lista_2_fisica_mat

Prévia do material em texto

1 
2A LISTA DE EXERCÍCIOS - FÍSICA MATEMÁTICA I 
 
ANÁLISE VETORIAL: CAMPOS ESCALARES E VETORIAIS; DIFERENCIAÇÃO DE VETORES; GRADIENTE, 
DIVERGENTE, ROTACIONAL, LAPLACIANO; INTEGRAÇÃO DE VETORES; TEOREMAS DE GAUSS, GREEN E 
STOKES; COORDENADAS CURVILÍNEAS. 
 
 
1. Encontre o vetor unitário tangente a qualquer ponto da curva 2 1x t= + , 4 3y t= − , 22 6z t t= − . 
Determine o vetor unitário tangente no ponto onde t=2. 
Respostas: ( )
( ) ( )2 22
2 4 4 6 2 2
ˆ ˆ; Em 2, 
32 4 4 6
t i j t k i j k
t t t
t t
+ + − + +
= = =
+ + −
rr r rr r
. 
 
2. Uma partícula se move de modo que seu vetor posição é dado por cos sinr t i t jω ω= +r rr onde ω é 
uma constante. Mostre que: (a) a velocidade vr da partícula é perpendicular a rr ; (b) a aceleração ar 
está direcionada para a origem e tem magnitude proporcional à distância da origem; (c) r v×r r é um 
vetor constante. 
 
3. Mostre que a aceleração ar de uma partícula que viaja ao longo de uma trajetória curva com 
velocidade vr é dada por 
2
ˆ ˆ
dv v
a t n
dt r
= +
r
 
onde tˆ é o vetor unitário tangente à curva, nˆ é sua normal unitária principal e r é o raio de 
curvatura. 
 
4. Se rr é o vetor posição de uma partícula de massa m relativo ao ponto O e se F
r
 é a força externa 
sobre a partícula, então r Fτ = ×
rr r
 é o torque de F
r
 em torno de O . Mostre que /dL dtτ =
rr
, onde 
L r mv= ×
r r r
 e v
r
 é a velocidade da partícula. 
 
5. Encontre uma equação para o plano tangente à superfície 22 3 4 7xz xy x− − = no ponto (1, 1,2)− . 
Resposta: 7( 1) 3( 1) 8( 2) 0x y z− − + + − = . 
 
6. Encontre a derivada direcional de 2 24x yz xzφ = + no ponto (1, 2, 1)− − na direção 2 2i j k− − rr r . 
Resposta: 37/3 
 
7. Encontre o ângulo entre as superfícies 2 2 2 9x y z+ + = e 2 2 3z x y= + − no ponto (2, 1,2)− . 
Resposta: o54 25′ 
 
8. Um fluido se move de modo que sua velocidade em um dado ponto é ( , , )v x y zr . Mostre que a perda 
de fluido por unidade de volume por unidade de tempo em um pequeno paralelepípedo centrado no 
ponto P(x,y,z) e com lados de magnitudes x∆ , y∆ , z∆ , paralelos aos eixos x, y, z, respectivamente, 
é dado aproximadamente por .v∇
r r
 (divergente de vr ). 
 
 2 
9. Um disco plano gira em torno do eixo normal a seu plano e que passa por seu centro. Mostre que o 
vetor velocidade vr de um ponto qualquer do disco satisfaz à equação 
2v ω∇× =
r r r
 
onde ωr é o vetor velocidade angular. 
 
10. Encontre o trabalho realizado ao se mover uma partícula durante uma volta completa ao longo de 
uma circunferência C no plano xy, se o campo de força for dado por 
2(2 ) ( ) (3 2 4 )F x y z i x y z j x y z k= − + + + − + − +
rr r r
 . 
A circunferência C está centrada na origem e tem raio igual a 3. 
Resposta: 18pi 
 
11. Seja Fr um campo de força conservativo tal que F ϕ= −∇r . Suponha que uma partícula com massa 
constante m se mova neste campo. Se A e B são dois pontos quaisquer do espaço, prove que 
2 21 1( ) ( )
2 2A B
A mv B mvϕ ϕ+ = + , 
onde Av e Bv são as magnitudes das velocidades da partícula em A e B respectivamente. 
 
12. Encontre o potencial escalar para a força gravitacional sobre um corpo de massa 1m , dada por 
1 2
2 ˆG
G m mF r
r
= −
r
 . 
Resposta: 1 2( )G
G m m
r
r
ϕ = − 
 
13. Seja 23A z i x j y z k= + − rr r r e S a superfície do cilindro 2 2 16x y+ = localizada no primeiro octante 
entre z=0 e z=5. Calcule diretamente a seguinte integral de superfície: 
ˆ.
S
A n dS∫∫
r
 . 
Resposta: 90. 
 
14. Mostre que a área limitada por uma curva simples fechada C é dada por 
1
2 C
x dy y dx−∫ 
 
15. Seja R a região limitada por uma curva fechada simples C no plano xy. Se a área de R é A, use o 
Teorema de Green para provar que o centróide ( ),x y é dado por 
21
2 C
x x dy
A
= ∫ , 
21
2 C
y y dx
A
= − ∫ . 
 
16. Usando o Teorema de Gauss (teorema da divergência) e o teorema do valor médio para integrais, 
mostre que 
0
ˆ.
. lim S
V
A n dS
A
V∆ →
∇ =
∆
∫∫
r
rr
 , 
 3 
onde .A∇
rr
 é o divergente do campo vetorial A
r
 no ponto P e V∆ é o volume delimitado pela superfície 
S , enquanto o limite 0V∆ → é obtido com o colapso de V∆ em torno do ponto P. 
 
17. Um fluido de densidade ( , , , )x y z tρ se move com velocidade ( , , , )v x y z tr . Suponha que não haja 
fontes ou escoadouros. Usando o Teorema de Gauss, obtenha a equação da continuidade 
. 0J
t
ρ∂∇ + =
∂
r r
 , 
onde J vρ=
r r
 é a densidade de corrente. 
 
18. Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial 2 2(2 )A x y i yz j y z k= − − −
rr r r
, onde S é a 
metade superior da superfície da esfera 2 2 2 1x y z+ + = e C é a sua fronteira. 
Resposta: ( ) ˆ. .
C S
A dr A n dS pi= ∇× =∫ ∫∫
r rrr
 
 
19. Usando o Teorema de Stokes e o teorema do valor médio para integrais, mostre que, no ponto P, 
( )
0
.
ˆ. lim C
S
A dr
A n
S∆ →
∇× =
∆
∫
r r
rr 
 
onde S∆ é a área da superfície delimitada por uma curva simples fechada C, P é algum ponto da 
superfície que não esteja sobre o contorno C e nˆ é o vetor unitário normal à superfície no ponto P. O 
limite é obtido com o colapso de S∆ no ponto P. 
 
20. Expresse a velocidade vr e a aceleração ar de uma partícula em coordenadas cilíndricas ( ), ,r zφ . 
Respostas: 
( ) ( ) ( )2
2
2
ˆ ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ˆ2 ,
onde , , etc.
r z
r z
v r e r e z e
a r r e r r e z e
dr d r
r r
dt dt
φ
φ
φ
φ φ φ
= + +
= − + + +
= =
r && &
r & && &&& & &&
& &&
 
 
21. Se 1 2 3, ,q q q são coordenadas curvilíneas ortogonais, mostre que o Jacobiano de , ,x y z em relação 
a 1 2 3, ,q q q é igual a 1 2 3h h h , onde i ih r q= ∂ ∂
r
 é o fator de escala. 
 
22. Considere as coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ . Seja V o volume limitado acima pela superfície 
esférica r a= e abaixo pelo cone 4φ pi= . 
(a) Usando coordenadas esféricas, calcule o volume V. 
(b) Por simetria, o centróide da região considerada está sobre o eixo z e, portanto, tem 
coordenadas retangulares ( )0,0, z . Usando coordenadas esféricas, calcule a coordenada z 
do centróide, dada por 
V
z dV
z
V
=
∫∫∫
 . 
Respostas: (a) ( ) 32 2 3api− ; (b) ( )6 3 2 16a+ . 
 4 
 
23. Se 1 2 3, ,q q q são coordenadas generalizadas, mostre que 1r q∂ ∂
r
, 2r q∂ ∂
r
, 3r q∂ ∂
r
 e 1q∇
r
 , 2q∇
r
 , 
3q∇
r
 são sistemas de vetores recíprocos, isto é, 
j ij
i
r q
q
δ∂ ⋅∇ =
∂
r
r
 . 
 
24. Sejam 1 2 3, ,q q q coordenadas curvilíneas ortogonais. 
(a) Prove que 1i iq h∇ =
r
 ; 
(b) Mostre que ˆˆi ie E= , onde os ˆie são os vetores unitários tangentes às curvas coordenadas e os 
ˆ
iE são os vetores unitários normais às superfícies coordenadas. 
 
25. Resolva a equação de Laplace, 2 0ψ∇ =
r
, em coordenadas cilíndricas ( ), ,r zφ , para ( )rψ ψ= . 
Resposta: ( )0lnk r rψ =