A-decompoiscao-vetores-em-20-uma-base-ortogonal

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Os vetores e suas bases 
 
 
Objetivos: Definir o vetor posição e representar os vetores de um plano 
utilizando bases ortogonais. 
 
Introdução 
 
Nas Aulas 1 iniciamos a discussão do movimento dos corpos. 
Concluímos que a escolha do ponto de observação é muito importante na 
descrição dos movimentos dos corpos. Descrevemos o movimento de alguns 
corpos (carrinho em um trilho de ar, esferas etc) tratando-os como 
partículas. Falamos sobre trajetórias e deslocamentos. Nessa aula vamos 
definir os conceitos do vetor posição. Serão discutidas também as 
decomposições de vetores em bases ortogonais. 
Essa aula é composta por três partes: 
O que sei sobre a decomposição de vetores e sobre o vetor posição? é 
um questionário que tem como finalidade levantar as suas idéias prévias 
sobre estes assuntos. 
Decomposição de vetores em bases ortogonais é um texto onde o 
assunto é discutido. 
Maria Antonieta Almeida 12-22 
 
 
O que sei o vetor posição e a decomposição de vetores 
em bases ortogonais? 
 
As questões apresentadas a seguir têm como finalidade 
investigar e organizar os seus conhecimentos e idéias prévias 
sobre a decomposição e vetores em bases ortogonais e o vetor 
posição. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as 
respostas às questões. Não consulte livros ou notas de aulas, mas 
não deixe de respondê-las. A comparação entre suas idéias e 
conhecimentos sobre a decomposição de vetores em bases 
ortogonais e o vetor posição depois de trabalhar esta aula é 
importante para o seu aprendizado. 
 
Questionário 1 
 
1. 
2. 
O que é um vetor unitário? 
Como se projeta um vetor na direção de um vetor unitário u) ? 
Dê exemplos. 
3. 
4. 
5. 
6. 
O que é uma base de vetores ortogonais? Dê exemplos. 
O que são componentes de um vetor em uma base ortogonal? 
Dê exemplos. 
Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas 
componentes. 
O que é o vetor posição? 
Maria Antonieta Almeida 12-23 
 
 
 
 
Projeção de vetores 
 
 A regras para a somar de vetores e multiplicar vetores por 
números reais apresentadas na Aula 1 são geométricas. Elas têm o 
inconveniente de dependerem da qualidade dos desenhos 
elaborados. Nesta aula, vamos transformar estas regras em soma e 
multiplicação de números reais. Com esta finalidade vamos 
representar os vetores em bases apropriadas. Esta decomposição 
aparece naturalmente quando fazermos a seguinte pergunta: 
Quantos vetores existem em um plano? Infinitos!! 
Será eles estão relacionados? 
Mostraremos a seguir que qualquer vetor de um plano pode ser 
representado como a combinação linear de dois vetores com 
direções diferentes. 
Na Figura 28, vemos que o vetor 1d
r
 pode ser 
escrito como a soma de dois vetores paralelos aos 
vetores 2d
r
 e 3d
r
 , isso é, 13121 ddd
rrr += . 
Os vetores 12d
r
 tem a mesma direção do vetor 2d
r
 e 
o vetor 13d
r
 tem a mesma direção do vetor 3d
r
. 
Portanto, podemos escrever 212 dd
rr α= e 
313 dd
rr β= . Conseqüentemente, temos que 
13121 ddd
rrr βα += . Dizemos que 12d
r
 é a projeção 
do vetor na direção do vetor 1d
r
2d
r
 e que 13d
r
 é a 
projeção do vetor 1d
r
 na direção do vetor 3d
r
. A 
soma 1312 dd
rr βα + é denominada combinação 
linear dos vetores 2d
r
 e 3d
r
. 
Figura 28-Decomposição de vetores 
em uma base obliqua. 
 
Por uma questão de simplicidade, escolhe-se 
representar todos os vetores de um plano em 
termos de dois vetores unitários perpendiculares. 
Vetores unitários são aqueles que tem módulo um. 
Eles são representados por uma letra com um 
acento circunflexo em cima, por exemplo, i . 
Dizemos nesse caso, que os vetores unitários 
formam uma base ortogonal para os vetores do 
plano. Os vetores unitários mais utilizados são 
aqueles que tem a direção e o sentido dos eixos. 
No caso dos eixos OX e OY eles são 
denominados comumente por i e 
ˆ
ˆ jˆ
Figura 29-Decomposição de vetores 
em uma base ortogonal. 
.Na Figura 29 estão representados o vetor 1d
r
 , as bases i e e 
as projeções do vetor na base escolhida. A projeção do vetor 
 na direção do unitário i foi denominada por 
ˆ jˆ
1d
r
1d
r ˆ
xd1
r
 e aquela 
PROJEÇÃO DE 
UM VETOR 
Maria Antonieta Almeida 12-24 
 
 
na direção do unitário por jˆ yd1
r
. As projeções xd1
r
 e yd1
r
 
podem ser escritas da seguinte forma: 
idd xx ˆ11 =
r
 ; , onde didyd y ˆ1=
r
1x é o número que deve 
multiplicar a base para se obter o vetor projetado iˆ xd1
r
 na 
direção do unitário i e dˆ 1y é o número que se deve multiplicar a 
base para se obter . Os números djˆ yd1
r
1x e d1y são 
denominados de componentes do vetor 1d
r
 nas direções dos 
vetores unitários i e . Na Figura 30, observamos que as 
componentes d
ˆ jˆ
1x , d1y e d2y dos vetores 1d
r
 e 2d
r
 são positivas e 
que a componente d2x é negativa. A componente d2x é negativa 
porque para se obter o vetor projetado xd2
r
a partir do vetor unitário 
 é necessário multiplicá-lo por um número negativo, uma vez que 
o sentido de 
iˆ
xd2
r
 é contrário ao sentido de . iˆ
COMPONENTES 
DE UMVETOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30- Sinais das componentes dos vetores 
 
P13-O que é um vetor unitário? 
P14-Como se projeta um vetor na direção de um vetor unitário u) ? Dê exemplos. 
P15-O que é uma base de vetores ortogonais? Dê exemplos. 
P16-O que são componentes de um vetor em uma base ortogonal? Dê exemplos. 
 
Exemplo2: A Figura 23 mostra um carro que parte do ponto A e se 
desloca até um ponto B que dista 80 km de A. A reta que une os 
pontos A e B faz um ângulo de 45o com o eixo OX . 
a. Desenhe o vetor deslocamento do carro. 
b. Desenhe os vetores projetados xd
r
e yd
r
. 
c. Calcule as componentes dx e dy do vetor deslocamento do 
carro nas direções dos vetores unitários i e . ˆ jˆ
d. Escreva os vetores projetados xd
r
e yd
r
 em função dos vetores 
unitários i e . ˆ jˆ
Maria Antonieta Almeida 12-25 
 
 
 
 
 
 
jˆ
iˆ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 31 – Um carro que se desloca 80 km na direção nordeste. 
Resolução: 
 
a. O vetor deslocamento do carro vai de A até B e está desenhado 
na Figura 32-a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32-a 
iˆ
jˆ
 
b. Para projetar o vetor deslocamento d
r
 na direção do vetor 
unitário é necessário levantar duas retas perpendiculares à 
direção do vetor unitário , a partir do eixo OX , e que passem pelo 
início e pelo final de d
iˆ
iˆr
 (Figura 32b). O vetor projetado xd
r
é 
aquele que tem a direção ao vetor unitário i , com o módulo igual 
a distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor 
ˆ
d
r
 
(veja Figura 23-b). 
Para projetar o vetor deslocamento d
r
 na direção do vetor unitário 
j
)
é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do 
vetor unitário a partir do eixo OY que passem pelo início e pelo 
final de 
jˆ
d
r
 (Figura 26.b). O vetor projetado yd
r
 é aquele tem a 
direção do vetor unitário j
)
, com o módulo igual a distância entre 
as retas que o projetaram e o sentido do vetor d
r
 (veja Figura 26-b). 
Maria Antonieta Almeida 12-26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 32-b 
 
c. A componente é o número que se deve multiplicar o vetor 
unitário para se obter o vetor projetado 
xd
iˆ xd
r
. O módulo da 
componente xx dd
r= é igual ao módulo do vetor projetado. O 
módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, 
uma vez que, 
xd
kmdkmddd
d
d
x
o
x
xo 240240
2
2)45cos()45cos( =⇒===⇒= r
r. 
Como o vetor xd
r
 tem o mesmo sentido do vetor unitário i , a 
componente é positiva e igual a 
ˆ
xd km240 . 
A componente é o número que se deve multiplicar o vetor 
unitário para se obter o vetor projetado 
yd
jˆ yd
r
. O módulo da 
componente yy dd
r= é igual ao módulo do vetor projetado. O 
módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, 
uma vez que, 
yd
kmdkmddd
d
d
y
o
y
yo 240240
2
2)45sen()45sen( =⇒===⇒= r
r
. 
Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitário , a 
componente é positiva e igual a 
yd
r
jˆ
yd km240 . 
d. Os vetores projetados escritos em função dos unitários e iˆ j
)
 
são: 
)(ˆ240 e )(ˆ240 kmjdkmid yx ==
rr
. 
 
Exemplo 3: A Figura 33 mostra um carro que parte do ponto A e se 
desloca até um ponto B que dista 80 km de A. A reta que une os 
pontos A e B faz um ângulo de 135o com o eixo OX . 
Desenhe o vetor deslocamento do carro. 
a. Desenhe os vetores projetados xd
r
e yd
r
. 
Maria Antonieta Almeida 12-27 
 
 
b. Calcule as componentes dx e dy do vetor deslocamento do carro 
nas direções dos vetores unitários associados aos eixos 
representados na Figura 24. 
c. Escreva os vetores projetados xd
r
e yd
r
 em função dos vetores 
unitários i e . ˆ jˆ
 
 
 
 
 
Figura 33 
Resolução: 
a. O vetor deslocamento d
r
 do carro vai de A até B e está 
desenhado na Figura 34-a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 34-a 
 
b. Para projetar o vetor deslocamento d
r
 na direção do vetor 
unitário é necessário levantar duas retas perpendiculares à 
direção do vetor unitário a partir do eixo OX que passem pelo 
início e pelo final de 
iˆ
iˆ
d
r
 (Figura 34.b). O vetor projetado xd
r
é 
aquele que tem a direção ao vetor unitário i , com o módulo igual 
a distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor 
ˆ
d
r
 
(veja Figura 34-b). 
Para projetar o vetor deslocamento d
r
 na direção do vetor unitário 
j
)
é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do 
vetor unitário a partir do eixo OY que passem pelo início e pelo 
final de 
jˆ
d
r
 (Figura 24.b). O vetor projetado yd
r
 é aquele tem a 
direção do vetor unitário j
)
, com o módulo igual a distância entre 
as retas que o projetaram e o sentido do vetor d
r
 (veja Figura 34-b). 
 
 
 
Maria Antonieta Almeida 12-28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 34-b 
 
c. A componente é o número que se deve multiplicar o vetor 
unitário para se obter o vetor projetado 
xd
iˆ xd
r
. O módulo da 
componente xx dd
r= é módulo do vetor projetado. O módulo da 
componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez 
que, 
xd
kmdkmddd
d
d
x
o
x
xo 240240
2
2)45cos()45cos( =⇒===⇒= r
r
. 
Como o vetor tem o sentido contrário ao do vetor unitário i , a 
componente é negativa e igual a 
xd
r
ˆ
km240− . 
A componente é o número que se deve multiplicar o vetor 
unitário para se obter o vetor projetado 
yd
jˆ yd
r
. O módulo da 
componente yy dd
r= é igual ao módulo do vetor projetado. O 
módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, 
uma vez que, 
yd
kmdkmddd
d
d
y
o
y
yo 240240
2
2)45sen()45sen( =⇒===⇒= r
r
. 
Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitário , a 
componente é positiva e igual a 
yd
r
jˆ
yd km240 . 
d. Os vetores projetados escritos em função dos unitários e iˆ j
)
 
são: 
)(ˆ240 e )(ˆ240 kmjdkmid yx =−=
rr
. 
 Os exemplos 2 e 3 mostram que é possível caracterizar 
completamente um vetor em um plano fornecendo-se ou as suas 
componentes e ou o seu módulo d (tamanho) e ângulo xd yd θ 
Maria Antonieta Almeida 12-29 
 
 
medido no sentido anti-horário a partir da direção do eixo OX (e a 
sua direção e sentido). A representação de um vetor que utiliza o 
seu módulo e o ângulo que ele forma com o eixo OX é 
denominada de polar e aquela que utiliza as componentes nas 
direções dos unitários dos eixos é denominada de cartesiana. A 
relação entre estas duas representações de vetores pode ser 
deduzida facilmente da Figura 35. 
 
 
 
Representação 
polar de um vetor 
em um plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 35- Representações polar e cartesiana de um vetor 
Se são conhecidos d e θ é possível se obter e com as 
seguintes relações: 
xd yd
)sen(;)cos( θθ dddd yx == . 
Quando são conhecidos e é possível se obter d e xd yd θ com as 
seguinte relações: 
 
22
yx ddd += e )arctan(
x
y
d
d=θ . 
 
A Figura 36 mostra as componentes da soma de dois vetores é a 
soma das componentes, isso é, se 
. yyyxxx cbaecbacba +=+=⇒+= r
rr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 36- Componentes de uma soma de vetores 
 
P17-Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas componentes. 
 
Exemplo 4. Um carro se desloca 80 km entre os pontos A e B e a 
seguir 40km entre os pontos B e C (veja Figura 37). Os 
deslocamentos são retilíneos. A reta que une os pontos A e B tem a 
Maria Antonieta Almeida 12-30 
 
 
direção leste-oeste e aquela que une os pontos B e C forma um 
ângulo de ângulo de 30o com a direção leste –oeste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Desenhe os vetores deslocamentos entre os pontos A e B ( 1d
r
) , 
entre os pontos B e C ( ) e entre os pontos A e C (2d
r
3d
r
). 
Figura 37 
b. Encontre as componentes dos vetores 1d
r
 e 2d
r
 na direção dos 
eixos OXY desenhados na Figura 30. 
c. Encontre as componentes do vetor 3d
r
 na direção vetores 
unitários desenhados na Figura 30. Expresse o vetor ji ˆ eˆ 3d
r
 em 
termos dos destes vetores unitários. 
d. Encontre o módulo do deslocamento 3d
r
. 
Resolução: 
a. O vetores deslocamentos , 1d
r
2d
r
 e 3d
r
 estão representados na 
Figura 38-a. 
 
 
 
 
 
 
i
)
jˆ Figura 38-a 
 
 
b. A Figura 27-a mostra que o vetor projetado xd1
r
 é igual ao 
vetor . O vetor projetado 1d
r
yd1
r
 é nulo porque as duas retas 
perpendiculares ao vetor unitário j
)
 que projetam o vetor 
 neste eixo coincidem. Por isso, as componentes do vetor 
 são: . 
1d
r
1d
r
0 e 211 == yx ddd
Maria Antonieta Almeida 12-31 
 
 
 
 
 
j
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na Figura 38-b
módulos das co
dd xx 422 ==
r
 As componen
vetores projeta
vetores uni
kmd x 3202 =
 
c. As compo
13 dd xx +=
Portanto tem
d. O módulo do
 
 
 A decompos
três bases. Uma d
vetores unitários 
Figura mostra a
unitários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
)
Figura 38-b 
 estão representados os vetores xd2
r
 e yd2
r
. Os 
mponentes do vetor 2d
r
 são: 
kmo 320)30cos(0 = e kmdd oyy 20)30sen(4022 ===
r
. 
tes e são positivas , uma vez que, os 
dos e têm os mesmos sentidos dos 
tários 
xd2 yd 2
xd2
r
yd2
r
ji ˆ e 
)
. Portanto, temos que: 
km 20d e 2y = . 
nentes do vetor deslocamento são: 
.20 e 115)32080( 2132 kmdddkmkmd yyyx =+=≡+=
os que: . kmjid )ˆ20ˆ115(3 +=
r
 vetor é 3d
v
kmddd yx 116
2
3
2
33 ≅+= . 
ição de vetores do espaço tridimensional requer 
as bases mais utilizadas é aquela que utiliza os 
nas direções dos eixos OX, OY e OZ. A 
s projeções do vetor 
kji ˆ e ˆ,ˆ
d
r
 nas direções destes 
 
Figura Base tridimensional
Maria Antonieta Almeida 12-32 
 
 
 
Nesta base, o vetor d é representado por kdjdidd zyx
))r ++= ˆ , 
onde são as componentes do vetor . zyx ddd e ,
 
P Veriique a veracidade da decomposição anterior. 
 
 Existem grandezas que têm módulo, direção esentido e não 
são vetores. Por exemplo, as rotações em torno de um eixo. Toda 
rotação tem um eixo de rotação, um ângulo de rotação e um sentido 
(horário ou anti-horário). No entanto, você aprenderá da disciplina 
de Física I que duas rotações não se somam segundo a regra do 
paralelogramo. 
 Várias grandezas físicas que são vetores. Na Aula 3 alguns 
desses vetores serão discutidos. 
 
Exercício : Na Figura 19 repetida a seguir estão representados os 
alguns vetores . Calcule componentes dos seguintes vetores: 
a. 54321 e ,,, ddddd
rrrrr
 
b. 51 ddd
rrr +=
c. 32dd
rr −= 
d. 
1
1
d
dd r
rr = 
e. 31 2ddd
rrr −=
f. 541 dddd
rrrr ++=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere o tamanho do quadriculado como unidade. 
 
 
Nesta aula representamos os vetores de um plano utilizando bases ortogonais. 
Y 
j
)
i
)
O X 
Maria Antonieta Almeida 12-33 
	Os vetores e suas bases
	Questionário 1