2016 P2 A e B-Fei

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MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2016 Prova P2 A Nº de ordem: _________ 
Nome: __________________________________ Ass.: ______________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ___________ 
 
 
QUESTÃO 1: Dada a tabela e sabendo-se que �F(1)=0,123 e �2F(2)=0,010, 
calcular F(0,6) pelo polinômio interpolador de Newton. Não considerar o erro de 
truncamento. 
 
w F(w) 
0 1,220 
1 F(1) 
2 1,454 
3 F(3) 
4 1,736 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
590,1)3(F
010,0)]2(F)3(F[)3(F)4(F)2(F)3(F)2(F
331,1)1(F123,0)1(F)2(F)1(F
2
=
=−−−=∆−∆=∆
=⇒=−=∆
 
285,1)6,0(F
285,1012,0
!2
6,0111,06,0220,1)6,0(F
)0(F.
!2
w)0(F.w)0(F)w(P
)2(
2
)2(
2
=
=×+×+=
∆+∆+=
 
w F(w) ∆ ∆2 ∆3 
0 1,220 0,111 0,012 0,001 
1 F(1)=1,331 0,123 0,013 -0,003 
2 1,454 0,136 0,010 
3 F(3)=1,590 0,146 
4 1,751 
 є≤0,0005 є≤0,001 є≤0,002 є≤0,004 
QUESTÃO 2: A capacidade calorífica Cp de uma substância a pressão constante em função da 
temperatura é dada por 2p T.cT.baC
−++= cal/mol onde a, b e c constam na tabela abaixo: 
 a b c 
Al (aluminio) 4,94 0,00296 0 
 
Sabe-se que a variação ∆H da entalpia nas temperaturas T0 e T1 é calculada por 
∫=∆
1
0
T
T p
dTCH . Estime, pelo método de Simpson, o valor da variação da entalpia do alumí-
nio (Al) entre as temperaturas de 300K e 500K, dividindo-se o intervalo de integração em quatro 
partes. Três casas decimais. 
 
 
 
 
Solução: 
 
O passo h é h= 50
4
300500
=
−
 
 
A tabela é portanto a seguinte: 
 
T (temperatura) 300 350 400 450 500 
Cp=4,94+0,00296T 5,828 5,976 6,124 6,272 6,42 
 
 
 ( ) 8,1224)42,6)124,6.(2272,6976,5.(4828,5
3
50dT.CH
500
300
p =++++==∆ ∫ 
 
 
 
QUESTÃO 3: Anna depositou R$5000,00 em uma conta que rende juros de 5% ao ano capitali-
zados continuamente. Ela pretende retirar R$2000,00 por ano. Sabendo que a taxa de variação do 
valor Q em função do tempo t (dado em anos) pode ser modelado pela equação diferencial 
2000Q05,0
dt
dQ
−=
 determine, usando o Método de Euler Modificado, quantos anos levarão para a 
conta entrar no negativo? Use 2 casas decimais. 
 
 
 
 
Solução: 
 
2000Q05,0
dt
dQ
−= e Q(0)=5000 
K1=F(t, Q)= 0,05Q-2000 
K2=F(t+0,5, Q+0,5K1)= 0,05(Q+0,5K1)−2000 
Q(t+1)=Q(t)+K2 
 
t Q K1 K2 
0 
1 
2 
3 
5000 
3206,25 
1320,57 
−661,75 
−1750 
−1839,69 
−1933,97 
 
−1793,75 
−1885,68 
−1982,32 
 
 
 
Quantos anos levarão para a conta entrar no negativo? 
Resposta: 3 anos 
QUESTÃO 4: Deseja-se delimitar o erro de truncamento Et ao calcular a área da 
região delimitada por y=f(x), o eixo x e as retas x=a, x=b, pela regra do trapézio 
com passo h. Sabe-se que n=3 é o número de partições do intervalo [a , b] , 
y=cos(x2+4) e o intervalo [0 , 73pi ] . Usando o Matlab, digitou-se então a codifi-
cação dada abaixo, mas que contém 5 erros. Pede-se encontrar os erros e escrever a 
sintaxe correta. 
disp('O erro de truncamento Et é:') 
syms x 
y= cos(x2+4) 
a=0 
b= 73pi 
n=3 
h=(a-b)/n 
t=a:h:b; 
df=diff(y,3) 
z=a:h:b 
M=max(abs(subs(df,z))) 
Et= (h^3/90)*M 
 
 
Solução: 
erro 1: cos(x^2+4) 
erro 2: 3*pi/7 
erro 3: abs((b-a)/n) 
erro 4: y , 2 
erro 5: n*(h^3/12)*M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
 
 
 
 
 MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2016 Prova P2 B Nº de ordem: _________ 
Nome: __________________________________ Ass.: ______________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ___________ 
 
 
QUESTÃO 1: Dada a tabela abaixo e sabendo que �F(1)=0,123 e �2F(2) =0,010, 
calcular F(0,3) pelo polinômio de Newton. Não considerar o erro de truncamento. 
w F(w) 
0 1,235 
1 F(1) 
2 1,469 
3 F(3) 
4 1,751 
 
 
 
Solução: 
 
w F(w) ∆ ∆2 ∆3 
0 1,235 0,111 0,012 0,001 
1 F(1)=1,346 0,123 0,013 -0,003 
2 1,469 0,136 0,010 
3 F(3)=1,605 0,146 
4 1,751 
 є≤0,0005 є≤0,001 є≤0,002 є≤0,004 
 
605,1)3(F
010,0)]2(F)3(F[)3(F)4(F)2(F)3(F)2(F
331,1)1(F123,0)1(F)2(F)1(F
2
=
=−−−=∆−∆=∆
=⇒=−=∆
 
267,1)3,0(F
267,1012,0
!2
3,0111,03,0235,1)3,0(F
)0(F.
!2
w)0(F.w)0(F)w(P
)2(
2
)2(
2
=
=×+×+=
∆+∆+=
 
 
QUESTÃO 2: A capacidade calorífica de uma substância a pressão constante Cp em função 
da temperatura é dada por 2p T.cT.baC
−++= cal/mol onde a, b e c constam na tabela abai-
xo: 
 a b c 
Al 4,74 0,00276 0 
 
Sabe-se que a variação da entalpia nas temperaturas T0 e T1 é calculada por 
∫=∆
1
0
T
T p
dTCH . Com relação às informações descritas estime, pelo método de Simpson, 
o valor da variação da entalpia do alumínio (Al) entre as temperaturas de 300K e 500K, divi-
dindo-se o intervalo de integração em quatro partes. Três casas decimais. 
 
 
 
 
Solução: 
 
O passo h é h= 50
4
300500
=
−
 
 
A tabela é portanto a seguinte: 
 
T (temperatura) 300 350 400 450 500 
Cp=4,74+0,00276T 5,568 5,706 5,844 5,982 6,12 
 
 
 ( ) 2,1164)12,6)982,5.(2844,5706,5.(4568,5
3
50dT.CH
500
300
p =++++==∆ ∫ 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3: Anna depositou R$4000,00 em uma conta que rende juros de 5% ao ano capitaliza-
dos continuamente. Ela pretende retirar R$1.500,00 por ano. Sabendo que a taxa de variação do valor 
Q em função do tempo t (dado em anos) pode ser modelado pela equação diferencial 
1500Q05,0
dt
dQ
−= determine, usando o Método de Euler Modificado, quantos anos a conta levará 
para entrar no negativo? Use 2 decimais 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1500Q05,0
dt
dQ
−= e Q(0)=4000 
K1=F(t, Q)= 0,05Q-1500 
K2=F(t+0,5, Q+0,5K1)= 0,05(Q+0,5K1)−1500 
Q(t+1)=Q(t)+K2 
 
t Q K1 K2 
0 
1 
2 
3 
4000 
2667,50 
1266,71 
−205,87 
−1300 
−1366,63 
−1436,66 
 
−1332,50 
−1400,79 
−1472,58 
 
 
 
Quantos anos levarão para a conta entrar no negativo? 
Resposta: 3 anos 
QUESTÃO 4: Deseja-se delimitar o erro de truncamento Et ao calcular a área da 
região delimitada por y=f(x), o eixo x e as retas x=a, x=b, pela regra do trapézio 
com passo h. Sabe-se que n=3 é o número de partições do intervalo [a , b] , 
y=sen(3−x2) e o intervalo [0 , 52pi ] . Usando o Matlab, digitou-se então a codi-
ficação dada abaixo, mas que contém 5 erros. Pede-se encontrar os erros e escre-
ver a sintaxe correta. 
disp('O erro de truncamento Et é:') 
syms x 
y= sen(3−x2) 
a=0 
b= 52pi 
n=3 
h=(a-b)/n 
t=a:h:b; 
df=diff(y,4) 
z=a:h:b 
M=max(abs(subs(df,z))) 
Et= (h^5/12)*M 
 
 
Solução: 
erro 1: sin(3−x^2) 
erro 2: 2*pi/5 
erro 3: abs(b-a)/n 
erro 4: y , 2 
erro 5: n*(h^3/12)*M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B