DERIVADA 1

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
Definição: Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite 
 ( ) ( )
 
quando existe e é finito, 
denomina-se derivada de f em p e indica-se por f’(p). Assim, 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1) Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p; 
 
2) Pelas propriedades dos limites, 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
3) A reta de equação ( ) ( ) ( )ou ( )é, por definição, a reta tangente ao gráfico 
de f no ponto ( ( )). Assim, f’(p) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p. 
 
Exemplo 01. Seja f(x) = x
2
. 
 
A) Calcule f’(1). 
 
B) Calcule f’(x). 
 
C) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1)). 
 
Exemplo 02. Considere a curva y = 3 + 4x
2
 – 2x
3
. 
 
A) Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto x = a. 
 
B) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1, 5) e (2,3). 
 
C) Faça o gráfico da curva e de ambas as tangentes em uma mesma tela. (sugestão: use o GeoGebra). 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
Professor: Emersson Rodrigues de Souza 
e-mail: emersson_rodrigues@yahoo.com.br 
2 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
1) Derivada de uma função constante. 
 
 
( ) 
 
2) Regra da potência. Se n for um inteiro positivo, então: 
 
 
 
( ) 
Exemplo3. Derive. 
 
A) f(x) = 6 B) g(x) = x
7
 C) ( ) 
 
 
 D) √ 
 
 
 
 
 
3) A regra da multiplicação por constante. Se k for uma constante e f, uma função derivável, então: 
 
 
 
[ ( )] 
 
 
 ( ) 
 
4) A regra da soma e a regra da subtração. Se f e g forem diferenciáveis, então: 
 
 
 
[ ( ) ( )] 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )(regra da soma) 
 
 
 
[ ( ) ( )] 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )(regra da subtração) 
 
 
Outra notação: (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x). 
 
Exemplo 4. Seja f a função f(x) = x
8
 + 12x
5
 – 4x
4
 + 10x
3
 – 6x + 5, determine: d/dx. 
 
 
 
Exemplo 5. A equação de movimento de uma partícula é s = 2t
3
 – 5t
2
 + 3t + 4, onde s é medida em centímetros e t, em 
segundos. Encontre a aceleração como uma função do tempo. Qual é a aceleração depois de 2 segundos? 
 
 
 
5) A regra do produto e a regra do quociente. Se f e g são diferenciáveis, então: 
 
 
 
[ ( ) ( )] ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( )ou ( ) (regra do produto) 
 
 
 
 
*
 ( )
 ( )
+ 
 ( ) 
 
 
[ ( )] ( ) 
 
 
 [ ( )]
[ ( )] 
 ou (
 
 
)
 
 
 
 
(regra do quociente) 
 
 
Exemplo 6. Seja 
 
 
. Determine y’. Exemplo 7. Calcule f’(x) em que ( ) 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS DE e
x
 e lnx 
 
Teorema 1: São válidas as seguintes fórmulas de derivação: 
 
1) ( ) ( ) 
 
2) ( ) ( ) 
 
 
 
3 
 
De modo geral, 
 
3) ( ) ( ) ( ) 
 
4) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
Exemplo 7. Obtenha a derivada primeira das funções a seguir. 
 
A) ( ) B) ( ) 
 
 
 
 
 
C) ( ) D) ( ) 
 
 
 
 
 
 
E) ( ) F) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Teorema 02. São válidas as seguintes fórmulas de derivação. 
 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
d) ( ) e) ( ) f) ( ) 
 
 
 
Importante: 
 
i) 
 
 
 (Limite Fundamental Trigonométrico) 
 
 
ii) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8. Calcule a derivada. 
A) ( ) B) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
C) ( ) 
 
 
 D) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E) ( ) F) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DA CADEIA 
 
 Se f e g forem diferenciáveis e for a função composta definida por ( ) ( ( )), então F é 
diferenciável e F’ é dada pelo produto: 
 
F’ = f’(g(x)).g’(x) 
 
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem função diferenciáveis, então : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9. Calcule a derivada 
 
A) B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
C) ( ) ( ) D) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E) ( ) F) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G) H) √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10. Calcule 
 
 
sendo y = cos5x.