Lista 3 Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO 
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos 
Álgebra Linear e Aplicações 
Profa. Ana Carolina 
 
 
Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP 
Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br 
 
Lista 3 – Sistemas Lineares 
 
 
1) Descreva a intersecção dos 3 planos � + � + � + � = 6, � + � + � = 4 e � + � = 2 (todos do espaço quadridimensional). É uma reta, um ponto ou 
um conjunto vazio? Como será a intersecção se um quarto plano � = −1 
for adicionado? Encontre uma quarta equação que deixe o sistema sem 
solução. 
 
2) Explique porque o sistema � + � + � = 2� + 2� + 3� = 1� + 2� = 0 
é singular, encontrando uma combinação das 3 equações que produza 
uma equação degenerada. Que valor deve substituir o zero da última 
equação para que o sistema passe a ter infinitas soluções? Qual é uma 
dessas soluções? 
 
3) A interpretação por colunas do exercicio 2 é a seguinte: 
� �110� + � �
121� + � �
132� = �
210� 
Mostre que as 3 colunas do lado esquerdo se localizam no mesmo plano, 
expressando a terceira coluna como uma combinação linear das duas 
primeiras. Quais serão todas as soluções se o sistema for homogêneo, ou 
seja, se o vetor b for igual ao vetor zero (0,0,0). 
 
4) Escolha um valor para a constante a no sistema de modo que o sistema 
a) não tenha solução 
b) tenha infinitas soluções. Quais são duas dessas soluções? 3� + 2� = 106� + 4� = � 
5) Qual valor de d obriga a uma permutação de linhas e qual é o sistema 
triangular para esse valor? Qual valor de d faz com que o sistema não 
tenha solução única? 2� + 5� + � = 04� + �� + � = 2� − � = 3 
6) Utilize a eliminação de Gauss para encontrar o sistema triangular 
equivalente a 
 
a) 
2� − 3� = 3� − 2� = 53� − 2� = 7 b) 
� + 2� − 3� + 2� = 22� + 5� − 8� + 6� = 53� + 4� − 5� + 2� = 4 
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO 
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos 
Álgebra Linear e Aplicações 
Profa. Ana Carolina 
 
 
Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP 
Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br 
 
7) Ache a dimensão e uma base da solução geral W para os sistemas 
homogêneos abaixo: 
 
a) 
� + 3� + 2� − � − � = 02� + 6� + 5� + � − � = 05� + 15� + 12� + � − � = 0 b) 
2� − 4� + 3� − � + 2� = 03� − 6� + 5� − 2� + 4� = 05� + 10� + 7� − 3� + � = 0 
 
8) Reduza A à sua forma escalonada e em seguida, à forma canônica 
reduzida por linha: 
� = �1 2 −12 4 13 6 2 
2 1−2 3−6 5� 
9) Considere o sistema � − 3� − 2� + 4� = 53� − 8� − 3� + 8� = 182� − 3� + 5� − 4� = 19 
Sabendo que o vetor (14,3,0,0) é uma solução particular, encontre a 
solução geral do sistema e expresse sua resposta na forma � = �� + ��, em 
que �� é uma solução particular para o sistema dado e �� uma solução 
para o sistema homogêneo associado. 
 
10) Utilize o método de Gauss-Jordan para encontrar a solução dos 
sistemas abaixo 
 
a) 
� + � + 2� + 3� = 13� − 2� + � + � = 83� + � + � − � = 1 b) 
� + � + � = 1� + � − 2� = 32� + � + � = 2 c) 
2� + � + � − 2� = 13� − 2� + � − 6� = −2� + � − � − � = −16� + � − 9� = −25� − � + 2� − 8� = 3
 
 
 
11) Ache a inversa das seguintes mastrizes 
a) �1 2 31 1 20 1 2� b) 
1 1 1 11 3 1 215 29 −1 11 6! 
 
12) Encontre o conjunto gerado por �103� e �
−11−2�. 
 
 
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO 
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos 
Álgebra Linear e Aplicações 
Profa. Ana Carolina 
 
 
Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP 
Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br 
13) Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente 
independentes (LI). 
a) "14# e "−12 # b) $110% , $
011% e $
101% 
 
14) Faça o balanceamento da seguinte equação química: 
FeS2+O2→Fe2O3+SO2 
 
15) Determine as correntes para o circuito dado, sabendo que: 
Leis de Kirchhhoff 
Lei da corrente (nós) 
A soma das correntes que entra em qualquer nó é igual à soma das 
correntes que saem dele. 
 
Lei da voltagem (circuitos) 
A soma das quedas de voltagem ao longo de qualquer circuito é igual à 
voltagem total em torno do circuito (fornecida pelas baterias). 
 
Lei de Ohm 
Força elétrica = voltagem x corrente (U=Ri)