Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas

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Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor
 
 
Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas 
Acadêmico: Jean Paulo Mendes Alves
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Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça, verificamos, através do método das seções, que as forças são axiais em toda a barra.
	Veja:
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
a
a
F
F
A
B
A’
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Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não estão sempre submetidos somente a forças axiais.
Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga submetida a carregamentos não axiais.
Considere a viga seguinte:
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
a
a
F1
A
B
A’
F2
F3
F5
F4
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Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a parte da viga secionada realizava sobre a viga restante.
Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z (perpendicular ao plano xy).
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
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As reações N, V e M são explicadas a seguir:
N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração ou compressão do elemento;
V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte” da viga;
M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga.
Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de uma estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você conseguiria quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta entortá-la. Nesse caso, dizemos que a régua quebrou devido ao momento fletor.
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
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Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
(i) Força cisalhante (V>0)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
A’
V
B
A’
V
a
a
A
B
A’
Corte a-a:
Análise do lado esquerdo, V para cima
Análise do lado esquerdo, V para baixo
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Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
(ii) Momento fletor (M>0)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
A’
M
B
A’
M
a
a
A
B
A’
Corte a-a:
Análise do lado esquerdo, V para cima
Análise do lado esquerdo, V para baixo
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Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais importantes que as forças axiais e, portanto, estes serão os objetos de nosso estudo.
No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga.
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
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	Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
a
a
A
E
B
10N
b
b
D
C
5N
5N
1,0m
1,0m
1,0m
1,0m
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	Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V=5N
 MB=0  M=5N.m
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	Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
Análise de Equilíbrio do corte b-b:
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V=-5N
 MD=0  M=-5N.m
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Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de vigas (e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variáveis ao longo da viga.
Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um novo carregamento (força concentrada, carga distribuída ou momento binário).
É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da representação gráfica do problema (desenho da viga).
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
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	Exemplo 2) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
C
10N
B
5N
5N
2,0m
2,0m
Existem duas regiões de corte, uma entre os pontos A e B e outra entre B e C. Teremos, portanto, duas funções para V(x) e duas para M(x).
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	Exemplo 2)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
5N
Primeiro corte: (a-a)
x
x
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	Exemplo 2)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
x
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
* Válido para (0<x<2)
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V=5N
 MA’=0  M=5x
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	Exemplo 2)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
5N
Segundo corte: (b-b)
x
x
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	Exemplo 2)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
x
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
* Válido para (2<x<4)
 Fx=0  N=0
 Fy=0  V(x)=-5N
 MA’=0  M(x)=-5x+20
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	Exemplo 2)
Diagramas de V e M:
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
5.0
-5.0
2.0
4.0
x [m]
V [N]
10.0
2.0
4.0
x [m]
M [N.m]
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Existe uma relação diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstrá-la agora.
Considere uma seção de uma viga sujeita a um carregamento distribuído w(x):
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
a
a
A
B
A’
b
b
B’
w(x)
N(A)
V(A)
M(A)
x
*
Fazendo dois cortes em A’ e B’, distanciados em x, podemos estudar o comportamento de V(x) e M(x) sob a ação do carregamento distribuído w(x). Considerando x suficientemente pequeno, podemos considerar a variação do carregamento desprezível.
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
a
a
A
B
A’
b
b
B’
w(x)
N(A)
V(A)
M(A)
x
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Fazendo o estudo de equilíbrio da viga restante (lembrando que x é tão pequeno quanto se queira), seção entre A’ e B’, temos que:
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A’
B’
w(x)
N(x)
V(x)
M(x)
x
Análise de Equilíbrio:
 Fx=0  N(x+x)=N(x)
 Fy=0  V(x +x)-V(x)=-w(x) x
 MB’=0  M(x +x)-M(x)=V(x) x
Fazendo x  0, temos que
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	Exemplo 3) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
B
20N/m
Ay
By
10m
Existe apenas uma região de análise, portanto, existe apenas uma função para V(x) e uma para M(x).
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	Exemplo 3)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
B
20N/m
Ay
By
10m
Antes de encontrar as equações para V(x) e M(x), devem ser calculadas as reações Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuída em uma força concentrada aplicada no centróide de área do carregamento. Neste caso, a figura é um retângulo e, portanto, a força resultante é igual a sua área, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.
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	Exemplo 3)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
B
20N/m
10m
Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.
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	Exemplo 3)
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
A
B
20N/m
100N
100N
10m
Como w(x)=20, temos que:
V(x) = V(A) -  w(x) dx  V(x) = 100 - 20x
M(x) = M(A) +  V(x) dx  M(x) = 100x - 10x2
 x
A
 x
A
0
*
	Exemplo 3)
Diagramas de V e M:
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
100
-100
5.0
10.0
x [m]
V [N]
250
5.0
10.0
x [m]
M [N.m]
M(x) = 100x - 10x2
V(x) = 100 - 20x
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BIBLIOGRAFIA
Publicacão do Prof. Ricardo Fratelli - DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA. Acesso em 06/02/2014;
http://www.escelsa.com.br/energia/clientes/grandes_clientes/informacoes/alteracao_demanda/demanda/images/demanda1.gif. Acesso em 06/02/2014;
http://www.mdsmp.gob.pe/images_actividades/dsc_3984.jpg. Acesso em 06/02/2014;
http://www.caldas.com.br/fotos/barcorum.jpg. Acesso em 06/02/2014;
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