Numeros racionais

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Nu´meros Racionais
Como vimos na sec¸a˜o anterior, nem sempre equac¸o˜es da forma nx = m possuem soluc¸a˜o em
Z dados n,m ∈ Z. Esta dificuldade pode ser “suprida”se ampliarmos o conjunto dos inteiros
Z para um conjunto maior onde possamos resolver equac¸o˜es do tipo acima. Assim, podemos
construir o conjunto dos nu´meros racionais Q como o conjunto que conte´m o conjunto dos
nu´meros inteiros, isto e´,
Q = {m
n
; m,n ∈ Z, n 6= 0}.
Uma frac¸a˜o da forma m/1 pode ser identificada com o inteiro m. Esta identificac¸a˜o, permite
dizer que Q conte´m Z como um subconjunto pro´prio, e ale´m disto,
N ⊂ Z ⊂ Q.
Definimos as operac¸o˜es de adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e igualdade em Q da seguinte forma:
• Adic¸a˜o: m
n
+
s
t
=
mt+ ns
nt
, n 6= 0, t 6= 0.
• multiplicac¸a˜o: m
n
· s
t
=
ms
nt
, n 6= 0, t 6= 0.
• Igualdade: m
n
=
s
t
⇐⇒ mt = ns, n 6= 0, t 6= 0.
Ale´m de gozar das propriedades associativa, comutativa e existeˆncia dos elementos neutros (0
para a adic¸a˜o e 1 para a multiplicac¸a˜o), Q satisfaz as propriedades de existeˆncia do elemento
inverso aditivo e do inverso multiplicativo, isto e´, se p ∈ Q, enta˜o −p ∈ Q, e se 0 6= p ∈ Q,
enta˜o 1/p ∈ Q, ou seja,
p+ (−p) = 0, p(1/p) = 1.
Podemos definir um subconjunto Q+ em Q como sendo,
Q+ = {m
n
; m,n ∈ Z, n 6= 0, mn ∈ N},
isto e´, o subconjunto dos racionais positivos. Este conjunto possui as seguintes propriedades:
1. Q+ e´ fechado com relac¸a˜o as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o em Q, isto e´,
p, q ∈ Q+, enta˜o p+ q, pq ∈ Q+.
2. Dado p ∈ Q, temos que uma das afirmac¸o˜es a seguir e´ verdadeira:
ou p = 0 ou p ∈ Q+ ou − p ∈ Q+.
A relac¸a˜o de ordem “ < ” introduzida em Q : p < q, se q − p ∈ Q+, generaliza a relac¸a˜o
de ordem introduzida em Z que por sua vez generalizou a relac¸a˜o de ordem introduzida em N.
Teorema 0.1 O conjunto Q e´ fechado com relac¸a˜o as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o.
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De todo que foi dito acima para o conjunto dos nu´meros racionais, destacamos a seguinte
propriedade importante:
O conjunto Q, munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o e satisfazendo os axiomas
da relac¸a˜o de ordem constitui um corpo ordenado.
A seguir daremos duas propriedades importantes de Q.
Proposic¸a˜o 0.1 Se p e q sa˜o nu´meros racionais, tais que p < q, enta˜o podemos encontrar
infinitos nu´meros racionais entre p e q.
Prova Sendo p < q, podemos escolher um nu´mero racional r =
q − p
n
, onde n ∈ N tal que os
nu´meros racionais
p+ r, p+ 2r, . . . , p+ (n− 1)r
esta˜o entre p e q. Em virtude de n ser um nu´mero natural qualquer, segue a afirmac¸a˜o.
Em particular se n = 2, temos
p < p+ r =
p+ q
2
< q.
Exemplo 0.1 Se a, b, c, d sa˜o nu´meros positivos tais que
a
b
<
c
d
, enta˜o
a
b
<
a+ c
b+ d
<
c
d
.
Da desigualdade
a
b
<
c
d
segue que ad < bc:
1.
ad+ ab < bc+ ab
a(b+ d) < b(a+ c)
a
b
<
a+ c
b+ d
2.
ad+ dc < bc+ dc
d(a+ c) < c(b+ d)
a+ c
b+ d
<
c
d
.
Donde segue que
a
b
<
a+ c
b+ d
<
c
d
.
Supremo e I´nfimo de um Conjunto em Q
Infelizmente o conjunto dos nu´meros racionais Q apresenta algumas deficieˆncias alge´bricas
que sera˜o mostradas mais na frente. Mas antes, vamos introduzir as seguintes definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 0.1 Um subconjunto E de Q e´ dito limitado superiormente se existe um nu´mero M
tal que x ≤M para todo x ∈ E.
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O nu´mero M nas condic¸o˜es da definic¸a˜o anterior chama-se cota superior. E´ claro que nu´meros
maiores que M tambe´m sa˜o cotas superiores para E.
Definic¸a˜o 0.2 Um subconjunto E de Q e´ dito limitado inferiormente se existe um nu´mero K
tal que x ≥ K para todo x ∈ E.
O nu´mero K nas condic¸o˜es da definic¸a˜o anterior chama-se cota inferior. E´ claro que nu´meros
menores que K tambe´m sa˜o cotas inferiores para E.
Definic¸a˜o 0.3 Um subconjunto E de Q e´ dito limitado se ele e´ limitado inferiormente e supe-
riormente simultaneamente.
Segue destas definic¸o˜es que, se para qualquer nu´mero positivo M existe xo ∈ E tal que xo > M ,
enta˜o dizemos que o conjunto E e´ ilimitado. Tambe´m, se para qualquer nu´mero negativo M1
existe x1 ∈ E tal que x1 < M1, enta˜o dizemos que o conjunto E e´ ilimitado.
Definic¸a˜o 0.4 Diz-se que α ∈ Q e´ um elemento mı´nimo(ma´ximo) de E ⊂ Q se e´ uma cota
inferior(superior) e ale´m disso α ∈ E.
Definic¸a˜o 0.5 Diz-se que o nu´mero β ∈ Q e´ o supremo de um conjunto limitado superiormente
E ⊂ Q, se e´ a menor das cotas superiores. Matematicamente, se σ e´ outra cota superior para
E, enta˜o β ≤ σ.
Esta condic¸a˜o pode ser substituida por;
1. Para todo x ∈ E, cumpre-se x ≤ β;
2. Se dado ε > 0 arbitra´rio, enta˜o existe x ∈ E tal que β − ε < x.
Usaremos a notac¸a˜o β = supE para denotar o supremo de E.
Proposic¸a˜o 0.2 (Unicidade) Se um conjunto E ⊂ Q e´ limitado superiormente e possui su-
premo, ele e´ u´nico.
Prova: Sejam β1 e β2 dois supremos de E. Para qualquer ε > 0 obtem-se de (1) que
β1 − ε < x para algum x ∈ E. E por definic¸a˜o de supremo, x ≤ β2, enta˜o β1 − ε < β2, isto
e´, β1 < β2 + ε. Isto significa que β1 ≤ β2. De maneira ana´loga, trocando β1 e β2, obtemos
β2 ≤ β1. Portanto β1 = β2.
Analogamente define-se ı´nfimo de um subconjunto limitado inferiormente de Q.
Definic¸a˜o 0.6 Diz-se que o nu´mero α ∈ Q e´ o ı´nfimo de um conjunto limitado inferiormente
E ⊂ Q se e´ a maior das cotas inferiores. Matematicamente, se σ e´ outra cota inferior para E,
enta˜o α ≥ σ.
Esta condic¸a˜o pode ser substituida por;
1. Para todo x ∈ E, cumpre-se x ≥ α;
2. Se dado ε > 0 arbitra´rio, enta˜o existe x ∈ E tal que α + ε > x.
Usaremos a notac¸a˜o α = inf E para denotar o ı´nfimo de E.
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Proposic¸a˜o 0.3 Se um conjunto E ⊂ Q e´ limitado inferiormente e possui ı´nfimo, ele e´ u´nico.
Prova: A demonstrac¸a˜o e´ ana´loga a` prova da Proposic¸a˜o 0.2.
Exemplo 0.2
sup[a, b] = b, inf(a, b] = a, inf{ 1
n
;n ∈ N} = 0.
Observamos que o supremo e ı´nfimo de um conjunto podem pertencer ou na˜o ao conjunto.
Proposic¸a˜o 0.4 Para qualquer nu´mero racional q, sempre existe um nu´mero inteiro n, tal que
q < n.
Esta afirmac¸a˜o tambe´m e´ conhecida como Propriedade Arquimediana1 de Q.
Prova: Vamos negar a tese, isto e´, existe q ∈ Q tal que n ≤ q para todo n ∈ N. Ou seja q
e´ uma cota superior de N, e pela Definic¸a˜o 0.5, existe β ∈ Q tal que β = supN. Isto significa
que para o nu´mero β − 1 existe n ∈ N tal que n > β − 1. Mas, enta˜o n+ 1 > β e n+ 1 ∈ N, o
que contradiz o fato que β = supN.
Uma grande deficieˆncia do corpo dos racionais e´ dada pela seguinte afirmac¸a˜o,
Proposic¸a˜o 0.5 Na˜o existe um nu´mero racional cujo quadrado seja igual a 2.
Prova: De fato, seja r =
p
q
∈ Q, onde p e q sa˜o primos2 entre si, isto e´, o MDC(p, q) = 1. Su-
ponhamos que
(
p
q
)2
= 2, enta˜o p2 = 2q2. Como todo nu´mero inteiro multiplicado por 2 e´ par,
resulta que p2 e´ par, logo p e´ par,ou seja p = 2k, k ∈ Z. Portanto, de p2 = (2k)2 = 2 ·2k2 = 2q2,
segue que 2k2 = q2. Daqui concluimos que q e´ par. Absurdo, pois p e q sa˜o nu´meros pri-
mos. Portanto a suposic¸a˜o acima e´ falsa, e isto implica que na˜o existe r ∈ Q tal que, r2 = 2.
Nu´meros Irracionais
Para definir o conceito de nu´mero irracional, vamos introduzir a teoria dos cortes de
Dedekind para os nu´meros racionais.
Definic¸a˜o 0.7 Os conjuntos A e B chamam-se cortes de Q se:
1. Cada classe A ou B e´ um conjunto na˜o vazio;
2. Cada nu´mero racional pertence a uma e somente uma das classes A ou B;
3. Se a ∈ A, b ∈ B, enta˜o a < b (A ∩B = ∅).
A classe A chama-se menor e a classe B chama-se maior.
Da definic¸a˜o de corte, segue que qualquer nu´mero racional menor que o nu´mero a pertencente
a` classe menor, tambe´m pertence a` classe menor. Analogamente, qualquer nu´mero racional
maior que o nu´mero b pertencente a` classe maior, tambe´m pertencea` classe maior.
1Arquimedes de Siracusa (287-212 a.c.), matema´tico grego
2um nu´mero e´ primo quando e´ divis´ıvel por 1 e por ele mesmo
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Exemplo 0.3 Se escolhemos o conjunto A como sendo o conjunto de todos os nu´meros raci-
onais a, tais que a < 2, e o conjunto B como sendo o conjunto de todos os nu´meros racionais
b,tais que b ≥ 2, obtemos um corte de Dedekind.
Agora consideremos o seguinte exemplo:
Exemplo 0.0.1 Consideremos os seguintes conjuntos;
E = {x ∈ Q; x > 0 e x2 < 2}
F = {y ∈ Q; y > 0 e y2 > 2}.
O conjunto E ⊂ Q e´ limitado superiormente mas na˜o possui supremo e o conjunto F ⊂ Q
e´ limitado inferiormente mas na˜o possui ı´nfimo.
Definic¸a˜o 0.8 Um nu´mero chama-se irracional se na˜o e´ racional.
A notac¸a˜o que usamos para denotar o conjunto dos nu´meros irracionais e´ R\Q. Na sec¸a˜o
anterior vimos que
√
2 e´ um nu´mero irracional. Existem infinitos nu´meros irracionais, entre
eles os mais famosos sa˜o: o nu´mero pi e o nu´mero de Euler e.
Teorema 0.2 Se p e´ um nu´mero primo positivo, enta˜o
√
p e´ irracional.
Prova: Ja´ foi provado acima a afirmac¸a˜o para um caso particular quando p = 2. Vamos supor
que
√
p na˜o seja irracional. Enta˜o
√
p =
m
n
com MDC(m,n) = 1. Elevando ao quadrado
√
p, temos p =
(m
n
)2
, ou seja n2p = m2. Como m e n sa˜o primos entre si, segue que p
∣∣m2(p
divide m2) e portanto p
∣∣m, ou seja m = pl, l ∈ Z. Substituindo m na igualdade acima, temos
n2p = p2l2 e simplificando obtemos n2 = pl2. Isto significa que p
∣∣n2, portanto p∣∣n. Segue
portanto que p e´ um fator comum dos nu´meros m e n. Absurdo, pois MDC(m,n) = 1. E isto
mostra que
√
p e´ irracional.
Nu´meros Reais
A teoria desenvolvida ate´ aqui, nos permite apontar duas grandes deficieˆncias no corpo
dos racionais: a primeira, na˜o existe um racional cujo quadrado seja igual a 2(o nu´mero 2
e´ simbo´lico, poderiamos citar outros nu´meros, como por exemplo, 7, 12, etc.), e a segunda,
existem conjuntos limitados superiormente que na˜o possuem supremo e conjuntos limitados
inferiormente que na˜o possuem ı´nfimo pertencentes ao conjunto dos nu´meros racionais.
Agora, queremos definir(vamos supor a existeˆncia dele) um novo corpo ordenado que con-
tenha propriamente Q, chamado de corpo dos nu´meros reais R, para o qual vale o resultado,
conhecido como cortes de Dedekind3.
Teorema 0.3 (Pric´ıpio de Dedekind) Se o conjunto R dos nu´meros reais e´ dividido em
dois conjuntos na˜o vazios disjuntos, isto e´,
R = A ∪B, A ∩B = ∅
tais que, todo a ∈ A e´ menor que qualquer b ∈ B, enta˜o ou existe um nu´mero σ que e´ o maior
entre todos os nu´meros pertencentes a` A e o conjunto B na˜o tem menor elemento, ou existe
um nu´mero σ que e´ o menor entre todos os nu´meros pertencentes a B, e o conjunto A na˜o tem
maior elemento.
3Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916), matema´tico alema˜o
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Uma forma equivalente de expressar o teorema anterior e´ mediante a seguinte afirmac¸a˜o;
Teorema 0.4 Todo subconjunto E ⊂ R limitado superiormente(inferiormente), possui su-
premo(´ınfimo).
Um corpo ordenado para o qual vale o teorema anterior, chama-se corpo ordenado completo.
Assim R e´ um corpo ordenado completo.
Como o conjunto dos racionais Q e o conjunto dos irracionais R\Q sa˜o disjuntos, temos
R = Q ∪ R\Q.
Valor Absoluto de um Nu´mero Real
A relac¸a˜o de ordem definida em Q e estendida para R, permite definir o valor absoluto ou
mo´dulo de um nu´mero x ∈ R, como sendo,
|x| =
{
x, se x ≥ 0
x, se x < 0
Figura 1: Gra´fico de y = |x|
Em outras palavras, |x| = max{x,−x}.
Exemplo 0.4
Se x = 12, enta˜o |x| = 12;
Se x = −7, enta˜o |x| = | − 7| = −(−7) = 7.
Uma consequeˆncia imediata da definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero e´ a seguinte afirmac¸a˜o
Lema 0.1 Para qualquer nu´mero real x, vale a seguinte relac¸a˜o:
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Prova: Analisemos dois casos;
1. Suponha que x ≥ 0. Enta˜o x = |x| ≥ 0 e −|x| ≤ 0, e portanto
−|x| ≤ x ≤ |x|.
2. Suponha que x < 0. Enta˜o |x| ≥ 0 e x < |x|. Como |x| = −x ou −|x| = x, segue que;
−|x| ≤ x ≤ |x|.
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Mais geralmente, podemos observar que
|x| < ε,
significa
x < ε
−x < ε
ou e´ equivalente as duas desigualdades
−ε < x < ε, x, ε ∈ R, ε > 0.
Portanto a desigualdade
|x− y| < ε
e´ equivalente as desigualdades
y − ε < x < y + ε, x, y, ε ∈ R, ε > 0.
O valor absoluto de um nu´mero real goza das seguintes propriedades:
Teorema 0.5 Para nu´meros reais arbitra´rios x, y, temos
1. |x| ≥ 0, para todo x, e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. |xy| = |x||y| e ∣∣x
y
∣∣ = |x||y| se y 6= 0.
3. |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdade triangular).
4. ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
Prova:
1. Se x ≥ 0 enta˜o |x| = x, se x < 0, enta˜o |x| = −x > 0. Em ambos casos |x| ≥ 0.
Se x = 0, |x| = x = 0 por definic¸a˜o. Se x 6= 0, enta˜o x < 0 ou x > 0. Se x < 0, enta˜o
|x| = −x > 0, se x > 0, |x| = x > 0. Nestes dois casos temos |x| 6= 0.
2. Se um dos x ou y for nulo a igualdade na multiplicac¸a˜o e´ o´bvia. Suponhamos que x, y 6= 0.
Analisemos treˆs casos:
(a) x > 0 e y > 0; enta˜o |x| = x e |y| = y, logo
|xy| = xy = |x||y|.
(b) x > 0 e y < 0; enta˜o |x| = x e |y| = −y, logo
|xy| = x(−y) = |x||y|.
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(c) x < 0 e y < 0; enta˜o |x| = −x e |y| = −y, logo
|xy| = (−x)(−y) = |x||y|.
Para mostrar que
∣∣x
y
∣∣ = |x||y| , escrevamos xy = z, enta˜o x = y · z. Usando o resultado
anterior, temos
|x| = |yz| = |y||z|, donde |z| = |x||y| ou
∣∣x
y
∣∣ = |x||y| .
3. Como
−|x| ≤ x ≤ |x|,
tambe´m
−|y| ≤ y ≤ |y|,
enta˜o
−(|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y|.
Usando a forma equivalente destas desigualdades, obtemos
|x+ y| ≤ |x|+ |y|.
4. Escrevamos |x| da seguinte forma;
|x| = |x− y + y| ≤ |x− y|+ |y|, pela desigualdade triangular.
Assim
|x| − |y| ≤ |x− y|.
De forma similar, obtemos
|y| − |x| ≤ |x− y|, ou |x| − |y| ≥ −|x− y|.
Por definic¸a˜o, ||x| − |y|| e´ um dos nu´meros |x| − |y| ou −(|x| − |y|).
Assim,
−|x− y| ≤ |x| − |y| ≤ |x− y| ⇒ ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
Intervalos
Vamos a definir agora uma classe de subconjuntos de R, chamados de intervalos limitados.
Dados c, d ∈ R com c < d, enta˜o
(c, d) = {x ∈ R; c < x < d} e´ um intervalo aberto,
[c, d) = {x ∈ R; c ≤ x < d} e´ um intervalo fechado a` esquerda,
(c, d] = {x ∈ R; c < x ≤ d} e´ um intervalo fechado a` direita,
[c, d] = {x ∈ R; c ≤ x ≤ d} e´ um intervalo fechado.
Introduziremos os simbolos +∞ e −∞ para indicar mais infinito e menos infinito respecti-
vamente.
Observe que +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros.
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Definic¸a˜o 0.9 Chamamos de extensa˜o de R ao conjunto R formado por R, +∞ e −∞.
Em R temos as seguintes operac¸o˜es:
1. se x ∈ R, temos
x+ (+∞) = +∞ x+ (−∞) = −∞,
x− (+∞) = −∞ x− (−∞) = +∞.
2. Se x > 0,
x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞.
3. Se x < 0,
x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞.
4.
(+∞) + (+∞) = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞.
(−∞) + (−∞) = (+∞) · (−∞) = −∞.
Agora estamos em condic¸o˜es de definir intervalos infinitos:
(−∞, c) = {x ∈ R; x < c}, (−∞, c] = {x ∈ R; x ≤ c}
(c,+∞) = {x ∈ R; x > c}, [c,+∞) = {x ∈ R; x ≥ c}.
Assim o proprio R e´ considerado como um intervalo da forma (−∞,+∞), chamado de reta
nume´rica.