Execicios de Nivelamento 2 - Topografia

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EXERCÍCIOS DE NIVELAMENTO 
 
a) Calcular as cotas dos pontos abaixo, obtidos por nivelamento trigonométrico. 
 
b) Fazer um esboço do levantamento. 
 
Cota do ponto A = 125,32 m 
 
 
 
Estação P. V. Ângulo Zenital Dist. 
Altura 
Mira 
Altura 
Instrum. 
A B 88º 25’32” 25,42 1,15 1,55 
B C 91º 45’22” 127,45 1,83 1,62 
C D 93º 24’16” 87,85 1,47 1,69 
D E 85º 15’48” 45,12 1,38 1,51 
 
Estação P.V. Graus Min Seg Ângulo Zenital Dist. Mira Instrum. 
DI 
cos(z) A 125.32 
A B 88 25 32 88.4256 25.42 1.15 1.55 0.70 B 126.42 
B C 91 45 22 91.7561 127.45 1.83 1.62 
-3.91 C 122.30 
C D 93 24 16 93.4044 87.85 1.47 1.69 
-5.22 D 117.31 
D E 85 15 48 85.2633 45.12 1.38 1.51 3.73 E 121.16 
N • 6 Uma Estação Total foi estacionada aproximadamente no centro de um 
terreno e foram visados os 4 cantos . Com os dados da planilha abaixo pede-se 
a ÁREA do terreno e as COTAS dos 4 cantos. Altura do Instrumento 1,55 m Cota 
700,000 m. 
 
Ponto 
Visado 
Ang. 
Horizontal 
Ang. 
Vertical 
Dist. 
Inclinada (m) 
Alt. Refletor 
(m) 
A 0º 0’ 92º 30’ 80,550 1,45 
B 95º 45’ 88º 45’ 60,425 1,65 
C 165º 25’ 89º 10’ 75,125 1,88 
D 280º 18’ 91º 18’ 70,480 1,28 
 
N • 7 Calcule as cotas compensadas dos pontos nivelados geometricamente. 
 
Pontos 
Nivel. 
Âng. Horiz. Int. Lido Alt. 
Nível 
Cotas 
Ré Interm. Vante Calculadas Compens. 
RN 0,693 50,693 50,000 50,000 
1 2,784 
2 3,911 
2 0,307 47,089 
3 1,318 
4 2,091 
Ra 3,633 
Ra 0,481 43,937 
5 1,823 
5 3,230 45,344 
6 2,008 
7 0,331 
7 2,980 47,993 
8 1,324 
9 0,293 
9 3,792 51,492 
RN 1,486 
 
N • 8 O croquís abaixo representa o levantamento altimétrico de uma 
propriedade em um condomínio de residências. Pede-se calcular as distâncias 
horizontais e as cotas dos pontos, bem como desenhar o perfil na escala 1:500, 
a partir dos dados fornecidos a seguir. 
NOTA: (f+c) = 0,5 não incluído nas distâncias obtidas com o instrumento na 
estação A. 
 
 
 
 
 
 
Ponto Distância (m) Azimute Âng. Vertical ∆∆∆∆H Cota (m) 
Instrumento centrado em A ( AI = 1,55m ) 26,29 
1 43,00 95°35’ + 1°07’ 
2 38,13 78°45’ + 1°20’ 
3 10,98 164°30’ - 0°30’ 
4 1,83 49°05’ + 0°03’ 
5 1,53 292°00’ + 0°03’ 
6 64,36 243°15’ - 0°00’ 
7 59,78 254°35’ - 0°03’ 
8 68,93 275°35’ - 0°41’ 
9 80,22 292°05’ - 1°23’ 
10 45,45 305°00’ - 2°32’ 
11 32,33 276°25’ - 0°55’ 
12 25,93 342°45’ - 2°25’ 
13 53,38 344°00’ - 2°43’ 
14 49,72 9°40’ - 1°53’ 
15 47,58 38°10’ - 0°45’ 
B 85,10 347°22’ - 3°23’ 
Ponto Distância (m) Azimute Âng. Vertical ∆∆∆∆H Cota (m) 
Instrumento centrado em B ( AI = 1,60 m ) 
A 84,79 + 3°23’ 
16 20,74 120°25’ + 4°26’ 
17 40,87 105°30’ + 3°21’ 
18 36,60 62°10’ + 0°08’ 
19 42,40 43°00’ - 0°29’ 
20 27,45 44°45’ - 0°45’ 
21 14,64 35°35’ - 1°24’ 
22 7,63 336°30’ - 2°39’ 
23 3,05 265°00’ - 0°03’ 
24 9,46 327°15’ - 2°08’ 
25 18,61 336°10’ - 0°02’ 
26 13,73 65°00’ - 0°07’ 
27 14,95 101°30’ + 3°13’ 
28 21,96 280°15’ - 0°56’ 
29 44,84 270°00’ - 0°28’ 
30 69,85 271°10’ - 0°18’ 
31 64,97 247°05’ + 1°43’ 
32 42,09 234°20’ + 2°25’ 
33 31,11 226°15’ + 3°07’ 
34 38,43 210°45’ + 3°23’ 
35 31,11 199°00’ + 4°14’ 
36 27,76 187°30’ + 4°45’ 
37 32,94 183°55’ + 4°22’ 
38 25,93 174°25’ + 4°57’ 
 
N • 9 O croquis é uma projeção horizontal, os números são as leituras nas 
miras, as letras indicam as estações e os números indicam as estacas onde 
foram colocadas as miras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Completar a tabela de nivelamento geométrico e verificar os cálculos. 
A cota do ponto 1 é 200,000 m. 
 
Estação Ponto 
Visado 
Leituras (m) Cota 
Instr. (m) 
Cota 
Estaca (m) Ré Interm. Vante 
A 
1 
2 
3 
 
0,982 
 
 
1,745 
 
 
 
3,092 
 
.................. 
 
200,000 
................... 
................... 
B 3 
4 
5 
6 
0,815 
1,902 
2,334 
 
 
 
3,717 
.................. 
...................
...................
................... 
C 6 
7 
0,508 
2,423 
.................. 
................... 
 
N • 10 Partindo da cota E ( 280,673 m ), determine a cota da marca NP 
seguindo as leituras do quadro seguinte e completando-o. A altura do 
instrumento em E é de 1,560 m. 
Estação Ponto 
Visado 
Leituras (m) Diferenças (m) Cotas 
(m) Ré Vante + - 
E 1 2,953 
A 1 
2 
0,958 
2,987 
 
B 2 
3 
1,270 
3,520 
 
C 3 
NP 
1,973 
2,057 
 
. 
. 
. 
0,982 
1,745 
3,092 
0,815 
1,902 
2,334 
3,717 
0,508 
2,423 A 
C 
B 1 2 
3 
4 5 
6 
7 
 
N • 11 Calcular as cotas e traçar o perfil. Escala Horizontal 1:1000/Escala 
Vertical 1:100. 
 
Estação Ré Vante Cota (m) 
PT1 2,577 18,462 
0 2,87 
1 2,20 
2 1,56 
+70 1,62 
3 0,92 
4 0,34 
PC 2,287 0,229 
+30 0,64 
5 1,22 
6 1,92 
+60 3,14 
7 2,26 
8 1,56 
P1C 1,937 
9 1,16 
10 1,53 
 
N • 12 Sobre um ponto P, do qual é visível o mar, estacionou-se um 
instrumento nivelador ( altura do instrumento i = 1,460 m ) e apontou-se para 
a linha do horizonte, e como ângulo zenital foi observado z = 90° 57’42”. 
a) Calcular a cota de P. (Considere o raio da terra = 6380 km ) 
b) Calcular a distância que vai do instrumento à linha do horizonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
1 
E1 
E2 
2 
E3 
3 
E4 
B 
NÍVEL 
MIRA 
 
 
 
 
N • 13 Calcular a cota do ponto B e dos pontos onde foram estacionadas as 
miras (1, 2 e 3), sabendo que a cota de A é de 300,12 m. 
 
Estação Pontos Visados Leituras (m) 
Ré Vante 
E1 A 
1 
0,753 
1,756 
E2 1 
2 
0,232 
2,635 
E3 2 
3 
1,247 
1,158 
E4 3 
B 
2,752 
0,309 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
1 
A 2 B 
3 C 
B 
N • 14 Completar a tabela de nivelamento geométrico, calculando as cotas 
dos pontos 2 a 8 partindo da cota RN1 = 105,215 m. 
 
Estação Ponto 
Visado 
Leituras (m) Cota 
Instr. (m) 
Cota 
Estaca (m) Ré Interm. Vante 
A 1 
2 
3 
4 
0,520 
2,841 
3,802 
 
 
 
0,857 
 105,215 
B 4 
5 
6 
3,711 
0,444 
 
 
3,123 
 
C 6 
7 
8 
0,398 
2,404 
 
 
3,816 
 
 
N • 15 Na determinação da altura de um poste de alta tensão, estacionou-se o 
teodolito à distância de 98 m do seu centro e, visando o vértice, mediu-se um 
ângulo zenital de 85° 50’13”. Sabendo-se que a altura do instrumento era de 
1,62 m e que a altura lida na base do poste correspondente a um ângulo zenital 
de 90° era de 1,82 m, qual era a altura do poste? 
 
N • 16 Completar a tabela de nivelamento geométrico e verificar os cálculos. 
Na figura abaixo, os valores entre parênteses são cotas no terreno dos pontos 
numerados. Os números em cima das linhas tracejadas são as cotas dos 
instrumentos nas três estações. 
 
Estação Ponto 
Visado 
Leituras (m) Cota 
Instr. (m) 
Cota 
Estaca (m) Ré Interm. Vante 
A 
1 
2 
 
............... 
 
 
............... 
 
106,504 
104,272 
 
................... 
B 2 
3 
4 
3,188 
............... 
 
 
............... 
108,984 
108,050 
105,116 
C 4 
5 
6 
7 
............... 
0,811 
............... 
 
 
 
............... 
105,434 
................... 
................... 
102,157 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
C 
B 
RN-1 
7 6 
5 
4 
3 
2 
(104,272) (105,116) 
(108,050) 
(102,157) 
106,504 
108,984 
105,434 
3,188 
0,811 2,809 
N• 17 Pretende-se calcular a altura de um farol CD, e estacionou-se uma vez 
em A e uma vez em B, sendo medidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB = 51,30 m 
α = 16° 29’51” 
β = 129° 44’00” 
τ = 12° 21’36” 
ϕ = 30° 38’00” 
 
N • 18 Observe a figura anexa. A cota do braço horizontal da cruz da torre da 
capela é conhecida: CV = 312,320 m. Estacionando em E com um teodolito de 
segundos e mediu a altura do instrumento EE’= 1,600 m. Apontou para V e 
mediu o ângulo ZE’V = 56° 01’54”. Encostando uma mira MM’ à parede da 
torre, obtém-se os seguintes valores, depois de horizontalizar a luneta ( ZE’V’ 
= 90° ): fi = 0,222 m ; fm = 0,335 m ; fs = 0,668 m. 
A largura da torre quadrada é de 4,00 m na base. Pede-se calcular: 
a) a cota do terreno na base da torre (cota de M’); 
b) a cota do instrumento (cota de E’); 
c) a cota da estação (cota de E); 
d) diga como obteria a cota de V”, depois de obter as anteriores, se V” fosse 
visível de E’; e se não fosse visível ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N • 19 Se a cota do terreno numa estação A for de 120,15 m, a altura do 
instrumento for de 1,50 m, a altura visada na mira em B for de 1,17m, com um 
ângulo zenital de 88° 35’55” à distância de 52 m, qual será a cota de B? 
 
• 
• 
V’ 
V” 
M 
M’ 
V 
z 
z 
E 
E’ 
N • 20 Para medir uma torre de igreja estacionou-se em dois pontos A e B, 
tendo sido obtidos os seguintes dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N • 21 Estacionou-se em A e apontou-se para B, com a leitura vertical de 
354° 47’10”. Calcular a cota de B sabendo que a cota de A é de 412,754 m, 
que a altura do instrumento é de 1,420 m e que a distância AB é de 1654,30 m. 
 
N • 22 Da estação A fizeram-se duas leituras de ângulos vertical sobre uma 
mira em B e obtiveram-se os seguintes valores: 
α1 = + 1° 08’45” ; α2 = + 5° 42’38”; l1 = 0,400 m ; l2 = 3,600 m; 
A cota de A é 52,420 m, a altura do instrumento i = 1,50 m, quais serão: 
a) A distância horizontal AB? 
b) A cota de B? 
 
SUGESTÃO: COTA B = COTA A + i + v1 - l1 = COTA A + i + v2 – l2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
B 
i 
l1 
l2 
v1 
v2 
α1 α2 
. 
. 
. 
α β 
γ 
TORRE 
AB = 50,00 m 
α = 36° 52’13” 
β = 53° 07’47” 
z1 = 72° 00’00” 
z2 = 63° 00’00” 
i1 = 1,30 m 
12 = 1,40 m 
Cota de A = 165,75 m 
Cota de B = 163,26 m 
Cota da base da torre = 
160,00 m 
Calcular a cota do 
vértice (topo) da torre e 
a altura da torre. 
 
 
N • 23 Complete a tabela abaixo e faça a prova de cálculo. 
 
Ponto 
Visado 
Visada 
Ré 
Visada Vante Cota Interm. Mud. 
RN 3847 115,228 
1 116,714 
2 118,004 
3 2321 119,614 
4 2915 923 
5 123,189 
6 121,999 
7 832 
8 122,115 
SOMAS 
 
N • 24 Dada a caderneta de nivelamento a seguir, pede-se a cota do ponto N, 
sabendo-se que a cota do RN vale 865,426. 
 
Nivelamento Geométrico 
Ponto 
visado 
Estadia 
fs/fi (mm) 
Distância 
(m) 
Mira Det. Cotas (m) 
ré vante Prov. Ajt. Corr 
RN 1701 40,6 1498 
1295 
E2 2123 40,1 1923 
1722 
E2 2995 39,2 2799 
2603 
E3 2045 38,9 1851 
1656 
E3 2314 43,4 2097 
1880 
N 1557 43,6 1339 
1121 
N 2317 42,5 1925 
1712 
E4 2032 41,7 1823 
1615 
E4 1748 39,6 1550 
1352 
E5 2775 38,9 2580 
2386 
E5 1698 41,2 1492 
1286 
RN 2055 40,8 1851 
1647 
Somas 
Nome do operador Data 
 
N • 25 Um grupo de alunos de topografia efetuou o nivelamento e 
contranivelamento geométricos entre uma referência de nível situada no 
prédio da construção civil e outro no prédio arquitetura, obtendo os valores 
que figuram na planilha a seguir. Calcule essa diferença de nível e verifique se 
o erro de fechamento está dentro do tolerável. 
Nivelamento Geométrico 
Ponto 
visado 
Estadia 
fs/fi (mm) 
Distância 
(m) 
Mira Det. Cotas (m) 
Ré Vante Prov. Ajt. Corr 
RN 
Civil 
1347 39,8 1148 
949 
I 1621 40,0 1421 
1221 
I 1373 39,8 1174 
975 
II 1703 40,0 1503 
1303 
II 1549 40,0 1349 
1149 
III 1786 40,0 1586 
1386 
III 1080 39,8 881 
682 
IV 950 40,0 750 
550 
IV 1260 10,0 1210 
1160 
RN 
Arquit. 
1390 10,0 1340 
1290 
RN 
Arquit. 
1322 40,2 1121 
920 
VI 1435 40,0 1235 
1035 
VI 1991 39,8 1792 
1593 
VII 1558 39,8 1359 
1160 
VII 1855 39,8 1656 
1457 
VIII 1530 39,8 1331 
1132 
VIII 1727 40,2 1526 
1325 
RN 
Civil 
1493 40,0 1293 
1093 
Somas 
Nome do operador Data 
 
N • 26 Ao efetuar trigonometricamente, o nivelamento entre os dois pontos A 
e B, com visadas recíprocas e simultâneas, foram obtidas: 
Cota de A de partida : 783,52 m; 
Cota de B (visada a vante): 828,43 m; 
Cota de B (visada a ré): 823,35 m; 
Sendo a altura do alvo igual à do teodolito nas duas visadas, e afastada a 
ocorrência de erros grosseiros, pergunta-se: 
a) Qual a distância aproximada entre A e B; 
b) Qual a distância zenital de visada a vante; 
c) Qual a distância zenital da visada a ré. 
 
N • 27 Compor a tabela de nivelamento geométrico e fazer a prova de cálculo, 
com os seguintes dados: 
Cota da RN = 312 437 m; 
Cota de 2 = 310,230 m; 
Cota de 5 = 306,067 m; 
Cota de 6 = 304,362 m; 
Cota de 8 = 301,123 m; 
Visada à ré para 3 = 0,577 m; 
Visada à vante intermediária para 1 =1,270 m; 
Visada à vante intermediária para 4 =1,814 m; 
Visada à vante intermediária para 5 =3,529 m; 
Visada à vante intermediária para 7 =3,315 m; 
Altura do instrumento com visada à ré para a RN = 312,741 m; 
Altura do instrumento com visada à ré para 5 = 306,563 m; 
Altura do instrumento com visada à ré para 7 = 304,056 m; 
 
N • 28 Pretende-se executar um nivelamento com duas miras e um 
instrumento nivelador, mas não é possível observar com a luneta do teodolito 
horizontal. No campo obtém-se os seguintes dados: 
Cota do ponto à ré = 120,00 m; 
Distância do instrumento às miras = 50,00 m; (encontra-se no meio delas à 
mesma distância de cada uma) 
Ângulo zenital para a ré : Zr = 84° 17’22”; 
Ângulo zenital para a vante : Zv = 78° 41’23”; 
Leitura na mira para a ré: r = 4,000 m; 
Leitura na mira para a vante : v = 3,000 m; 
Calcular a cota da base da mira de vante.