01sem calculo 1 aula1 introducao o que e calculo resenha

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1 Gustavo Luigi Martin do Amaral - Acadêmico do Curso de Engenharia da Universidade Virtual 
do Estado de São Paulo / UNIVESP (Polo Jaú). 
CÁLCULO I – AULA 1 
Introdução: O que é cálculo? 
Gustavo Luigi Martin do Amaral ¹ 
ROCHA DE OLIVEIRA, Samuel. Cálculo I – Aula 1. Introdução: o que é 
cálculo. Disponível em: <https://cursos.univesp.br/courses/19/wiki/semana-1-
pagina-inicial>. Acesso em: 24 out. 2014. 
Síntese: A complexidade da matemática só pode ser compreendida quando 
iniciamos os estudos de Cálculo. Uma ciência que é diretriz para o 
desenvolvimento do homem ao longo de sua história, complementa e soluciona 
questões cotidianas que exigiam muito mais do que mera álgebra. 
SABER ENTENDER 
Cálculo de Diferencial e Integral. 
Conceitos chave: variações, (taxas, velocidades), diferenças (mudanças e 
comparações), Somas (acréscimos, adições, infinitésimos, infinito). 
A definição de Cálculo nos diz que: “Cálculo é a ciência do infinito”. 
Aprender Cálculo é necessário porque é a base para qualquer curso de 
ciências exatas. Este nos ajudará nos processos de inovações tecnológicas, na 
compreensão da natureza, etc. 
É necessário reformular a forma de aprendizado. 
História e Geografia do Cálculo. 
• Base em séculos de ciências e matemáticas. 
• Demandas e problemas práticos. 
• Questões filosóficas. 
Na Europa em 1660, as necessidades sobre problemas cotidianos eram 
grandes. Existia uma diferenciação entre as teorias de Cálculo na época 
considerando, muitas vezes, questões políticas. 
Isaac Newton e Gottfried Leibniz é um dos pais do cálculo. 
• Demandas da época eram os movimentos de rotação e órbita. Destas 
necessidades é que surgiu o Cálculo. 
• Demanda das tangentes: balística (devido às guerras que eram muito 
comuns naquela época). 
• Lentes e espelhos para telescópios. Sabe ângulos e afins, polimento e 
isso não era possível com as ferramentas de matemática na época. 
• Problemas dos máximos e mínimos: balística. Movimento dos planetas: 
afélio e periélio. 
• Demandas por problemas de comprimentos, áreas e volumes: 
arquitetura e construção. 
 
1 Gustavo Luigi Martin do Amaral 
do Estado de São Paulo / UNIVESP (Polo Jaú).
O Problema do Vazamento.
Neste problema, sugere
trabalhado nas aulas de Cálculo, o aluno encha um recipiente com líquido até 
determinado ponto. Na base inferior deste recipiente, que seja feito 
para a vazão do líquido. 
O jato formado através deste orifício pelo líquido, versus o tempo de 
escoamento e a distância atingida nos permitirá entender que 
consegue nos responder por toda esta área formada entre o recipiente, a 
parábola do líquido e a distância por ele atingida d
O Conceito de Infinitésimo.
Infinitésimo é um conceito
ser um infinitésimo em relação a algo muito maior, ainda sim, não é, 
conceitualmente falando, um infinitésimo real. A verdade é que não há
número atrelado a este conceito
que Zero (0). 
Pequenininho, diminuto, infinitésimo: 
Enorme, grandioso, infinito: a variável real pode ser 
quantidade infinita de dh. 
Somo infinita de infinitésimos = INTEGRAL.
todos infinitésimos, teremos uma INTEGRAL.
 
Adendos da aula de Cálculo da UNICAMP
(https://www.youtube.com/watch?v=XJCmMuZV
Os conceitos de Limites, Derivada e Integral serão muito utilizados.
Limites: Em matemática
comportamento de uma 
um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de 
números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo
ao infinito. Os limites são usados no
análise matemática para definir
Derivadas: No cálculo, a
representa a taxa de variação instantânea de
Um exemplo típico é a função
(derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a 
derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto
de representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função 
1 Gustavo Luigi Martin do Amaral - Acadêmico do Curso de Engenharia da Universidade Virtual 
do Estado de São Paulo / UNIVESP (Polo Jaú). 
O Problema do Vazamento. 
Neste problema, sugere-se que para entendermos o conceito que será 
trabalhado nas aulas de Cálculo, o aluno encha um recipiente com líquido até 
determinado ponto. Na base inferior deste recipiente, que seja feito 
 
O jato formado através deste orifício pelo líquido, versus o tempo de 
escoamento e a distância atingida nos permitirá entender que 
consegue nos responder por toda esta área formada entre o recipiente, a 
e a distância por ele atingida do momento inicial
O Conceito de Infinitésimo. 
Infinitésimo é um conceito e versa sobre algo muito pequeno. Um átomo pode 
ser um infinitésimo em relação a algo muito maior, ainda sim, não é, 
conceitualmente falando, um infinitésimo real. A verdade é que não há
este conceito. Pragmaticamente, é o primeiro número maior 
ninho, diminuto, infinitésimo: dh vai significar um pedacinho de 
Dh ----- dh > 0 
Enorme, grandioso, infinito: a variável real pode ser “fatiada
. É um conceito também. 
h / dh ----- ∞ 
Somo infinita de infinitésimos = INTEGRAL. Conceitualmente, se somarmos 
infinitésimos, teremos uma INTEGRAL. 
Adendos da aula de Cálculo da UNICAMP 
https://www.youtube.com/watch?v=XJCmMuZV-JA
Os conceitos de Limites, Derivada e Integral serão muito utilizados.
ática, o conceito de limite é usado para descrever o 
 função à medida que o seu argumento se aproxima de 
um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de 
números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo
infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da
para definir derivadas e a continuidade de funçõe
, a derivada em um ponto de uma função
representa a taxa de variação instantânea de em relação a 
Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação 
(derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a 
derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função 
Acadêmico do Curso de Engenharia da Universidade Virtual 
se que para entendermos o conceito que será 
trabalhado nas aulas de Cálculo, o aluno encha um recipiente com líquido até 
determinado ponto. Na base inferior deste recipiente, que seja feito um orifício 
O jato formado através deste orifício pelo líquido, versus o tempo de 
escoamento e a distância atingida nos permitirá entender que o Cálculo 
consegue nos responder por toda esta área formada entre o recipiente, a 
o momento inicial ao final. 
versa sobre algo muito pequeno. Um átomo pode 
ser um infinitésimo em relação a algo muito maior, ainda sim, não é, 
conceitualmente falando, um infinitésimo real. A verdade é que não há um 
Pragmaticamente, é o primeiro número maior 
vai significar um pedacinho de h. 
fatiada” em uma 
Conceitualmente, se somarmos 
JA) 
Os conceitos de Limites, Derivada e Integral serão muito utilizados. 
é usado para descrever o 
se aproxima de 
um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de 
números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende 
e em outros ramos da 
continuidade de funções. 
em um ponto de uma função 
 neste ponto. 
que representa a taxa de variação 
(derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a 
derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto 
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função 
1 Gustavo Luigi Martin do Amaral 
do Estado de São Paulo / UNIVESP (Polo Jaú).
no ponto . A função que a cada ponto
ponto de é chamada de função derivada de f(x).
Integral: No cálculo, a 
determinar a área sob uma
naturalmente em dezenas de problemas de
determinação da posição
a sua velocidade instantânea
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de
Diferentementeda noção associada de
para a integração, todas elas visando 
relacionados a limites, continuidade
na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser 
integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.
A integral indefinida também é conhecida como
 
Sobre: Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira é bacharel em 
Universidade de Brasília (1983), mestre em Física Teórica pela Universidade 
de Brasília (1986) e Ph.D. in Physics 
Atualmente é professor Livre Docente da Universidade Estadual de Campinas 
no departamento de Matemática Aplicada. Tem pesquisa em Física 
Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: relatividade geral, 
gravitação, buracos negro
astrofísica, equações diferenciais parciais
 
____________________
Gustavo Luigi Martin do Amaral
Universidade Virtual do Estado de São Paulo / UNIVES
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Gustavo Luigi Martin do Amaral - Acadêmico do Curso de Engenharia da Universidade Virtual 
do Estado de São Paulo / UNIVESP (Polo Jaú). 
A função que a cada ponto associa a derivada neste 
é chamada de função derivada de f(x). 
 integral de uma função foi criada originalmente para 
sob uma curva no plano cartesiano e também surge 
enas de problemas de Física, como, por exemplo
posição em todos os instantes de um objeto, se for
velocidade instantânea em todos os instantes. 
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias
para a integração, todas elas visando resolver alguns problemas
continuidade e existência de certos processos utilizados 
na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser 
integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.
A integral indefinida também é conhecida como antiderivada. 
Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira é bacharel em 
Universidade de Brasília (1983), mestre em Física Teórica pela Universidade 
de Brasília (1986) e Ph.D. in Physics - University Of Texas At 
Atualmente é professor Livre Docente da Universidade Estadual de Campinas 
no departamento de Matemática Aplicada. Tem pesquisa em Física 
Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: relatividade geral, 
gravitação, buracos negros, relatividade numérica, computação científica, 
astrofísica, equações diferenciais parciais e teorias de Gauge. 
____________________ 
Gustavo Luigi Martin do Amaral - Acadêmico do Curso de Engenharia da 
Universidade Virtual do Estado de São Paulo / UNIVESP (Polo Jaú).
Acadêmico do Curso de Engenharia da Universidade Virtual 
a derivada neste 
foi criada originalmente para 
e também surge 
por exemplo, na 
em todos os instantes de um objeto, se for conhecida 
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. 
, existem várias definições 
resolver alguns problemas conceituais 
de certos processos utilizados 
na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser 
integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra. 
Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira é bacharel em Física pela 
Universidade de Brasília (1983), mestre em Física Teórica pela Universidade 
 Austin (1992). 
Atualmente é professor Livre Docente da Universidade Estadual de Campinas 
no departamento de Matemática Aplicada. Tem pesquisa em Física - 
Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: relatividade geral, 
s, relatividade numérica, computação científica, 
Engenharia da 
P (Polo Jaú).