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Lista4-Determinantes

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO 
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos 
Álgebra Linear e Aplicações 
Profa. Ana Carolina 
 
 
Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP 
Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br 
 
Lista 4 – Determinantes 
 
 
1) Encontre o número de inversões em cada uma das seguintes 
permutações de S={1,2,3,4,5}. 
a) 52134 b) 45213 c) 42135 d) 13542 e) 35241 f) 12345 
R: a) 5 b) 7 c) 4 d) 4 e) 7 f) 0 
 
2) Calcule os determinantes pela definição |�| = ∑(±)�	
� ��
 … ��
�. 
a) �2 −13 2 � b) �0 3 02 0 00 0 −5� c) �
4 2 2 02 0 0 030 00 01 10� 
R: a) 7 b) 30 c) 4 
 
3) Se |�| = ��	 �� ���	 �� ���	 �� �� � = 3. Encontre o determinante das seguintes 
matrizes: 
a) |�| = ��	 + 2�	 − 3�	 �� + 2�� − 3��	 �� + 2��	 − 3��	�	 �� ���	 �� �� � 
b) | | = ��	 3�� ���	 3�� ���	 3�� �� � = 3 c) |!| = �
�	 �� ���	 �� ���	 �� ���� 
R: a) 3 b) 9 c) -3 
 
4) Se |�| = �1 −1 23 4 12 5 1� verifique se |�| = |�"|. 
 
5) Verifique em que condições o determinante das matrizes é nulo: 
a) �# − 1 23 # − 2� b) det (#(� − �), onde � = � 4 2−1 1� 
R: a) -1, 4 b) 2, 3 
 
6) Calcule o determinante reduzindo a matriz à sua forma triangular. 
a) |�| = �4 −3 55 2 02 0 4� b) |)| = *
4 2 3 −43 −2 1 5−28 0−2 16 −34 * 
R: a) 72 b) -30 
 
7) Se A e b são matrizes nxn com |�| = 2 e |�| = −3. Calcule |�-	�"|. 
R: -3/2 
 
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO 
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos 
Álgebra Linear e Aplicações 
Profa. Ana Carolina 
 
 
Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP 
Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br 
8) Seja |�| = �1 0 −23 1 45 2 −3�. Calcule todos os cofatores. 
R: �		 = −11, �	� = 29, �	� = 1, ��	 = −4, ��� = 7, ��� = −2, ��	 = 2, ��� = −10, ��� = 1 
 
9) Calcule o determinante usando cofatores. 
a) |1| = �4 −4 2 11 2 0 320 0−3 32 41� b) |1| = �
3 1 2 12 0 3 −110 3−1 41 10 � 
R: a) 75 b) 0 
 
10) Calcule a inversa de A, utilizando �-	 = 	|2| (�34�). 
a) |�| = � 1 2 −3−4 −5 2−1 1 −7� b) |�| = �−3 12 0� c) |�| = �
4 0 00 −3 00 0 2� 
R: a) singular b) |�| = �0 	�1 ��� c) |�| = **
	5 0 00 − 	� 00 0 	�*
* 
 
11) Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis: 
a) |�| = � 4 3 −5−2 −1 34 6 −2� b) |1| = *
1 3 −1 22 −6 4 134 5−6 −15 32* 
R: a) não b) não 
 
12) Verifique se os seguintes sistemas homogêneos, Ax=0, tem solução 
não-trivial, sabendo que �-	 = 	|2| (�34�). 
a) 
6 + 27 − 8 = 026 + 7 + 28 = 036 − 7 + 8 = 0 b) 
6 + 7 + 28 + 9 = 026 + 7 + 28 = 036 + 7 + 28 + 39 = 026 − 7 − 8 + 9 = 0 
R: a) não b) sim 
 
13) Resolva, se possível, os seguintes sistemas utilizando a Regra de 
Cramer. 
 
a) 
26 + 37 + 78 = 2−26 − 48 = 06 + 27 + 48 = 0 b) 
6 + 7 + 8 − 29 = −427 + 8 + 39 = 426 + 7 − 8 + 29 = 56 − 7 + 9 = 4 
R: a) não tem solução b) x=1, y=-1, z=0, w=2 
 
14) Sejam A e B matrizes nxn. Verifique se as colocações abaixo são 
verdadeiras ou falsas. 
a) det(AB)=det(BA) 
b) det(AT)=det(A) 
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO 
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos 
Álgebra Linear e Aplicações 
Profa. Ana Carolina 
 
 
Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP 
Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br 
c) det(2A)=2det(A) 
d) det(A2)=(detA)2 
e) detMij < detA, com Mij submatriz de A 
f) Se A é uma matriz 3x3, então �		�		 + �	��	� + �	��	� = ��	��	 + ������ +������ 
R: a) V b) V c) F d) V e) F f) V 
 
 
15) Quantas soluções tem os sistemas abaixo: 
a) 
56 + 27 − 38 + 99 = 0−37 + 98 − 	� 9 = 0 −28 + 9 = 0 9 = 1
 b) 
36 + 27 + : = 0−8 + 9 − : = 5−98 − 9 + 9: = 0−39 + : = 0: = 0
 
R: a) uma b) nenhuma 
 
16) Calcule (detA) 
|�| = **
3 0 0 0 019 18 0 0 0−648
;√23
−5√35
006
00−1*
* 
R: a) 0 
17) Encontre A-1 
� = =1 0 61 1 6�2 2 6�> 
?: �-	 =
A
BBC
1 − 26 6−1 −6 + 26 6 − 161 26� − 16� D
EEF

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