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Estruturas de concreto Solicitações tangenciais

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Péricles Brasiliense Fusco 
ESTRUTURAS 
DE CONCRETO 
SOLICITAÇÕES TAUCENCIAIS 
Esforços Solicítantes 
Forças Cortantes 
Torção 
Tensões em Regime Elástico 
Seções Abertas e Seções Fechadas 
Analogias de Treliça 
Oimensionamento em Regime de Ruptura 
Peças de Concreto Armado 
Peças de Concreto Protendido 
Lajes com e sem Armadura de Cisalhamento 
Ptiritlcs Brasillcnsç Fusco 
E n p n l i e i r o Ciwit • Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo - ÊPUSP - 1 9 5 2 
Engenhei ro N a v a ! - EPUSP - 1 9 6 0 
Doutor e m E n g e n h a r i a - EPUSP - 1 9 6 8 
Livjre-Do cento - EPUSP - 1 9 7 5 
Professor t i tu lar - EPUSP - 1 9 8 0 
Coordenador das áreas "Sistemas Estruturais de 
Concreto" e "Análise Exper imental de Estruturas" do 
Departamento de Engenharia e Estruturas e 
Fundações da EPUSP 
Fundador e D i re to r do Labora tá rio de Estruturas e 
Mater ia is Estruturais da EPUSP 
Or ientou 19 dissertações de mestrado c 17 do 
doutorado. 
Pro je t is ta de e s t r u t u r a s cie c o n c r e t o , tendo 
participado do projeto de grandes obras rea lçadas 
no País durante os últ imos 2 5 anos, nas áreas de 
edifícios altos, indústrias pesadas, pontes e usinas. 
ESTRUTURAS UE CONCRETO 
SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS 
Estruturas de concreto: solicitações tangenciais 
©COPYRIGHT EDITORA PINI LTDA. 
Todos os direitos do reprodução ou tradução reservados pote Editora Pini Lida, 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP> 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Fusco, Péricles Brag iliensí? 
Estruturas de concreto : solicitações 
tangenciais / Péricles Brasiliense Fusco, 
ISBN 979-85-7266-208-6 
1, Cisalhamento 2. Engenharia de estruturas 
3, Estruturas de concreto armado I, Título, 
08-06331 CDD-624,1334 
índice para catáloga sistemático: 
1. Estruturas de concreto armado : Solicitações 
tangenciais : Engenharia estrutural 
624 ,1834 
Coordenação de Manuais Técnicos; Josiani Souza 
Projeto Gráfico e Capa; Luciano Rocha 
Díagramação: Maurício Luiz Aires 
Revisão: Andréa Marques Camargo 
Editora Píni Lida, 
Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SP - Brasil 
Fone: (011) 2173-2300 - Fax: {011) 2173-2427 
www.piniweb.com - manuals@plni,com.br 
1» edição 
1a tiragem; 2.000 exemplares, set/2GG8 
Esta obra cuida do dimensionamento de peças de concre-
to estrutural submetidas a solicitações tangenciais: forças 
cortantes e momento de torção. 
Nelas, as solicitações tangenciais são resistidas por diago-
nais comprimidas de concreto e por armaduras transversa-
is tracionadas, e, no caso da torção, também por armadu-
ras longitudinais tracionadas, As diagonais comprimidas 
de concreto usualmente devem atravessar regiões fissur-
adas por solicitações de flexão, çue diminuem de forma 
aleatória a resistência do concreto à compressão. É por 
essa razão que acidentes estruturais, envolvendo o co-
lapso de estruturas, quase sempre decorrem da ação de 
solicitações tangenciais. Por esse motivo, a possibilidade 
de ocorrência de estados limites últimos de solicitações 
tangenciais somente deve existir depois da ocorrência de 
estados limites últimos de solicitações normais, devidos a 
escoamentos de armaduras (racionadas, os quais podem 
provocar físsuração Suficientemente intensa para servir 
de advertência da proximidade de possíveis situações de 
eminência de colapso. 
A resistência adequada aos esforços tangenciais depende 
essencialmente de um correto detalhamento das armadu-
ras das peças estruturais. Este livro aborda a determinação 
das quantidades de armaduras necessárias para essa re-
sistência, mas o seu adequado detalhamento não é aqui 
discutido em minúcias, O estudo pormenorizado do deta-
lhamento das armaduras já foi, por nós, elaborado no livro 
Técnica de Armar, também publicado pela Editora Pini, 
Como já dizia Aristóteles em seu livro 'A Política", o 
entendimento completo das coisas somente é obtido 
pela compreensão do funcionamento da menor <íe suas 
partes. Essa é a idéia central que deve orientar quem lida 
com as estruturas das sociedades humanas, em todos os 
seus sentidos. 
P É R I C L E S B R A S t L I E N S E F U S C O 
P r o f e s s o r T i t u l a r d a E s c o l a P o l i t é c n i c a d a 
U n i v e r s i d a d e d e S ã o P a u l o 
São Paulo 
30/5/2008 
1" PARTE - C O N C E I T O S B Á S I C O S S O B R E C I S A L H A M E N T O 
CAPÍTULO 1 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO 12 
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples 12 
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante 14 
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento 19 
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável 26 
1.5 Tensões principais 29 
1.6 Natureza simplificada da teoria 31 
CAPÍTULO 2 
FORÇAS CORTANTES REDUZIDAS 34 
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento 34 
2.2 O conceito cie força cortante reduzida 39 
2.3 Cisalhamento na flexão composta 42 
24 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto armado... „„„„„„.47 
2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado 51 
2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto pretendido 54 
2.7 Vigas protendides com cabos inclinados. 57 
CAPÍTULO 3 
ANÁLISE ESTRUTUAL - DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOUCITANTES -
EXEMPLOS 64 
3.1 Critérios de classificação das ações ....64 
3.2 Combinações de cálculo e critérios de segurança 68 
3.3 Exemplo n° 1: Viga isostótíca de seçío constante em edifício de oficinas; 
FlexSo simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma 
natureza, combinação última fundamental e combinação de serviço .71 
3.4 Exemplo n° 2: Viga isostãtica de seçfio constante em edifício de oficinas; 
Flexão simples devida a ações permanentes do grande voriabilidade c 
duas ações variáveis de naturezas diferentes; Duas combinações últimas 
fundamentais e duas combinações de serviço 74 
3,5 Exemplo nü 3; Viga isostática de seçáo constante; Flexão simples devida 
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com 
carregamento alternado , 77 
3,6 Exemplo n°4: Viga isostãtica de seção constante; Flexão simples devida 
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis 80 
3.7 Exemplo n°5: Viga Isostãtica de concreto armado de seção variável; Flexão 
simples c composta; Combinação principal e combinação secundária 85 
3.8 Exemplo nu6: Viga Ivperestãtica de seção constante; Flexão simples devida 
a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado; 
Combinação principal e combinação secundária 9C 
CAPÍTULO 4 
VIGAS DE CONCRETO ARMADO 96 
4.1 Modelo resistente de treliça 96 
4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça 99 
4.3 Modos de ruptura 102 
4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais 106 
4.5 Principio funda mental de segurança em relação às solicitações tangenciais 108 
4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça .. 108 
4.7 Funcionamento de estribos inclinados 112 
4.8 Funcionamento de barras dobradas 113 
CAPÍTULO 5 
ANALOGIAS DE TRELIÇA 116 
5.1 Analogia da treliça clássica 116 
5.2 Treliça clássica com armadura vertical 120 
5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada 127 
5.4 Analogia generalizada da treliça 133 
5.5 Tensões na armadura transversal 135 
5.6 Tensões nas bielas diagonais 138 
5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão 139 
CAPITULO 6 
PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO 142 
6.1 Tensões na armadura transversal 142 
6. 2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido, 144 
6.3 Tensões nas bielas diagonais 146 
6.4 Eficiência dos estribos inclinados 150 
6.5 Influencia da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas 151 
6.6 Intervalo devariação da inclinação das bielas 153 
6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão 15® 
6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas 161 
6.S Cisalhamento nas abas salientes,,....,, 16? 
CAPÍTULO 7 
PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO 170 
7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento ..170 
7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento 174 
7.3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples.,, 180 
7.4 Outra s i nvestigações experimentais 191 
7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento,,... 194 
7.6 Cisalhamento na flexo-tração .199 
7.7 Cisalhamento na flexo-compressão 202 
CAPÍTULO 8 
PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO 206 
8.1 Interação dos cabos de pretensão com o concreto das peças estruturais 206 
8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido 210 
8.3 Modos do ruptura e estudos limites últimos 214 
8.4 Influencia da força normal longitudinal sobre o cisalhamento, 215 
8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal 222 
8.6 Vigas com cabos Inclinados ........ 226 
CAPÍTULO 9 
REGRAS DE D1MENSIQNAMENTO . . 230 
9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento 230 
9.2 Peças com armadura de cisalhamento . 232 
» PARTE - C I S A L H A M E N T O N A T O R Ç Ã O 
CAPÍTULO 10 
TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA 246 
10.1 Garras de seção circular 246 
10.2 Analogia da membrana .„... . . . 249 
10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas 251 
10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas ,..,, 256 
10.5 Seções abertas de parede delgada 256 
10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas 260 
10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria 261 
10.8 Exemplo importante 263 
10.9 Centro de cisalhamento do seções abertas de forma qualquer 265 
CAPÍTULO 11 
TORÇÃO DE SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA 268 
11.1 Tensões .. 268 
11.2 Rigidez 272 
11.3 Analogia da membrana 274 
11.4 Centro de cisalhamento das barras de seção fechada.... 276 
11.5 Exemplo 282 
11.6 Seções parcialmente fechadas 287 
11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada 289 
11.8 Seções multicelulares 290 
11.9 Exemplo de seção multicelulsr., 293 
CAPÍTULO 12 
TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL . 298 
12.1 Torção em peças de concreto armado 298 
12.2 Analogia da treliça espacial .,,.301 
12.30 modelo de treliça espacial - .....303 
12.4 Rigidez à torção 309 
12.5 Torção de peças de concreto protendido 312 
CAPÍTULO 13 
TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA ,,,..314 
13.1 Torção pura - 314 
13.2 Tensões nas bielas diagonais .....317 
13.3 Tensões na armadura transversal 320 
13,4Tensões na armadura longitudinal 322 
13.5 Torção composta .....324 
13.6 Flexo-torção 326 
Ia PA R T E CONCEITOS BÁSICOS SOBRE CISALHAMENTO 
CAPÍTULO 1 
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM REGIME ELÁSTICO 
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples 
Considere-se uma barra submetida a cargas transversais de intensidade p 
variável ao longo de seu comprimento. Nela existem momentos fletores M e 
forças cortantes V Fig. (1.1 -a). 
O equilíbrio de um elemento de viga, de comprimento infínitesima! dx, Fig. 
(1.1-b), deve obedecer às seguintes condições: 
lU± = v 
dx (1.1-1) 
dx (1.1-2) 
ESTRUTURAS W COUCRETO 
donde 
dlM dV 
dx dx (1.1-3) 
t t t t 
M 
V 
M + dM 
V + dV 
dx 
Condições tio equilíbrio 
Figura (J, J-b) 
Note-se que essas equações foram escritas com as convenções clássicas de 
sinais da Resistência dos Materiais, ou seja, os momentos fletores sâo posi-
tivos quando produzem tração nas fibras inferiores, as forças cortantes são 
positivas quando, em duas seções adjacentes, formam um binário horário, e 
as cargas são positivas quando atuam de cima para baixo. 
A equação (1.1-1) exprime a condição de equilíbrio de momentos e a equação 
(1.1-2) a condição de equilíbrio de forças transversais ao eixo da barra. 
Observe-se que não se cogitou do equilíbrio de forças axiais, pois como não 
existe força normal, em qualquer seção transversal, há sempre a condição 
já dA = 0 (1.1-4) 
em que A é a área da seção transversal da barra. Note-se, também, que não 
foi feita qualquer restrição quanto à forma da seção transversal, não impor-
tando se a seção transversal da barra varia ao longo de seu comprimento, 
pois o equilíbrio de tensões normais se dá dentro de cada seção transversal, 
como mostra a expressão (1 .1-4). 
De fato, como é mostrado na Fig. (1 .1 -c), sendo r a resultante das tensões 
de compressão e Rj(} das de tração que atuam em uma mesma seção trans-
versal, cada uma delas de um dos lados da linha neutra, tem-se 
Rc0 + 
e, analogamente, na seção de abscissa x+dx , 
(R CQ+d R co ) + (R to +dR (Q.) = 0 
estando sempre assegurado o equilíbrio de forças paralelas ao eixo da barra. 
crc+ dac 
i > 
-, dx 
Rco Rco ^ d^o C 
6 
L — 
Rlo+dRt*) 
N 
dx 
Condições ele equilíbrio 
Figura {). 1-cj 
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante 
Considere-se agora não mais o elemento completo de viga, mas apenas tre-
chos definidos por seções longitudinais de ordenada y, Fig. (1.2-a). 
Nesse caso, o equilíbrio de cada um dos trechos parciais do elemento de 
comprimento dx somente subsistirá com a presença de tensões tangenciais 
nas faces de corte longitudinal do elemento. 
Vigas da Soçáo Constante 
Figuro (1,2-o) 
Tomando-se em valor absoluto as resultantes das tensões normais, o equilíbrio 
longitudinal de cada seção transversal completa, considerada isoladamente, im-
põe necessariamente as condições 
Subdividindo o elemento pela seção longitudinal de ordenaday, em face das 
expressões acima, a força dVy pode ser determinada considerando-se indife-
rentemente o equilíbrio do trecho superior ou o do trecho inferior resultante 
dessa subdivisão. 
Desse modo, pode-se escrever a condição de equilíbrio como 
«/k, = <//?, 
onde Í!R{ a d | aihi 
Ay 
sendo Ar a área da parte da seção transversal delimitada pela seção longitu-
dinal considerada, resultando 
(IV =cí f <TíIA 
* \ 
Desse modo, admitindo que seja constante a tensão de cisalhamento ao lon-
go da seção longitudinal de corte, Fig, (1.2-b), tem-se 
dV =xbcíx 
X 
logo 
I d 
i = 
b dx 
- jatíA (12-1) 
Cisalhamento no piitno longitudinal de corte 
Figura (12-b) 
A validade da equação (1,2-1) exige que, no plano longitudinal, a tensão x 
possa ser admitida como constante ao longo da largura b, mas não se faz 
qualquer restrição quanto à eventual variação de x ao longo de dx pois, se 
ela existir, sua resultante será um irrfinitésimo de ordem superior, sendo, por-
tanto, desprezável. 
A possibilidade de admitir a tensão t como constante ao longo da largura h 
depende da forma da seção transversal. 
De fato, em virtude do equilíbrio, são iguais entre si os módulos das compo-
nentes de cisalhamento T e r„„ que agem perpendicularmente à aresta 
comum dos dois planos ortogonais, Fig, (1,2-b), 
Desse modo, para que xyx seja constante ao longo de b no plano longitudi-
nal, t^ deverá ser constante ao longo de b no plano da seção transversal. 
As seções transversais para as quais esta hipótese é plausível, são analisa-
das adiante. 
De qualquer maneira, aceitando-se que i seja constante ao longo de b e que 
não haja força normal na seção transversal, de [1,2-1], considerando o caso 
de flexão normal, resulta 
1 d cM I d (M 
t = —y-dA = — - —-5, 
bdx j I ' bdx{ I y) 
onde / é o momento de inércia da seção transversal e 
Sy = | ydA 
o momento estático, em relação à linha neutra, da qualquer uma das duas 
áreas Ay correspondentes á parte da seção transversal situada de um dos la-
dos do plano longitudinal de corte, pois como a linha neutra é baricêntrica na 
flexão simples, são iguais os módulos dos momentos estáticos dessasduas 
áreas parciais. Deste modo, tem-se 
/ 
l 
s y d ( SY 
f dx 1 / 
(1.2-2) 
No caso em que as seções transversais tenham Sy / / constante ao longo do eixo 
da barra, resulta 
(1,2-3) 
hl 
Em uma dada seção transversal, Ve / são constantes, variando as tensões r 
proporcionalmente a Sy/h. INIos trechos em que a largura b for constante, a 
variação da tensão será proporcional a Sy . Na Fig. (1,2-c) são mostradas as 
variações de tensões de cisalhamento em uma seção retangular e na alma de 
uma seção duplo T. 
Note-se que por meio dessa teoria não é possível determinar as tensões de 
cisalhamento paralelas à força cortante nas abas da seção duplo T. 
Ao longo da alma da seção duplo T pode-se admitir a tensão de cisalhamento 
T constante ao longo de b, mas isso não é possível ao longo das abas. Ao 
longo dos trechos AB e CD das mesas da seção duploT, a condição de contor-
no imposta pelas bordas livres torna nula as tensões perpendiculares a essa 
borda. Todavia, nos trechos BC de ligação das mesas com a alma, a tensão de 
cisalhamento é obrigatoriamente não nula, para garantir o equilíbrio longitudi-
nal das próprias mesas sob a ação de momentos fletores que variam ao longo 
do eixo da barra. Não há, portanto, motivo para que a tensão de cisalhamento 
paralela à força cortante seja constante ao longo de fibras EF e da espessura 
das abas, Todavia, como essa tensão de cisalhamento ao longo da espessura 
das abas parte de zero em uma borda e também deve ser nula na outra borda, 
admite-se que ela possa ser considerada nula ao longo de toda a espessura 
da aba. 
De modo geral, nas seções transversais usuais, a máxima tensão de cisalha-
mento ocorre na fibra que contém o seu centro de gravidade, pois é aí que 
usualmente a função Sy/b assume seu valor máximo. Como exceção impor-
tante, tem-se a seção triangular, cujo máximo da função Sy/b ocorre à meia 
altura da seção. 
Chamando de r„ a tensão de cisalhamento na fibra da linha neutra, onde 
y = 0, tem-se 
JL 
~ v ~ V (1-2-4> 
sendo 
Z~SÜ (1.2-5) 
Em resumo, as expressões (1.2-3) e (1.2-4) permitem o cálculo do módulo da 
tensão de cisalhamento nas seções transversais em que é possível admitir x 
constante ao longo da largura h da fibra considerada. 
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento 
Quaisquer que sejam os esforços que atuam em uma peça estrutural, na 
periferia de uma seção plana perpendicular à superfície externa da peça, a 
tensão de cisalhamento será obrigatoriamente tangente a seu contorno. De 
fato, admitindo-se que na superfície lateral da peça sejam nulas todas as 
tensões, também será nula a componente de cisalhamento perpendicular 
ao contorno da seção transversal, Fig. (1.3-a). Então, na seção transversal, a 
componente de cisalhamento perpendicular ao contorno também será obri-
gatoriamente nula, fazendo que na seção transversal possa subsistir apenas 
a componente de cisalhamento tangente ao contorno. 
mm 
1 9 
Cisalhamento na periferia 
da saçãa transversal 
Figura fI.3-«) 
Na maior parte dos casos, essa condição de contorno permite a determinação 
da direção das tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes, 
Na Fig, (1.3-b) está mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento 
em diferentes seções transversais submetidas a forças cortantes paralelas 
ao eixo Y. 
Nas seções transversais formadas por elementos delgados, Fig, (1.3-b; I - III 
- V), as tensões de cisalhamento têm a direção da linha média do perfil, A 
pequena espessura dos elementos também justifica a hipótese de que T seja 
constante ao longo da espessura b, medida sempre na perpendicular à linha 
média do elemento, 
No cruzamento dos elementos delgados que compõem a seção transversal, 
essa teoria elementar não permite uma análise rigorosa do andamento das 
tensões de cisalhamento, embora permita o entendimento qualitativo adian-
te apresentado. 
Nas seções retangulares, Fig. (1.3-b; II), a mesma hipótese simplificadora an-
terior pode ser aceita, desde que a largura b não seja significativamente maior 
que a altura da seção. 
Figura (1,3 b) 
Mas seções circulares, Fig. (1,3-b; IV), as tensões x náo podem ser constantes 
ao longo da largura b, pois elas necessariamente terão direções diferentes 
nas duas extremidades de b, No entanto, admitindo que a componente para-
lela a Y seja constante, a expressão (1.2-3} pode ser empregada para o cálculo 
dessa componente. 
Sempre que em uma seção x não for constante ao longo de b, a expressão 
(1.2-3} fornecerá um simples valor médio aproximado. 
Observe-se que para o cálculo das tensões de cisalhamento existe apenas 
uma equação de equilíbrio, podendo, então, existir somente uma incóg-
nita, Desse modo, com um único corte longitudinal, a seção transversal 
deverá ficar dividida em duas partes inteiramente separadas. 
Note-se que essa condição não ocorre na seção celular da Fig. {1.3-b; V), 
No caso da seção celular simétrica, com o carregamento contido no plano 
longitudinal de simetria, o cisalhamento no eixo de simetria, por simetria, é 
necessariamente nulo. Isso permite tratar a seção celular como se ela fosse 
aberta no eixo de simetria. 
No caso da seção não ser simétrica, o problema é hiperestátíco e, em princí-
pio, isso acarreta o aparecimento de esforços de torção combinados com os 
de força cortante. 
Note-se, finalmente, que o sentido das tensões de cisalhamento não é deter-
minado pela expressão (1.2-3). Para determinar esse sentido, deve-se consi-
derar o andamento do diagrama de momentos fletores, conforme é mostrado 
no exemplo da Fig. (1.3-c). 
Sontkfo tios tonsíos tio çi&alhamanto 
figuro (?,3-c) 
Um exemplo mais complexo está mostrado na Fig, {1,3-d}. Observe-se que 
nesse caso há uma inversão do sentido das tensões de cisalhamento ao longo 
das abas salientes, Nos pontos B, que delimitam os trechos AB que têm seus 
centros de gravidade G1 na mesma altura que o centro de gravidade G da se-
ção completa, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente nula, por ser nulo 
o momento estático Sy a eles correspondentes. 
Figura fl.S-d) 
É importante assinalar que em seções delgadas, como o duplo T ou a seção 
celular, Fig. {1,3-b ; III - V), de fato existem tensões de cisalhamento paralelas 
à força cortante perpendicularmente à linha média dos elementos delgados. 
Nesses elementos, as tensões perpendiculares à linha média das abas são 
sempre de pequena intensidade, pois elas partem de zero em uma borda e 
chegam a zero na outra borda, como conseqüência de serem nulas as ten-
sões na superfície externa da barra, como se mostra na Fig.(1.3-e), Por esse 
motivo, essas tensões são sempre desprezadas, considerando-se apenas as 
componentes paralelas à linha média do perfil. 
Tgnsôos porpendtcularos è tinha média do perfil 
Figura (1.3-o) 
A fim de analisar o andamento das tensões de cisalhamento na região de cru-
zamento de elementos delgados, considere-se o trecho de ligação da alma de 
um perfil T com a mesa de tração. Na Fig. (1.3-f) estão mostradas as tensões 
de cisalhamento que atuam ao longo dos diferentes planos longitudinais res-
ponsáveis pela ligação da alma à mesa. 
As tensões xx, que atuam na alma provocam a distorção, Fig. (1.3-g). 
Ao longo do trecho de cruzamento da alma do perfil com a sua mesa de tra-
ção ou de compressão, essa distorção tende a zero, pois, no cruzamento da 
alma com as faces externas da mesa, a tensão t i : é obrigatoriamente nular 
em virtude de ser nula a tensão na própria superfície livre, Fig. (1.3-g), 
Desse modo, a tensão de cisalhamento x„: vai- se anulando ao longo do cru-
zamento da alma com a mesa de compressão, como mostrado na Fig. (1.3-h). 
Verifica-se então que as tensões t ; í atuantes no plano longitudinal de corte 
da alma são equilibradas pelas tensões t,, que agem nos dois planos longi-
tudinaisde corte das abas da mesa. 
Note-se que a composição vetorial das tensões zx. e tvv mostradas na Fig. 
(1,3-h) faz com que o fluxo de tensões da alma sofra uma rotação ao ser trans-
ferido para as abas da mesa, como mostrado nas figuras anteriores. A análise 
desse fluxo de tensões mostra a importância do arredondamento dos cantos 
reintrantes das estruturas metálicas e das correspondentes mísulas das estru-
turas de concreto, 
Md 
25 
Figura f! ,3-g) 
t 1 £ 
t 122 
"^xz 
Figura (1,3-ty 
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável 
Para a determinação das tensões de cisalhamento nas seções transversais 
das barras de seção variável, em lugar da equação (1,2-3} deve ser emprega-
da a expressão geral (1,2-2), pois nesse caso Syjl varia em função de x , 
Como em geral a tensão de cisalhamento é máxima na fibra que contém o 
centro de gravidade da seção, no caso de barras de seção variável, usualmen-
te são estudadas apenas as tensões x9 nessa fibra. Desse modo, de (1.2-2) 
tem-se 
T b A / — f — 0 0 I dx[l , 
logo 
Como usualmente o braço de alavanca z é proporcional à altura h variável da 
seção, admite-se que seja 
donde 
ou seja 
Z=Qt 
_V_ A / j / f O V__M_ I dh 
CA~z + C ttc[h) z C, fr dx 
I (y_M_dh^ 
h dx j baz 
(1.4-1) 
V, 
Viges do altura variável 
Figura ít^-oj 
Considerando barras com variação suave da seção transversal, Fig, (1.4-a), 
tem-se 
— =—L + — - 3 tany, + tan = tan (V, + lan^ 
dx dx dx 
logo 
1 („ M. 
Desse modo, tudo se passa como se continuasse válida a expressão (1.2-4), atu-
ando porém na seção transversal uma força cortante reduzida Vntl dada por 
(1.4-2) 
(1.4-3) 
sendo então 
t 0 = ^ L (1.4-4) 
IMa passagem das expressões (1.4-1) para (1.4-2), foi acrescentado o duplo sinal 
porque nelas há várias convenções de sinais que precisam ser compatibilizadas. 
Para a escolha do sinal a ser empregado nas expressões anteriores, podem 
ser feitos os seguintes raciocínios, Fig. (1.4-b). 
Influência do variação da seção 
Figura (J.4-Ò) 
Quando a barra tem braço de alavanca z - constante, a força AH deve equi-
librar a componente AR correspondente à variação do momento fletor no 
trecho de comprimento Ax. 
No caso de vigas com z variável, mesmo que no trecho Avatue um mo-
mento fletor constante M , sendo , será Rtl * Rc2, surgindo assim 
uma componente AH{, embora V = dMjdx = 0 . 
Combinando-se os dois raciocínios anteriores, conclui-se que quando |/kf| e 
h crescem no mesmo sentido, a força AH decorrente da existência da força 
cortante fica reduzida pela parcela AHt devida à variação da seção transver* 
sal, Fig. (1.4-b). 
Dessas observações decorre a regra pela qual, na expressão {1.4-3) que de-
termina o valor da força cortante reduzida Vrft!, é tomado o sinal menos {-) 
quando \M\ e h crescem no mesmo sentido, e o sinal mais {+) quando cres-
cem em sentidos opostos. 
1.5 Tensões principais 
Nas peças estruturais, as superfícies externas em geral são superfícies isentas 
de tensões. Desse modo, os estados múltiplos de tensões que apresentam 
maior interesse são estados triplos com um plano de tensão nula, pois em 
geral os pontos mais solicitados situam-se junto à periferia das seções trans-
versais. Nesse caso, basta estudar as tensões que agem nos planos perpendi-
culares ao plano de tensão nula. 
Conhecidas as tensões nas faces de referência de um elemento da barra, Fig. 
(1.5-a), as tensões principais e as direções dos planos principais podem ser 
determinadas pelas expressões seguintes, em que a é a inclinação da ten-
são principal menor em relação ao eixo na direção ao qual atua a tensão 
designada por a v . Nessa figura também é mostrada a determinação das ten-
sões e das direções principais por meio do círculo de Mohr, no caso particular 
corrente em que <rh. = 0. 
tan a 
a^-cr, CJ, - Cl 
tá h 
Na verificação da segurança das estruturas de concreto, de modo geral, são 
impostas limitações às máximas tensões de tração e às máximas tensões de 
compressão. Para evitar ambigüidades, essas tensões são consideradas em 
valor absoluto, indicando-se a maior tensão de tração por a J ( e a maior ten-
são de compressão por <s„ . 
Os valores característicos dessas tensões serão indicados por vn e <sjfk, e os 
valores de cálculo por Gjd e a„(í, respectivamente. 
Estados múltiplas da tvnsóas 
Figura (!.5-i>) 
Na Fig. (1,5-b) estão indicadas as tensões principais ao longo da altura da 
seção transversal de uma viga de seção retangular, de material elástico, sub-
metida à flexão simples. 
Nesse caso, na linha neutra existe um estado de cisalhamento simples, com a 
inclinação çt = 4S da tensão principal de compressão nlf em relação ao eixo 
longitudinal da peça. 
Além disso, na linha neutra, A, = T5, e também O^ = TFL. 
TENSÕES PfllNCIPfllS TENSAS PRINCIPAIS 
Distribuição dos tansàos principais 
Figuro (f,5b) 
Guando a peça também for submetida a forças normais de compressão, as 
tensões principais no centro de gravidade da seção ficarão alteradas, conforme 
foi mostrado na Fig. (1.5-a), Observe-se que com isso haverá uma redução da 
tensão principal e a tensão principal terá uma inclinação et <45 . 
1.6 Natureza simplificada da teoria 
E importante salientar que as equações aqui deduzidas para a determinação 
das tensões de cisalhamento decorrem de uma teoria aproximada, cujos re-
sultados são influenciados pelas hipóteses simplificadoras adotadas, 
Essas teorias não podem, portanto, ser aplicadas sem tais ressalvas. 
Como exemplo das limitações dessa teoria, existe o paradoxo de que a distri-
buição das tensões de cisalhamento foi obtida a partir da hipótese adotada na 
teoria de flexão, de que seja mantida a forma plana da seção transversal da 
barra, e o seu resultado diz que a seção transversal deixa de ser plana. 
De fato, na expressão (1.2-1) para o cálculo das tensões de cisalhamento in-
troduziu-se a expressão da tensão normal decorrente da teoria de flexão, que 
adota a hipótese da manutenção da seção plana, corno está explicitado na 
equação (1.2-2). 
Analisando a distribuição de tensões de cisalhamento t = VSÍbl calculadas ao 
longo da altura de uma seção transversal retangular, Fig. (1.6-a}, verifica-se que 
em virtude das distorções y-\jG seguirem necessariamente um andamento 
análogo ao dessas tensões, haverá uma distorção máxima no centro de gravi-
dade da seção e distorções nulas em suas extremidades. 
r -VS v - i 
~bj G AX q>=IA<p. 
\ 
T0 / / " ri i i i i 1 n, ' • -X. i tp = IAíJ}j 
/ 
f 
/ 
/ 
ii i X 
fp = 1 Aifh, 
Do/ormsçáo da scçáo transversa) dovida ò íorçn cortanto 
Figura (t.6-o) 
Desse modo, tendo em vista a compatibilizaçào das distorções ao longo da 
altura da seção transversal, essa seção, originalmente plana, sob a influência 
da força cortante, necessariamente deixa de ser plana. 
CAPÍTULO 2 
Forças cortantes reduzidas 
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento 
Ma flexão simples, a tensão de cisalhamento nas vigas de seção constante é dada 
pela expressão 
ys 
X = JF 
em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da seção transversal em 
relação à linha neutra, b é largura da fibra por meio do qual calcula-se a tensão 
e S é o momento estático, calculado sempre em relação à linha neutra, da parte 
da seção situada de um dos lados da fibra na qual é calculada a tensão t, 
Mote-se que não importa qual dos dois lados da seção é considerado para 
o cálculo do momento estático S, pois para ambos é obtido o mesmo valor 
absoluto, uma vez que é nulo o momento estático da totalidade da seção 
transversal em relação a um eixo baricêntrico, 
Quando a largura b for variável ao longo da altura da seção, a tensão calcula-
da pela expressão anterior corresponderá ao valor médio da componente de 
cisalhamento atuante paralelamenteà força cortante. 
Considere-se agora a demonstração de que a resultante das tensões de cisalha-
mento calculadas pela expressão anterior é igual à força cortante aplicada. 
Note-se que o resultado não é óbvio, pois as tensões de cisalhamento foram 
calculadas a partir da variação das tensões normais atuantes na seção trans-
versal, e não a partir de hipóteses formuladas diretamente a partir da própria 
força cortante. 
Em principio, Ffg. (2.1-a), a resultante das tensões t paralelas a V vale 
(2.1-1) 
em que o momento estático S(y) é função da ordenada y que define a fibra por 
meio da qual se calcula i , 
fíosvftanto das lonsúos do cisalhamento 
Figura (5. J-o) 
C5THUTUnAS DC CONCRETO 
Integrando a expressão anterior por partes, obtém-se 
ou seja 
\s(y)dy~-)yds(y) 
yi >1 
uma vez que são nulos os momentos estáticos S ) e correspon-
dentes à totalidade da seção transversal em relação à linha neutra, temos 
como resultado 
>•• (2,1-2) 
Por outro lado, sendo r uma variável muda de integração, o momento estáti-
co vale 
S(y)= jbz-dz 
ou seja 
V >1 
$ (y ) = - Jfe • d" + J/>Z • dz 
A segunda integral da expressão anterior representa o momento estático 
da parte da seção que fica de um lado do eixo baricêntrico Gx, sendo 
portanto um valor constante, possível de se escrever a expressão anterior 
sob a forma 
A expressão do diferencial dS(y) a ser introduzido na integral da equação 
(2,1-2), que é definida por 
pode então ser escrita sob a forma 
íty 
> 
-jbz-dz + Sq dv 
Desse modo, sendo Su um valor constante, tem-se 
dS(y) = -[bzl-dy = -bydy 
Substituindo (2.1-3] em (2.1-2), obtém-se 
(2.1-3) 
\s(y)dy = -\y(-by)dy 
resultando, finalmente, 
\S(y)dy=]byldy = I 
(2.1-4) 
Essa expressão, substituída em (2.1-1), prova que 
(2.1-5) 
Mo caso de vigas de seção variável, de acordo com (1.2-2), as tensões de ci-
salhamento são dadas por 
, « 4 
vsv d 
I dx 
( c 
t 
e sua resultante, pelo que já foi visto, vale 
\x(y)bdy = V+ fM J-f ^ \dy 
Como M e I são valores globais da seção transversal genérica, tem-se 
A Vj V 
dy 
Por outro lado, de 
'r d 
f c-
f - ^ 4> = M ' J dx 7 
integrando-se por partes, conforme (2.1-4), obtém-se 
\S?<*y = [ s M - S ( y 2 ) y \ y - d S y = I 
ou seja, resulta 
1 dA ! 
J y - M l . I 
* d x \ I 
s O 
concluindo-se que em qualquer caso 
R(t)mV 
2.2 O conceito de força cortante reduzida 
O conceito de força cortante reduzida foi introduzido pela primeira vez por meio 
das expressões (1.4-2) e (1.4-3), pelas quais, no centro de gravidade das seções 
transversais das vigas de altura variável, atuam as tensões t0 dadas por 
1 í,v M . \ 
Surge, então, a idéia de uma força cortante fictícia, expressa por 
r, M 
chamada de força cortante reduzida. Por simplicidade de notação, sempre 
que for conveniente, a força cortante reduzida será indicada por Vr. 
O conceito de força cortante reduzida fica mais claro quando a peça estrutural 
é estudada à luz de um modelo de treliça e não mais como viga de alma cheia. 
Nesse caso, a red ução da força cortante corresponde à parcela de cisalha mento 
que é transmitida petos banzos de flexão da peça, e a viga não mais transmite 
toda a força cortante apenas por sua alma, Fig. {2.2-a) e Fig. [2.2-b), 
M 
' T 
S c t g V y t 
V g V s 
M + AM 
Força corta/lio rttduiida - (Vr<V) 
Ftgura (2,2-o) 
Força cortante redunda -(Vr<Vf 
Figuro (2.2-bf 
Em virtude da inclinação dos banzos da peça, as forças Rt e Rt, resultan-
tes das tensões normais que agem nos planos das seções transversais, são 
acompanhadas pelas componentes transversais /?. tan\|/r e R, tan v|/f, que são 
paralelas à força cortante V. 
Desse modo, Fig. (2.2-a), quando M e h crescem no mesmo sentido, a re-
sultante /?(T) das tensões de cisalhamento na alma deve equilibrar apenas 
a força 
Vr -V-Rc tan v|/£. - Rt tany, 
Nesse caso,sendo 
Z 
obtém-se 
Vt-V - — (tan + taiH|>,) 
z 
Fazendo-se, então, 
tan v|/c + tan _ tani|/, + tan\j/2 ^ tanvp 
z h h 
resulta 
., ,, M 
» f - —tany 
h (2.2-1) 
que é a mesma expressão (1.4-3) já obtida anteriormente com o modelo de viga 
de alma cheia. 
De forma análoga, Fig. (2,2-b), quando M e h crescem em sentidos contrários, 
tem-se 
Vr - R tan - Rf tan yf = V 
ou seja 
Vr-V + Rr tan + R, tan 
resultando assim 
r r w M V = V -t-—tan 4/ 
A (2.2-2) 
Verifica-se, portanto, que o conceito de força cortante reduzida é bem ade-
quado às vigas de altura variável, quando nas seções transversais pode-se 
admitir a existência de um banzo comprimido e um banzo tracionado reunidos 
pela alma, com direções quase paralelas às faces superior e inferior da peça, 
fazendo-se de conta que a força cortante seja resistida apenas pela alma. 
2.3 Cisalhamento na flexão composta 
Nesse estudo, é considerado apenas o caso usual em que se pode admitir 
uma força normal constante, sendo desprezada a influência sobre o cisalha-
mento de eventuais variações de N ao longo da peça. 
Nas barras de seção constante, em regime elástico, não se alteram os resul-
tados obtidos anteriormente, pois a presença de tensões normais, devidas a 
forças normais iguais em duas seções adjacentes, não altera o equilíbrio de 
forças longitudinais. De modo geral, as máximas tensões de cisalhamento 
continuam existindo na fibra que contém o centro de gravidade da seção 
transversal, embora por ela não mais passe a linha neutra, em virtude da exis-
tência de uma força normal não nula. 
Nas barras de seção variável, Fig. (2.3-a), as tensões tangenciais são dadas 
pela expressão geral (1.2-1), ou seja 
T = I i - íadA 
b dx } 
donde 
hdx \ , r a ) 
• 
obtendo-se, no centro de gravidade da seção, o valor 
C/stffiammto na ftoxào composta 
Figura 12.3-a) 
Por essa expressão, é nula a influência de uma força normal constante em 
barras em que \ j A é constante ao longo do eixo da barra. Isso acontece es-
sencialmente nas barras em que a seção transversal é simétrica em relação à 
linha neutra da flexão simples, Fig. (2.3-b), pois, nesses casos, a simetria dos 
banzos da peça anula a possível influência da força normal sobre a resultante 
das tensões de cisalhamento. 
Mo caso geral, deve-se admitir que o banzo comprimido e o tracionado te-
nham inclinações diferentes em relação ao eixo da barra. Nessa situação, é 
necessário raciocinar como se a força normal fosse decomposta em duas 
parcelas, kt.N e k,N, resistidas respectivamente pelo banzo comprimido e 
pelo banzo tracionado, Fig. (2.3-c). 
Seçíto çgm Aa j A constante 
Figuro (2.3-b) 
Viga com banzos do inclitmçõos difcrânios 
Figura 12.3-cí 
O equilíbrio de forças axiais impõe a condição 
kc+k,= 1 
e para que não se altere o momento fletor M relativo ao centro de gravida-
de da seção, deve-se ter 
k,e(.=k,e, 
donde 
ou seja 
logo 
k, e, 
L = L 
e, e, 
K _ e< 
k(. + k, e,+et. 
Desse modo, sendo o braço de alavanca z dos esforços internos (na flexão 
composta) dado por 
z = et, +t>, 
têm-se 
z [2.3-2} 
- (2.3-3} 
Conforme é mostrado na Fig. (2.3-d), a força cortante reduzida vale então 
^ ( tan - M . ^ —+k.N 
\ z J 
t a n % 
(2.3-4) 
com N > 0 de tração. 
Força CürtunlO roduridú na ftcxüQ composto 
Figuro (2.3-d) 
2.4 Forças cortantes reduzidas em peças de concreto armado 
Preliminarmente, observe que para a determinação das tensões normais que 
agem na seção transversal das peças fletidas, a consideração de que o mo-
mento de flexão seja referido ao centro de gravidade da seção é apenas uma 
convenção que facilita os cálculos no caso de peças de material elástico line-
ar. Nada impede, porém, que o momento dos esforços internos seja referido 
a qualquer outro ponto da seção transversal da peça.Nas peças de concreto armado, a possibilidade de fissuração do concreto tra-
cionado e a pseudoplastificação do concreto comprimido eliminam qualquer 
vantagem que poderia existir na consideração do momento de flexão referido 
ao centro de gravidade da seção geométrica da peça. 
Desse modo, sempre que o cisalhamento for verificado com a hipótese de 
que na peça haja um banzo tracionado e um banzo comprimido, será admitida 
a fissuração do banzo tracionado e, ao invés do momento fletor M e da for-
ça normal N serem aplicados no centro de gravidade da seção, os esforços 
serão referidos ao centro de gravidade da armadura de tração, Fig. (2.4-a}. 
Nesse caso, em lugar de M, aplica-se o momento , dado por 
Ma = M - N • ys ( 2 . 4 - 1 ) 
considerando-se como positiva a força normal N de tração e negativa a de 
compressão. 
Cissthamentú nus poças com um bamo tracionado o outro comprimido 
Figura f2.4 o) 
Note-se que a consideração dos esforços solicitantes referidos ao centro de 
gravidade da armadura de tração não altera as resultantes /?, e R, das ten-
sões normais na seção transversal, porquanto de acordo com as expressões 
[2.3-2) e [2.3-3), sendo 
têm-se 
= v, 
er+e, =s 
R
 N'e> M-N-ya Af, 
T T 
„ M N-ee M-N-y( N(er+ys) M R, - — + — +————-—2- + N 
Considerando a expressão geral (2.3-4), pela qual 
tan y -
M . .. 
—+k,N 
K z 
tan 
verifica-se que o momento referido ao centro de gravidade da armadura de 
tração corresponde à decomposição com os valores 
kc= 0 e *,m\ 
obtendo-se para a força cortante reduzida a expressão 
M M 
= V - tan tan - N lan 
(2.4-2) 
Finalmente, admitindo-se as simplificações 
tani|/,. tany 
2 ~ d 
e 
obtém-se a expressão geral da força cortante reduzida na flexão composta 
Observe que em lugar da força normal ter sido transportada para o centro de 
gravidade da armadura de tração, isso é, para o ponto de aplicação da resul-
tante das tensões de tração, ela poderia ter sido transportada para qualquer 
outro ponto da seção e, em particular, para o ponto de aplicação da resultante 
das tensões de compressão. 
De fato, Fig. (2.4-b), para que na equação geral (2,3-4) não se altere o valor do 
momento fletor, na expressão 
de acordo com {2.3-2) e {2.3-3), devem ser introduzidos os valores 
(2.4-3) 
> (M \ 
-kt,N turnj^- — \ - k : N tanvfí, 
) \ s ) 
e 
. =£zl±=>L 
(2.4-4) 
cstuutuhas pc ggNCFiETo mm 
4 9 
Raduçèo dos momentos fletorcs ao banzo comprimido 
Figuro {2,4-b) 
Tomando-se as primeiras definições de kc e kt contidas no par de expressões 
(2.4-4), resulta 
t a n y t -
M z — yt 
N 
\ -
tan 
ou seja 
Vm, = V - — ( t a n y (1 + t a n y , ) + — — ( t a n + t a n i [ f , ) - N t a n 
resultando então 
ym, = V _ (tan y , + tan y J - N tan vj/, 
que é a mesma expressão (2.4-2) correspondente ao transporte de N ao cen-
tro de gravidade da armadura de tração, pois 
M - N • yx = Ms 
De forma análoga, empregando-se as segundas definições de kc e k, conti-
das no par de expressões (2,4-4), tem-se 
j tany, - M y ' , \ — + — N tari 
. z z ) 
isto é 
= r ( t a n + 
M 
c 
resultando 
que corresponde ao transporte de N para a posição da resultante das tensões 
normais no banzo comprimido. 
2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado 
No caso das peças de concreto armado em que a variação da seção corres-
ponde apenas a uma inclinação do banzo comprimido, Fig, (2.5-a), para a 
aplicação das expressões do item anterior, têm-se 
e 
resultando de (2.4-3) a expressão simplificada 
, jr JV/ 
ti (2.5-1) 
na qual o duplo sinal decorre dos sentidos de variação de d e de M (. 
Mas peças submetidas à flexão simples será sempre M} = M . 
R B F / 2 
ÚV-^-lfl^ 
F/2 
Vigas com inclinação do banzo comprimido 
Figura (2,S-aj 
A expressão anterior também pode ser posta sob a forma 
(2,5-2) 
admitindo sempre que /gy > o, que a força normal é positiva [A' >0) quan-
do de tração, e que h e \m\ crescem no mesmo sentido. Essa expressão 
é válida quando existe inclinação apenas do banzo comprimido, Caso con-
trário, deve ser empregada a expressão geral (2,4-2). 
Mote-se que quando não há simetria na inclinação dos dois banzos, como por 
exemplo quando apenas o banzo comprimido é inclinado, surge a dificuldade 
suplementar de se entender o que seja o eixo da peça, Fig. (2,5-b), Todavia, 
conforme é mostrado nesta figura, qualquer que seja o eixo adotado, a redu-
ção a ser feita na força cortante é praticamente a mesma. 
Figura (25 b) 
Finalmente, observa-se que a determinação separada das tensões normais 
devidas à flexão e das tensões tangenciais devidas â força cortante é uma 
simplificação grosseira do problema, É dessa simplificação que surge a idéia 
de que nas vigas de seção constante possam ser imaginados dois banzos 
paralelos ao eixo longitudinal da peça. Na Fig. (2.5-c) estão mostradas as tra-
jetórias das tensões, em regime elástico, determinadas por métodos precisos 
e pela teoria usual de flexão. 
ÍSTnUTUnAS OC CQNCFICTO 
Trujatórias cia esforços 
Figuro (2.5-c) 
Verifica-se, portanto, que mesmo nas vigas de altura constante existe de fato 
uma certa inclinação da trajetória das tensões nos apoios, ou seja, existe efe-
tivamente uma certa inclinação do que poder-se-ia entender como o banzo 
comprimido da peça. Nos apoios, essa inclinação pode afetar sensivelmente 
a determinação das armaduras de cisalhamento das peças de concreto arma-
do, como se a viga de fato tivesse um banzo comprimido inclinado. 
2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto protendido 
O estudo do cisalhamento na flexão composta das peças de concreto pro-
tendido é feito correntemente da mesma maneira que nas peças de concreto 
armado clássico, Entretanto, para isso, há a necessidade de um claro enten-
dimento do que seja flexão composta no concreto protendido, uma vez que 
o próprio processo de protensão introduz tensões axiais nas seções transver-
sais da peça. 
Ma Fig. {2.6-a} estão mostradas as diferentes forças axiais que agem nas seções 
transversais das peças pertencentes a estruturas isostáticas de concreto pro-
tendido, submetidas a ações diretas que provocam apenas flexão simples, 
Observe-se que a resultante Rc das tensões de compressão no concreto será 
sempre igual à resultante Rt das tensões de tração nas armaduras, qualquer 
que seja a fase considerada de carregamento. 
Com as mesmas hipóteses, na Fig. {2.6 b) estão mostradas as resultantes de ten-
sões que agem nas seções transversais das vigas pretendidas hiperestáticas. 
A idéia de que a pretensão corresponde a uma flexão composta é válida ape-
nas para a seção transversal da qual é excluída a própria armadura de preten-
são. Quando se considera a totalidade da seção transversal da peça, formada 
pelo concreto e pelas armaduras passivas e de protensão, os esforços soli-
citantes não dependem da protensão, exceto nas estruturas hiperestáticas, 
onde podem surgir os chamados esforços hiperestáticos de protensão, de-
correntes da inibição de deslocamentos provocados pela própria protensão. 
Assim, tanto nas peças de concreto protendido, quanto nas peças de qualquer 
outro material, somente haverá flexão composta se realmente houver força 
normal externa atuante, a qual somente poderá existir como decorrência de 
ações aplicadas à estrutura e de esforços hiperestáticos de protensão. 
Observe-se que, de início, no ato da protensão, admitindo que não seja mo-
bilizada parcela alguma do peso próprio, os esforços internos são auto-equi-
librados e não dependem das ações diretas g e q, que ainda não atuam na 
estrutura. Nesse estágio, as resultantes de tensões Rrl e /?„ são iguais em 
módulo e, nas estruturas isostáticas, elas atuam segundo a mesma linha de 
ação, pois Rcl e R„ devem formar um binário de momentonulo, Nas estrutu-
ras hiperestáticas, no estado inicial de protensão, Rrj e Rü devem estar afas-
tadas entre si a uma distância zt tal que elas formem um binárío de momento 
igual ao valor M M mobilizado no próprio ato da protensão. 
Carregando-se a estrutura progressivamente, ao se atingir o estado limite úl-
timo de solicitações normais, a resultante das tensões na armadura de pro-
tensão estará praticamente limitada ao valor de escoamento À/Ifyj!. Nessa 
situação, o funcionamento do concreto protendido é exatamente o mesmo 
que o do concreto armado comum, devendo o binário formado pelas resul-
tantes Rt,(l e Rltl equilibrar o momento externo M[f,ltj)ll das ações diretas, 
somando-se a ação direta Mi>m, , quando ela existir 
ESTRUTURAS GE CONCRETO I -
r 
H : 
H-o / 
ü , 1 P Z 
4 ) 
M^ "O 
t 
(RU - Rci> 
ía). PROTENSÃO 
iM 
r 
g +q 
(b>. ESTÁDIO I 
^c (p + g + q í 
R ^ 1 — Rcn ^ — T 
Mn 
<cd -— 
-T ; 
! H t r " W 
( c ) , ESTÁDIO H 
M 
Jí 
tRtd - <W 
td). ESTADO LIMITE ULTIMO 
Fhxáo simples de estruturas pretendidas isostáticas 
Figuro (Z.G-oj 
r* 
\h i— 
R t l t -
c d r 
\M p.hip 
Md 
> 
Í W p + V q ) « í 
(Ru - Rci » 
(d). PROTENSÃO 
R t d * R c d 
(b>. E S T A D O L I M I T E ÚLTIMO 
ffexéo simples do estruturas pretendidas hiporestáticas 
Figuro f2,6-b) 
Desse modo, a força P de protensão não deve ser interpretada como uma 
força normal para efeito de determinação das forças cortantes reduzidas, 
também não deve ser considerada como uma força normal para o dimen-
sionamento à flexão da seção transversal. Uma força normal somente pode 
ser criada por ações diretas, inclusive por efeitos hiperestáticos da própria 
protensão, que também são efeitos diretos. 
Nessas condições, nas peças de concreto protendido submetidas à flexão com-
posta, a força cortante reduzida continua sendo dada pelas expressões (2.4-1) 
até (2.5-2), nas quais agora 
M = M + M p M l ) 
(2.6-1) 
(2.6-2) 
Na verdade, nas peças de concreto protendido, para cálculo da força cortante 
reduzida, ainda deve ser considerada a influência de eventuais cabos de pro-
tensão inclinados, conforme é analisado a seguir 
2.7 Vigas protendidas com cabos inclinados 
Nas vigas pretendidas com cabos inclinados, a força cortante a ser resistida 
sofre ainda urna outra redução, devida à inclinação da força de protensão, 
Fig. (2.7-a) 
ÍSTNUTUNAS OC CQNCFICTO 
ftgura (2.7-{>l 
Mo caso geral, a força cortante reduzida Vmt pode ser escrita 
V^V-AV^-AV,, 
onde V é a força cortante efetiva, é a redução devida à seção transversal 
variável, e AVp è a redução correspondente à existência de cabos inclinados 
de protensão. 
Mo caso de vigas protendídas com cabos curvos, considerando a ação de o 
concreto sobre o cabo, Fig. (2.7-b), como o cabo é perfeitamente flexível, o 
trecho considerado de cabo está em equilíbrio sob a ação das forças Pt e P 
que atuam nas extremidades desse trecho, e da pressão transversal Pt exer-
cida entre o cabo e o concreto. Desprezando-se o atrito, as forças Pt e P são 
iguais em módulo, pois são forças análogas às que são transmitidas ao longo 
de um cabo flexível enrolado sem atrito em torno de um tambor. No caso real, 
em que existe atrito, sempre será P< Pt. 
Considerando a ação do cabo sobre o concreto, Fig. £2.7-c), em virtude do cabo 
ser flexível, a ação conjunta da força de protensão P aplicada na seção inicial 
de um dado trecho e das forças transversais P, atuantes ao longo desse trecho 
Açüo tio concroto sobro OS Cubos Curvos 
Figuro (2.7-b) 
é esteticamente equivalente à ação de uma força de módulo P aplicada, com a 
inclinação a do cabo, na seção da outra extremidade do trecho considerado, 
Figura (2.7- C) 
Desse modo, a redução Àí^da força cortante devida à presença de cabos 
curvos vale 
e no caso usual em que os cabos podem ser admitidos com forma parabólica 
de equação 
y = cx2 
cuja inclinação em relação ao eixo da viga é dada por 
dy „ 
tan a = — = 2o: 
dx 
sendo 
sin a = tan a = 2cx 
resulta uma variação linear de AFJt ao longo do trecho curvo da cabo, como 
se mostra na Fig. (2.7-c). 
IMa presença de vários cabos curvos, Fig. (2.7-d), a redução AVp é obtida por 
superposição das reduções correspondentes a cada um dos cabos conside-
rados isoladamente. 
Figura (2.7-d) 
Para efeito de dimensíonamento, é preciso considerar que o desconto áVfI de-
vido à força de protensão pode inverter o sentido da força cortante reduzida. 
Por essa razão, no projeto é preciso considerar tanto a situação de solicita-
ções máximas quanto a de solicitações mínimas, Nos casos usuais, são consi-
deradas as forças médias Pm lmftj e Pm f.Q , respectivamente, como mostrado 
na Fig. (2.7-e), 
SOLICITAÇÕES M A X M A S : V ( Í T Q ) ( J 
SOLICTTFTÇÕEÂ MÍNIMAS : V 
(USUALMENTE 
U M ÚNICO 
ri. 
£J 
r d, 
I 
1 V, ÍTlO* [o + 
m 
s V 
min gl,<f 
q)d p,t«» 
AV 
F O R Ç A S 
p,t»o 
F O R Ç A S 
C O R T A N T 
C O R T A N T 
S E R Á CONSIDERADO 
VALOR P B P M ) 
E S 
E S 
M A X I M A S 
M Í N I M A S 
Forças cortantes reduzidas do cálculo 
Figura (2.7-0) 
CAPÍTULO 3 
Análise estrutural - Determinação dos esforços solicitantes - exemplos 
3.1 Critérios de classificação das ações 
De modo geral, as ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas de 
acordo com diferentes critérios, como os indicados na Tabela (3,1-a), 
Tabela (3.1-a) 
C R I T É R I O S D E C L A S S I F I C A Ç Ã O T I P O S D E A Ç Õ E S 
Variação no Tempo 
Ações Permanentes 
Ações Variáveis 
Ações Extraordinárias 
Variação no Espaço Ações Fixas Ações Livres (Móveis ou Removíveis) 
Natureza Mecânica Ações Estáticas (Acelerações Desprezíveis) Ações Dinâmicas (Acelerações Significativas} 
Para o projeto, também se consideram como permanentes as ações cujas va-
riações sejam desprezíveis em relação ao seu valor médio. As ações variáveis 
são consideradas conforme os critérios indicados na Tabela (3,1-b). 
A variabilidade das ações permanentes é considerada em relação a um con-
junto de construções de mesma natureza. 
A variabilidade das ações variáveis é considerada em relação ao tempo de utilização 
da construção. 
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO 
DAS AÇÕES VARIÁVEIS TIPOS DE AÇÕES VARIÁVEIS 
Tempo de Permanência 
Ações de Longa Duração 
Ações de Curta Duração 
Freqüência de Atuação 
Ações Repetidas 
Ações Não Repetidas 
Em face da multiplicidade de condições de carregamento que podem ocorrer 
durante a vida útil das construções, torna-se necessário convencionar quais 
as situações de carregamento a considerar na verificação da segurança das 
estruturas, da seguinte maneira: 
a) Situações permanentes 
Entendem-se como permanentes, as situações de carregamento correspon-
dentes à utilização normal da construção, As situações permanentes englo-
bam as ações permanentes e as ações variáveis usuais, tendo duração da 
mesma ordem de grandeza que o período de referência admitido para a vida 
útil da construção. 
b} Situações temporárias 
Entendem-se como temporárias, as situações cuja duração é muito menor que 
o período de referência da vida útil da construção. A situação temporária é 
considerada como transitória quando nela ocorrem ações variáveis especiais, 
como é a situação de construção. A ação temporária será extraordinária quan-
do ocorrerem cargas extraordinárias que até podem levar a estrutura à ruína. 
Ma elaboração do cálculo estrutural, para as ações, são adotados determinados 
valores considerados como representativos (F ) para o caso considerado. Esses 
valores representativos podem ser determinados com os seguintes critérios: 
I) Ações permanentes 
Em princípio, as ações permanentes podem ser consideradas com dois va-
loresdiferentes: um valor característico superior correspondente ao 
quantil de 95% da distribuição de valores associados à população de estrutu-
ras semelhantes, e um valor característico inferior, G k M f correspondente ao 
quantil de 5% dessa distribuição. 
Usualmente esses dois valores característicos são substituídos por valo-
res representativos nominais, fixados de modo convencional da seguin-
te maneira: 
1- Peso próprio das estruturas 
Em virtude de a pequena variabilidade do peso próprio, adota-se um único 
valor nominal Gk, calculado a partir dos desenhos de projeto e dos pesos espe-
cíficos médios dos materiais. 
2- Peso dos elementos não estruturais 
Em princípio, são adotados dois valores nominais, um máximo e um mínimo, 
levando-se em conta todas as variações que possam ser razoavelmente pre-
vistas. Usualmente o valor mínimo é considerado igual a zero. 
3- Empuxos de terra 
Adota-se o valor máximo para o empuxo ativo e o valor mínimo para o em-
puxo passivo. 
4- Forças de protensão 
Os efeitos da protensão são determinados a partir de dois valores caracterís-
ticos da força de protensão, um valor máximo Ph e um valor mínimo Pkml(i 
ou, em muitos casos, a partir de um valor médio Pm. 
5- Outras ações 
As deformações impostas pelo método construtivo, por recalques de apoio, 
por diferenças de temperatura e pela retração, bem como as forças decorren-
tes de um nível d'água praticamente constante são representados por valores 
nominais únicos. 
II) Ações variáveis 
Para as ações variáveis são considerados os seguintes valores representativos: 
1- Valor característico {Ffc} 
É o valor básico de referência estabelecido pelos regulamentos normalizadores. 
2- Valor de combinação } 
É o valor de uma ação secundária que acompanha uma outra ação variável 
considerada como principal, na verificação da segurança em relação a esta-
dos limites últimos. 
3- Valor freqüente (y,/^ ) 
E o valor significativo para a consideração da ocorrência repetida da ação, ou 
ações de média duração, na verificação da segurança em relação a estados 
I irrites de serviço. 
4- Valor de longa duração ( y ^ ) 
É o valor da ação variável quase permanente, que pode atuar durante perío-
dos de tempo suficientemente longos para que sejam considerados os efeitos 
da permanência ao longo do tempo, na verificação da segurança em relação 
a estados limites de serviço. 
Os valores usuais dos fatores de combinação (4^) e dos fatores de utili-
zação ( >}'!© V;) especificados por normas brasileiras são os indicados na 
Tabela (3.1-c)." 
•na 
67 
Tabela (3.1-c) Fatores de combinação e de utilização 
AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES 
Vi 
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 
Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0 
CARGAS ACIDENTAIS EM EDIFÍCIOS 
¥0 Vi 
Locais em que não há predominância de equipamentos fixos, nem de 
elevadas concentrações de pessoas 
0,4 0,3 0,2 
Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou 
de elevadas concentrações de pessoas 0,7 0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS 
Vo 
Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2 
Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2 
Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,6 0,6 0,4 
3,2 Combinações de cálculo e critérios de segurança 
A- Estados limites últimos 
m 
Combinações últimas normais F<T = C!FCIII + 7, 
» 
II - Combinações últimas especiais ou de construção 
rrj 
' I >-2 
III - Combinações últimas especiais 
jtJ ri 
M 
B- Estados limites de serviço 
tti tt 
I - Combinações de longa duração FÍKM. = £FGKK + 2 
í-i /.i 
MT tl 
II - Combinações freqüentes F<IFRF = Y FA I + + X ^ A 
M /«I 
C- Coeficientes de ponderação 
Tabela (3.2-a) Ações permanentes de pequena variabilidade 
C o m b i n a ç õ e s y K p a r a e fe i tos ( * } C o m b i n a ç õ e s 
D e s f a v o r á v e i s Favoráve is 
Normais 
te - 1 , 3 r . * 1 ,0 
Especiais ou de Construção yK = i .a y, = 1,0 
Excepcionais 
y , = ™ ys = 1,0 
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos yM ou y a 
Tabela (3.2-b) Ações permanentes de grande variabilidade 
Combinações y para efeitos (*} Combinações 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais yK - 1,4 y, - 0,9 
Especiais ou de Construção 
V, - 1,3 y, - o-s 
Excepcionais 
yK = 1,2 y* = 0,9 
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos y^ ou ya 
Tabela (3.2-ç) Ações permanentes indiretas 
Combinações yK para efeitos (*) Combinações 
Desfavoráveis Favoráveis 
Normais yK = 1,2 y« = 0 
Especiais ou de 
Construção y« - 1,2 = 0 
Excepcionais = 0 Y* = 0 
[*) podem ser usados indiferentemente os símbolos Y^ ou Yo 
Tabela (3.2-d) Ações variáveis 
Combinações 
Ações variáveis em 
geral incluindo as 
cargas móveis D 
Efeitos da 
temperatura 
Normais 
7, = 1.4 Yc= 1.2 
Especiais ou cie Construção 
7 , = 1.2 y, = i-o 
Excepcionais 
T,, = 1.0 
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos ou 
3.3 EXEMPLO N°1: 
- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas; 
- Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis 
de mesma natureza; 
- Combinação última fundamental e combinação de serviço. 
Q=100k N 
| q = 20 k N ,' m 
. _ _ _ L l g »10 k NI m 
aJí A S O —• 
L =0,0 m 
Figura (3.3-s) 
UNIDADES [kN, m) 1 kN s 0,1 tf 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
ESFORÇOS 
VALORES CORRESPONDENTES A 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
ESFORÇOS 
9 q Q TOTAIS 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Ações características: gk , qik 
10 20 100 -
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Reações de apoio: R a = Rm 
40 80 50 170 ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Forças cortantes 
características 
Ku 
40 80 50 • 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Forças cortantes 
características 
K--, 
0 0 50 -
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Momentos fletores característicos MCk 80 160 200 -
E.L. 
ÚLTIMO 
7, "T, =1.4 
Forças cortantes de cálculo 
56 112 70 238 
E.L. 
ÚLTIMO 
7, "T, =1.4 
Forças cortantes de cálculo 
0 0 70 70 
E.L. 
ÚLTIMO 
7, "T, =1.4 
Momentos fletores de cálculo MCit 
112 224 280 616 
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Forças cortantes de 
serviço 
Ku 
40 80 50 -
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Forças cortantes de 
serviço 
• 56 35 • 
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Forças cortantes de 
serviço 
v Y A&r 
- - - 131 
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Forças cortantes de 
serviço 
0 0 50 -
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Forças cortantes de 
serviço 
0 0 35 • 
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Forças cortantes de 
serviço 
V - - - 35 
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Momentos fletores de 
serviço 
80 160 200 -
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Momentos fletores de 
serviço - 112 140 -
E, L. de 
SERVIÇO 
^ =0,7 
Momentos fletores de 
serviço 
» * * 332 
g k - 1 0 k N M i 
q k = 2 0 k N / m 
< ^ = 1 0 0 k N fm 
E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o M c J 
50 
100 
1S0 
200 
250 
300 
350 
400 
450 
500 
550 
600 
650 
k N . m 
g k = 1 0 k N / m 
q k = 2 0 k N / m 
Q ^ 1 0 0 k N / m 
E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o V, t 
E s t a d o L i m i t e d e U t i l i z a ç ã o V. 
Figura (13-b) 
3.4 EXEMPLO NQ2; 
- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas; 
- Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e a 
duas ações variáveis de naturezas diferentes; 
- Duas combinações últimas fundamentais e duas combinações de serviço. 
Q - 1 0 0 kN 
C 
L = 8,0 m 
q = 20 k N / m 
g = 1 G k N / m 
B 
Fig tiro (3.4-aj 
Esse exercício é análogo ao anterior, tendo porém cargas variáveis de naturezas dife-
rentes. Nesse caso serão feitos: F1 -q ; F2=Q; yK = yv = 1,4;4'n<1 = =Hf[i = 0,K 
; y, =0,7; V3=0,6, 
UNIDADES (kN, m] 1 k N = 0 , 1 tf 
ESFORÇOS 
VA LORISC 0 R l ^ PO NDENTEÍTA 
B G TOTAIS 
Ações características: * f^c 
10 20 100 -
ANÁLISE 
Reações de apoio: 
= 40 80 50 170 
ESTRUTURAL 
Forças cortantes 
40 80 50 -
características 
0 0 50 -
Momentos fletores característicos 
80 160 200 -
Wm 
56 112 70 -
E. L 
ÚLTIMOS 
0,8x1 AVm • 89,6 56 • 
E. L 
ÚLTIMOS 0 0 70 -
YV = M Forças cortantes 
do cálculo 
M K U ^ j , 
0 0 56 * 
Y„ = 1-4 
Forças cortantes 
do cálculo 
1- Combinação VAllrciH„b 
56 112 56 224 
f , , =0,8 
1» Combinação 0 • 56 66 
Combinação 56 39,6 70 215,6 
2" Combinação y 0 0 70 70 
CSTUUTUHAS PC CONCRETO 
y, «1,4 
Momentos 
fletores 
de cálculo 
1 4 M „ 112 224 280 -y, «1,4 
Momentos 
fletores 
de cálculo 
0,8x1,4 JTFW - 179,2 224 • 
y, «1,4 
Momentos 
fletores 
de cálculo Ia Combinação A Í £ U I I W 112 224 224 560 
y, «1,4 
Momentos 
fletores 
de cálculo 
2° Combinação 112 179,2 280 571,2 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Forças 
cortantes 
de 
serviço 
Ku 
40 80 5 0 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Forças 
cortantes 
de 
serviço 
- 5 6 35 • 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Forças 
cortantes 
de 
serviço 
• 48 30 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Forças 
cortantes 
de 
serviço 
0 0 50 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Forças 
cortantes 
de 
serviço 
0 0 35 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Forças 
cortantes 
de 
serviço 
- 0 30 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Combinação - V A K 0 + ( ^ , + ^ 1 = 4 0 + 4 8 + 3 0 
118 E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Combinação V ^ ^ , w = VCiljQ+ ( V ^ + V ^ - O + O + M 3 0 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Combinação VAk,c+ V ^ + y , VAkQÍ=40+56+30 126 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
V Combinação VewlnKltoBl,= V w + y, VC,W1 + y , Vc<kQJ=0+0+30 30 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
2" Combinação VWeqüBn i9= VAkiG+ V|/;VWQ1+ y, VA40Í=40+48+35 123 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
2° Combinação Vc.if„q0,m,= Vc.h|ti+¥íVc,h(ül+ y, Vc,Of=0+0+35 35 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Momentos 
fletores de 
serviço 
80 160 200 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Momentos 
fletores de 
serviço 
- 112 140 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Momentos 
fletores de 
serviço 
- 9 6 120 -
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
Combinação M C b W duroçlD= MC k G+y 2 (M c w ,+ MCkQI}=8Q+96+120 296 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
1" Combinação M ^ ^ = MCka+ y, M a ü l + MCk0J=80+112 + 120 312 
E. L. de 
SERVIÇO 
¥ , - 0 , 7 
2° Combinação Mfik|ü+ y 2 + y , MCkM=80+96 + 140 316 
3,5 EXEMPLO N°3: Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida 
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com carrega-
mento alternado. 
q =10 k N / m 
g = 20 kN / m 
cnrnnn dl atribuídas 
uniformo monta 
R 
o= 3,0 m LH0,O M 
Figura (3,5-0} 
UNIDADES (kN, m } 1 kN = 0,1 tf 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
E S F O R Ç O S VALORES CORRESPONDENTES A 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
E S F O R Ç O S 
G <ÍA>! 9íC 
Min, Máx, 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Ações características 10 20 20 - -
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Forças cortantes 
características 
V Hiiüil.k -30 -60 - -30 -90 ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Forças cortantes 
características 
V T Éklíi.k 37,5 15 60 37,5 112,5 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Forças cortantes 
características 
v -22,5 15 -60 -7,5 -82,5 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Momentos fletores 
característicos 
MBfc 45 90 0 45 135 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Reações de apoio Rnk 67,5 75 60 67,5 202,5 
ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
Reações de apoio 
RUk 22,5 -15 60 7,5 82,5 
V s=0 9 
1 4 V -42 - 8 4 - -
V s=0 9 
W U -27 • • -
V s=0 9 1.4VedlllJl 52,5 21 84 
» 
V s=0 9 
33,75 • * • 
V s=0 9 
1,4VCk -31,5 21 -84 -
V s=0 9 
0,9 VCk •20,25 - • • 
V(l (111 Comb,) 
S, - l,4í„, +1,45^ 
v -42 .84 - -42 -126 V(l (111 Comb,) 
S, - l,4í„, +1,45^ 
v BdM 52,5 21 84 52,5 157,5 
V(l (111 Comb,) 
S, - l,4í„, +1,45^ 
-31,5 21 -84 -10,5 -115,5 
V, (2" Comb.) 
«3J 
S„~Q)9SA*I,4S,L 
V 
Ratq.d 
-27 -84 - -27 -111 V, (2" Comb.) 
«3J 
S„~Q)9SA*I,4S,L 
v 33,75 21 84 33,75 138,75 
V, (2" Comb.) 
«3J 
S„~Q)9SA*I,4S,L 
Vc<t -20,25 21 -84 0,75 -104,25 
M, 
1,41^ 63 126 - -
M, 
0,9 MSt 40,5 • • • 
M, 1
a Comb. Mh<1 63 126 63 189 M, 
2a Comb. mh<1 40,5 126 40,5 166,5 
Est. Lim. Serv. 
=0,7 
Comb, Freq, 
V DlIIUE N',I -30 -42 -30 -72 Est. Lim. Serv. 
=0,7 
Comb, Freq, 
v 
0,dlr„iK 37,5 10,5 42 37P5 90 
Est. Lim. Serv. 
=0,7 
Comb, Freq, 
V C, a*r -22,5 10,5 -42 •22,5 -64,5 
Est. Lim. Serv. 
=0,7 
Comb, Freq, 
45 63 - 45 108 
3,6 EXEMPLO N°4; 
Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida a ações permanen-
tes de grande variabilidade e ações variáveis móveis. 
peso próprio: g = 10 kN/m 
carga móvel distribuída: q — 20 kN/m 
carga móvel concentrada: Q = 100 kN 
A & c D E 
I a u 2.4 m L • 5,0 m 
A 
.1 =2,'! rti 
I ' 
I I 
lHj = 0 , 5 
| 
Figura {3.6-0} 
UNIDADES (kN, m} 
VALORES CORRESPONDENTES A 
ESFORÇOS q + Q Máximos 
g 
> 0 < 0 > 0 < 0 
Reações de apoio 64 265,2 -37,2 329,2 ( + 26,8) 
forças cortantes v 
A<|ir„k 
0 • -100 -
< tr 
V 
13 k 
-12 - -124 • 
< tr V 
C tiBd ,k 
-24 - •148 
v 
Crtlf„ii 
40 187,2 -37,2 
cc 
UJ 
LU 
V 20 127,2 42,2 
cc 
UJ 
LU 
0 77,2 -77,2 
t/i • Momentos fletores M A k 0 0 0 
Z IVL -7,2 - -134,4 
< 
- 2 8 . 8 - -297,6 
31,2 270 -230,4 
51,2 360 -177,6 
c -4 c o z f]
 
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Forças 
cortantes 
y, =0,5 
Momentos 
fletores 
g 
2 
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Ia Combinação 
Forças 
cortantes 
yK = 14 
rv = l4 
Momentos 
fletores 
£ Ti
 
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vc<»f~ , za . 0^ ,100 :-Jir,í kit Z 
U N H A S O E I N F L U Ê N C I A 
Figura (3.6-bJ 
v ^ i S i l í S Z , zo + S 2 í í â | È i Z ( i *o,7fl« roo - + nu 
M • 2 0 * 1,5! KK)« hN.fr 
L J S 
S LI (V E ) 
Me+- 20 + 2,0 * 100- * «O KW.m 
Me_». I ^ - ^ n Z O - 1,2* 100-• 177,6 kN.m 
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Figura (3.6-cj 
V ( k N ) 
Figure ($.€-d} 
3,7 EXEMPLO N°5; 
- Viga isostática de concreto armado de seção variável; 
- Flexão simples e flexão composta; 
- Combinação principal e combinação secundária 
g = 10 kN/m 
q = 20 KN m (distribuída) 
Q = 100 kN (concentrada) 
Figure (3.7-a) 
UNIDADES (kN, m ) 
ESFORÇOS VALORES CORRESPONDENTES A ESFORÇOS 
9 q 0 H = + 30 H=-30 
Forças cortantes 
ivAJ 0 0 100 - -
Forças cortantes | V J 12 24 100 - -Forças cortantes 
1 V C „ .q> 1 24 48 100 - -
Momentos fletores MH 
^"rtls, min. 0 0 0 0 0 
Momentos fletores MH M 
BhjiiVin 7,2 14,4 0 6 
Momentos fletores MH 
Ci.iíiín. 
28,8 57,6 0 6 
I V J 0 0 0 0 0 0 
2,6 5,1 0 4,3 -4,3 
7,2 14,4 0 1,5 -1,5 
(g + q ) 
Q 
\ 1 ^ 1- i .1 i T 
Figura ($, 7-h} 
1a Combinação: 
<* J 
Vn, = \A v * — f t a n y +lt4 
2 > . <J->, .1111 n tati y 
- P . . = 1,4x100=140 kN 
-V^ =], 4(12-2,6)+ ],4[(24 + l00)-5,l] = 179,6 
kN 
~VCRJI = 1,4 {24 - 7,2)+1,4 [(48 +100 )-14,4] = 210,6 kN 
( m \ ( y u 
+1,4 • tan y 
- V . , =1,4x100 = 140 
kN 
-yB t j = 0,9 (l 2 - 2, ó)+1,4 [(20 +100)- 5, l] = 174,9 kN 
- V C f j = 0,9 (24 " 7,2)+1,4[(48 +100) -14 ,4] = 202,1 
kN 
b} Flexo-Traçáo: 
(g + q) 
Q 
i . . i Í ; t i r t 
N _ Ms/z 
Vr 
1 
V 
1 
1V^ /Z v y ttí 1 
Figure (3,7-cí 
V = 1 4 ' r j 
í fof \ 
Kr. tan v 
* d , 
+ 1,4 I V 
£ M , .Hjüf.iniii tan v 
-^,=1,4x100 = 140 kN 
-K,r,i - U4(12 - 2,6)+1,4 [(24 +100)- (5,1 + 2,1)] -176,7 kN 
-VO J = 1,4 (24 - 7,2 )+ 1,4 [(48 +100)- (14,4 +1,5)] = 208,5 kN 
2a Combinação: 
^ = 0 , 9 ^ - ^ f u i n v xqk ,min tan ip 
-VArJ = 1,4x100 = 140 kN 
Brj = 0,9 (12 - 2,6)+1,4[(24 +100)- (5,1 + 2,1)] = 172,0 kN 
-F t w = 0,9(24-7,2)+1,4[(48+I00)-(I4,4+1,5)] = 200,1 kN 
c) Flexo-Compressão; (i^. ; y,=0) {admitindo-se a força normal como 
obrigatoriamente aplicada) 
(9 + q) 
a 
H 
N 
Ms/z 
V, 
M tgy 
¥ 
Ms/z 
18 T** -V i ÍT 
Figura (3.7-</} 
r Combinação: 
V =14 + 1,4 tan y 
- ^ , = 1 , 4 x 1 0 0 = 140 kJSI 
" V - U4 (12 - 2,6) +1,4 [(24 + 1 0 0 ) - (5,1 - 2,1)] - 1 «2,6 kN 
-Pó.* «1,4(24-7,2)+ l,4[(48 + lÜ0)-(t4,4-l,5)]-212,7 kN 
= o, 
M itnt tan x}/ +1,4 
Y M 
f 
-K^-1.4x100 «140 k N 
-V^j = 0,9(12 - 2,6)+1,4 [(24 + i 00)- (5,1 - 2,1)] = 177,8 kN 
- ^ = 0,9(24-7,2)+],4[(48 + 100)-(l4,4-l,5)] = 204,3 kN 
3.8 EXEMPLO N°6: 
- Viga hiperestática de seção constante; 
- Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis com carre-
gamento alternado; 
- Combinação principal e combinação secundária. 
mm 
90 
c a r g a p e r m a n e n t e g = 20 kN/m 
c a r g a a c i d e n t a l q = 40 kN/m 
A B C 
I 
A 
T 
L , a 7 ,0m I L 2 = 8,0 m 
T 
Figuro (3.8-n) 
j Z X T 1 T 3 
M =53,08 
\ A I 
10 KN/m 
MB=16,33 
/1 
A 
B 
M -48,00* 
0 p2= 10 kN /m 
M ^24,00 
A 
-A 
B 
CARREGAMENTOS DE REFERÊNCIA 
MOMENTOS EM kN.m 
Figura (3,8-bJ 
Esforços solicitantes característicos: (Convenções clássicas de sinais) 
Carga permanente: gí =20 kN/m 
MAgi =2 (-53,08+ 24,00) = -58,2 kN,m 
Mbka = 2(-lót33-48f00) =-128,7 kN.m 
(5TRUTUHAS QC CONCRETO 
2 0 í Z + S V - 1 2 V = 6 0 m 
_ 2 0 , 8 1 2 8 , 7 k 
1li.tllr.uk 2 H ' 
_K . ^ - 1 ^ = 63,9 kN 
2 8 
/ f ^ = 6 0 kN 
flgjM = H0+96,1 = 176,1 kN 
RCitJ. =63,9 kN 
b) Carga variável no 1o tramo; qu = 40 kN/m 
MAqk = 4(-53,08)=-212,3 kN.m 
MQfik =4(-l6,33)=65,3 kN.m 
4 0 > 7 + 2 l 2 , 3 - 6 5 , 3 k N 
An* J 7 
40x7 212,3-65,3 
Bcs<|,ok ••) y * 
= kN 
= ~ = k N 
RA a k= 161 kN 
RB(írt = 1 1 9 + 8 ' 2 = 1 2 7 ' 2 k N 
RCq, = -3,2 kN 
c) Carga variável no 2o tramo: qlk - 40 kN/m 
MAtik =4(+24,00) =96,0 kN.m 
=4( -48,00) = -192 kN.m 
-96 -192 
VjIIÀ = — i - =-41,1 kH 
= 96+192 
40x8 192 1 £ l j l l k I 
40x8 192 
~VCll , = = 136 kN CM 2 8 
RMJs— 41,1 kN 
Riu,.t =41,1 + 184 = 225,1 kN 
/?c^=136 kN 
AN
ÁU
SE
 
ES
TR
UT
UR
AL
 ESFORÇOS 
UNIDADES: fd\l, m 
VALORES CORRESPONDENTES A 
AN
ÁU
SE
 
ES
TR
UT
UR
AL
 ESFORÇOS 
UNIDADES: fd\l, m g «»i min. máx. 
AN
ÁU
SE
 
ES
TR
UT
UR
AL
 
Ações características: g,, q ) t , qJk 20 40 40 - -
AN
ÁU
SE
 
ES
TR
UT
UR
AL
 
Forças cortantes 
características 
V 60 161 -41,1 - -AN
ÁU
SE
 
ES
TR
UT
UR
AL
 
Forças cortantes 
características V -80 -119 -41,1 - -
V 96,1 8,2 184 - -
-S3,9 8,2 -136 - -
Momentos ftetores -58,2 -212,3 96 - -
característicos M* -128,7 -65,3 -192 • -
Reações de apoio 
características 
R* 60 161 -41,1 18,9 221 Reações de apoio 
características R0k 
176,1 127,2 225,1 176,1 528,4 Reações de apoio características 
RC* 63,9 -8,2 136 55,7 199,9 
M V W 84 225,4 -57,5 -
0,9 VM 54 - - • 
Parcelas das 1 4 V -112 •166,6 -57,5 • 
forças -72 - - • 
cortantes de M V B d M 134,5 11,5 257,6 • 
calculo ^ v B d l r t 86,5 - • • 
1,4 VCk -89,5 11,5 -190,4 -
Vct -57,5 - • • 
V^ 84 225,4 -57,5 26,5 309,4 
1a Combinação V B tisn ,(( -112 •166,6 -57,5 -112 •336,1 
8,-1,48^+1,48* B^ dir.,d 134,5 11,5 257,6 134,5 403,6 
Vw -89,5 11,5 -190,4 •78 •279,9 
54 225,4 -57,5 •3,5 279,4 
2a Combinação v Eí Uüih.d -72 -166,6 -57,5 -72 296,1 
S,(=0,9Sot+1,4S* v v!! (ÜF,r[l 86,5 11,5 257,6 86,5 355,6 
V VC<I -57,5 11,5 -190,4 46 247,9 
Parcelas dos 1,4 MAk -81,5 -297,2 134,4 • -
Momentos -52,4 - - • -
Fletores 
de Cálculo 
1,4 Mnk -180,2 -91,4 -268,8 - -Fletores 
de Cálculo 0,9 Mnk -115p8 - - - -
1" Combinação -81,5 -297,2 134,4 52,9 -378,7 
S,(=1,4S8t+1,4S* MBEt -180,2 -91,4 -268,8 -180,2 -540,2 
2y Combinação M Ad -52,4 -297,2 134,4 82 -349,6 
8,-0.88,,+1,4S* M 0[| -115,8 -91,4 -268,8 -115,8 -476,0 
Figura Í3.8-CÍ 
2 * PARTE CISALHAMENTO NO CONCRETO ESTRUTURAL 
CAPÍTULO 4 
Vigas de concreto armado 
4.1 Modelo resistente de treliça1 
Nas vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, as armaduras 
devem obedecer simultaneamente aos requisitos decorrentes de momen-
tos fletores e de forças-cortantes, Existem, assim, dois modelos simultâ-
neos de comportamento da peça, o comportamento de viga e o compor-
tamento de treliça. 
Os tipos

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