Prova_02_2014

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MINISTE´RIO DA EDUCAC¸A˜O
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
FACULDADE DE CIEˆNCIAS SOCIAIS APLICADAS E EXATAS - FACSAE
CAMPUS DO MUCURI
www.ufvjm.edu.br
Curso: Matema´tica Turma: 4o Per´ıodo
Professor: Weversson D. Sellin Data: 23/01/2014
Aluno(a):.........................................................................................
Valor: 100,00 (Peso 15) Nota:.............
2a Avaliac¸a˜o de A´lgebra I
1. (20,0 pontos) Uma Progressa˜o Geome´trica (P.G.) com primeiro termo a1 e raza˜o q (q 6= 0 e
q 6= 1) e´ uma sequeˆncia de nu´meros cujo primeiro elemento e´ a1 e tal que, cada elemento,
a partir do segundo, e´ igual ao anterior multiplicado pela raza˜o. Em s´ımbolos, se n ≥ 2,
an = an−1 · q.
(a) Prove por induc¸a˜o sobre n que an = a1 · qn−1.
(b) Se sn = a1 + a2 + · · ·+ an, prove por induc¸a˜o sobre n que
Sn =
an · q − a1
q − 1 .
2. (20,0 pontos) Seja a um nu´mero inteiro qualquer. Mostre que exatamente um nu´mero de cada
terma dada e´ divis´ıvel por 3:
(a) a, a+ 1, a+ 2
(b) a, a+ 10, a+ 20
3. (20,0 pontos) Seja a um nu´mero inteiro. Mostre que:
(a) Se a2 e´ par, enta˜o a e´ par.
(b) Se a2 e´ divis´ıvel por 3, enta˜o a e´ divis´ıvel por 3.
4. (20,0 pontos) Escolha um nu´mero de treˆs algarismos abc no sistema decimal de modo que os
algarismos das centenas e o das unidades difiram de pelo menos duas unidades, isto e´, |a−c| ≥ 2.
Considere o nu´mero xyz = |abc− cba| e efetue a soma de xyz com zyx. O resultado e´ 1089.
(a) Justifique o fato de que o resultado independe do nu´mero inicialmente escolhido.
(b) O que aconteceria se os algarismos das unidades e o das centanas diferissem de uma
unidade? E se fossem iguais?
5. (20,0 pontos)
(a) Considere 36 na base 10, em que base sera´ representado por 51?
(b) idem para 73 e 243.
Boa prova!
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