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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Álgebra Linear e Aplicações Profa. Ana Carolina Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br Lista 4 – Determinantes 1) Encontre o número de inversões em cada uma das seguintes permutações de S={1,2,3,4,5}. a) 52134 b) 45213 c) 42135 d) 13542 e) 35241 f) 12345 R: a) 5 b) 7 c) 4 d) 4 e) 7 f) 0 2) Calcule os determinantes pela definição |�| = ∑(±)� � �� … �� �. a) �2 −13 2 � b) �0 3 02 0 00 0 −5� c) � 4 2 2 02 0 0 030 00 01 10� R: a) 7 b) 30 c) 4 3) Se |�| = �� �� ��� �� ��� �� �� � = 3. Encontre o determinante das seguintes matrizes: a) |�| = �� + 2� − 3� �� + 2�� − 3�� �� + 2�� − 3�� � �� ��� �� �� � b) | | = �� 3�� ��� 3�� ��� 3�� �� � = 3 c) |!| = � � �� ��� �� ��� �� ���� R: a) 3 b) 9 c) -3 4) Se |�| = �1 −1 23 4 12 5 1� verifique se |�| = |�"|. 5) Verifique em que condições o determinante das matrizes é nulo: a) �# − 1 23 # − 2� b) det (#(� − �), onde � = � 4 2−1 1� R: a) -1, 4 b) 2, 3 6) Calcule o determinante reduzindo a matriz à sua forma triangular. a) |�| = �4 −3 55 2 02 0 4� b) |)| = * 4 2 3 −43 −2 1 5−28 0−2 16 −34 * R: a) 72 b) -30 7) Se A e b são matrizes nxn com |�| = 2 e |�| = −3. Calcule |�- �"|. R: -3/2 UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Álgebra Linear e Aplicações Profa. Ana Carolina Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br 8) Seja |�| = �1 0 −23 1 45 2 −3�. Calcule todos os cofatores. R: � = −11, � � = 29, � � = 1, �� = −4, ��� = 7, ��� = −2, �� = 2, ��� = −10, ��� = 1 9) Calcule o determinante usando cofatores. a) |1| = �4 −4 2 11 2 0 320 0−3 32 41� b) |1| = � 3 1 2 12 0 3 −110 3−1 41 10 � R: a) 75 b) 0 10) Calcule a inversa de A, utilizando �- = |2| (�34�). a) |�| = � 1 2 −3−4 −5 2−1 1 −7� b) |�| = �−3 12 0� c) |�| = � 4 0 00 −3 00 0 2� R: a) singular b) |�| = �0 �1 ��� c) |�| = ** 5 0 00 − � 00 0 �* * 11) Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis: a) |�| = � 4 3 −5−2 −1 34 6 −2� b) |1| = * 1 3 −1 22 −6 4 134 5−6 −15 32* R: a) não b) não 12) Verifique se os seguintes sistemas homogêneos, Ax=0, tem solução não-trivial, sabendo que �- = |2| (�34�). a) 6 + 27 − 8 = 026 + 7 + 28 = 036 − 7 + 8 = 0 b) 6 + 7 + 28 + 9 = 026 + 7 + 28 = 036 + 7 + 28 + 39 = 026 − 7 − 8 + 9 = 0 R: a) não b) sim 13) Resolva, se possível, os seguintes sistemas utilizando a Regra de Cramer. a) 26 + 37 + 78 = 2−26 − 48 = 06 + 27 + 48 = 0 b) 6 + 7 + 8 − 29 = −427 + 8 + 39 = 426 + 7 − 8 + 29 = 56 − 7 + 9 = 4 R: a) não tem solução b) x=1, y=-1, z=0, w=2 14) Sejam A e B matrizes nxn. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. a) det(AB)=det(BA) b) det(AT)=det(A) UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDEE SSÃÃOO PPAAUULLOO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Álgebra Linear e Aplicações Profa. Ana Carolina Av. Duque de Caxias - Norte, 225 – 13.635-900 – Pirassununga/SP Fones: (19) 3565.4143/4317/4363 - Fax: (19) 3565.4117 - E-mail: zab@usp.br c) det(2A)=2det(A) d) det(A2)=(detA)2 e) detMij < detA, com Mij submatriz de A f) Se A é uma matriz 3x3, então � � + � �� � + � �� � = �� �� + ������ +������ R: a) V b) V c) F d) V e) F f) V 15) Quantas soluções tem os sistemas abaixo: a) 56 + 27 − 38 + 99 = 0−37 + 98 − � 9 = 0 −28 + 9 = 0 9 = 1 b) 36 + 27 + : = 0−8 + 9 − : = 5−98 − 9 + 9: = 0−39 + : = 0: = 0 R: a) uma b) nenhuma 16) Calcule (detA) |�| = ** 3 0 0 0 019 18 0 0 0−648 ;√23 −5√35 006 00−1* * R: a) 0 17) Encontre A-1 � = =1 0 61 1 6�2 2 6�> ?: �- = A BBC 1 − 26 6−1 −6 + 26 6 − 161 26� − 16� D EEF
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