Estatística Descritiva - 3

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
 PROFas.: PATRÍCIA TAVARES e PATRÍCIA DE LIMA
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
5. MEDIDAS DE POSIÇÕES
Aqui, destaca-se o cálculo de medidas que possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida. São as medidas de posição. Tais medidas orientam-nos quanto à posição da distribuição no eixo 
 (eixo dos números reais), possibilitam comparações de séries de dados entre si pelo confronto desses números. São chamadas de medidas de tendência central, pois representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.
5.1 MÉDIA ARITMÉTICA - DADOS NÃO AGRUPADOS
Sejam 
, portanto 
 valores da variável 
. A média aritmética simples de 
 representada por 
 é definida por:
, ou simplesmente 
,
em que 
 é o número de elementos do conjunto.
Exemplo 5.1
Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10, 11.
5.2 MÉDIA ARITMÉTICA - DADOS AGRUPADOS
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos a média aritmética dos valores 
, ponderados pelas respectivas frequências absolutas: 
. Assim:
, ou simplesmente 
.
Exemplo 5.2
Dada a seguinte distribuição:
	
	1
	2
	3
	4
	
	1
	3
	5
	1
determinar a média.
Um dispositivo prático para esse cálculo é a composição da seguinte tabela:
	
	
	
�� EMBED Equation.3 
	1
	1
	1
	2
	3
	6
	3
	5
	15
	4
	1
	4
	
	10
	26
Exemplo 5.3
Determinar a média da distribuição:
	Renda Familiar (milhares de $)
	2 ˫ 4
	4 ˫ 6
	6 ˫ 8
	8 ˫ 10
	10 ˫ 12
	Nº de famílias
	5
	10
	14
	8
	3
Nesse caso, as classes são representadas pelos seus pontos médios, portanto:
	Classes
	
	
	
�� EMBED Equation.3 
	2 ˫ 4
	5
	3
	15
	4 ˫ 6
	10
	5
	50
	6 ˫ 8
	14
	7
	98
	8 ˫ 10
	8
	9
	72
	10 ˫ 12
	3
	11
	33
	
	40
	
	268
Como a renda familiar foi dada em milhares, pode-se dizer que a renda média desse grupo de 40 famílias é de $6.700,00.
5.3 MÉDIA GERAL
Sejam 
 as médias aritméticas de 
 séries e 
 os números de termos dessas séries, respectivamente. A média aritmética da série formada pelos termos das 
 séries é dada pela fórmula:
.
Exemplo 5.4
Sejam as séries:
a) 4, 5, 6, 7, 8 em que 
 e 
b) 1, 2, 3 em que 
 e 
c) 9, 10, 11, 12, 13 em que 
 e 
Então, a média geral das séries, utilizando a fórmula acima, será:
5.4 MÉDIA GEOMÉTRICA
Sejam 
, valores de 
, associados às frequências absolutas 
 respectivamente. A média geométrica de 
 é definida por:
Em particular, se 
, tem-se:
Exemplo 5.5
Calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48. Logo:
Exemplo 5.6
Calcular a média geométrica para a distribuição:
	
	1
	2
	3
	5
	
	8
	6
	5
	3
Note que a aplicação direta da definição acarreta grande número de operações. Nestes casos é conveniente o uso dos logaritmos. Assim, tomando-se o logaritmo de ambos os membros da fórmula, tem-se:
Logo:
5.5 MÉDIA HARMÔNICA
Sejam 
, valores de 
, associados às frequências absolutas 
 respectivamente. A média harmônica de 
 é definida por:
Em particular, se 
, tem-se:
Exemplo 5.7
Calcular a média harmônica para 2, 5, 8.
Então:
EXERCÍCIOS - SÉRIE III
1. Determine a média aritmética das seguintes séries:
a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6
b) 7, 8, 8, 10, 12
c) 3,2; 4; 0,75; 5; 2,13; 4,75
d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90
2. A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
3. Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.
a) 
	
	3
	4
	7
	8
	12
	
	2
	5
	8
	4
	3
b) 
	
	10
	11
	12
	13
	
	5
	8
	10
	6
c) 
	
	2
	3
	4
	5
	6
	
	3
	9
	19
	25
	28
d) 
	
	7
	8
	9
	10
	11
	
	
	
	
	
	
e) 
	
	85
	87
	88
	89
	90
	
	5
	1
	10
	3
	5
4. Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média.
	Estatura
	Nº de alunos
	145 ˫ 150
	2
	150 ˫ 155
	10
	155 ˫ 160
	27
	160 ˫ 165
	38
	165 ˫ 170
	27
	170 ˫ 175
	21
	175 ˫ 180
	8
	180 ˫ 185
	7
5. Abaixo temos a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determine sua média.
	Aluguel (milhares de $)
	Nº de casas
	1,5 ˫ 3,5
	12
	3,5 ˫ 5,5
	18
	5,5 ˫ 7,5
	20
	7,5 ˫ 9,5
	10
	9,5 ˫ 11,50
	5
6. Dada a distribuição
	Calsses
	68 ˫ 72
	72 ˫ 76
	76 ˫ 80
	80 ˫ 84
	
	8
	20
	35
	40
determinar a média.
7. Dados os seguintes números
a) construa a distribuição de frequência do tipo "A".
b) determine a média.
8. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa disciplina:
turma A (40 alunos) - média 6,5
turma B (35 alunos) - média 6,0
turma C (35 alunos) - média 4,0
turma D (20 alunos) - média 7,5
Determine a média geral.
9. Dada a amostra:
a) agrupar os elementos em classes (inicie pelo 15) e use 
.
b) construir a tabela de distribuição de frequência do tipo "B".
c) determinar a média.
10. Calcule a média geométrica para as séries:
a) 8, 15, 10, 12
b) 3, 4, 5, 6, 7, 8
c) 
	
	8
	9
	10
	11
	12
	
	12
	10
	7
	5
	3
11. Encontre a média harmônica para as séries:
a) 5, 7, 12, 15
b) 
	
	2
	3
	4
	5
	6
	
	3
	4
	6
	5
	2
12. Tem-se $2.000,00 disponíveis, mensalmente, para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de junho, julho e agosto, respectivamente, $200,00; $500,00 e $700,00. Qual foi o custo médio do artigo para esse período?
�
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
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