SistemasLineares_Parte1

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Sistemas Lineares 
Conceitos Fundamentais 
Conceitos Fundamentais 
• Matriz quadrada: número de linhas n é igual a número de colunas m. 
 Matriz quadrada de ordem m. 
Formas de Matrizes 
Operações Matriciais 
Operações Matriciais 
Operações Matriciais 
1 (1) + 2 (2) = 5 
3 (1) + 4 (2) = 11 
5 (1) + 6 (2) = 17 
Operações Matriciais 
 
 
 
 
 
• Duas matrizes podem ser multiplicadas se, e somente 
se, o número de colunas da primeira for igual ao número 
de linhas da segunda. 
• Geralmente AB ≠ BA 
 
Sistemas de equações lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Ax = b, onde 
– A é chamada matriz dos coeficientes 
– x é o vetor solução 
– b é o vetor de termos independentes 
 
 
Sistema triangular inferior 
• Apresenta a forma 
 
 
 
 
 
• Solução via substituições sucessivas. 
 
Sistema triangular superior 
• Apresenta a forma: 
 
 
 
 
 
• Solução via substituições retroativas 
 
 
 
Exercícios 
• Calcule a solução do sistema (Pag. 121, ex 2.6) 
































6
5
2
371
052
004
3
2
1
x
x
x











3,0
8,0
5,0
x
Exercícios 
• Calcule a solução do sistema (Pag. 121, ex 2.8) 










































5
3
12
9
3000
3400
2610
5307
4
3
2
1
x
x
x
x















6667,1
5000,0
6667,5
2619,2
x
Sistemas equivalentes 
• Dois sistemas de equações lineares são ditos 
equivalentes quando possuem o mesmo vetor 
solução. 
 
 
Operações l-elementares 
Um sistema de equações lineares pode ser transformado em um outro 
sistema equivalente utilizando as três operações l-elementares 
(operações de linha) 
Operações l-elementares 
Método de eliminação de Gauss com 
pivotação parcial 
Exatidão da solução 
• Vetor resíduo 
r = b – Ax 
 
Se r = 0, então a solução é exata 
Exemplo 
Método de eliminação de Gauss com 
pivotação parcial 
• Vantagens: 
 
Evita pivô nulo, quando o sistema admite uma única 
solução. 
Valor dos multiplicadores: -1 ≤ mij ≤ 1 
não amplia erros de arredondamento 
Exercício 
 Uma construtora irá construir casas de madeira, alvenaria 
e mista em uma propriedade. A quantidade de material 
empregado em cada tipo de casa é: 
 
 
 
 
 
 Tendo-se 9600 tábuas, 510000 tijolos e 610000 telhas, 
quantas casas de cada tipo (madeira, alvenaria e mista) 
poderão ser construídas? 
 
Tábuas Tijolos Telhas 
Madeira 40 1000 2000 
Alvenaria 30 3000 1000 
Mista 20 1000 3000 
Exercício 
• Calcular as tensões dos nós do circuito elétrico da figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Lei de Kirchhoff: a soma das correntes que passam em cada nó do 
circuito é nula. 
• Lei de Ohm: a corrente elétrica (em ampères) que flui do nó j para o nó 
k de um circuito é 
 
 
– sendo Vj e Vk as tensões dos nós j e k 
– Rjk a resistência (em ohms) no arco jk 
 
jk
kj
jk
R
VV
I

