2o 2016 P2 A e B

Prévia do material em texto

MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 2º Semestre de 2016 Prova P2 A Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Dada a tabela abaixo escrever o polinômio de Newton na forma cx.bx.a 2 ++ 
admitindo-se que o ponto t a ser interpolado está entre 0 e 1. 
t 0 1 2 3 4 
F(t) 1,121 1,232 1,355 1,492 1,644 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
)2(
2
t.006,0t.105,0121,1)t(P
)1t.(t.006,0t.111,0121,1)t(P
t.
!2
012,0
t.111,0121,1)t(P
++=
−++=
++=
 
 
t F(t) �F(t) ∆2 F(t) �3 F(t) 
0 1,121 0,111 0,012 0,002 
1 1,232 0,123 0,014 0,001 
2 1,355 0,137 0,015 
3 1,492 0,152 
4 1,644 
 
0005,0≤ε
 
001,02 ≤ε
 
002,04 ≤ε
 
004,08 ≤ε
 
QUESTÃO 2: Uma criança rolando uma pedra numa distância de x metros utiliza uma força 
F(x)=120+15.sen(x) Newtons. O trabalho que a criança deve realizar para fazer a pedra ro-
lar é dado pela integral ∫=
2
0
dx).x(FW . O pai da criança resolveu a integral usando o método 
de Simpson com passo h=0,5 usando duas casas decimais. Delimite o erro de truncamento 
associado a esse cálculo e verifique se o resultado de W é confiável. 
 
Solução: 
No intervalo de 0 a 2 com passo 0,5 temos duas integrais de Simpson. O valor máximo da 
derivada quarta de sen(x) nesse intervalo será no ponto 
2
pi
 . 
2c0 
011,0)
2
(sen.15
90
03125,0
.2)c(sen.15
90
5,0
.2))c(fmax(.
90
h
.2E
5
IV
5
tr
<<
<
pi
<<=
 
O cálculo com duas casas decimais feito por seu pai não está correto pois, pela delimitação 
o erro começa a incidir já na segunda casa decimal. 
 
 
 
 
QUESTÃO 3: Uma cidade projeta o crescimento de sua população N (mil habitantes) 
num instante t (anos) pela equação 





=
N
40
ln.N.08,0
dt
dN
. No ano de 2016 (t=0) sua 
população é 30 mil habitantes (N(0)=30). Usando o Método de Euler-Modificado, com 
precisão de 3 casas decimais, pede-se: 
a) Escrever as fórmulas adaptadas ao problema. 
b) Determinar o número de habitantes para t = 15 e t = 30 anos. 
 
 
Solução: 
 
As fórmulas adaptadas ao problema são as seguintes: 
K1= 0.08*N*ln(40/N) 
K2= 0.08*(N+7.5*K1)*ln(40/(N+7.5*K1)) 
N(t+h)=N(t)+15*K2 
 
t N K1 K2 
0 30 0,690 0,362 
15 35,442 0,344 0,156 
30 37,755 - - 
 
para t = 15 a população é de aproximadamente 35442 mil habitantes 
para t = 30 a população é de aproximadamente 37755 mil habitantes 
 
 
 
 
QUESTÃO 4: Para os Comandos (funções) do Matlab pede-se escrever o que cada um faz (executa) 
 
Função/Comando O que faz 
disp(‘aula’) 
 
exibir no display Command Window a palavra aula 
 
 
det(M) Calcula o valor do determinante da matriz M 
rref (C) diagonalizar (escalonar inferior e superior) a matriz C 
plot(t , gt ) esboçar ou traçar o gráfico da função gt em janela de visualização t 
abs(z) valor absoluto/módulo de z 
 
A 
 
 
 MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 2º Semestre de 2016 Prova P2 B Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
QUESTÃO 1: Dada a tabela abaixo escrever o polinômio de Newton na forma cx.bx.a 2 ++ 
admitindo-se que o ponto t a ser interpolado está entre 0 e 1. 
t 0 1 2 3 4 
F(t) 1,111 1,222 1,345 1,482 1,634 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
)2(
2
t.006,0t.105,0111,1)t(P
)1t.(t.006,0t.111,0111,1)t(P
t.
!2
012,0
t.111,0111,1)t(P
++=
−++=
++=
 
 
 
 
t F(t) �F(t) �2 F(t) �3 F(t) 
0 1,111 0,111 0,012 0,002 
1 1,222 0,123 0,014 0,001 
2 1,345 0,137 0,015 
3 1,482 0,152 
4 1,634 
 0005,0≤ε 001,02 ≤ε 002,04 ≤ε 004,08 ≤ε 
QUESTÃO 2: Uma criança rolando uma pedra numa distância de x metros utiliza uma força 
F(x)=120+25.sen(x) Newtons. O trabalho que a criança deve realizar para fazer a pedra rolar 
é dado pela integral ∫=
2
0
dx).x(FW . O pai da criança resolveu a integral usando o método de 
Simpson com passo h=0,5 usando duas casas decimais. Delimite o erro de truncamento 
associado a esse cálculo e verifique se o resultado de W é confiável. 
 
Solução: 
No intervalo de 0 a 2 com passo 0,5 teremos duas integrais de Simpson. O valor máximo da 
derivada quarta de sen(x) nesse intervalo será no ponto 
 
pi
2
. 
2c0 
018,0)
2
(sen.25.
90
03125,0
.2)c(sen.25
90
5,0
.2))c(fmax(.
90
h
.2E
5
IV
5
tr
<<
<
pi
<<=
 
 
O cálculo com duas casas decimais feito por seu pai não está correto pois, pela delimitação o 
erro começa a incidir já na segunda casa decimal. 
 
 
 
 
QUESTÃO 3: Uma cidade projeta o crescimento de sua população N (mil habitantes) 
num instante t (anos) pela equação 





=
N
50
ln.N.1,0
dt
dN
 . No ano de 2016 (t=0) sua 
população é 20 mil habitantes (N(0)=20). Usando o Método de Euler-Modificado, com 
precisão de 3 casas decimais, pede-se: 
a) Escrever as fórmulas adaptadas ao problema. 
b) Determinar o número de habitantes para t = 10 e t = 20 anos. 
 
 
Solução: 
 
As fórmulas adaptadas ao problema são as seguintes: 
K1= 0.1*N*ln(50/N) 
K2= 0.1*(N+5*K1)*ln(50/(N+5*K1)) 
N(t+h)=N(t)+10*K2 
 
 
t N K1 K2 
0 20 1,833 1,572 
10 35,722 1,201 0,755 
20 43,269 - - 
 
 
para t = 10 a população é de aproximadamente 35722 mil habitantes 
para t = 20 a população é de aproximadamente 43269 mil habitantes 
 
 
 
 
Questão 4: Para os Comandos (funções) do Matlab pede-se escrever o que cada um faz (executa) 
 
Função/Comando O que faz 
inv(C) inverter uma matriz C quadrada e não nula 
grid plano quadriculado (linhas grades) 
subs(f,x,3) substituir em f as ocorrências de x por 3 
abs(z) valor absoluto/módulo de z 
 diff(f,3) derivada de ordem 3 da função f 
 
 
B