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Nu´meros Reais
Nu´meros Naturais
Nesta sec¸a˜o estabeleceremos a definic¸a˜o axioma´tica dos nu´meros naturais. Suponhamos a
existeˆncia de um conjunto na˜o vazio N, chamado de conjunto dos nu´meros naturais, para o
qual valem os seguintes axiomas de Peano1:
1. 1 e´ um nu´mero natural
2. Cada nu´mero natural n possui um u´nico sucessor, que denotaremos por n′, tal que
n′ = n + 1.
3. O nu´mero natural 1 na˜o e´ sucessor de nenhum outro nu´mero natural, 1 6= n′.
Estes treˆs axiomas indicam que N = {1, 1′, (1′)′, ((1′)′)′, . . .}.
4. Se n e s sa˜o nu´meros naturais tais que n′ = s′, enta˜o n = s.
5. Princ´ıpio de Induc¸a˜o: se um subconjunto M ⊂ N contem o nu´mero natural 1 bem como
o sucessor de todos os seus elementos, enta˜o M = N.
Muitas vezes, o Princ´ıpio da Induc¸a˜o e´ enunciado numa versa˜o que facilite provar
afirmac¸o˜es no onjunto dos nu´meros naturais e para definir func¸o˜es definidas em N:
Princ´ıpio de Induc¸a˜o: Seja A(n) uma afirmac¸a˜o sobre n ∈ N, que cumpra as seguintes
condic¸o˜es:
• A(1) e´ verdadeira, isto e´, a afirmac¸a˜o vale quando n = 1 (algumas vezes a afirmac¸a˜o
vale a partir de um certo n > 1);
• se A(k) e´ verdadeira, isto e´, supondo que a afirmac¸a˜o vale para n = k arbitra´rio, e
for poss´ıvel provar qua a afirmac¸a˜o vale para n = k + 1, enta˜o, nestas condic¸o˜es a
afirmac¸a˜o A(n) e´ verdadeira para qualquer n ∈ N.
Observac¸a˜o 0.0.1 Desta forma N = {1, 2, 3, . . . , }.
1Giuseppe Peano (1858-1932), matema´tico italiano
1
2
Definem-se em N duas operac¸o˜es: Adic¸a˜o (+) e Multiplicac¸a˜o (·). Estas duas operac¸o˜es
gozam das seguintes propriedades:
• Comutatividade: Sejam n,m ∈ N, enta˜o
n + m = m + n, e n ·m = m · n.
• Associatividade: Sejam n,m, s ∈ N, enta˜o
n + (m + s) = (n + m) + s, e n(m · s) = (n ·m)s.
• Lei do Cancelamento: Sejam n,m, s ∈ N, se
n + s = m + s, enta˜o n = m, n · s = m · s, enta˜o n = m.
• Distributividade: Sejam n,m, s ∈ N, enta˜o
n · (m + s) = n ·m + n · s.
Teorema 0.1 N e´ fechado com relac¸a˜o a adic¸a˜o.
Prova: Dizer que N e´ fechado com relac¸a˜o a adic¸a˜o, significa que ∀n,m ∈ N, o resultado da
operac¸a˜o n + m esta´ em N.
Consideremos o seguinte conjunto,
M = {n ∈ N; n + m ∈ N, ∀m ∈ N}.
Usemos o pr´ıncipio de induc¸a˜o para mostrar o teorema.
De fato, observamos que 1 ∈M , pois m + 1 ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈M e para qualquer m ∈ N, temos n+m ∈ N. Enta˜o precisamos mostrar
que n + 1 ∈M . De fato,
(n + 1) + m = 1 + (n + m) = (n + m) + 1 = (n + m)′ ∈ N,
assim, n + 1 ∈M e isto mostra que M = N.
Teorema 0.2 N e´ fechado com relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o.
Prova: De novo, como no caso anterior, usemos o pr´ıncipio de induc¸a˜o para mostrar o resul-
tado. De fato, consideremos o conjunto,
M = {n ∈ N; nm ∈ N, ∀m ∈ N}.
Observamos que 1 ∈ N , pois 1m = m ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈M e m ∈ N tal que mn ∈ N.
Queremos mostrar que (n + 1)m ∈ N. De fato,
(n+1)m = mn+m, pela propriedade distributiva da multiplicac¸a˜o dos nu´meros naturais.
Como n ∈ M, nm ∈ N e pela propriedade de fechamento da adic¸a˜o em N, temos que
nm + m ∈ N, assim, n + 1 ∈M e isto mostra que M = N.
3
0.0.1 Relac¸a˜o de Ordem em N
Definimos no conjunto N a relac¸a˜o de ordem “ < ” da seguinte forma: Dados dois nu´meros
naturais n,m, a desigualdade n < m significa que existe um u´nico s ∈ N tal que n + s = m.
Dizemos neste caso que n e´ menor que m. Quando escrevemos n ≤ m, significa que n < m ou
n = m. Esta relac¸a˜o de “ordem”possue as seguintes propriedades:
1. Tricotomia: Dados n,m ∈ N, vale uma e somente uma, das seguintes afirmac¸o˜es:
n = m, ou n < m, ou m < n.
2. Monotonicidade: Dados n,m, s ∈ N com n < m, enta˜o
n + s < m + s e sn < sm.
3. Transitividade: Dados n,m, s ∈ N com n < m,m < s, enta˜o
n < s.
A relac¸a˜o de ordem tambe´m possui uma propriedade muito importante, chamada Princ´ıpio
da Boa Ordenac¸a˜o,
Pr´ıncipio da Boa Ordenac¸a˜o. Todo subconjunto na˜o vazio de N possui um menor elemento,
isto significa que se M ⊂ N e´ um conjunto, enta˜o existe mo ∈ M tal que mo ≤ m para todo
m ∈M .
Poteˆncia de um Nu´mero Natural. Por induc¸a˜o matema´tica podemos definir a poteˆncia
de um nu´mero natural da seguinte forma:
Sejam n,m ∈ N, com n1 = n e nm+1 = n.nm. Assim, n2 = n.n, n3 = n.n2 = n.n.n, etc. Logo
nm = n.nm−1 = n.n.nm−2 = . . . = n.n.n · · ·n︸ ︷︷ ︸
m algarismos
.
Agora podemos mostrar que dados n,m, s ∈ N, segue nm.ns = nm+s. De fato,
nm.ns = n.n.n · · ·n︸ ︷︷ ︸
m algarismos
n.n.n · · ·n︸ ︷︷ ︸
s algarismos
= n.n.n · · ·n︸ ︷︷ ︸
m+s algarismos
= nm+s.
Exemplos Sobre o Princ´ıpio de Induc¸a˜o
Usemos o pr´ıncipio de induc¸a˜o para mostrar a veracidade de algumas fo´rmulas que valem
para os nu´meros naturais.
Exemplo 0.1 Verifiquemos a seguinte fo´rmula
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . . +
1
n× (n + 1) =
n
n + 1
, ∀n ∈ N.
Podemos mostrar esta afirmac¸a˜o de duas formas. Ambas precisam das operac¸o˜es no conjunto
dos nu´meros racionais, por este motivo podemos pular este exemplo e voltar mais tarde.
No primeiro caso, escrevamos os termos
1
n× (n + 1) da seguinte forma:
1
1× 2 = 1−
1
2
,
1
2× 3 =
1
2
− 1
3
, . . . ,
n
n× (n + 1) =
1
n
− 1
n + 1
.
4
Enta˜o,
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . . +
1
n× (n + 1) =
=
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ . . . +
(
1
n
− 1
n + 1
)
= 1− 1
n + 1
=
n
n + 1
.
Ja´ no segundo caso, usemos induc¸a˜o para provar a fo´rmula acima. Seja P (n) a afirmac¸a˜o
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . . +
1
n× (n + 1) =
n
n + 1
, ∀n ∈ N.
• P (1) e´ verdadeira, isto e´, a proposic¸a˜o vale para n = 1, 1
1× 2 =
1
1 + 1
.
• Suponhamos que a afirmac¸a˜o P (k) e´ verdadeira, isto e´,
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . . +
1
k × (k + 1) =
k
k + 1
,
e mostremos que P (k + 1) e´ verdadeiro. De fato,
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . . +
1
k × (k + 1) +
1
(k + 1)× (k + 2) =
=
k
k + 1
+
1
(k + 1)× (k + 2)
=
(k + 1)2
(k + 1)× (k + 2)
=
k + 1
k + 2
=
(k + 1)
(k + 1) + 1
.
• Logo P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 0.2 Seja P (n) a seguinte afirmac¸a˜o,
n3 − n e´ mu´ltiplo de treˆs, ∀n ≥ 2.
Apliquemos de novo o me´todo de induc¸a˜o.
• A proposic¸a˜o vale para n = 2, isto e´, P (2) e´ verdadeira, pois 23− 2 = 6 e´ mu´ltiplo de 3.
• Suponhamos que a afirmac¸a˜o P (k) e´ verdadeira, e mostremos que P (k + 1) e´ verdadeiro.
De fato,
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1− k − 1
= k3 + 3k2 + 2k
= k3 + 3k2 − k + 3k
= k3 − k + 3(k2 + k),
como k3 − k e´ multiplo de treˆs e 3(k2 + k) tambe´m, enta˜o a soma de dois mu´ltiplos de
treˆs tambe´m e´ mu´ltiplo de treˆs.
5
• Logo P (n) e´ verdadeira para todo n ≥ 2.
Exemplo 0.3 Seja P (n) a seguinte afirmac¸a˜o,
1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n + 1)
2
∀n ∈ N.
Por induc¸a˜o, temos
• A proposic¸a˜o vale para n = 1, isto e´, P (1) e´ verdadeira, 1 = 1(1 + 1)
2
• Suponhamos que a afirmac¸a˜o P (k) e´ verdadeira, e mostremos que P (k + 1) e´ verdadeiro.
De fato,
1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ (k + 1)
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=
(k + 1)[k + 2]
2
=
(k + 1)[(k + 1) + 1]
2
.
• Logo P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
Nu´meros Inteiros
O sistema dos nu´meros naturais apresenta uma grande deficieˆncia quando tentamos encon-
trar uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o simples de primeiro grau, isto e´, dada uma equac¸a˜o da forma
m + x = n com n,m ∈ N. Esta equac¸a˜o nem sempre possui uma soluc¸a˜o em N. Por exemplo
a equac¸a˜o 4 + x = 9 tem como soluc¸a˜o x = 5 ∈ N, mas, a equac¸a˜o 7 + x = 6, na˜o tem soluc¸a˜o
no conjunto dos nu´meros naturais. Como superar esta dificuldade?
Esta dificuldade pode ser“superada”se ampliarmos o conjunto dos naturaisN para um
conjunto maior onde possamos resolver equac¸o˜es do tipo acima. Assim, podemos construir o
conjunto dos nu´meros inteiros Z como o conjunto que conte´m o conjunto dos nu´meros naturais,
e no qual esta˜o definidas as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o herdadas de N, e ale´m disto,
Z possui as seguintes propriedades:
• Z possui um elemento neutro chamado zero, que denotaremos por 0, com a seguinte
propriedade, n + 0 = 0 + n = n, ∀n ∈ Z.
• Toda equac¸a˜o da forma n + x = m admite uma u´nica soluc¸a˜o em Z, para quaisquer
n,m ∈ Z.
Se m = 0, temos n + x = 0 e dizemos que x e´ o oposto de n e o denotamos por −n.
Como antes, o elemento 1 ∈ N tambe´m e´ o elemento neutro com relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o
em Z, isto e´, dado m ∈ Z, 1m = m1 = m.
6
Definindo −N = {. . . ,−3,−2,−1}, podemos escrever em linguagem matema´tica o conjunto
dos inteiros como sendo:
Z = N ∪ {0} ∪ (−N), ou seja,
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Proposic¸a˜o 0.1 O conjunto dos nu´meros inteiros Z e´ enumera´vel.
Prova: Para verificar este fato, basta estabelecer uma correspondeˆncia entre todos os nu´meros
inteiros e todos os nu´meros naturais. Por exemplo, o seguinte esquema estabelece essa corres-
pondeˆncia;
0 −1 1 −2 2 . . .
1 2 3 4 5 . . .
Em geral, podemos escrever explicitamente essa correspondeˆncia como uma func¸a˜o f : Z→ N
bijetora da seguinte forma;
f(n) =
{
2n + 1, se n ≥ 0,
2|n|, se n < 0,
onde, |n| representa o mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero inteiro n, e e´ definido como
sendo o maior valor entre o nu´mero n e seu elemento oposto −n.
O sistema dos nu´meros inteiros apresenta a seguinte deficieˆncia o´bvia: dada uma equac¸a˜o
da forma mx = n com n,m ∈ Z, vemos que nem sempre estas equac¸o˜es possuem uma soluc¸a˜o
em Z. Por exemplo a equac¸a˜o 6x = 12 tem como soluc¸a˜o x = 2 ∈ Z, mas, a equac¸a˜o 8x = 5
na˜o tem soluc¸a˜o no conjunto dos nu´meros inteiros. Como sanar essa dificuldade?

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