2016 APOSTILA CÁLCULO 2

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UNIANCHIETA 
Centro Universitário Padre Anchieta 
 
Material de apoio pedagógico elaborado para a disciplina de Cálculo II, do curso 
de Engenharia Civil e Eletrônica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO II 
2016 
Prof. Ms. Tetsuo Araki 
 
2 
 
Sumário 
1. Limite e Continuidade .................................................................................................... .......................... 4 
1.1 Noção intuitiva de limite................................................................................................................... 4 
1.2 Tabela de aproximações ............................................................................ ....................................... 5 
1.3 Definição intuitiva de limite(para um caso geral) ............................................................................ 6 
1.4 Cálculo de uma indeterminação do tipo 
0
0
...................................................................................... 7 
1.5 Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites ................................... 8 
1.5.1 Produtos notáveis ................................................................. ................................................. 8 
1.5.2 Fatoração .................................................................................................... ........................... 9 
1.6 Unicidade do limite e principais propriedades ................................................................................. 9 
2. Derivadas................................................................................................................................................ 10 
2.1 Taxa Média de Variação de uma Função y = f(x) no intervalo [a, b]............................................. 10 
2.2 Conceito de Derivada de uma Função em um Ponto..................................................................... 10 
2.3 A reta tangente............................................................................................................................... 12 
2.4 Função Derivada............................................................................................................ ................ 13 
2.5 Derivadas Elementares................................................................................................................... 15 
2.6 Regra da Cadeia............................................................................................................ ................. 21 
2.7 Algumas Regras de Derivação para Funções Compostas.............................................................. 22 
2.8 Derivadas Sucessivas................................................................................................................. .... 23 
2.9 Aplicações da Derivada.................................................................................................................. 24 
2.10 Máximos e Mínimos Relativos ou Locais.....................................................................................26 
2.11 Estudo do Sinal da Derivada Segunda......................................................................................... 27 
2.12 Diferencial.................................................................................................................................... 30 
3. Integrais................................................................................................................................................... 32 
3.1 Primitiva.......................................................................................................................................... 32 
3.2 Integral Indefinida.......................................................................................................................... 32 
3.3 Fórmulas Básicas de Integração..................................................................................................... 34 
3.4 Integral Definida............................................................................................................................ 35 
3.5 Área sob o gráfico de uma função contínua positiva. ................................................................... 36 
3.6 Área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo x, onde f é 
contínua e f(x)≤ 0, x  [a, b]......... ................................................................................................... 38 
3 
 
3.7 Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x = b, onde f e 
g são funções contínuas em [a, b] e f(x)  g(x), x  [a, b]................................................................. 38 
3.8 Métodos de Integração....................................................................................................................41 
3.8.1 Regra da Substituição............................................................................................................ 41 
3.8.2 Integração por Partes ............................................................................................................. 42 
3.8.2 Frações Parciais..................................................................................................................... 44 
3.8.3 Integração por Frações Parciais............................................................................................. 45 
3.8.4 Uso das Fórmulas de Integração em Tabelas. ...................................................................... 49 
Tabela de Integrais ..................................................................................................................................... 51 
Respostas dos Exercícios............................................................................................................. ............... 55 
Referências Bibliográficas.......................................................................................................................... 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. Limite e continuidade 
1.1 Noção intuitiva de limite 
 Considere a função f(x) = x2 – 1. Esta função está definida para todo x R, isto é, 
qualquer que seja o número real xo, o valor de f(xo) está definido. 
Exemplo 1. Se xo = 2, então f(xo) = 2
2 – 1 = 3. Dizemos que a imagem de xo = 2 é o valor f(2) = 3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 Considere agora uma outra função g(x) = 
1
12


x
x
. Esta função está definida para x 
-{1}. Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. 
 
g(1)= 
????
0
0
11
112



 
Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a. 
.abcc
b
a

 Por exemplo, 
62.32
3
6

 
Se fizermos 
0.0
0
0
 xx
, para qualquer valor de x , isto é, infinitos valores de x. Daí a 
indeterminação no valor de x. 
5 
 
 
0
0
 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas 
serão tratados mais adiante. 
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento 
desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a 
seguinte pergunta: 
Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos(ou numa 
vizinhança) de 1, porém diferentes de 1? 
 A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa 
vizinhança de um ponto(que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, 
qualquer valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas, na função g, 
existeo ponto x = 1 que gera a indeterminação. 
 Estudemos os valores da função g(x) = 
1
12


x
x
 quando x assume valores próximos de 
1, mas diferente de 1. Para isto, vamos utilizar as tabelas de aproximações. 
Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1: 
 Por valores de x pela direita: 
 
 Por valores de x pela esquerda: 
 
1.2 Tabela de aproximações 
 As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma 
função(se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto. 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores(pela esquerda) do que 1: (tabela A) 
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 
g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 
 
6 
 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores(pela direita) do que 1: (tabela B) 
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 
g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 
 
 Observe que podemos tornar g(x) tão próximos de 2 quanto desejarmos, bastando 
para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos: 
 
“O limite da função g(x) quando x se aproxima de(tende a) 1 é igual a 2” 
 
Simbolicamente escrevemos: 
2
1
1
 2)(lim
2
11




 x
x
imlouxg
xx
 
 
Observação: 
Os dois tipos de aproximações que temos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. 
 Quando x tende a 1 por valores menores que 1(tabela A), dizemos que x tende a 1 pela 
esquerda, e denotamos simbolicamente por x  1-. Temos então que: 
2
1
1
 2)(lim
2
11




  x
x
imlouxg
xx
 
 Quando x tende a 1 por valores maiores que 1(tabela B), dizemos que x tende a 1 pela 
direita, e denotamos simbolicamente por x  1+. Temos então que: 
2
1
1
 2)(lim
2
11




  x
x
imlouxg
xx
 
 
1.3 Definição intuitiva de limite(para um caso geral) 
 Seja f uma função definida num intervalo I   contendo a, exceto possivelmente no 
próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L  , e escrevemos 
7 
 
Lxf
ax


)(lim
, se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais à L. 
Caso contrário, dizemos que o limite não existe. 
Ainda com relação à função 
1
1
)(
2



x
x
xg
, podemos concluir que 
2
1
12
1



 x
x
iml
x
, pois os 
limites laterais são iguais a 2. 
Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma 
função, caso exista? 
Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir. 
 
1.4 Cálculo de uma indeterminação do tipo 
0
0
 
 Sempre que nos deparamos com uma indeterminação do tipo 
0
0
, devemos simplificar 
a expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na 
expressão já simplificada, o valor de x. 
 
 
Exemplo 2. Determine 
)(
1
xgiml
x
, onde 
1
1
)(
2



x
x
xg
 
Observe que substituindo x por 1 na função g(x) obtemos 
0
0
 que é uma indeterminação 
matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez 
mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a 
substituição direta. 
 
2)1( lim
)1(
)1)(1(
lim
1
1
11
2
1







x
x
xx
x
x
iml
xxx
 
 
Chegamos a mesma conclusão de análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma 
forma mais rápida e sistemática. 
 
Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!! 
8 
 
Vale lembrar que a expressão 
2
1
12
1



 x
x
iml
x
 significa que 
1
1
)(
2



x
x
xg
 está tão próxima 
de 2 assim com x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente 
podemos verificar isso. 
 
Gráfico da função 
1
1
)(
2



x
x
xg
, x  1. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Determine 
123
8
2
3
2 

 x
x
iml
x
(observe a indeterminação matemática 
0
0
 no ponto 
x = 2) 
1
)2(3
)42(
)2)(2(3
)42)(2(
)4(3
)42)(2(
123
8 2
2
2
22
2
22
3
2












 x
xx
iml
xx
xxx
iml
x
xxx
iml
x
x
iml
xxxx
Constate através das tabelas de aproximações que se x  2, então 
123
8
2
3



x
x
y
1 
1.5 Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites 
1.5.1 Produtos notáveis 
1) Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
2) Quadrado da diferença: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
3) Produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b) = a2 – b2 
4) Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
5) Cubo da diferença: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
 
9 
 
1.5.2 Fatoração 
6) Fator comum: ax  ay = a(x  y) 
7) Diferença de quadrados: a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
8) Trinômio do 2º grau: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) 
9) Soma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
10) Diferença de cubos: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
1.6 Unicidade do limite e principais propriedades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
)24(lim
1


x
x







 0 xse,1
0 x ,1
)(),(lim
2
2
0 x
sex
xfxf
x
Exercícios 
Calcule os limites indicados. 
1) 
)2x4(lim
3x


 6) 
2) 
x
x
coslim
0
 7) 
senx
x
4
lim


 
3) 
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
 8) 
x
xxx
x
32
lim
23
0


 
4) 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
 9) 
10
1000
lim
3
10 

 x
x
x
 
5) 






 0 xse,0
0 x ,12
)(),(lim
2
0
sex
xfxf
x
 10) 
 
2. Derivadas 
 
2.1 Taxa Média de Variação de uma Função y = f(x) no intervalo [a, b] 
Suponhamos que a função y = f(x) seja definida no intervalo 
[a, b]. Quando a variável passa do valor a para o valor b variando 
∆x = b – a, os valores da função y = f(x) passam de y = f(a) para y = f(b), 
variando ∆y = f(b) – f(a). A razão entre ∆y e ∆x é chamada taxa média 
de variação. TMV = 
x
y


 
Exemplos: 
a) Vamos calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da 
função y = x2 + 1 no intervalo [1, 2] 
∆x = 2 – 1 = 1 
∆y = f(2) – f(1) = 5 – 2 = 3 
11 
 
TMV = 
x
y


= 
1
3
 = 3 
No intervalo [1, 2], a função y = x2 + 1 está crescendo em média, 3 unidades para cada unidade 
acrescida em x. 
 
b) idem para a função y = -x2 + 4, no intervalo [1, 1.5] 
∆x = 1.5 – 1 = 0.5 
∆y = f(1.5) – (1) = [-(1.5)2+4]-[-12+4]= 1.75 – 3 = -1.25 
TMV = 
x
y


= 
25,0
5
25,1


 
No intervalo [1, 1.5], a função y = -x2+4 decresce, em média, 0,25 
para cada unidade acrescida em x. 
 
2.2 Conceito de Derivada de uma Função em um Ponto 
 Um modo de calcular a taxa média de variação bem próxima de um ponto p é calcular 
a taxa média de variação no intervalo de extremos p e x, e fazer x aproximar-se de p pelo 
processo de limite. 
 Esse limite, se for um número real, será chamado de derivada da função y = f(x) no 
ponto p e será denotado por y’(p) ou f ‘(p). 
 
Exemplo 
Queremos estudar o comportamento da função y = x2 + 4 próximo ao ponto p = 3. Para isso, 
vamos calcular a taxa média de variação no intervalo de extremos 3 e 3 + x. 
a =3 
b = 3 + x 
∆y = f(3 + x) – f(3) = [(3+x)2 + 4] – (32 + 4) = 9 + 6x + (x)2 + 4 – 13 = 6x + (x)2 
12 
 
6x6 
0x


lim
x6 
0x


lim
TMV = 
x
y


= 
x
x
xx



6
)(6 2
 
Como queremos o comportamento da TMV próximo ao ponto p = 3, devemos calcular o limite 
Então: 
Portanto, o valor do limite é 6 e dizemos que a derivada de y = x2 + 4 no ponto p = 3 vale 6, e 
indicamos y’(3) = 6 (ou f ’(3)=6) e podemos interpretar da seguinte forma: próximo ao ponto 
p = 3, a tendência da função é crescer 6. 
Como calculamos a taxa média de variação próximo ao ponto p = 3, ou seja, ∆x tendendo a 
zero, podemos considerar f ‘(3) = 6 como sendo a Taxa de Variação Instantânea. 
 
2.3 A reta tangente 
Seja s a reta secante que passa por P e Q. Então, a inclinação da reta s(ou coeficiente angular 
de s) é 
x
y
tg



. 
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante 
disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais 
de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante. 
Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente (t) à curva no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
4
)4(
lim
4)(44
lim
]42[]4)2[(
lim
)2()2(
lim
0
2
0
22
00












 x
xx
x
xx
x
x
x
fxf
xxxx
Podemos, então, considerar a inclinação da reta tangente (t) como uma taxa de variação 
instantânea obtida através do cálculo de 
x
f(x)-x)f(x
 
0x 


lim
. Por outro lado, vimos que esse 
limite representa a derivada da função no ponto P. 
Então, podemos concluir que a derivada da função no ponto P representa a inclinação da reta 
tangente a f(x) no ponto P. 
Exemplo 
Vamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 4 no ponto P = 2. 
tg  = 
 
 
Agora, vamos encontrar a equação dessa reta tangente. 
Sabemos da geometria analítica, que a equação da reta é 
dada por y - yo = m(x – xo), onde m é a inclinação e (xo, yo) é 
um ponto pertencente à reta. 
Sendo P(2, 0) esse ponto da reta t, temos: 
y – 0 = 4(x – 2) 
y = 4x – 8, que é a equação da reta t, tangente a f(x) = x2 – 4 
em x = 2 
 
 
 
2.4 Função Derivada 
Como vimos anteriormente, a derivada de uma função f(x) em um ponto x pode ser, 
por exemplo, interpretada como sendo a taxa média de variação próxima a esse ponto, e que 
podemos interpretar como sendo a taxa de variação instantânea, pois estamos considerando 
uma pequena variação em x. 
14 
 
O cálculo da derivada de uma função em um ponto, como fizemos no item anterior, 
pode ser repetido para todos os pontos do domínio de uma função. 
Desta forma, para cada ponto x onde é possível calcular o valor da derivada 
y’ = f ’(x), teríamos os pares (x, f ‘ (x)). 
 Considerando uma função f(x), temos: 
h
f(x)-h)f(x
 lim)(
0
' 
h
xf
, que é a derivada da função f(x) calculada com o conceito de 
limite, sendo ∆x = h 
Por exemplo, vamos calcular a derivada da função f(x) = x2 – 4, usando o conceito de limite. 
 







 h
xhxhx
h
xhx
xf
hhh
442
lim
)4(4)(
lim
h
f(x)-h)f(x
 lim)(
222
0
22
00
'
 
 
xhx
h
hxh
h
xhxhx
hhh
2)2(lim
2
lim
442
lim
00
222
0






 
Logo, f ‘(x) = 2x 
Se quisermos calcular a derivada da função f(x) = x2 – 4 no ponto x = 3, basta calcular 
f ‘(3) = 2.3 = 6. De forma análoga, para x = 2, temos: f ‘(2) = 2.(2) = 4 
 
Exercícios 
1) Calcular o valor da taxa média de variação da função nos intervalos: 
a) y = 3x + 10 [2, 5] 
b) y = 10x – x2 [0, 2] 
c) y = 3x [1, 3] 
 
2) Utilizando o conceito de limite, calcule a derivada das funções: 
a) y = x2 + 1 
b) y = 4x2 
 
15 
 
2.5 Derivadas Elementares 
 Vamos agora determinar as derivadas de algumas funções elementares, às quais 
recorreremos mais tarde no cálculo de outras mais trabalhosas (com ajuda das propriedades 
operatórias que estudaremos adiante) 
 
Derivada da Constante 
 
 
Derivada da Identidade 
 
 
Derivada da Potência 
 
Exemplos 
 
 
Derivada da Soma 
 
Exemplos 
 
 
16 
 
5
2
34
3
9
6243)()3
1
2
4234)()2
2
1
2
1)()1
2
236
2
23
23



xx2x
 f(x) 6) xxxxf
x
4
x
f(x) 5) xxxxf
x
-2xf(x) 4) xxxxf
3
4
2
Derivada do Produto de uma Constante por uma Função 
 
 
Exemplos 
 
 
 
Exercícios 
Determine a derivada de cada função abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Derivada do seno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
18 
 
121cos2)()5
2





x2
2
x
x
x f(x) 10) xsenxxf
2lnx 1 f(x) 9) 
senx-cosx
 f(x) 4)
xlog f(x) 8) cosx - 3senx f(x) 3)
2.3 f(x) 7) cosx 4 f(x) 2)
10ef(x) 6) 2senx f(x) 1)
 
 
Exemplos 
 
 
Exercícios 
Obtenha a função derivada da função dada. 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Derive as funções dadas 
)cos()()7
)ln(2)()6
)ln1()()5
1
cos)()4
1
)()3
2)()2
cos
2
2
2
xsenxexf
xexxf
xxxf
xx
2
 f(x) 11) xsenxxxf
1x
xx
 f(x) 10) exxf
 
x
1
 f(x) 9) xexf
x
1-2x
f(x) 8) xx f(x) 1)
x
x
2
2
x
3
x
2
2










 
21 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
.
dx
du
du
dy
dx
dy
.
dx
du
du
dy
dx
dy
.
2.6 Regra da Cadeia 
 Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, então a função composta 
y = g[f(x)] tem derivada que é dada por ou y’(x) = g ’(u). f ’(x). 
Exemplos 
Dada a função composta y = (x2 + 5x + 2)7, determine dy/dx. 
Considerando u = (x2 + 5x + 2), temos: 
 
 = 7u6.(2x + 5) = 7(x2 + 5x + 2)6(2x + 5) 
 
Vamos derivar a função composta y = sen(3x2). 
 
 = cos u . 6x = cos(3x2).6x 
 Resumindo, observe que as funções simples, como os polinômios, a potência, o logaritmo 
e a exponencial, podem ser compostas, fornecendo outras funções mais complexas. Veja, na 
tabela abaixo, alguns exemplos comparativos. 
Funções Simples Funções Compostas 
y = ex y = e4x+3 
y = x3 y = (5x + 2)3 
y = ln x y = ln(x2 + 3x) 
22 
 
  )(')].([)(')](cos[ xvxvsenxfxvxf 
  )('.ln.)(' )()( xvaaxfaxf xvxv 
  )(')].(cos[)(')]([ xvxvxfxvsenxf 
  )(.
ln)(
1
)(')]([log ' xv
axv
xfxvxf a 
Para derivarmos as funções compostas, utilizamos a Regra da Cadeia,que consiste em 
usarmos as mesmas regras apresentadas para as funções simples e multiplicarmos pela 
derivada da função que aparece no lugar da variável da função elementar. 
Agora, vamos derivar as funções compostas apresentadas na tabela anterior. 
223
3434
22
2
)25(155.)25.(3)(')25()(
.4)(')(
3
32
)32.(
3
1
)(')3ln()(








xxxfxxf
exfexf
xx
x
x
xx
xfxxxf
xx
 
 
2.7 Algumas Regras de Derivação para Funções Compostas 
 
a) 
      )('.)()(')( 1 xvxvnxfxvxf nn 
 b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) 
 
 
 
23 
 
Exercícios 
Utilizando a Regra da Cadeia, calcule a derivada das seguintes funções: 
1x f(x) d) )1xx()x(f)b
e f(x) c) 
1x
1
 f(x) a)
 3)
cos3x sen3x f(x) d) x
2
sen f(x) b)
2x cos f(x) c) x4sen)x(f)a
)2
xcosxsen f(x) d) (senx) f(x) )b
xcos f(x) c) )3x2(x f(x) a)
 1)
222
senx
2
335
552









 





 
 
2.8 Derivadas Sucessivas 
 Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada f ’ é também 
uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na derivada da função 
f ’. 
Definição: Seja f uma função derivável. Se f ’ também for derivável, então a sua derivada é 
chamada derivada segunda de f e é representada por f ”(x)(lê-se f-duas linhas de x). 
 
Exemplos 
Se f(x) = 3x2 + 8x + 1, então f ’(x) = 6x + 8 e f ”(x) = 6 
Se f(x) = sen(4x), então f ’(x) = 4cos(4x) e f ”(x) = -16sen(4x). 
 
24 
 
Exercícios 
Calcule f ’(x), f ”(x) e f ’’’(x) em cada caso. 
1) f(x) = 3x5 + 8x2 
2) f(x) = e5x 
3) f(x) = cos(3x) 
4) f(x) = ex 
 
 
2.9 Aplicações da Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
2.10 Máximos e Mínimos Relativos ou Locais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
2.11 Estudo do Sinal da Derivada Segunda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumindo, o procedimento que adotamos para determinarmos o(s) ponto(s) crítico(s) de f(x) 
e, em seguida, classificarmos como ponto de Máximo ou Mínimo Relativo, é conhecido como 
Critério da 2ª derivada, que é aplicada seguindo os seguintes passos: 
a) Calcular a primeira derivada. 
b) Calcular os pontos que anulam a primeira derivada, ou seja, determinar o(s) ponto(s) 
crítico(s). 
c) Calcular a segunda derivada. 
d) Calcular o valor da segunda derivada no ponto candidato. 
e) Classificar o(s) ponto(s) crítico(s): 
Se f ”(xo) < 0, xo é um ponto de máximo local. 
Se f ”( xo) > 0, xo é um ponto de mínimo local. 
Se f ”( xo) = 0, xo é um ponto de inflexão. 
 
 
 
29 
 
Exercícios 
 
Nos exercícios 1 ao 4, determine os pontos críticos das funções e classifique-os: 
 
1) y = x2 + 1 
 
 
2) y = x3 – 12x + 120 
 
 
3) y = 
6x
2
5x
3
x 23

 
 
 
4) y =
12 x
x
 
 
5) Seja uma caixa sem tampa, com formato de um bloco retangular, com base quadrada e 
volume de 10 m3. Quais as dimensões da caixa para que ela tenha área superficial mínimo? 
 
 
6) Desejamos montar uma caixa de papelão com tampa, com formato de um bloco retangular, 
utilizando 24 cm2 de material. Esta caixa deve ter base quadrada. Quais as dimensões da caixa 
para que ela tenha volume máximo? 
 
 
 
7) Em uma empresa, há 30 m de tela para delimitar uma área retangular para a instalação de 
uma nova linha de produção. Utilizando uma parede já existente, qual é a maior área que 
podemos obter? 
30 
 
2.12 Diferencial 
 Sejam y = f(x) uma função derivável e x um acréscimo de x. Definimos: 
a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx = x. 
b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como dy = f ’(x). x 
De acordo com a definição anterior, podemos escrever dy = f ’(x).dx ou dy/dx = f ’(x). 
Assim, a notação dy/dx pode ser considerada um quociente entre duas diferenciais. 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Se y = 2x2 – 6x + 5, calcule o acréscimo y para x = 3 e x = 0,01. 
Usando a definição de y, escrevemos: 
y = f(3 + 0,01) – f(3) = [2.(3,01)2 – 6.(3,01) + 5] – [2.32 – 6.3 + 5] = 0,062 
2) Se y = 6x2 – 4, calcule y e dy para x = 2 e x = 0,001. 
y = f(2 + 0,001) – f(2) = 0,024006 
dy = f ‘(x). x = 12x. x = 12.2.0,002 = 0,024. 
31 
 
Observamos que a diferença y – dy = 0,000006 seria menor caso usássemos um valor menor 
que 0,001 para x. 
3) Calcule um valor aproximado para 
3 5,65
usando diferenciais. 
Seja y = f(x) a função definida por f(x) =
3 x
 
Escrevemos: 
y + y = 
3 x x 
 e dy = 
dx
x 3
2
3
1
 
Fazemos x = 64 e x = 1,5, pois 64 é o cubo perfeito mais próximo de 65,5. Assim, x + x = 65,5 
e dx = x = 1,5 e 
03125,05,1.
)64.(3
1
3
2
dy
 
Então, 
03125,403125,045,1645,65 333  yyxx
 
Exercícios 
1) Encontrar y – dy das funções dadas. 
a) y = 3x2 – x + 1 
b) y = 
x2
 
2) Encontrar y e dy para os valores dados. 
a) 
22
1
x
y 
; x = 0,001; x = 1 
b) y = 5x2 – 6x; x = 0,02; x = 0 
 
32 
 
3) Calcular a diferencial das seguintes funções: 
a) y = ln(3x2 – 4x) b) 
xe
x
y
1

 c) 
)65( 2  xseny
 
 
4) Calcule um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial. 
a) 
50
 b) 
3 5,63
 
3. Integrais 
Consideremos uma função real f contínua num intervalo I. Definimos: 
3.1 Primitiva 
Uma primitiva de f em I é uma função F, derivável em I, tal que F’(x) = f(x), 
Ix
 
Exemplos: 
Dada f(x) = 3x2, são primitivas de f(em R): F(x) = x3, G(x) = x3 + 1, H(x) = x3 – 3, etc. , pois F’(x) = 
3x2, G’(x) = 3x2, H’(x) = 3x2. 
Dada f(x) = cosx, são primitivas em f (em R): F(x) = senx, G(x) = senx+ 1, H(x) = 2 + senx, etc. , 
pois F’(x) = cosx, G’(x) = cosx, H’(x) = cosx. 
 
3.2 Integral Indefinida 
 Qualquer solução y = F(x) resultante da realização do processo de integração é 
chamada uma antiderivada. Por exemplo, y = 2x5 + 9 é uma antiderivada de 10x4. F(x) é uma 
antiderivada para uma dada função f(x) se 
  ).()( xfCxF
dx
d

 
33 
 
  xx
dx
d
22     Cxdx xdxxf
22)(
 Usando qualquer antiderivada, F(x), para uma dada função f(x), F(x) + C é uma solução 
geral, isto é, 
  ).()( xfCxF
dx
d

 Esta solução geral é chamada a Integral indefinida de f(x), 
onde f(x) é chamada a integral. É costume usar o seguinte simbolismo para a integral 
indefinida: 
  CxFdxxf )()(
, onde C é chamada constante de integração. F(x) + C pode 
ser considerada como pertencente à família de todas as curvas cujas derivadas para qualquer x 
dado são todas iguais às outras. 
Exemplo. 
Determinar a integral indefinida para f(x) = 2x. 
 
Como , temos 
 
Isto é uma família de parábolas y = x2 + C 
 
 
 
 
 
3.3 Fórmulas Básicas de Integração 
Assim como existem fórmulas básicas de diferenciação, existem fórmulas básicas de 
integração. Isto torna o processo de integração mais fácil de realizar. 
12  xy
2xy 
12 xy
22  xy
2c
1c
1c
0c
34 
 
 



 













Cdxxfkdxxkf
aa C
a
a
dxa
Csenxxdx
Cxsenxdx
Cxdx
x
dxx
C
n
x
dxx
Ckxdx k
x
x
n
n
)()()7
)1,0(
ln
)6
cos)5
cos)4
ln
1
)3
1
)2
)1
1
1
   

















dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f)14
Cxlogdx
alnx
1
)13
Cedxe)12
Ctgxxdxsec)11
Cxcos arcdx
x1
1
)10
Ctgx arcdx
x1
1
)9
Csenx arcdx
x1
1
)8
a
xx
2
2
2
2
 


C
n
x
dxx
n
n
1
1 , com n ≠ -1 
Exemplo. 
  C
x
dxx
17
17
16
 
    dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
 
Exemplo. 
C
xx
dxxx  34
)(
34
23
 
   Cdxxfkdxxkf )()(
 
Exemplo. 
   Cx
x
dxxdxx 4
4
33 3
4
.121212
 
Eis uma tabela de integrais simples: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
dxxsenx
dxx
dx
x
x
dxx
dxxx
dxxx
dxxx


























)cos()7
)6
1
)5
2
1
2)4
6)3
254)2
12)1
2
3
2
2
dx
senx
dx
dx x
dx senx
dxe
dx
x
x
dxx
x
x























3
2
)14
2)13
cos4)12
2)11
3)10
1
)9
4)8
2
2
3
 
b
a
aFbFdxxf )()()(
 )()()())( aFbFxFdxxf
b
a
b
a

482.3
3
2
5.3
3
5
3
3
)3(
33
5
2
35
2
2 














 x
x
dxx
Exercícios 
Obtenha: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Integral Definida 
 Denominamos integral de f e indicamos

b
a
dxxf )(
 (leia: integral de a a b de f(x)dx), ao 
número real dado por: 
onde F é uma primitiva qualquer de f. Também indicamos: 
Exemplo. 
 
 
 
36 
 
)(
)()(
)(.)()(
xf
h
tFhtF
xfhtFhtF



)()( tFhtF 
)(xf x
3.5 Área sob o gráfico de uma função contínua positiva 
 Consideremos dois reais a e b, a < b, e uma função real contínua tal que f(x) ≥ 0 para 
todo real x pertencente ao intervalo [a, b]. 
Queremos calcular a área S da região limitada pelo gráfico de f, o eixo x e as retas x = a e x = b. 
 
 
 
 
Vamos representar por F(t) a área da região limitada pelo gráfico de f, o eixo x e as retas x = a e 
x = t, onde t pertence ao intervalo [a, b]. Temos, por exemplo, F(a)=0 e F(b)=S. 
 
 
 
 
 
Observemos que representa aproximadamente a área de um retângulo de 
base h e altura igual a , onde é um ponto entre t e t + h. Assim: 
 
 
 
37 
 
x )(xf
)(
)()(
lim)('
0
tf
h
tFhtF
tF
h




 
b
a
aFbFdxxfS )()()(
..
3
14
0
3
0
2
3
2
3
)1(
33
2
0
32
0
2 aux
x
dxxS 

















 
Fazendo h tender a zero tende a t e, então, tende a f(t). Decorre que F é derivável em 
x = t e que . Portanto, F é derivável e sua derivada é F’ = f. 
Concluindo, para calcular a área S devemos descobrir uma função F cuja derivada é f e tal que 
F(a) = 0. Neste caso, S = F(b). 
Por exemplo, vamos calcular a área da região limitada pela curva 
y = 3x2, o eixo x e as retas x = 1 e x = 2. 
Temos f(x) = 3x2 e uma função F tal que F’ = f e F(1) = 0, é F(x) = x3-1. 
Assim, a área S = F(2) = 23 – 1 = 7. 
 
Mas, observe que 
     718123 33213
2
1
2  xdxx
, ou seja, para calcular a área da 
região acima do eixo x, limitada pela curva contínua f(x) e a retas x = a e x = b, basta 
resolvermos a integral definida(de a até b). 
 
 
Outro exemplo. 
Calcular a área limitada pela curva y = x2 + 1, o eixo x, o eixo y e a reta x = 2. 
 
 
 
 
38 
 
)()()( bFaFdxxfR
b
a
 
..3232
3
)2(
)2.(4[]
3
2
2.4[
3
4)4(
33
2
2
32
2
2
au
x
xdxxR






  
b
a
dxxgxfS )()(
3.6 Área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo x, onde f é 
contínua e f(x)≤ 0, x  [a, b] 
 
 
Exemplo 
Calcular a área da figura limitada pela função y = -4 + x2 e pelo eixo x. 
 
 
 
3.7 Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x = b, 
onde f e g são funções contínuas em [a, b] e f(x)  g(x), x  [a, b] 
 
 
 
 
39 
 
1 xy
 
..
2
9
3
)1(
)1.(2
2
)1(
3
2
2.2
2
2
3
2
2
)()2(
3232
2
1
322
1
2
au
x
x
x
dxxxS











 












Exemplo 
Encontre a área limitada por y = x2 e y = x + 2. 
As curvas y = x2 e y = x + 2 interceptam-se nos pontos de 
abscissa -1 e 2, conforme figura ao lado. No intervalo [-1, 2] 
temos x + 2  x2. Então, 
 
 
 
 
Exercícios 
Calcular as áreas sombreadas nas figuras. 
1) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
40 
 
xxy 23 2 
3) 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
41 
 
  dxxx
212
  CxCuuduudu u   2
3
22
32
3
2
1
1
3
2
3
2
2
3
 
  22
1
2
2
3
2
122.1
3
2
.
2
3
1
3
2
xxxx
dx
Cxd








  dxxx )2cos(
43
dxx
4
du
 dxxdu xu 334 42 
CxsenCsenudu udxxx   )2(4
1
.
4
1
cos
4
1
)2cos( 443
  dxxx
212
  dxxx
212
3.8 Métodos de Integração 
3.8.1 Regra da Substituição 
 Nossas fórmulas de integração não mostram como calcular integrais do tipo . 
Para encontrar essa integral usamos a estratégia de introduzir uma nova variável. Mudamos da 
variável x para uma nova variável u. 
Para a integral , vamos fazer a mudança de variável da seguinte forma: 
u = 1 + x2  du = 2x dx 
Então, mudando a variável x para u, temos: 
 du 
 = 
 
Agora, podemos verificar que temos a resposta correta usando a Regra da Cadeia para 
diferenciar a função obtida. 
 
 
 
Mais um exemplo: vamos calcular 
 
 
 
42 
 
)2cos(.4).2cos(
4
1
)2(
4
1
4334
4








xxxx
dx
Cxsend









dxe
dxxsen
dx
x
dxxx
dxxx
xdx
x8
3
32
102
)6
)3(5)5
)21(
4
)4
1)3
)4()2
3cos)1
 
 




du v -u.v dv u
du vvd uv.u
du.vdv.u)v.u(d
dx
du
.v
dx
dv
.u
dx
)v.u(d
Verificação: 
 
 
Exercícios 
Calcule as seguintes integrais por substituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3.8.2 Integração por Partes 
A integração por partes é o método de transformar integrais numa forma que pode ser 
integrada por fórmulas familiares da integração. Este método é baseado na fórmula da 
derivação composta para diferenciar o produto de duas funções u e v. 
 
 
 
43 
 
 dxe x
2x
  dvudxe x
2x
C
4
e
2
xe
CxC
4
e
xC
2
xe
CxCdx
2
e
xC
2
xe
dxC
2
e
C
2
e
(x) dxe x
: temos,du v -u.v dv u Como
.C
2
e
dxedv ventão ,dxe dv se edx du então x,u Se
x2x2
1
x2
1
x2
1
x2
1
x2
1
x2
1
x2
2x
1
x2
x22x





















 








dx
x
xln
)6
dx)senxln(.xcos)5
dx)1x2ln()4
dx x5cosx)3
dxex)2
xd xln)1
2
 x2Exemplo: Integrar 
 Se considerarmos u = x e dv = e2x dx, então 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Calcule as seguinte integrais utilizando o método da Integração por Partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 dxxQ
xP
)(
)(
)(
)(
xQ
xP
236
6











x
B
x
A
2)3)(x-(x
13x
xx
13x
parciais frações de somatóriauma como 
xx
13x
 Escrever
2
2
2)3)(x-(x
BAxBA
2)3)(x-(x
3B-Bx2AAx
2)3)(x-(x
)B(x
2)3)(x-(x
2)A(x
x
B
x
A
2)3)(x-(x
13x

















 )32()(3
23







(II) BA
(I) BABA
132
33
3.8.3 Frações Parciais 
Usaremos integrais da forma onde P(x) e Q(x) são polinômios. Antes de usarmos 
essas integrais veremos como a expressão racional pode ser escrita como somatória de 
frações parciais. Primeiro, se os fatores do denominador forem n fatores lineares distintos, 
então 
)(
)(
xQ
xP
pode ser representada como a somatória de n frações parciais da forma 
ax
A

onde cada (x – a) é um fator linear de Q(x), isto é, 
...
)(
)(







cx
C
bx
B
ax
A
xQ
xP
 
Exemplo 1. 
 
 
 
 
 
Comparando... 
 
 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
2(3 – B) – 3B = 1  6 – 2B – 3B = 1  - 5B = -5  B = 1 (III) 
45 
 
2
1
3
2






xx2)3)(x-(x
13x
 

dx
xx
x
6
13
2
2
1
3
2
6
13
2 








xx2)3)(x-(x
13x
xx
x
Cxxdx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx
x
















    2ln3ln22
1
3
2
2
1
3
2
6
13
2
Substituindo (III) em (I), temos: A = 3 – 1  A = 2 
Portanto, escrevemos: 
 
 
 
 
3.8.4 Integração por Frações Parciais 
 
Exemplo 2. Integrar 
Do exemplo 1 sabemos agora que 
 
Então, 
Exemplo 3. 
Escrever 
xx
xxx
2
473
2
23


como uma somatória de frações parciais. 
Neste exemplo, notamos que o grau do numerador é maior que o do denominador. Sempre 
que o grau do numerador P(x) é maior ou igual ao grau do denominador Q(x), o primeiro passo 
a ser dado é dividir P(x) por Q(x) por divisão longa. Neste caso, temos: 
 
 
46 
 
4x7x3x 23 
x2x 2 
 
 -x3 –2x2 x + 1 
 x2 + 7x + 4 
 -x2 - 2x 
 5x + 4 
 
Então, 
xx
x
x
xx
xxx
2
45
1
2
473
22
23





 
Observe que o denominador do termo 
xx
x
2
45
2 

pode ser decomposto em fatores lineares: 
)2(22  xxxx
 
Usando o método como mostrado no Exemplo 1, podemos escrever este termo como uma 
soma de frações parciais: 
)2(
2)(
)2(
2
)2(
)2(
2)2(
45
2
45
2 















xx
AxBA
xx
BxAAx
xx
BxxA
x
B
x
A
xx
x
xx
x
 
Igualando os numeradores, temos: 
A + B = 5 e 2A= 4, donde podemos concluir que A = 2 e B = 3. 
Portanto, podemos escrever 
2
32
2
45
2 



xxxx
x
. 
 
Finalmente, escrevemos: 
2
32
1
2
473
2
23




xx
x
xx
xxx
 
47 
 
Exemplo 4. Integrar 
dx
xx
xxx
 

2
473
2
23 
 Usando o resultado do Exemplo 3, podemos escrever: 
Cxxx
x
dx
xx
xdx
xx
xxx










 2ln3ln222
32
1
2
473 2
2
23 
 
 
Exemplo 5. Integrar 
dx
xxx
xx
 

23
2
2
2
 
 O denominador do integrando fatora-se linearmente: x(x – 1)2. Podemos deste modo 
escrever o integrando como uma somatória de frações parciais. 
Quando um fator elevado ao quadrado tal como (x – a)2 aparece no denominador, os termos 
contendo 
2)( ax
B
e
ax
a

devem ser ambos introduzidos como termos possíveis na somatória 
de frações parciais. Isto é, 
2
2
2
22
2
2
22
2
)1(
)2()(
)1(
)(2
)1(
)()1)(()1(
)1(1)1(
2















xx
AxCBAxBA
xx
xCBxBxAAxAx
xx
xCxxBxA
x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
Igualando, temos as equações A + B = 1, -2A – B + C = -1 e A = 2, donde podemos 
concluir que:A = 2, B = -1 e C = 2 
Portanto: 
48 
 
C
x
xxdx
xxx
dx
xxx
xx









 1
2
1lnln2)
)1(
2
1
12
(
2
2
223
2 
 
Exemplo 6. Integrar 
dx
xx
xx
 

3
2 1
 
 Neste exemplo, o denominador x3 + x não deve ser fatorado em fatores lineares: x3 + x = 
x(x2 + 1) 
 Quando um ou mais dos fatores é um fator quadrático não-fatorável da forma ax2 + bx 
+ c, devemos representar a fração parcial correspondente a cada um destes fatores na forma 
cbxax
BAx


2
. Deste modo, neste exemplo temos: 
)1(
)(
)1(1)1(
11
2
2
2
22
22
2
3
2














xx
CBxxCA
xx
BxAxCCx
x
BAx
x
C
xx
xx
xx
xx
 
Igualando os coeficientes, temos: A + C =1, B = 1 e C = -1, donde podemos concluir que A = 2, 
B = 1 e C = -1. Então: 
 
Carctgxxx
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
x
x
dx
x
x
x
dx
xx
xx















 
1lnln
1
1
1
21
)
1
1
1
21
()
1
121
(
1
2
222223
2
 
 
 
 
49 
 










dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xxx
xx
2
2
2
23
2
)1(
1
)4
54
1
)3
23
)2
2
234
)1
Exercícios 
Calcule as seguintes integrais por frações parciais. 
 
 
 
 
 
 
3.8.5 Uso das Fórmulas de Integração em Tabelas 
 Na tabela da página 38 estão enumeradas algumas fórmulas-padrão para integrar 
funções selecionadas. Uma lista maior de fórmulas de integração(normalmente mais de 400) 
pode ser encontrada na maioria dos manuais-padrão de tabelas matemáticas. 
 Veremos agora como podem ser usadas essas tabelas. Na tabela de integrais citada, u 
representa uma função de x. 
Exemplo 1. Integrar 
  dx xx 43
 
 Se considerarmos u = x, a = 3 e b = 4, veremos que esta integral está na forma da 
fórmula 11. Portanto, substituindo estes valores de u, a, e b, nesta fórmula, temos: 
C
xx
C
xx
C
xx
dxxx 





 20
)43)(21(
16.15
)43)(21(12
4.15
)43)(.4.33.2(2
43
2
3
2
3
2
2
3
 
50 
 
dx
x
x
x
dx
xx
dx






32
)3
4
)2
5
)1
2
dx
x
x
dx xsenxsen

 2
2
9
)5
3.7)4
Exemplo 2. Integrar 
C
x
x
dx
xx
dx






656
656
ln
6
1
56
 
Neste caso, tomamos u = x, a = 6 e b = 5 e a integral está na forma da fórmula 15. 
 
 
Exercícios 
Integrar cada uma das seguintes expressões usando a Tabela da página 51. Dar o número da 
fórmula usada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Tabela de Integrais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
x
e(x)''f' 
x
e(x)'f' 
x
e(x)4)f'
27sen3x(x)''f' -9cos3x(x)'f' 3sen3x(x)3)f'
5x
125e(x)''f' 
5x
25e(x)'f' 
5x
5e(x)2)f'
2
180x(x)''f' 16
3
60x(x)'f' 16x
4
15x(x)f' 1)
1
2
x
x
 d) 
senx
cosx.e c) 
3
1)x
2
(x
1)2(2x
- b) 
2
1
2
x
2x
- a) 3)
 3sen3x-3cos3x d) 2sen2x-c) x)
2
π
cos(
2
π
 b) 4cos4xa) 2)
x.senx
2
3cosx.cosx
2
3sen d) x.senx
4
5cos- c) x.cosx
4
5sen b) 2)(2x
4
3)2x
2
5(x a) 1)
 
2
1)x
2
(x
24x-
 11) 
2
1)(x
2x
2
x
 10) 
4
x
3
- 9)
3
x
22x-
 8) cosx
x
2e 7) )
x
1x
2x(elnx)
x
2(e 6) 2xlnx3x 5) x
2
senx
2
cos2x 4)
x
e
2
x
x
2xe 3) 
x
2xe
x
2e 2) senx
2
x-2xcosx 1)
 ln2
x
22x 10) 
x
2
 9) 
xln2
1
8)
ln3
x
2.3 7) 
x
6)10e senx-2cosx 5) 
2
cosx
2
senx
- 4)senx3cosx 3) 4senx- 2) 2cosx 1)
3
1
2
3x
3
2
2x
 6) x
3
x 5) 
2
1
4x- 4)4x
2
12x
5
18x 3) 26x
2
12x 2) 12x
2
3x 1)
8x
h
h)4h(2x
lim
0hh
2
4x
2
4h8xh
2
4x
lim
0h
h
2
4x)
2
h2xh
2
4(x
lim
0hh
2
4x
2
h)4(x
lim
0hh
f(h)h)f(x
lim
0h
(x)b)f'
2x
h
h)h(2x
lim
0hh
1
2
x12xh
2
x
lim
0hh
1]
2
[x1]
2
h)[(x
lim
0hh
f(h)h)f(x
lim
0h
 (x)f' a)
 2)
12 c) 8 b) 3 a) 1)
 





















































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10 Página
2
h
existe não 10) 300 9) 3 8) 
2
2
 7) 6- 6) 1- 5) 3 4) 4 3) 1 2) 10 1)
Respostas dos Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
24) (f. C
3
x
arcsen
2
92
x9
2
x
- 5) 75) (f. C
5
sen10x
2
sen4x
4
1
 4)13) (f. 
3
32xx)-(3-
 3)
 (f.35) C4
2
xxln 2) (f.15) C
55x
55x
ln
5
1
 1)
 
 C
1x
1
1x
x
ln 4)
C1xln
3
1
5xln
3
2
 3) C1xln2x2ln 2) C1x3ln2x2lnxln- 1)
 
 
8
8x
e
 6) cos3x
3
5
- 5) 
2
2x)(1
1
- 4)C2
3
1)
3
(x
9
2
 3) C
22
)
2
x(4
 2) C
3
sen3x
1)
u.ae
2
3
- 5) u.a.
3
32
 4)u.a. 43) u.a. 6 2) u.a. 
3
22
 1)
 C3x
2
cosx
- 14) C
ln2
x
2
 13) C4senx- 12)
C2cosx- 11) C
x
3e 10) C
x
1
3
3
x
 9) C
2
x
2
- 8) Csenx-cosx- 7) C
x
1
- 6)
Cxln
2
2
x
 5) C
2
x2
x 4)C
2
2
x
2
4
3x
 3) C2x
2
2
5x
3
3
4x
 2) Cx
2
x
3
3
x
1)
2
m 112,5 7) m 2 aresta de cubo 6) m 1,36 e m 2,72 m, 2,72 5) local) -1(mínimox local); 1(máximo4)x
local) 2(máximox local); 3(mínimox 3) local) 2(máximo- x local); 2(mínimox 2) local) 0(mínimox 1)












































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C
x
1
x
lnx
- 6) C1)-nx)senx(ln(se 5) C
2
)1x2ln(
2
12x
-1) xln(2x4)
 C
25
x5cos
5
xsen5x
 3) C
x
e2
x
xe2
x
e
2
 x2) Cx- xlnx1)
3,98958333 b) 7,07142857 a) 4)
6)dx
2
xc)10xcos(5dx 
x
e
x
- b)dx 
4x
2
3x
4-6x
 a) 3) 0,001- 5;0,00099850-a) 2) 
x
Δx
xΔxx
x2
b) 
2
x3 a) 1)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
Referências Bibliográficas 
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