10 Integração e Edos

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1 
 
 
1) Uma maneira de se obter numericamente valores de 
ln( )x
 é calcular numericamente valores da integral. 
1
ln
x dt
x
t
 
 
Calcular o valor numérico dos logaritmos abaixo usando a Quadratura de Gauss-Legendre aproximando 
por um polinômio de grau 3: 
 
a) 
ln17
 b) 
ln35
 c) 
ln 43
 
 
 
2) Sabendo que 
0
1
1xA xe dx

  
 
a) Use a regra de Simpson para estimar o valor de A; tomando 
0.25h 
: 
 
b) Calcule o erro obtido no item a; 
 
c) Usando Quadratura de Gauss com 
5N 
. Obtenha o valor de A. 
 
 
 
3) Considere a integral 
 
0.8
2
0
cosI x x dx 
 
a) Qual a amplitude h necessária para aproximar I usando a regra dos Trapézios, com um erro inferior 
a
210 
. Tome  3 2
212
T
b a M
E
n
 

, onde 
 (2)2 max ( )M f x
 
 
 
b) Calcule I com a amplitude h obtida no item a. 
 
 
 
4) Sabe-se que 
0
cos 0.5xI e xdx

 
 
Use a Quadratura de Gauss adequada para estimar I. Fixado 
2n 
, utilize 4 casas decimais. 
 
 
 
5) Considere a integral 
2
0
( )
a
xI a x e dx 
 
 
a) Obtenha 
(10)I
usando Gauss-Legendre, com 
4n 
, use 4 casas decimais; 
 
b) Calcule o valor exato, a menos de erros de arredondamento 
( ),I a a 
, usando fórmula de 
quadratura de Gauss. 
 
6) Considere a integral 
1
0
sin x
I dx
x
 
 
 
Calcule o valor de I usando regra de Simpson com 
0.5h 
; 
 2 
 
 
 
7) Considere os seguintes dados experimentais: 
 
 
Encontre a área sob a curva 
( )y y x
 usando: 
a) Regra Simpson; 
b) Regra dos Trapézios. 
 
 
8) A determinação da área da secção reta de rios e lagos é importante em projetos de prevenção de 
enchentes (para o cálculo de vazão da água) e nos projetos de reservatórios (para o cálculo do volume 
total de água). A menos que dispositivos tipo sonar sejam usados na obtenção do perfil do fundo de 
rios/lagos, o engenheiro civil deve trabalhar com valores da profundidade, obtidos em pontos discretos 
da superfície. Um exemplo típico de seção reta de um rio está mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
a) Use a regra de Simpson pra estimar a área da seção reta da figura acima: 
 
 
9) Usando quadratura de Gauss-Tchebyshev, calcular a integral abaixo com três casas decimais corretas 
 
2
2
1
1
2 1 3 2
dx
x x x  

 
 
10) Calcular 
 4cos d


 


 usando a quadratura de Gauss-Tchebyshev com 4 pontos 
11) Considere a função Gama 

 dada por 
  1
0
xe x dx

   
 onde 
 1 !   
. Estime usando uma 
quadratura adequada o valor de 
5!
 com pelo menos 4 casas decimais corretas. 
 
 
12) Resolva o p.v.i. abaixo, usando o método 
 1 1 2 3 42
6
n n
h
y y k k k k       
 com 
0 2n 
. 
` 2
(0) 2
y y x
y
   


 
 
 
 3 
13) Usando o método de Euler, resolver o p.v.i.: 
 
`
[0, 0.5]; 0.1 , 0.05
(0) 2
y y x
x h h
y
 
  

 
 
 
14) Resolver o sistema a seguir usando o método de Euler 
 
`
`
[0, 0.2]; 0.1
(0) 1
(0) 0
x
y z
z y e
x h
y
z


 
 

 
 
 
 
15) Resolver a equação diferencial de segunda ordem usando o método de Runge-Kutta de 4ª 
ordem: 
 
" `
(0) 1 [0, 0.2]; 0.1
`(0) 0
xy y e
y x h
y
  

  
 
 
 
 
16) Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem: 
 
2
2
` 2
` sin
(0) 1
(0) 1
y y yz
z xy y z
y
z
  

 


  
 
 
Resolva-o usando: 
 
a) O Método de Euler; 
 
b) O Método de Adams-Bashforth; 
 
 
17) Considere o seguinte problema de valor inicial: 
 
3` 2 2
[0, 0.3]; 0.15
(0) 1
y x xy
x h
y
  
 

 
Resolva-o pelo Método de: 
a) Euler; 
b) Taylor de ordem 2. 
 
 
 
 
 
 4 
18) Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias usando o método de Euler: 
 
`
` 2 3
[0,0.3]; 0.1
(0) 2
(0) 0
y y z
z y z
x h
y
z
 
  
 

 
 
 
19) Dado o p.v.i.: 
 
2 42 " 4 2 sin 6
(1) 0
(1) 15
yy xy y x
y
z
   


 
 
 
a) Reduza-o a um sistema de equações de primeira ordem; 
 
b) Resolva-o usando um método de Runge-Kutta de 2-estágios. 
 
 
20) Considere o método de Taylor de ordem 3 abaixo: 
2 3
` ``
1
2! 3!
n n n n n
h h
y y hf f f    
 
 
a) Explique o porquê de não podermos utilizá-lo para resolver o p.v.i.: 
1
3`
[0,0.3]; 0.1
(0) 0
y y
x h
y
 
 

 
b) Utilize o método 
2 1 1 28 5
12
n n n n n
h
y y f f f         
 para resolver o pvi do item 
anterior. 
 
 
 
21) Resolva o problema de valor inicial de segunda ordem: 
 
" 3 ` 2 0
(0) 1 [0,0.3]; 0.1
`(0) 0
y y y
y x h
y
  

   
 
 
 
 Através do método de Runge-Kutta de 2ª ordem 
 
 
22) Resolver o problema de valor inicial abaixo usando o método de Taylor de ordem 2: 
 
` 3 6
[1,1.3]; 0.1
(1) 3
ty y
t h
y
 
 

 
 
 
 5 
nt
 
ny
 
3( ) 5 2y t t 
 erro 
1.0 .... ...... 3 ................. 
1.1 4.655 
1.2 6.64 
1.3 8.985 
 
 
23) Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma 
solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução 
bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 
gramas por litro. 
O problema acima é representado pelo seguinte p.v.i. 
 
` 6
[0, 2]; 0.5100
(0) 50
A
A
t h
A

 
 
 
 
 
Usando o método 
 1 1 2
2
n n
h
A A k k   
, onde 
1 ( , )n nk f t A
 e 
2 1( , )n nk f t h A hk  
 
Calcule a quantidade de sal dentro do tanque para 
1t 
 e 
2t 
 minutos. 
 
 
24) Reduza o problema de valor inicial abaixo a um sistema de equações diferenciais de primeira 
ordem. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3 2 3
(1) 1
(1) 2
(1) 3
(1) 4
iv iii ii i
i
ii
iii
y y xy y y
y
y
y
y
     






 