,5pt)
a) Como g(x) = logx−2(x
2− 4x+4), para x estar bem definido precisamos que x− 2 6= 1⇔ x 6= 3
e x− 2 > 0⇔ x > 2. Ale´m disso, x2 − 4x+ 4 > 0, mas x2 − 4x+ 4 = (x− 2)2, enta˜o basta que
x 6= 2. Segue que o dom´ınio de g sa˜o todos os x ∈ R tais que x > 2 e x 6= 3.
b) Queremos determinar f
(
3g(7)+4
2
)
, vamos iniciar calculando g(7) = log5(7
2−4×7+4) = log5(25).
Sabemos que se y = log5(25)⇔ 5y = 25 = 52. Portanto, g(7) = 2. Da´ı
f
(
3g(7) + 4
2
)
= f
(
3× 2 + 4
2
)
= f(5) = 23×5−6 = 29 = 512.
Questa˜o 4 (2,0pts) Calcule os seguintes limites:
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
A) lim
x→−1
x2 − x− 2
x2 + 3x+ 2
B) lim
x→2
√
x+ 2−√2x
x2 − 2x
Soluc¸a˜o: (Cada limite vale 1,0pt)
A) inicialmente veja que −12 − (−1)− 2 = 0 = (−1)2 + 3(−1) + 2. Portanto, tanto o numerador
como no denominador se anulam em −1. Fatorando cada um dos polinoˆmios obtemos:
lim
x→−1
x2 − x− 2
x2 + 3x+ 2
= lim
x→−1
(x+ 1)(x− 2)
(x+ 1)(x+ 2)
= lim
x→−1
x− 2
x+ 2
=
−3
1
= −3.
B) Veja que
√
2 + 2−√2× 2 = 0 = 22− 2× 2. Portanto, tanto o numerador como o denominador
se anulam quando x = 2. Enta˜o, usando a identidade (a+ b)(a− b) = a2− b2, no numerador temos:
lim
x→2
√
x+ 2−√2x
x2 − 2x = limx→2
(√
x+ 2−√2x
x(x− 2)
)(√
x+ 2 +
√
2x√
x+ 2 +
√
2x
)
= lim
x→2
x+ 2− 2x
x(x− 2)(√x+ 2 +√2x)
= lim
x→2
−1
x(
√
x+ 2 +
√
2x)
= −1
8
.
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