Aula03 medidas descritivas

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MEDIDAS DESCRITIVAS DE 
POSIÇÃO, TENDÊNCIA 
CENTRAL E VARIABILIDADE 
 
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Estatística descritiva (Exploratória) 
PRIMEIRO PASSO: Tabelas (distribuição de frequência) e 
Gráficos. 
 
SEGUNDO PASSO: Cálculo de medidas descritivas. Um número 
que resume toda a informação da distribuição do conjunto de 
dados. Ex. Tendência central, posição, variabilidade, assimetria 
e curtose. 
OBS: Assim como no primeiro passo, a medida descritiva a ser 
utilizada depende do tipo da variável aleatória. 
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Medidas de Tendência Central e Posição 
Moda(mo): É o valor (ou atributo) que 
ocorre com maior freqüência.Moda 
Ex (em Kg): 4, 5, 4, 6, 5, 8, 4 e 4 
Mo = 4 Kg 
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Mediana 
A mediana é o valor da variável que ocupa a 
posição central de um conjunto ordenado de n 
dados. 
Posição da mediana: (n+1)/2 
Ex 1 (em m): 2, 5, 3, 7 e 8 
Dados ord.: 2,3,5,7e 8 =>Pos= (5+1)/2=3 
 => Md = 5 m 
Ex 2 (em m): 3, 5, 2, 1, 8 e 6 
Dados ordenados:1,2,3,5,6,8 =>Pos = 
(6+1)/2=3,5 => Md=(3+5)/2=4 m 
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Quantis 
O quantil de ordem p, em um conjunto de dados 
de tamanho n, é o valor da variável que ocupa a 
posição px(n+1) do conjunto ordenado de dados. 
Casos Particulares: 
Quantil 0,25= primeiro quartil (Q1) 
Quantil 0,5= mediana (md) ou segundo quartil 
Quantil 0,75= terceiro quartil (Q3) 
Interpretações: 
md: 50% dos valores do conjunto de dados 
estão abaixo da mediana. 
Q1: 25% dos valores estão abaixo de Q1. 
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Exemplos 
Ex(1): 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 e 7,7 
 =>n=10 
Posição de Q1: 0,25(11)=2,75 => Q1=(2+2,1)/2 = 2,05 Kg 
Posição Md: 0,5x11=5,5 => Md=(3+3,1)/2 = 3,05 Kg 
Posição de Q3: 0,75(11)=8,25 => Q3=(3,7+6,1)/2= 4,9 Kg 
Ex(2):0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 5,3 5,5 12,2 12,9 14,0 33,6 
=>n=11 
Md=5,3 Kg Q1=1,7 Kg Q3=12,9 Kg 
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Média Aritmética Simples 
nn
x
n
i
i
n
xxxxx 

 1321
...
Ex (em Kg):2, 5, 3, 7 e 8 
Média = (2+5+3+7+8)/5 = 5 Kg 
É o ponto de equilíbrio de uma distribuição 
de dados. 
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Exemplo 2: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos 
(valores são pontos): 
Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; Grupo 2: 1, 3, 5, 7,9; e Grupo 3: 5,5,5,5,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G1 
0 10 
0 
10 
0 10 
5 
G2 
G3 
55x :Temos 331331  MdMdMdxx
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Medidas de Variabilidade (ou 
Dispersão) 
Finalidade: Encontrar um valor que resuma a 
variabilidade (dispersão) de um conjunto de dados 
Interpretação: Quanto maior o valor da medida 
maior é a variabilidade do conjunto de dados, ou 
seja, mais heterogêneo é o conjunto e, vice-versa. 
Medidas: Amplitude, intervalo interquartílico, 
variância, desvio padrão e coeficiente de variação. 
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AMPLITUDE (R) 
Definido como sendo a diferença entre o maior e o 
menor valor de um conjunto de dados. 
R = Valor máximo – Valor mínimo 
 
Para os grupos anteriores, temos: 
 
Grupo 1  R = 4 pontos 
Grupo 2  R = 8 pontos 
Grupo 3  R = 0 pontos 
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Intervalo-Interquartil (d) 
É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro 
quartil, ou seja, 
 d= Q3 - Q1 
Ex. 1(em kg): 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7 
Q1=2,05 e Q3=4,9 
 
d = Q3 - Q1 = 4,9 - 2,05 = 2,85 kg 
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Desvio padrão amostral (S) 
VariânciaPadrão Desvio
 
1
/
1
2
11
2
1
2
2














n
n
n
xx
S
n
i
i
n
i
i
n
i
i xx
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Cálculo da variância para o grupo 1: 
G1: 3, 4, 5, 6 e 7: Vimos que: 
2
22222
2 5,2
4
10
15
)57()56()55()54()53(
pontosS 



5x
Desvio padrão 
pontosS 58,15,2 
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Coeficiente de Variação (CV) 
 É uma medida de dispersão relativa; 
 Elimina o efeito da magnitude dos dados; 
 Exprime a variabilidade em relação a média 
%100
X
S
CV
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Exemplo 4: Altura e peso de alunos 
Conclusão: Os alunos são, aproximadamente, duas vezes mais 
dispersos quanto ao peso do que quanto a altura 
 Média Desvio padrão Coeficiente de 
 variação 
Altura 1,143m 0,063m 5,5% 
Peso 50Kg 6kg 12% 
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Exemplo 3: Alturas de meninos de uma amostra e altura de 
homens adultos de outra amostra. 
 Média Desvio padrão Coeficiente de 
 variação 
Meninos 50cm 6cm 12% 
Homens 160cm 16cm 10% 
Conclusão: Em relação ‘as médias, as alturas dos homens e dos 
meninos apresentam variabilidade quase iguais. 
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Variáveis Qualitativas nominais 
MEDIDAS DE POSIÇÃO E TENDÊNCIA CENTRAL: Moda. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO: Não faz sentido e, portanto, não 
existem. 
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Variáveis Qualitativas ordinais 
MEDIDAS DE POSIÇÃO E TENDÊNCIA CENTRAL: Moda, 
Mediana e Quartis. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO: Amplitude e Intervalo-Interquartil 
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Variáveis Quantitativas (Discretas e 
Contínuas) 
MEDIDAS DE POSIÇÃO E TENDÊNCIA CENTRAL: Todas as 
disponíveis, por exemplo, Moda, Média, Mediana e Quartis. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO: Todas as disponíveis, por exemplo, 
Amplitude, Intervalo-Interquartil, Variância, Desvio Padrão, 
Coeficiente de Variação. 
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Boxplot 
 
O BOXPLOT representa os dados através de um retângulo 
construído com os quartis e fornece informações sobre a forma 
da distribuição da variável (tendência central, variabilidade e 
assimetria) e sobre valores extremos. 
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Exemplo de construção de um Boxplot. Com a finalidade de 
aumentar o peso (em Kg) um regime alimentar foi aplicado em 12 
pessoas. Os resultados (ordenados) foram: 
 
-0,7 2,5 3,0 3,6 4,6 5,3 5,9 6,0 6,2 6,3 7,8 11,2. 
Calculando as medidas temos: 
Mediana (md ou Q2) = 5,6kg 
1º.quartil (Q1) = 3,3kg 
3º.quartil (Q3) = 6,25kg 
d=intervalo interquartil = Q3-Q1 =2,95kg 
Logo as linhas auxiliares correspondem aos pontos: 
Q1-1,5d = -1,25kg 
Q3+1,5d = 10,675kg 
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Exemplo de de um Boxplot. Ganho de peso (em Kg) em um regime 
alimentar aplicado em 12 pessoas (dados anteriores) 
Interpretação. A distribuição do ganho de peso (em Kg) é 
ligeiramente assimétrica a esquerda e apresenta um outlier.