Guia de Estudos da Unidade 2 Equações Diferenciais

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Equações Diferenciais
UNIDADE 2
 
 1 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
UNIDADE II 
 
 
 Orientações da Disciplina 
 
Nesta unidade, você irá conhecer as equações diferenciais. Inicialmente, 
aprenderá a identificá-las e classificá-las. Em seguida, conhecerá os princípios para 
suas soluções gerais, famílias de soluções, soluções particulares e soluções 
singulares. Ao final dessa primeira parte, você também passará a resolver 
sistemas de equações diferenciais ordinárias. 
Prosseguindo com o estudo, serão apresentadas técnicas de resolução de 
equações diferenciais de primeira ordem, quando você desenvolverá o 
aprendizado no sentido de resolver equações separáveis. Também aprenderá a 
reduzir equações em princípio não separáveis a separáveis. As equações 
diferenciais exatas será o próximo passo nos seus estudos, seguindo-se o 
conhecimento de fatores integrantes, que são termos que reduzem determinadas 
equações diferenciais a exatas. 
Numa próxima etapa, equações diferenciais lineares homogêneas de primeira 
ordem serão estudadas, aprendendo-se também, através de técnicas já descritas 
em tópicos anteriores, a reduzir tais equações a equações separáveis. Algumas 
equações lineares de primeira ordem não homogêneas também serão tema de 
estudo. 
Finalmente, serão apresentadas aplicações dessas equações diferenciais em 
campos da Físico-Química (decaimento radioativo), da Geografia Estatística 
(crescimento populacional), da Geometria (determinação de uma curva, de curvas 
e trajetórias ortogonais), do Cálculo (derivação implícita), da Física (Lei de 
Resfriamento de Newton, com mudanças de temperatura e equilíbrio térmico) e 
da Economia (juros compostos). Paramos por aí, embora haja ainda outros tantos 
campos em que as equações diferenciais de 1ª ordem atuam. 
Vamos aos estudos! 
 
 
 
 
 2 
 TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
O estudo das Equações Diferenciais envolve o Cálculo Diferencial e o Cálculo 
Integral que se conectam através do Teorema Fundamental do Cálculo1. Sua 
aplicação prática se dá na medicina, engenharia, química, física, biologia, 
economia, antropologia, estatística, dentre outros tantas áreas. 
Existem Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Equações Diferenciais 
Parciais (EDP), que têm seus nomes relacionados com os tipos de derivadas 
e/ou diferenciais que aparecem em seu corpo. 
Nesta aula, você relembrará alguns conceitos fundamentais relacionados com 
esse tema. Também irá aprender a diferenciar os tipos de Equações 
Diferenciais que há, classificando-as de acordo com diversos critérios. 
 
Origem e ocorrência das equações diferenciais 
Considerando a dinâmica dos eventos da natureza, no sentido de que 
praticamente tudo muda à medida que o tempo passa, ou enquanto outro 
evento transcorre, há um termo matemático diretamente relacionado com 
essas mudanças. Esse termo matemático necessita de alguns conceitos para 
ser mais bem compreendido. 
Assim, consideremos como uma vvaarriiáávveell qualquer evento que se modifique. 
Por sua vez, o termo ddeerriivvaaddaa é a taxa de mudança de certa variável com 
relação à outra. 
 
 Exemplo 
 
Por exemplo, se a velocidade de um carro (variável) muda com relação ao 
tempo (outra variável), nós chamamos de derivada a taxa de variação da 
velocidade do carro com relação ao tempo (nesse caso, uma derivada 
 
1 O Teorema Fundamental do Cálculo considera um intervalo I ∈ ° com mais de um ponto, onde, se f for uma função contínua 
de I em ° então, para cada a I∈ a função F de I em ° definida por 
( ) ( )
x
a
F x f t dt= ∫ é derivável, e sua derivada é 
justamente a função f , ou seja, F é uma função primitiva de f . 
 
 
 
 
 3 
temporal). Nós conhecemos bem outro nome para essa derivada: Aceleração. 
Então, aceleração é a derivada temporal da velocidade. 
Outro exemplo pode ser dado com respeito às reações químicas: seja a 
concentração de um dado reagente uma variável; a taxa com que varia essa 
concentração à medida que certo produto é formado é considerada uma 
derivada negativa, uma vez que a quantidade de reagente diminui ao mesmo 
tempo em que a quantidade de produto aumenta. 
 
 
 
 Dica! 
 
EEqquuaaççõõeess DDiiffeerreenncciiaaiiss são equações que relacionam variáveis e suas 
derivadas. 
 
Veja as equações a seguir: 
( ) 3dy f x
dx
= +
 
3" 3y y x C+ = + 
( ) ( ) 2''' 5f x f x x+ = + 
 
Elas são equações diferenciais, segundo a definição do parágrafo anterior. 
Uma derivada costuma ser representada por 
dy
dx
 ou 'y ou ( )'f x ou xD y ou 
ainda !y , ou seja, podemos dizer que: 
 dy
dx
=
df x( )
dx
=
d
dx
f x( ) = y ' = f ' x( ) = f ' = Dx y = !y , 
Consideradas as explicações sobre notações de derivadas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
Notações de derivadas 
 
Há diversas formas de representar as derivadas. Primeiramente, querido (a) 
aluno (a), vamos observar que o termo ddiiffeerreenncciiáávveell é sinônimo de 
ddeerriivváávveell, assim como o termo ddiiffeerreenncciiaall é sinônimo de ddeerriivvaaddaa. As 
diferentes formas de escrever as derivadas estão geralmente relacionadas com 
quem as criou: 
§ NNoottaaççããoo ddee LLeeiibbnniizz 
Tal notação recebe esse nome em homenagem ao filósofo e matemático 
alemão GGoottttffrriieedd WWiillhheellmm vvoonn LLeeiibbnniizz (1646-1716), que usou os símbolos 
dx e dy para representar incrementos infinitesimais das variáveis x e y 
respectivamente, da mesma maneira que xΔ e yΔ representam incrementos 
finitos das mesmas variáveis. 
¨ 
dy
dx
, lê-se “dê ípsilon dê xis”, ou “dydx”; representa a derivada de 
y em relação a x. 
¨ 
2
2
d y
dx
, lê-se “dê dois ípsilon dê xis dois”, ou “d2ydx2”; representa 
a derivada segunda de y em relação a x. A derivada segunda ou 
segunda derivada também pode ser reescrita como 
2
2
d y d dy
dx dx dx
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ . 
¨ Observe-se que, com esta notação, nós podemos nos referir à 
derivada de y em relação ao ponto x = a de duas formas: x a
dy
dx = ou 
( )dy a
dx , sendo esta última forma menos comum. 
¨ Outra observação que podemos fazer é que, uma vez que 
( )y f x= ( )y f x= , então ( ) ( ) ( )
df xdy d dy f x
dx dx dx dx
= = = . 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
§ NNoottaaççããoo ddee LLaaggrraannggee 
Também conhecida como nnoottaaççããoo pprriimmaa, recebe este nome em homenagem 
ao matemático italiano JJoosseepphh LLoouuiiss LLaaggrraannggee (1736-1813). 
¨ 
'y , lê-se “ípsilon linha”; representa a derivada primeira de y em 
relação a outra variável, considerada fixa. 
¨ 
"y , lê-se “ípsilon duas linhas”; representa a derivada segunda de 
y em relação a outra variável, considerada fixa. A derivada segunda 
ou segunda derivada também pode ser reescrita como ( )" ' 'y y= . 
¨ 
( )'f x , lê-se “efe linha de xis”; representa a derivada primeira da 
função f em relação à variável x. 
¨ 
( )"f x , lê-se “efe duas linhas de xis”; representa a derivada 
segunda da função f em relação à variável x. A derivada segunda 
também pode ser reescrita como ( ) ( )" ' 'f x f x⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . 
¨ 
'f , sem a variável x representada; lê-se simplesmente “efe 
linha”; representa a derivada primeira da função f. 
¨ 
"f , lê-se “efe duas linhas”; representa a derivada segunda da 
função f. A derivada segunda também pode ser reescrita como 
( )" ' 'f f= . 
¨ A representação de derivadas de quarta ordem em diante é feita 
assim 
( ) ( ) ( )6 6 6vi vi viy y f x f x f f= = = = = , para a derivada sexta, por 
exemplo. 
 
§ NNoottaaççããoo ddee NNeewwttoonn 
Agora aluno (a) conheça
a Notação de Newton que é conhecida como nnoottaaççããoo 
eemm ppoonnttoo ddee NNeewwttoonn, por vezes de forma depreciativa, denominada: 
 
 
 
 
 6 
“excremento de mosca”. É mais utilizada na Física ou na Matemática, quando 
se pretende representar derivadas temporais, ou seja, em relação ao tempo. 
Recebe este nome em homenagem ao cientista inglês IIssaaaacc NNeewwttoonn (1643-
1727). Em função de sua representação, a partir de derivadas de terceira e 
quarta ordens em diante, se tornar “inapresentável” – embora haja alguns que 
a usem – não costuma ser muito utilizada. !y , lê-se “ípsilon ponto”; representa 
a derivada primeira de y em relação ao tempo. 
¨ !!y , lê-se “ípsilon dois pontos”; representa a derivada segunda de 
y em relação ao tempo. 
 
§ NNoottaaççããoo ddee EEuulleerr 
Recebe este nome em homenagem ao matemático e físico suíço LLeeoonnhhaarrdd 
EEuulleerr (1707-1783) para representar a derivada de uma função, usando um 
operador diferencial D, cuja criação é creditada a OOlliivveerr HHeeaavviissiiddee (1850-
1925), que atuou nos campos da matemática, física e engenharia elétrica. É 
muito usada na resolução de equações diferenciais lineares. 
¨ 
( )xD f x , lê-se “derivada de efe de xis em relação a xis”; 
representa a derivada primeira de y em relação a x, se a função 
( )y f x= . 
Não é comum se usar da notação de Euler para a representação de derivadas 
de segunda ordem em diante. 
Podemos escrever as três equações anteriores, portanto, de forma que termos 
ou expressões dx oudy não apareçam mais na forma de quocientes. 
 
( ) ( )3 3dy f x dy f x dx dx
dx
= + → = + 
 
 
 
 
 
 7 
2
3 3 3
2
3 3
3
" 3 3 3
3 3
' 3
d y d dyy y x C y x C y x C
dx dx dx
dyd
dydx y x C d ydx x dx Cdx
dx dx
dy ydx x dx Cdx
⎛ ⎞+ = + → + = + → + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠→ + = + → + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ + = +
 
 
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
"' ( ) 5 5
5
' 5
d d dyf x f x x f x x
dx dx dx
dyd d dx f x dx x dx dx
dx
dyd f x dx x dx dx
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞+ = + → + + +⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞→ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞
→ + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Você pode observar que, na primeira equação, pudemos realmente reduzi-la a 
termos sem os quocientes. Na segunda e terceira equações, entretanto, para 
fazer isso, precisaríamos resolvê-las, usando técnicas de integração, como 
veremos mais adiante. Vamos começar? 
 
Notações de derivadas 
 
Para você poder compreender melhor as equações diferenciais, é importante 
você fazer a revisão de alguns termos e conceitos básicos: 
§ CCoonnjjuunnttoo:: trata-se de uma seleção de determinados valores (em 
matemática). Um exemplo seria o conjunto de números inteiros negativos 
entre -10 e -1, incluídos eles mesmos. 
§ EElleemmeennttoo:: é cada um dos valores individuais de um conjunto. No 
exemplo do conjunto, citado no parágrafo anterior, os elementos seriam -10, -9, 
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2 e -1. 
§ IInntteerrvvaalloo:: é o conjunto • de todos os elementos situados entre 
quaisquer dois pontos de uma linha. Neste caso, um exemplo representativo 
seria 5 0x− ≤ < . Observe-se que são considerados quaisquer valores entre -5, 
incluído este valor, e 0, não incluído este valor, e, por quaisquer valores 
compreende-se que podemos ter valores fracionários, valores racionais, etc. 
 
 
 
 
 8 
§ CCoooorrddeennaaddaa:: costuma se referir a um ponto, que pode estar numa 
linha ou ainda numa região, seja plana, espacial ou de uma dimensão maior. 
Assim, a coordenada de uma linha é apenas um número: x = 3, por exemplo; a 
coordenada de uma região plana é composta de dois pontos: (x,y) = (-2, 5); a de 
uma região espacial, de três pontos: (x,y,z) = (0, 1, –3). 
§ FFuunnççããoo:: é uma relação que há entre uma variável dependente e uma ou 
mais variáveis independentes. Bem entendido, verificaremos que somente 
pode haver uma variável dependente, e, conforme haja uma ou mais variáveis 
independentes, a função é chamada de função de uma variável independente, 
ou função de duas variáveis independentes, etc. 
Em outras palavras, se, para cada valor de uma dada variável independente (por 
exemplo x), que pertença a um conjunto previamente determinado, 
corresponder um e somente um valor rreeaall22 da variável dependente (por 
exemplo y), dizemos que a variável y é uma função da variável independente x 
neste conjunto, ou seja y = f (x). 
§ DDoommíínniioo de uma função é como se costuma chamar o conjunto de 
elementos representativos dos valores que podem assumir a variável 
independente ou cada variável independente. 
§ IImmaaggeemm de uma função, por sua vez, é como é conhecido o conjunto 
de elementos representativos dos valores que podem assumir a sua variável 
dependente. 
§ FFuunnççããoo ddee uummaa vvaarriiáávveell iinnddeeppeennddeennttee:: trata-se de uma função em 
que, a cada valor de uma variável dita independente, corresponde um, e 
somente um, valor da variável dita dependente. Costuma ser representada por 
( )y f x= , que é uma equação que fornece a relação direta em as duas variáveis 
x e y. Aqui, a variável independente é x e a variável dependente y. Para 
qualquer valor de x somente corresponde um único valor de y. Um exemplo 
seria 
2y x= . 
Observe que, qualquer que seja o valor de x, haverá um e somente um único 
valor de y correspondente. Por outro lado, a expressão 
y x= não corresponde 
a uma função, uma vez que, por exemplo, atribuindo-se x = 4, obteríamos y = –
 
2 Este tipo de função, na verdade, é mais conhecida como função real. Para os efeitos deste texto, considerando que só devermos 
tratar com funções reais, omitiremos o termo real daqui por diante. 
 
 
 
 
 9 
2 e y = 2, portanto, dois valores de y, contrariando o conceito de função, uma 
vez que a variável dependente pode assumir mais de um valor. 
Neste último caso, podemos considerar a expressão y x= como uma função 
se fixarmos algum intervalo para ela, da seguinte maneira, por exemplo: 
y x= , 0y > , 0x ≥ . Observe-se que x não poderia ser negativo; ainda, que, 
situado que 0y > , a raiz de x deverá ser positiva; dessa forma, a um dado valor 
de x, dentro do intervalo citado, ou seja 0x ≥ , somente corresponderá um 
único valor de y. Podemos dizer ainda que o domínio da função y x= , nesse 
caso é D : 0x ≥ , e sua imagem, Im : 0y > .3 
§ FFuunnççããoo ddee dduuaass vvaarriiáávveeiiss iinnddeeppeennddeenntteess:: trata-se de uma função 
em que, a cada valor do conjunto de elementos, (x, y), por exemplo, num plano 
que deve ser determinado, corresponde um, e somente um, valor da variável 
dependente. Uma representação comum é ( ),z f x y= , sendo as variáveis 
independentes a x e a y, e a variável dependente a z. Para quaisquer valores 
determinados e fixos de x e y, somente deverá corresponder um único valor de 
z. Também aqui o conjunto de valores possíveis das variáveis independentes x 
e y é denominado domínio da função, e o conjunto de valores possíveis da 
variável dependente z é denominado imagem da função.4 
§ FFuunnççõõeess ee eeqquuaaççõõeess:: há uma ligeira diferença entre estes dois 
termos. Dizemos que uma função é algo do tipo ( ),f x y , e uma equação é 
como ( ), 0f x y = . 
Observe a sutil diferença: uma função não carece do sinal de igualdade; por sua 
vez, uma equação, como o próprio termo indica, representa uma igualdade, 
exigindo a representação do sinal “=”. Nem sempre uma equação corresponde 
a uma função. Seja, por exemplo, a equação 
2 2 9 0x y+ + = . Observe também 
que podemos dispô-la assim 
2 2 9x y+ = − . Note-se que é impossível que essa 
relação se dê, uma vez que o quadrado de qualquer número
real é sempre 
positivo, e a soma de dois valores positivos jamais pode dar um valor negativo. 
Dessa forma, podemos dizer que 
2 2 9 0x y+ + = é uma equação, mas não é 
uma função, se definirmos como domínio e imagem somente valores reais, ou 
 
3 Isto é válido para a chamada função real, como já comentado anteriormente. 
4 Para funções de mais de duas variáveis independentes, vale o mesmo que o descrito para funções de duas variáveis independentes. 
 
 
 
 
 10 
seja ( ){ },x y ∈R . Será, entretanto, uma função, se considerarmos valores 
complexos para x e/ou y. 
§ FFuunnççããoo eexxppll íícciittaa:: seja a equação 3x y xy+ = . Consideremos que a 
variável independente é x, sendo y a variável dependente. Podemos agrupar os 
termos que incluem a variável dependente, de forma a isolá-la: 
( )
( )
3 3 3 1
3 1
xx y xy xy y x y x x y
x
+ = → − = → − = → =
−
 desde que 
1 3x ≠ . Quando, em uma equação que represente uma função, podemos isolar 
a variável dependente (dizemos que y é função de x), então dizemos que y 
depende de x explicitamente, motivo por que temos uma função explícita. 
§ FFuunnççããoo iimmppll íícciittaa:: nem sempre podemos explicitar, ou seja, isolar a 
variável dependente. Mesmo quando podemos isolar a variável dependente, 
enquanto não a isolarmos, dizemos que a função está representada de forma 
implícita. Assim, 3x y xy+ = é uma função implícita. Como esta função pode 
rearranjada para 3 0x y xy+ − = , sua representação geral é ( ), 0f x y = . Dessa 
maneira, dizemos que y é uma função implícita de x. 
 
A EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
 
Nós já definimos as equações diferenciais quando falamos da origem e 
ocorrência das mesmas. Em outras palavras, podemos dizer também que: 
 
 Dica! 
 
Equações que possuem uma ou mais variáveis dependentes e 
independentes, acompanhadas de suas derivadas, são conhecidas como 
eeqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss. 
 
Conforme o tipo de diferenciação a que uma equação diferencial foi submetida, 
podemos ter: 
 
 
 
 
 
 11 
§ EEqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall oorrddiinnáárriiaa ((EEDDOO)):: a equação possui somente 
uma variável dependente: 
 
2 1dy x
dx
= + , " 3y xy y= + , !!!y = 2x + x
2 
 
Perceba então, aluno (a) que a primeira equação acima se refere a uma 
derivada primeira (notação de Leibniz); a segunda equação possui uma derivada 
segunda (notação de Lagrange ou notação prima); a terceira contém uma 
derivada terceira temporal (notação em ponto de Newton). 
 
§ EEqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall ppaarrcciiaall ((EEDDPP)):: a equação possui mais de uma 
variável dependente, de maneira que possui derivadas parciais: 
 
24 3z x xy
x
∂
= −
∂
, 3 2xxz x= + , yxx xu v= − 
A primeira equação acima corresponde a uma derivada primeira parcial de uma 
função cuja variável dependente é z e cujas variáveis independentes são x e y. 
Neste ponto, convém falar do tipo de notação da segunda e terceira equações 
acima. Trata-se da nnoottaaççããoo ssuubbssccrriittoo, por vezes utilizada para representar 
derivadas parciais. Os subscritos se referem sempre às variáveis 
independentes. Assim, na segunda equação, como o subscrito x aparece duas 
vezes, temos uma função que foi derivada parcialmente em relação à variável 
independente x por duas vezes: 
2
2xx
zz
x
∂
=
∂ . 
Na terceira equação, temos uma função que foi derivada parcialmente em 
relação à variável independente x também por duas vezes e derivada 
parcialmente em relação à variável y uma vez, no lado esquerdo da equação, e, 
uma derivada parcial em relação a x no lado direito da equação, de maneira que 
yxx xu v= − é o mesmo que 
2
2
y v
y x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= −⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠ . 
Como este componente curricular se deterá ao estudo das equações 
diferenciais ordinárias (EDO), o parágrafo anterior serve apenas para 
estabelecer a diferença entre estas equações e as equações diferenciais 
parciais (EDP). 
 
 
 
 
 12 
 
 
 
 
A equação diferencial 
 
A partir do conceito já apresentado de equações diferenciais, qual seja o de que 
são equações que possuem em seu corpo a relação entre variáveis 
dependentes e independentes e suas derivadas, falemos agora sobre a 
representação ou notação das equações diferenciais. 
 
§ FFoorrmmaa ddiiffeerreenncciiaall 
¨ 
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = 
Esta forma costuma ser usada para representar as equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem. ( ),M x y e ( ),N x y , como se pode observar, são 
funções com variáveis x e y. 
 
§ FFoorrmmaa aalltteerrnnaattiivvaa 
¨ 
( ) ( ), , 0dyM x y N x y
dx
+ =
 ou ainda ( ) ( ), , ' 0M x y N x y y+ = 
É obtida a partir da forma diferencial, dividindo-se a mesma pelo elemento 
diferencial dx. Consideramos ainda que a variável dependente é y e a 
independente é x. 
 
§ FFoorrmmaa ggeerraall 
Uma equação diferencial ordinária de qualquer ordem, ou seja, de ordem n, por 
exemplo, que possua uma variável dependente, pode ser representada como: 
 
 
 
 
 13 
¨ 
( )( ), , ',..., 0nF x y y y = 
A função F possui n + 2 variáveis, uma vez que possui a variável independente 
x, a variável dependente y e suas n derivadas. 
Mesmo a forma geral pode ainda ser subclassificada como iimmppll íícciittaa ou 
eexxppll íícciittaa, como veremos mais adiante. 
§ FFoorrmmaa ppaaddrrããoo 
Se for possível a resolução de uma equação diferencial para a derivada mais 
alta 
( )ny , em função das n + 1 variáveis restantes, que possua a forma geral 
acima, podemos definir essa derivada como a forma padrão de uma equação 
diferencial: 
¨ 
( )( )1, , ',..., 0
n
n
n
d y f x y y y
dx
−= =
. 
 
 
Classificação das equações diferenciais 
 
As equações diferenciais podem ser classificadas conforme vários aspectos. 
§ QQuuaannttoo aaoo ttiippoo 
EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss ppaarrcciiaaiiss ((EEDDPP)):: envolvem derivadas parciais e 
diferenciação total, ou seja, funções de duas ou mais variáveis independentes: 
2 2 24
24
V y s y
s s
π∂ ∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
 
z zdz dx dy
x y
∂ ∂
= +
∂ ∂
 
EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss oorrddiinnáárriiaass ((EEDDOO)):: envolvem somente diferenciais 
ordinárias e não parciais. Assim, possuem funções de apenas uma variável, 
com derivadas e/ou diferenciais dessa mesma variável: 
( ) 3dy f x dx dx= + 
 
 
 
 
 14 
Como uma equação diferencial ordinária pode possuir a variável dependente y e 
a variável independente x, e, ainda, suas derivadas primeira, segunda, ..., n-
ésima, podemos dizer que uma forma geral de uma equação diferencial 
ordinária (EDO) é dada tanto pelas equações 1 ou 2. 
 
 
As EDO’s podem aparecer sob sua ffoorrmmaa iimmppll íícciittaa (Eq. 1): 
( ) ( )( )1, , ', ",..., , 0n nF x y y y y y− = EEqq.. 11 
 
 
 
 Exemplo 
 
 
3
2
3 0
dy d yx y
dx dx
+ + − =
 (notação de Leibniz) ou 
2 ' ''' 0x y y y+ + − = (notação de 
Lagrange). Observe que o 2º membro da equação é “zero”. 
Ou sob sua ffoorrmmaa eexxppll íícciittaa. A diferença é que a enésima derivada pode estar 
implicitamente na EDO, ou pode aparecer explicitamente (destacada no 
segundo membro da EDO). 
( )( ) ( )1, , ', ",..., n nF x y y y y y− = EEqq.. 22 
 
 
 
 Exemplos 
 
3
2
3
dy d yx y
dx dx
+ + =
 (notação de Leibniz) ou 
2 ' '''x y y y+ + = (notação de Lagrange). 
Observe que o 2º membro da equação contém a derivada de ordem mais alta 
isolada.5 
§ QQuuaannttoo àà oorrddeemm
5 Se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x ela é dita homogênea, embora esse termo não seja 
muito empregado por se confundir com outra classificação de equações diferenciais a ser vista mais adiante. Se a EDO não 
depende de x, ela é conhecida como autônoma. 
 
 
 
 
 15 
A ordem de uma equação diferencial ordinária corresponde à mesma da sua 
derivada mais alta.6 
 
 
 
 Exemplos 
 
( ) 3f x dx dx= +dy (equação diferencial de pprriimmeeiirraa oorrddeemm) 
33y x C+ = +
2
2
d y
dx
 (equação diferencial de sseegguunnddaa oorrddeemm) 
 
§ QQuuaannttoo aaoo ggrraauu77 
Esta classificação, embora não muito importante, é a que permite uma outra 
classificação, a ser vista em seguida, referente à linearidade da equação. 
Corresponde à mesma classificação do grau de uma equação, ou seja, depende 
das potências a que são elevadas as incógnitas da equação. 
A rigor, o ggrraauu de uma equação diferencial é correspondente à potência que se 
acha submetida à derivada de oorrddeemm mais alta, desde que a equação 
diferencial possa ser escrita como um polinômio da variável dependente e de 
suas derivadas. 
 
 Exemplos: 
 
 
( )
32
5 8
2 ' 3
d y y y x
dx
⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
(equação diferencial do tteerrcceeiirroo 
ggrraauu) 
 
6 Observe nas equações o termo em negrito e dentro de uma caixa , para melhor compreensão do comentário que se segue ao lado. 
7 Na verdade, função não possui grau, recebendo apenas o nome do polinômio que a representa. Exemplo: y = x2 é uma função 
polinomial do segundo grau e não função do segundo grau. Apesar disso, quando tratarmos deste assunto, discorreremos usando o 
termo “função do n-ésimo grau” apenas por economia linguística, sabendo que o aluno deve ter em mente esta informação. 
 
 
 
 
 16 
22
2 3
y d ye y
dx
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
(embora pareça que esta equação 
diferencial pertença ao segundo grau, 
na verdade, ela não pode receber 
classificação alguma quanto a grau, 
uma vez que o termo ye impede que 
a equação possa ser escrita como um 
polinômio da variável dependente e 
de suas derivadas) 
 
§ QQuuaannttoo àà ll iinneeaarriiddaaddee 
EEqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall ll iinneeaarr: trata-se da equação em que todos os 
coeficientes (como na expressão a seguir) são funções de x, e as funções y e 
suas derivadas possuem expoentes iguais a 1 ou 0 (primeiro grau, no máximo, 
então). 
Em outras palavras, os coeficientes de y e de suas derivadas podem até ser 
constantes (como também podem ser funções de x), porém nunca podem 
depender de y. E a variável y, bem como todas as suas derivadas, deve ser, no 
máximo, de primeiro grau (podendo inclusive se apresentar como de grau zero, 
o que faria com que o termo se tornasse uma constante). 
 
Sua forma geral será (notação de Lagrange): 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 0
...
... '
n n
n nf x y x f x y x
f x y x f x y x g x
−
−+ +
+ + =
 EEqq.. 33 
 
ou, na notação de Leibniz: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 0
...
...
n n
n nn n
d y d ya x a x
dx dx
dya x a x y g x
dx
−
− −
+ +
+ + =
 EEqq.. 44 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 Exemplo 
 
Um exemplo: 
( ) ( )3 ' 3 2 4dyx f x x
dx
+ + = −
 (aqui, usamos ambas as notações, de 
Leibniz e de Lagrange). 
EEqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall nnããoo ll iinneeaarr: pela definição acima, basta que qualquer 
termo possua grau diferente de 0 ou 1. 
 
 Exemplos: 
 
( )' 2 0f x y+ =2 (função y não é do primeiro 
grau) 
2
2 2
d y x y
dx
⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
 
(derivada segunda de y não é 
do primeiro grau) 
!!y+ seny = 0 (sen y não é uma função 
linear, ou seja de algum grau) 
( ) ( ) ' 0f x y− + =3y (o coeficiente da primeira 
derivada não é função 
somente de x, aliás, nem é 
função de x, mas de y) 
 
§ QQuuaannttoo àà hhoommooggeenneeiiddaaddee 
HHoommooggêênneeaa:: trata-se de uma equação diferencial ordinária linear em que, nas 
equações 3 ou 4, o termo ( ) 0g x = : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 0
...
... '
n n
n nf x y x f x y x
f x y x f x y x
−
−+ +
+ + = 0
 EEqq.. 55 
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 0
...
...
n n
n nn n
d y d ya x a x
dx dx
dya x a x y
dx
−
− −
+ +
+ + = 0
 EEqq.. 66 
 
 
 
 
 18 
NNããoo hhoommooggêênneeaa: o oposto da situação anterior, ou seja, quando ( ) 0g x ≠ . 
 
§ QQuuaannttoo aaooss ccooeeffiicciieenntteess 
CCoomm ccooeeffiicciieenntteess ccoonnssttaanntteess: como a própria classificação propõe, basta 
que os coeficientes fn, fn-1, ..., f1, f0, ou an, an-1, ..., a1, a0, conforme as equações 
acima, sejam funções constantes. 
CCoomm ccooeeffiicciieenntteess nnããoo ccoonnssttaanntteess: eles podem ser funções de x ou de y 
(se as variáveis forem essas). 
§ QQuuaannttoo àà rreessoolluuççããoo 
SSeeppaarráávveeiiss: tratam-se das equações diferenciais que podem ser reescritas de 
maneira a se separar, em um membro, as variáveis x, e, no outro membro, as 
variáveis y. 
 
 
 Exemplo 
 
2
2
dy dyxy xdx
dx y
= → = 
(observe que as variáveis foram separadas em cada membro) 
NNããoo sseeppaarráávveeiiss: quando não dá para separar as variáveis, por ser impossível 
fatorar a expressão para a derivada dy dx como uma função de x multiplicada 
por uma função de y (uma das formas de se chegar a uma separabilidade): 
 
 
 Exemplos: 
 
2(2 ) 2 0x y dx xy dy+ + = 
3dy y
dx x
+ = 
(é impossível separar as variáveis em cada membro da equação) 
 
 
 
 
 19 
 
§ QQuuaannttoo àà ffoorrmmaa 
EExxaattaass: são chamadas assim as equações diferenciais quando possuem a 
forma da Eq. 7 abaixo, e cujo primeiro membro pode ser representado por uma 
diferencial exata ou total como na Eq. 8 (observe-se que o exposto aqui se 
aplica às equações diferenciais de primeira ordem). 
 
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = EEqq.. 77 
 
u udu dx dy
x y
∂ ∂
= +
∂ ∂
 EEqq.. 88 
 
ou seja: 
( ) ( ), , 0u uM x y dx N x y dy dx dy
x y
∂ ∂
+ = + =
∂ ∂ 
EEqq.. 99 
 
Ainda comparando a Eq. 7 com a 8, teremos que: 
eu uM N
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂ 
EEqq.. 1100 
 
Supondo que M e N sejam definidas como derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas em uma dada região 2° sem pontos duplos, poderemos dizer 
que: 
2 2
eM u N u
y y x x x y
∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 EEqq.. 1111 
 
 
 
 
 
 20 
Como, pelo TTeeoorreemmaa ddee CCllaaiirraauutt--SScchhwwaarrzz, as derivadas parciais de 
segunda ordem nos segundos membros da Eq. 11 são equivalentes, então: 
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
 EEqq.. 1122 
 
AAlleexxiiss CCllaauuddee ddee CCllaaiirraauutt (1713-1765), francês, e HHeerrmmaannnn AAmmaanndduuss 
SScchhwwaarrzz (1843-1921) foram matemáticos, não contemporâneos, que 
receberam a homenagem no Teorema que leva o nome deles. Este teorema 
diz que, se F é uma função escalar, de duas variáveis, por exemplo, x e y, que 
possua derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então 
2 2F F
x y y x
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂ . 
NNããoo eexxaattaass: quando o descrito acima não ocorre. 
 
 
 Exemplos de exercícios resolvidos 
 
Classifique cada equação diferencial abaixo quanto aos seguintes critérios 
(sempre que possível) 
(a) Tipo (EDO ou EDP) 
(b) Ordem 
(c) Grau 
(d) Linearidade 
(e) Homogeneidade 
(f) Coeficientes
EExxeemmpplloo 11:: 
( )
2
4
2 4 '
xd y e x y
dx
− = 
 
 
 
 
 21 
 
SSoolluuççããoo:: 
Rearranjando a equação, teremos: ( ) ( )
42
21 4
xd y dyx e
dx dx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
(a) EDO: não há derivadas parciais. 
(b) Segunda ordem: a mais alta derivada é 
2
2
d y
dx
. 
(c) Primeiro grau: a equação está reescrita na forma polinomial e o 
grau da derivada mais alta é um, 
12
2
d y
dx
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. A derivada cuja 
potência é 4 é de ordem menor (primeira ordem). 
(d) Linear: os coeficientes das derivadas dependem apenas da 
variável independente, x . 
(e) Não homogênea, ( ) xg x e= . 
(f) Coeficientes não constantes: há pelo menos um coeficiente de 
alguma derivada que não é constante: 4x . 
 
EExxeemmpplloo 22:: 
( )2"'a y by C− = 
 
SSoolluuççããoo:: 
Rearranjando a equação, teremos: ( )
23
3
d ya b y C
dx
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
(a) EDO: não há derivadas parciais. 
(b) Terceira ordem: a mais alta derivada é 
3
3
d y
dx
. 
(c) Segundo grau: a equação está reescrita na forma polinomial e o 
grau da derivada mais alta é dois, 
23
3
d y
dx
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
(d) Linear: os coeficientes das derivadas dependem apenas da 
variável independente, x (desde que se considere que a e b 
sejam, no máximo funções de x apenas, podendo também 
serem constantes. 
(e) Não homogênea, ( )g x C= , considerando que C seja uma 
constante diferente de zero. 
(f) Coeficientes constantes: desde que se considere que a e b 
sejam constantes. 
 
 
 
 
 22 
 
 
EExxeemmpplloo 33:: 
( )2 0y xx x yz z
∂ ∂
+ + + =
∂ ∂
 
 
SSoolluuççããoo:: 
Rearranjando a equação, teremos: ( )2 0y xx z xz z
∂ ∂
+ + + =
∂ ∂
 
(a) EDP: há derivadas parciais. 
(b) Primeira ordem: a mais alta derivada é y
z
∂
∂
 ou x
z
∂
∂
. 
(c) Primeiro grau: a equação está reescrita na forma polinomial e o 
grau da derivada mais alta é um, 
1y
z
∂⎛ ⎞
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
 ou 
1x
z
∂⎛ ⎞
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
. 
(d) Não linear: os coeficientes das derivadas dependem também da 
variável x . Se fosse somente da variável independente y , seria 
linear. 
(e) Homogênea, ( ) 0g z = . Observe que z é a variável independente. 
(f) Coeficientes não constantes: o coeficiente ( )2x z+ não é 
constante. 
 
 
SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
Uma equação diferencial pode ou não possuir solução. A sua resolução pode 
dar origem a uma solução única ou a diversas soluções. Finalmente, pode ser 
obtida uma única solução, conhecida como solução geral, ou, ainda, soluções 
particulares. 
Compreenda que a solução de uma equação diferencial normalmente é obtida 
através de procedimentos de integração, de maneira que se deve buscar 
soluções em forma de, no caso, uma função ( )y f x= que satisfaça a Eq. 1, 
para todo e qualquer valor de x em um determinado intervalo, (a,b), por 
exemplo. Uma solução pode ser verificada através de sua substituição na 
equação originária. 
 
 
 
 
 23 
A função ( )y f x= costuma ser chamada de ffuunnççããoo pprriimmiittiivvaa ccoommpplleettaa, 
correspondendo também à ssoolluuççããoo ggeerraall da equação diferencial. Essa 
solução geral se apresenta da seguinte maneira: 
 
( )1 2, , ,..., ny f x C C C= EEqq.. 1133 
 
em que C1, C2, ..., Cn são constantes arbitrárias, denominadas ccoonnssttaanntteess ddee 
iinntteeggrraaççããoo. 
 
Solução geral 
 
Uma ssoolluuççããoo ggeerraall de uma equação diferencial é também conhecida como 
ssoolluuççããoo ccoommpplleettaa.. A solução geral ou completa compreende normalmente 
uma ffaammííll iiaa ddee ssoolluuççõõeess, porque normalmente depende de uma ou mais 
ccoonnssttaanntteess ddee iinntteeggrraaççããoo, e, para cada conjunto de constantes, se pode 
obter uma ssoolluuççããoo ppaarrttiiccuullaarr. 
 
Família de soluções 
 
Como, pela Eq. 13, podemos ver que a solução geral de uma equação 
diferencial ordinária possui em seu corpo tais constantes de integração, 
dizemos que a solução geral representa uma ffaammííll iiaa ddee ssoolluuççõõeess. 
 
EExxeemmpplloo 44:: 
Seja a equação diferencial ordinária ( )2' 'y xy y= + . Determine sua família de 
soluções, se existir. 
SSoolluuççããoo:: 
Uma solução possível, cuja demonstração não será feita aqui, é ( )y C x C= + , 
apresentada na forma explícita, onde C é uma constante de integração. Você 
pode verificar se esta de fato é uma solução para a equação diferencial 
 
 
 
 
 24 
apresentada acima, derivando-a e substituindo os termos apropriadamente na 
mesma. 
 
 
 
 
EExxeemmpplloo 55:: 
Determine a solução geral da seguinte equação diferencial de primeira ordem: 
' 4 0y y+ = . 
SSoolluuççããoo:: 
Inicialmente, mudemos a forma da equação para a notação de Leibniz: 
4 0dy y
dx
+ = 
Agora, o passo seguinte é tentar separar as variáveis. 
4 4dy dyy dx
dx y
= − → = − 
Finalmente, podemos integrar ambos os lados: 
4 ln 4dy dx y x C
y
= − → = − +∫ ∫ , para 0y > 
Esta é a solução geral da equação . Observe que ambas as integrais geram 
constantes de integração, mas, como o próprio nome diz, são constantes, e, 
então, podemos juntá-las em uma só constante no segundo membro da 
equação. 
Continuando a resolução: 
( )ln 4 4 4.y x C x C xe e y e e y Ce− + − −= → = → = 
A solução geral é 4xy Ce−= , para 0y > (condição do ln y ) 
 
 
 
 
 
 25 
EExxeemmpplloo 66:: 
Determine a solução geral da seguinte equação diferencial de segunda ordem: 
2
2 4 0
d y y
dx
− = . 
SSoolluuççããoo:: 
Façamos uso da notação de Leibniz, mas mantenhamos a derivada primeira 
com a notação “linha”: 
' 4 0dy y
dx
− = 
Agora, o passo seguinte é tentar separar as variáveis. 
' '4 4dy dyy dx
dx y
= → = 
Finalmente, podemos integrar ambos os lados: 
1
1
ln ' 4 4
1
' 4 ln ' 4
'y x C x
dy dx y x C
y
e e y C e+
= → = + →
→ = → =
∫ ∫ 
Agora, usemos novamente a notação de Leibniz, para continuarmos a 
integração: 
4 4 4
1 1 1
4 41
1 2
4
3 2
'
4
x x x
x x
x
dyy C e C e dy C e dx
dx
Cdy C e dx y e C
y C e C
= → = → =
→ = → = +
→ = +
∫ ∫ 
 
A solução geral é 4 41 2 3 24
x xCy e C C e C= + = + . 
 
Se a solução de uma equação diferencial ordinária possui apenas uma 
constante de integração, dizemos que ela representa uma ffaammííll iiaa ddee 
ssoolluuççõõeess ddee 11 ppaarrââmmeettrroo. Da mesma maneira, se a solução de uma 
 
 
 
 
 26 
equação diferencial ordinária possui n constantes de integração, dizemos que 
ela representa uma ffaammííll iiaa ddee ssoolluuççõõeess ddee nn ppaarrââmmeettrrooss. 
Assim, no EErrrroorr!! RReeffeerreennccee ssoouurrccee nnoott ffoouunndd.. acima, dizemos que a 
solução ( )y C x C= + representa uma família de soluções de 1 parâmetro (por 
apresentar apenas uma constante de integração). Também no EErrrroorr!! 
RReeffeerreennccee ssoouurrccee nnoott ffoouunndd.., temos uma família de soluções de 1 
parâmetro. Já no EErrrroorr!! RReeffeerreennccee ssoouurrccee nnoott ffoouunndd.., a família de 
soluções é de 2 parâmetros (possui duas constantes de integração, que são ou 
C1 e C2, ou C2 ou C3 (pois fizemos com que 13 4
CC = ). 
 
Solução particular 
 
Para cada valor particular das constantes de integração C1, C2, ... Cn, de uma 
equação diferencial de n-ésima ordem, pode ser obtida uma ssoolluuççããoo 
ppaarrttiiccuullaarr da equação diferencial ordinária. 
Muitos problemas requerem uma ssoolluuççããoo ppaarrttiiccuullaarr. Dizemos que tais 
problemas costumam estar submetidos a certas condições adicionais, mais 
conhecidas
como ccoonnddiiççõõeess iinniicciiaaiiss ou ccoonnddiiççõõeess ddee ccoonnttoorrnnoo. A 
diferença entre estes dois termos está relacionada com o intervalo, I, para o 
qual está definida certa equação diferencial ordinária. 
CCoonnddiiççõõeess iinniicciiaaiiss são valores atribuídos para x, para y ou para quaisquer de 
suas derivadas y’, y”, ..., y(n), que permitem encontrar as n constantes de 
integração C1, C2, ... Cn,. De uma maneira mais simples, podemos dizer que: 
 
 
 Dica! 
 
 
Problemas de vvaalloorr iinniicciiaall ((PPVVII)) (ou de condição inicial) se referem a 
equações diferenciais em que a variável dependente e/ou suas derivadas 
sejam função de uumm mmeessmmoo vvaalloorr para a vvaarriiáávveell iinnddeeppeennddeennttee. 
 
EExxeemmpplloo 77:: 
 
 
 
 
 27 
O problema " ' 2y y x− = , com ( )' 0 1y = e ( )0 2y = é um problema de valor 
inicial, pois o valor da variável independente é 0x = , seja quando ' 1y = , seja 
para quando 2y = . 
 
Por sua vez, podem ser dadas n ccoonnddiiççõõeess ddee ccoonnttoorrnnoo em ( )y f x= e 
suas derivadas para os extremos do intervalo :I a x b< < , ou seja, para x = a e 
para x = b. 
 
 
 Dica! 
 
Problemas de vvaalloorr ddee ccoonnttoorrnnoo ((PPVVCC)) (ou de condições de contorno) 
se referem a equações diferenciais em que a variável dependente e/ou 
suas derivadas sejam função de vvaalloorreess ddiiffeerreenntteess para a vvaarriiáávveell 
iinnddeeppeennddeennttee. 
 
EExxeemmpplloo 88:: 
O problema " ' 2y y x− = , com ( )' 0 1y = e ( )2 5y = é um problema de condições 
de contorno, pois o valor da variável independente é 0x = para ' 1y = , mas é 
definido como 2x = quando 5y = . Ou seja, os valores das variáveis 
independentes diferem; neste caso há dois pontos diferentes, 0x = e 2x = . 
 
EExxeemmpplloo 99:: 
Ainda citando o EErrrroorr!! RReeffeerreennccee ssoouurrccee nnoott ffoouunndd.., encontremos uma solução 
particular para a equação diferencial ordinária ( )2' 'y xy y= + , com a condição 
inicial ( )3 0y = . Essa condição inicial tem a seguinte apresentação geral 
( )f x y= , ou seja, nesse caso, 0y = quando 3x = . 
SSoolluuççããoo:: 
 
 
 
 
 28 
Este é um problema de valor inicial, pois o valor da variável independente é 
definido em apenas um ponto, ou seja, 3x = . 
Aplicando ( ) ( ), 3,0x y = em ( )y C x C= + , obteremos, para 3C = − , a 
solução ( )y C x C= + se tornará 3 9y x= − + . Dizemos que 3 9y x= − + é uma 
solução particular para a equação diferencial ordinária ( )2' 'y xy y= + . 
 
EExxeemmpplloo 1100:: 
Determine a solução particular para a equação diferencial de primeira 
ordem ' 1y y− = , considerando que 2y = quando 0x = . 
SSoolluuççããoo:: 
Mais uma vez, temos um problema de valor inicial, uma vez que se define 
apenas um ponto da variável independente, ou seja, quando 0x = . 
Façamos uso da notação de Leibniz, prosseguindo com a separação das 
variáveis. 
1 1
1
dy dy dyy y dx
dx dx y
− = → = + → =
+
 
Integremos ambos os lados: 
ln 1ln 1
1
1 1
y x C
x x
dy dx y x C e e
y
y Ce y Ce
+ += → + = + → =
+
→ + = → = −
∫ ∫ 
A solução geral é 1xy Ce= − , para 1 0y + > , ou 1y > − , condição do ( )ln 1y + . 
Agora, aplicando os valores de 2y = e 0x = , poderemos encontrar o valor da 
constante de integração C : 
01 2 1 3xy Ce Ce C= − → = − → = 
Finalmente, para obter a solução particular, basta usar o valor da constante de 
integração encontrado na solução geral obtida: 
3 1xy e= − 
 
 
 
 
 29 
Esta é a solução particular: 3 1xy e= − , para 1y > − . 
 
EExxeemmpplloo 1111:: 
Determine a solução particular para a equação diferencial de segunda ordem 
" 3 2y x= + , considerando que 4y = e ' 1y = , quando 0x = . 
SSoolluuççããoo:: 
Outra vez, temos um problema de valor inicial, quando 0x = . 
Façamos uso da notação de Leibniz, prosseguindo com a separação das 
variáveis. 
( )
2
2
'3 2 3 2 ' 3 2d y dyx x dy x dx
dx dx
= + → = + → = + 
Integremos ambos os lados: 
( )
2
1
3' 3 2 ' 2
2
xdy x dx y x C= + → = + +∫ ∫ 
Novamente, passemos à notação de Leibniz, separemos as variáveis e 
integremos ambos os lados: 
2 2
1 1
2
1
3
2
1 2
3 32 2
2 2
3 2
2
2
dy x xx C dy x C dx
dx
xdy x C dx
xy x C x C
⎛ ⎞
= + + → = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
→ = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ = + + +
∫ ∫ 
A solução geral é 
3
2
1 22
xy x C x C= + + + . 
Agora, aplicando os valores de ' 1y = e 0x = , poderemos encontrar o valor da 
constante de integração 1C usando a equação que ainda tem a derivada 
primeira de y : 
( ) ( )
22
1 1 1
3 03' 2 1 2 0 1
2 2
xy x C C C= + + → = + + → = 
 
 
 
 
 30 
Aplicando os valores de 4y = e 0x = e 1 1C = , na solução geral, poderemos 
encontrar o valor da constante de integração 2C : 
( ) ( ) ( )( )
33
22
1 2 2
2
0
4 0 1 0
2 2
4
xy x C x C C
C
= + + + → = + + +
→ =
 
Finalmente, para obter a solução particular, basta usar os valores das 
constantes de integração encontrados na solução geral obtida: 
3 3
2 2
1 2 42 2
x xy x C x C y x x= + + + → = + + + 
Esta é a solução particular: 
3
2 4
2
xy x x= + + + . 
 
EExxeemmpplloo 1122:: 
Resolva a EDO de 2ª ordem " 0y x− = , com y(0) = 1 e y(1) = 3. 
SSoolluuççããoo:: 
Desta vez, temos um problema de valor de contorno, uma vez que estamos 
trabalhando com dois pontos, quais sejam, 0x = e 1x = . 
Usando a notação de Leibniz, façamos a separação das variáveis e integremos 
ambos os lados 
2
1
'" 0 '
'
2
dyy x x dy xdx
dx
xy C
− = → = → =
→ = +
∫ ∫
 
Observe que fizemos um certo “arranjo” para facilitar a integração: 
mantivemos a primeira derivada na notação de Lagrange, e a segunda derivada 
na notação de Leibniz. Assim, obtivemos uma primeira derivada em função de 
x. Agora, usemos novamente a notação de Leibniz, para a primeira derivada 
obtida, façamos a separação das variáveis e integremos ambos os lados mais 
uma vez: 
 
 
 
 
 31 
2 2 2
1 1 1' 2 2 2
x dy x xy C C dy C dx
dx
⎛ ⎞
= + → = + → = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ 
3
1 26
xy C x C→ = + + 
Esta é a solução geral da equação. Veja que essa solução representa uma 
família de soluções de 2 parâmetros (por possuir 2 constantes). Agora, 
apliquemos as condições de contorno: 
Para 0x = , 1y = , teremos: 
( )
3 3
1 2 1 2
2
01 0
6 6
1
xy C x C C C
C
= + + → = + +
→ =
 
Para 1x = , 3y = , teremos: 
( )
3 3
1 2 1 2
1 2
13 1
6 6
17
6
xy C x C C C
C C
= + + → = + +
→ + =
 
Como 2 1C = , então: 
1 2 1
1
17 171
6 6
11
6
C C C
C
+ = → + =
→ =
 
Aplicando na solução geral, teremos a solução particular: 
3 3
1 2
11 1
6 6 6
x x xy C x C y= + + → = + + 
 
Solução singular 
 
A maior parte das equações diferenciais ordinárias possui soluções que não 
pertencem à sua família de solução. Para as soluções deste tipo, damos o 
nome de ssoolluuççõõeess ssiinngguullaarreess. 
 
 
 
 
 32 
 
 
 Dica! 
 
A ssoolluuççããoo ssiinngguullaarr de uma equação diferencial ordinária não consegue 
ser obtida a partir da família de soluções da mesma, nem mesmo se 
fixando quaisquer parâmetros nesta família de soluções. Trata-se de uma 
ssoolluuççããoo eexxttrraa. 
 
EExxeemmpplloo 1133:: 
Uma solução singular para o EErrrroorr!! RReeffeerreennccee ssoouurrccee nnoott ffoouunndd.. de que viemos 
tratando é 
2
4
xy = − . Esta solução não pode ser obtida de forma alguma 
partindo-se da família de soluções ( )y C x C= + , onde C é uma constante, para 
a
equação diferencial ordinária ( )2' 'y xy y= + . Mais uma vez, você pode verificar 
que 
2
4
xy = − é uma solução da referida equação diferencial, derivando-a e 
aplicando os termos apropriados nela para verificar a identidade. 
 
 
Sistemas de equações diferenciais ordinárias 
 
 
 Dica! 
 
 
Um ssiisstteemmaa ddee eeqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss oorrddiinnáárriiaass envolve duas ou 
mais funções com duas ou mais variáveis dependentes e suas derivadas 
com relação a uma só variável independentes. 
 
( )
( )
2
2
, ,
, ,
dy f x y z
dx
d z f x y z
dx
⎧ =⎪⎪
⎨
⎪ =
⎪⎩
 
 
 
 
 
 33 
No sistema acima, x é a variável independente, e y e z são as variáveis 
dependentes. 
Saiba que normalmente são necessárias tantas equações diferenciais quantas 
forem as funções a se determinar, embora cada função determinada possa 
possuir uma quantidade diferente de constantes de integração, que depende 
apenas da ordem de cada equação diferencial.8 Assim, usando o exemplo, um 
sistema constituído de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, 
cuja solução possui uma constante de integração, e de uma de equação 
diferencial ordinária de segunda ordem, cuja solução possui duas constantes de 
integração, teria como solução: 
( )
( )
1
2 3
, , ,
, , , ,
y f x y z C
z f x y z C C
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
 
As funções acima devem satisfazer concomitantemente as equações 
diferenciais do sistema dado. 
 
 
 
 Guarde essa ideia! 
 
Entretanto, a solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias pode 
ser reduzida aa uummaa ssiimmpplleess eeqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall ccuujjaa oorrddeemm sseejjaa aa 
ssoommaa ddaass ccoonnssttaanntteess ddee iinntteeggrraaççããoo qquuee ppoossssuueemm, uma a uma, as 
soluções das equações diferenciais do sistema. Isso é feito através da 
eliminação das variáveis dependentes e de suas derivadas em cada equação. 
Finalmente, todo sistema de equações ordinárias pode ser reduzido a um 
sistema constituído de tantas equações ordinárias de pprriimmeeiirraa oorrddeemm 
quantas forem as constantes de integração, através da introdução de derivadas 
de ordem mais alta como novas variáveis. 
 
EExxeemmpplloo 1144:: 
 
8 Lembremos que o número de constantes de integração que possui a solução geral de uma equação diferencial ordinária é igual à 
ordem da mesma. Assim, uma equação diferencial ordinária de terceira ordem possui uma família de soluções de 3 parâmetros (os 
parâmetros são justamente as constantes de integração). 
 
 
 
 
 34 
Resolva o sistema de equações diferenciais a seguir: 
4 2dx x y
dt
dy x y
dt
⎧ = −⎪⎪
⎨
⎪ = +
⎪⎩
 
SSoolluuççããoo:: A solução deverá ser do tipo ( ), , 0f x y t = , considerando que a 
variável independente é t e as variáveis dependentes são x e y . 
Para resolver, isolemos inicialmente a variável x de uma das equações dadas. 
No caso, isolaremos x na segunda equação: 
dyx y
dt
= − 
Ainda aproveitando a segunda equação, obtenhamos a segunda derivada de y 
em relação a t : 
2
2
dy d y dx dyx y
dt dt dt dt
= + → = + 
Assim, substituindo dx
dt
 da primeira equação do sistema e x obtida há pouco, 
na equação que possui segunda derivada: 
2 2
2 2
2
2
4 2
4 2
d y dx dy d y dyx y
dt dt dt dt dt
d y dy dyy y
dt dt dt
= + → = − +
⎛ ⎞
→ = − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 2
2 25 6 5 6 0
d y dy d y dyy y
dt dt dt dt
→ = − → − + = 
Na notação de Lagrange: 
" 5 ' 6 0y y y− + = 
Esta é uma equação diferencial de 2ª ordem, cuja solução será estudada em 
breve, mas que antecipamos: 
 
 
 
 
 35 
3 2
1 2
3 21
22
t t
t t
x C e C e
Cy e C e
⎧ = +
⎪
⎨
= +⎪⎩
` 
Observe que, como já comentamos anteriormente, a partir de duas equações 
diferenciais de 1ª ordem, reduzimos o sistema a uma equação diferencial de 2ª 
ordem. 
 
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM (1ª PARTE) 
Há realmente inúmeros tipos de equações diferenciais de primeira ordem, e, 
dentre elas, é possível obter a solução de algumas específicas. Você estudará 
alguns destes tipos de equações, cujas soluções podem ser obtidas através de 
técnicas específicas: as equações diferenciais de 1ª ordem separáveis, as 
exatas, as homogêneas e as lineares. 
Você estudará inicialmente os dois primeiros tipos, ou seja, as separáveis e as 
exatas. Desenvolveremos técnicas que nos levem a obter uma equação 
separável a partir de uma que inicialmente não o seja. Chamamos a isso de 
reduzir uma equação diferencial a uma separável. Apresentaremos também 
algumas equações exatas que costumam serem reconhecidas de imediato, 
bastando para isso uma ligeira inspeção. 
Já falamos que são inúmeras as formas de equações diferenciais existentes. 
Porém também vimos que as soluções das mesmas podem ser bastante 
difíceis de serem obtidas, havendo apenas alguns métodos que tornem mais 
fácil sua determinação. Em função disso, introduziremos o conceito de fator 
integrante. Você conhecerá alguns fatores integrantes mais comuns e como 
fazer uso deles, e, finalmente, aprenderemos como determinar certos fatores 
integrantes que possam vir a ser úteis na resolução das equações diferenciais 
ordinárias. 
 
Equações separáveis 
 
Até aqui, todos os exemplos dados tratam de equações diferenciais, sejam de 
primeira ou de segunda ordem (neste caso, por uma questão didática apenas), 
cujas variáveis são separáveis. 
 
 
 
 
 36 
Muitas equações diferenciais de primeira ordem são separáveis, e, quando não 
o são, às vezes é possível reduzi-las a equações separáveis. Você estudará isso 
mais adiante. 
As equações de primeira ordem separáveis costumam tomar a forma geral: 
 
( ) ( )dy g x f y
dx
= 
EEqq.. 1144 ou 
( )
( )
g xdy
dx f y
= 
Desta maneira, facilmente se observa que um rearranjo permite separar as 
variáveis de modo que a variável dependente (e sua derivada) fique em um 
membro da equação e a variável independente (e sua derivada) fique no outro: 
 
( )
( )dy g x dx
f y
= 
EEqq.. 1155 
ou 
( ) ( )f y dy g x dx= 
 
Isso nos permite integrar, geralmente sem maiores dificuldades: 
 
( )
( )dy g x dx
f y
=∫ ∫ 
EEqq.. 1166 ou 
( ) ( )f y dy g x dx=∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 37 
EExxeemmpplloo 1155:: 
Resolva a equação diferencial ordinária ' 2 0y x− = . 
SSoolluuççããoo:: 
Esta é uma equação separável. Vamos, primeiramente, colocá-la na notação de 
Leibniz: 
2 0dy x
dx
− =
 
Agora, vamos “separá-la” para poder resolvê-la. Por “separar”, entendemos 
que deveremos colocar os termos de y e suas diferenciais em um membro da 
equação, e os termos de x e suas diferenciais no outro membro. 
 Assim: 
2 0 2
2
dy dyx x
dx dx
dy xdx
− = → =
→ = 
A equação agora está com as variáveis e suas diferenciais “separadas”. Resta-
nos resolvê-la. Para isso, vamos integrar ambos os membros: 
2
2 2dy xdx dy xdx
y x C
= → =
→ = +
∫ ∫
 
Observe que ambos os lados da equação gerariam constantes de integração, 
mas, uma vez que são constantes, e a soma de duas constantes, como já 
comentado anteriormente, é igual a uma constante, representamos tal 
constante apenas no 2º membro. A solução encontrada é uma solução geral, ou 
ainda, uma família de soluções de 1 parâmetro (por possuir uma constante 
apenas). 
 
EExxeemmpplloo 1166:: 
Resolva a equação diferencial ordinária 
sen 0dy y x
dx
+ =
. 
SSoolluuççããoo:: 
 
 
 
 
 38 
Vamos separar os termos da equação: 
sen 0 sen
sen
dy
dyy x y x
dx dx
dy xdx
y
+ = → = −
→ = −
 
Uma vez separados os termos, integremos: 
1
sen sen
ln cos
dy dyxdx xdx
y y
y x C
= − → = −
→ = − +
∫ ∫
 
Ainda podemos aplicar o exponencial e obter: 
( )1
1
cosln
1
cos
cos
2
ln cos
.
x Cy
Cx
x
y x C e e
y e e
y C e
− += − + → =
→ = −
→ = − 
Onde 
1
2
CC e= . 
Esta é a solução geral, na forma de uma família de soluções de 1 parâmetro. 
 
Equações redutíveis a separáveis 
 
Mas, como dizíamos, há equações que não podem ser separadas de forma 
direta, sendo, entretanto, possível, por vezes, a separação das variáveis (e de 
suas derivadas) em membros distintos da equação, fazendo-se uso de uma 
simples mudança de variáveis. Isto vale somente para equações que possuem 
a forma: 
dy yf
dx x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ 
EEqq.. 1177 
Para poder resolver equações diferenciais deste tipo, a forma apresentada na 
Eq. 17 nos leva a fazer uma substituição do tipo: 
 
 
 
 
 
 39 
yu y ux
x
= → = EEqq.. 1188 
Esta substituição se nos apresenta com a derivada: 
 
' 'y u x u= + 
EEqq.. 1199 
ou 
dy du x u
dx dx
= + 
Substituindo a Eq. 19 na 17, teremos: 
 
( )'u x u f u+ = EEqq.. 2200 
 
Dessa forma, poderemos separar as variáveis, o que nos permite integrar 
ambos os lados da equação para obter a solução geral da equação diferencial. 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
' '
'
u x u f u u x f u u
f u u
u
x
f u udu
dx x
du dx
f u u x
du dx
f u u x
+ = → = −
−
→ =
−
→ =
→ =
−
→ =
−∫ ∫
 
 
 
( ) ( )
du dx du dx
f u u x f u u x
= → =
− −∫ ∫ 
EEqq.. 2211 
 
 
 
 
 
 40 
A prática, entretanto, nos permite perceber que é possível outras substituições 
simples, a fim de se obter uma solução geral ou particular de uma equação 
diferencial. 
 
EExxeemmpplloo 1177:: 
Resolva a equação diferencial ( )2 22 ' 2 0x y y xy− + = . 
SSoolluuççããoo:: 
Não é possível separar as variáveis desta equação. Assim, façamos a 
substituição sugerida pela Eq. 18, mas primeiro rearranjemos a equação, 
multiplicando-a por dx : 
( ) ( )2 2 2 22 2 0 2 2 0dyx y xy x y dy xydxdx− + = → − + = 
Agora, dividamos a equação por 2x : 
2 2 2
2 2 2 22 2 0 1 2 2 0
x y xy y ydy dx dy dx
x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + = → − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Agora, façamos a substituição: 
 
' 'yu y ux y u x u
x
dy dux u dy xdu udx
dx dx
= → = → = + →
→ = + → = +
 
( )( )
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
2
2
2
2 3
2 3
2 3
1 2 2 0 1 2 2 0
2 2 2 0
2 3 2 0
1 2 3 2 0
y ydy dx u xdu udx udx
x x
xdu udx xu du u dx udx
x xu du u u dx
dxx u du u u
x
⎛ ⎞
− + = → − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ + − − + =
→ − + − =
÷ → − + − =
 
 
 
 
 
 41 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
3
2
2
2 2
2
1 2
3 2
1 2
3 2
2
3 2 3 2
4
3 3 3 2
u dxdu
xu u
u dxdu
xu u
du udu dx
xu u u
du udu dx
u xu
−
→ = −
−
−
→ = −
−
→ − = −
− −
→ − = −
−
 
( )
( )
2
2
4
3 3 3 2
1 1ln ln 3 2 ln
3 3
du udu dx
u xu
u u x C
→ − = −
−
→ + − = − +
∫ ∫ ∫
 
( )2ln ln 3 2 3lnu u x C→ + − + = 
( )2ln ln 3 2 3lnu u x Ce e+ − +→ = 
( )2 33 2u u x C→ − = 
Retornando à substituição: 
( )
( )
2
2 3 3
2 3
2 2
3 2 3 2
3 2
3 2
y yu u x C x C
x x
x y y C
y x y C
⎡ ⎤⎛ ⎞
− = → − =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
→ − =
→ − =
 
Esta é a solução geral: ( )2 23 2y x y C− = , para 0yx > e 
2
3 2 0y
x
⎡ ⎤⎛ ⎞
− >⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 ou 
2 23
2
y x> . 
 
 
EExxeemmpplloo 1188:: 
 
 
 
 
 42 
Resolva a equação diferencial 2 22dy y xy x
dx
= − + . 
SSoolluuççããoo:: 
Temos, inicialmente, um produto notável no segundo membro, que podemos 
deixá-lo assim: 
( )2dy y x
dx
= − 
Agora, façamos a substituição ' ' 1u y x y u x y u= − → = + → = + : 
( ) ( )2 2
2
2
2
2
' ' 1
' 1
1
1
1
dy y y x u u x x
dx
u u
du u
dx
du u
dx
du dx
u
= = − → + = + −
→ + =
→ + =
→ = −
→ =
−
 
Integremos ambos os lados:9 
2 21 1
1 1ln
2 1
du dudx dx
u u
u x C
u
= → =
− −
−⎛ ⎞
→ = +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∫ ∫
 
( )
1ln
2 2 21
2
2
1ln 2
1
.
1
1
1 1
u
x C x C xu
x
x
u x C
u
e e e e Ce
u Ce
u
u u Ce
−⎛ ⎞
⎜ ⎟ ++⎝ ⎠
−⎛ ⎞
→ = +⎜ ⎟+⎝ ⎠
→ = = =
−⎛ ⎞
→ =⎜ ⎟+⎝ ⎠
→ = + +
 
Retornando à substituição: 
 
9 Lembre-se de que 2 2
1 ln ,
2
du u a
a u au a
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+− ⎝ ⎠∫
com 2 2u a> . 
 
 
 
 
 43 
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1 1
1 1
1
1
1 1 1
1
1
x x
x
x x x
x x x
x x x
x
x
u u Ce y x y x Ce
y x y x Ce
y x yCe xCe Ce
y yCe x xCe Ce
y Ce x Ce Ce
Cey x
Ce
= + + → − = + − +
→ = + + − +
→ = + + − +
→ − = − + +
→ − = − + +
+
→ = +
−
 
Esta pode ser considerada a solução geral: 
2
2
1
1
x
x
Cey x
Ce
+
= +
−
, para ( )2 1y x− > , 
condição do logaritmo que aparece no desenvolvimento. 
 
Equações diferenciais exatas 
 
O conceito de equações diferenciais exatas foi abordado nas equações 7 a 12. 
O que trataremos aqui é de uma forma para obter a solução geral deste tipo de 
equações diferenciais de primeira ordem. 
Se compararmos a Eq. 8 com a 9, teremos que: 
0du = EEqq.. 2222 
 
Se integrarmos em ambos os lados, obteremos a solução geral da Eq. 22: 
 
( ),u x y C= EEqq.. 2233 
Já vimos que, comparando a Eq. 7 com a 8, teremos que: 
 
eu uM N
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
 EEqq.. 1100 
Supondo que M e N sejam definidas com derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas em uma dada região 2° sem pontos duplos, poderemos dizer que: 
 
 
 
 
 
 44 
2 2
eM u N u
y y x x x y
∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 EEqq.. 1111 
Como, pelo TTeeoorreemmaa ddee CCllaaiirraauutt--SScchhwwaarrzz, as derivadas parciais de 
segunda ordem nos segundos membros da Eq. 11 são equivalentes, então: 
 
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
 EEqq.. 2244 
Esta é a condição necessária para que a Eq. 7 seja uma diferencial total, e, 
dessa forma, poderemos obter uma solução para a mesma da seguinte forma 
(ver Eq. 10): 
( )u Mdx f y= +∫ EEqq.. 2255 
 
Onde ( )f y é uma constante de integração que não depende de x . 
Para encontrar o valor de ( )f y , basta derivar parcialmente a Eq. 25 obtida em 
relação a y e comparar com N. 
O procedimento contrário também é possível, ou seja: 
 
( )u Ndy g x= +∫ EEqq.. 2266 
Onde ( )g x é uma constante de integração que não depende de y. 
Para encontrar o valor de ( )g x , basta derivar parcialmente a Eq. 26 obtida em 
relação a x e comparar com M. 
 
 
Equações redutíveis a exatas - fatores integrantes 
 
 
 
 
 
 45 
Falemos um pouco sobre fatores integrantes. Da mesma forma que 
aprendemos a reduzir equações diferenciais que não são separáveis a 
equações separáveis, determinadas equações diferenciais que não são exatas 
também podem ser reduzidas a exatas. Esse procedimento é realizado através 
do uso do que chamamos de ffaattoorreess iinntteeggrraanntteess.. Trata-se de um artifício 
que envolve normalmente a multiplicação da referida equação por um 
determinado fator, quando não a necessidade de um rearranjo. 
Há equações diferenciais do tipo visto na Eq. 7 que não são exatas, mas que 
podem se tornar exatas através da multiplicação das mesmas pelo que 
chamamos de fatores integrantes. Os
fatores integrantes tornam as equações 
exatas, quando estas não o são originalmente, embora se aparentem à Eq. 7. 
 
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = EEqq.. 77 
 
A condição necessária para que exista um ou mais fatores integrantes para 
uma dada equação diferencial é que, se a Eq. 7 não é exata, deve possuir uma 
solução geral do tipo da Eq. 23: 
( ),u x y C= EEqq.. 2233 
 
Uma demonstração simples disso é feita ao se obter a ddeerriivvaaddaa ttoottaall da 
função ( ),u x y C= : 
0u udu dx dy
x y
∂ ∂
= + =
∂ ∂
 EEqq.. 99 
 
Comparando a Eq. 9 com a 7, e, se existe mesmo um fator integrante F, então: 
eu uFM FN
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
 EEqq.. 2277 
 
de maneira que a Eq. 9 fica assim: 
 
 
 
 
 46 
( ) 0du F Mdx Ndy= + = EEqq.. 2288 
 
Confirmando a existência de um fator integrante F. 
Em outras palavras, se existe um fator integrante F, então, 
( ) ( ), , 0FM x y dx FN x y dy+ = EEqq.. 2299 
 
É exata. 
Observe ainda que, ao multiplicarmos ambos os membros da Eq. 29 por 
qualquer função ( )g u , obteremos um novo fator integrante ( )g u F . Dessa 
forma, poderemos dizer que há um número infinito de fatores integrantes para 
equações do tipo da Eq. 7, que possua solução geral do tipo ( ),u x y C= . 
Para determinarmos alguns fatores integrantes, consideremos que, pela Eq. 24 
combinada com a Eq. 29, teremos: 
( ) ( )FM FN
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
 EEqq.. 3300 
 
 
 Para Pesquisar 
 
Se você quiser, pesquise inúmeros fatores integrantes tabelados, alguns deles 
apropriados para determinados tipos de equações diferenciais, em livros e 
bibliografia especializada. Pergunte ao seu professor. 
Também há técnicas para se determinar alguns fatores integrantes, dadas 
algumas situações comuns (equações diferenciais mais comuns). Também é 
farta a bibliografia instruindo sobre essas técnicas. 
 
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM (2ª PARTE) 
 
 
 
 
 47 
 
Agora, relembrando o conceito de equações diferenciais lineares, homogêneas 
ou não (classificação das equações diferenciais), desenvolveremos técnicas 
para resolver as equações lineares, envolvendo, inicialmente, a distinção de se 
essas equações são ou não homogêneas, seguindo-se a identificação de se são 
exatas ou não, e, quando não, promovendo-se o uso de fatores integrantes. Em 
seguida, avaliaremos a resolução de equações lineares como equações 
separáveis, aplicando técnicas de redução a separáveis. 
 
Equações diferenciais lineares de primeira ordem homogêneas 
 
As equações diferenciais lineares de primeira ordem apresentam a forma geral: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0'f x y x f x y x g x+ = EEqq.. 3311 
 
Ou, na notação de Leibniz: 
 
( ) ( ) ( )1 0
dya x a x y g x
dx
+ = EEqq.. 3322 
As formas acima se apresentam lineares em y e em y’. Os coeficientes f1, f0, 
ou a1, a0, bem como a função g, por sua vez, podem ser quaisquer funções de 
x. 
 
 Dica! 
 
 
EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss ll iinneeaarreess são equações em que todos os 
coeficientes de y (variável dependente) e suas derivadas, como y’, são 
funções apenas de x, ou seja, da variável independente, podendo até 
serem constantes; por sua vez, a variável y, bem como suas derivadas, 
deve ser de grau zero ou de primeiro grau. Serão de pprriimmeeiirraa oorrddeemm se 
a derivada mais alta for de primeira ordem. 
 
 
 
 
 
 48 
Também já falamos, anteriormente, que, se ( ) 0g x = , a equação é chamada de 
homogênea, não o sendo se ( ) 0g x ≠ . Podemos ampliar esse conceito, 
dizendo que, se ( ) 0g x ≡ , ou seja, ( ) 0g x = para todo x no domínio de g, a 
equação também é chamada de homogênea. 
 
 
 
 
 Dica! 
 
 
EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss hhoommooggêênneeaass são aquelas em que há uma 
função da variável independente x que não é coeficiente nem da variável 
dependente y nem de nenhuma de suas derivadas. 
 
A determinação de uma fórmula para uma solução geral deste tipo de equação 
diferencial é muito fácil, uma vez que a equação é separável. Assim, por uma 
questão de simplificação, seja a equação diferencial linear de primeira ordem 
hhoommooggêênneeaa: 
 
( )' 0y f x y+ = EEqq.. 3333 
 
Separando suas variáveis e iinntteeggrraannddoo ambos os membros, obteremos: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ln
' 0 0
ln
f x dx C f x dxy
dy dyy f x y f x y f x dx
dx y
dy f x dx y f x dx C
y
e e y Ce− + −
+ = → + = → = −
→ = − → = − +
∫ ∫→ = → =
∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 49 
Para 0y ≠ (denominador) e 0y > (logaritmo).10 
Chegamos à solução geral para uma eeqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall ll iinneeaarr ddee 
pprriimmeeiirraa oorrddeemm hhoommooggêênneeaa: 
 
( )f x dxy Ce−∫= EEqq.. 3344 
 
Redução de equações diferenciais lineares de primeira ordem homogêneas a equações separáveis 
É possível se reduzir algumas equações exatas (Eq. 7) homogêneas a equações 
separáveis. 
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = EEqq.. 77 
 
Para isso, podemos usar uma substituição do tipo: 
yu y ux dy udx xdu
x
= → = → = + EEqq.. 3355 
Um rearranjo da Eq. 7, através de sua multiplicação e divisão simultânea pela 
variável independente x, nos dará: 
 
1 11, 1, 0
y yx M dx N dy
x x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
( ) ( )1 11, 1, 0M u dx N u dy+ = 
EEqq.. 3366 
 
Usando as substituições da Eq. 36, 
 
 
10 CC e= ± , quando y > 0 ou y < 0 respectivamente. Ainda pode ser considerada a solução singular ou trivial, ou seja, em que 
C = 0. 
 
 
 
 
 50 
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
1, 1, 0
1, 1, 0
1, 1, 1, 0
1, 1, 1,
1,
1, 1,
M u dx N u dy
M u dx N u udx xdu
M u dx uN u dx xN u du
dx M u uN u xN u du
N u dudx
x M u uN u
+ = →
+ + = →
+ + = →
+ = − →⎡ ⎤⎣ ⎦
= −
+
 
Chegaremos à possibilidade de separar as variáveis: 
( )
( ) ( )
1
1 1
1,
0
1, 1,
N u dudx
x M u uN u
+ =
+
 
EEqq.. 3377 
 
 
EExxeemmpplloo 1199:: 
Verifique se a equação abaixo é homogênea. Sendo, determine o seu ggrraauu ddee 
hhoommooggeenneeiiddaaddee1111 e encontre sua equação primitiva. 
dyy x x
dx
− = 
SSoolluuççããoo:: 
Primeiramente, vamos rearranjar essa equação, isolando a derivada: 
dy y x
dx x
−
= 
Esta equação diferencial é homogênea, se ( ) ( ), ,f x y f tx ty= , sendo que 
( ),f x y se refere à derivada dy
dx
. Assim: 
( ), y xf x y
x
−
= 
e 
 
11 Grau de homogeneidade é a potência que o termo t aparece ao se desenvolver a expressão ( ) ( ), ,f x y f tx ty= . 
 
 
 
 
 51 
( ) ( ),
t x yty tx y xf tx ty
tx tx x
−− −
= = = 
Logo, ( ) ( ), ,f x y f tx ty= . Como t ficou elevado à primeira potência, então esta 
equação é homogênea de primeiro grau. 
Usando o procedimento da Eq. 35 (substituição de variáveis): 
yu y ux dy udx xdu
x
= → = → = + 
( )
1
1
dy y x udx xdu ux x udx xdu u
dx x dx x dx
udx xdu u dx udx xdu udx dx
dxxdu dx du
x
− + − +
= → = → = −
→ + = − → + = −
→ = − → = −
 
Integrando: 
lndx dxdu du u x C
x x
= − → = − → = − +∫ ∫ 
Retornando a substituição de variáveis: 
( )
ln ln ln
1ln ln
yu x C x C y x x Cx
x
y x x C y x C
x
= − + → = − + → = − +
⎛ ⎞
→ = − + → = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
SSoolluuççããoo aalltteerrnnaattiivvaa:: 
Esta solução é mais simples. Uma vez que a equação diferencial a ser 
estudada se aparenta com a Eq. 7:
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = Eq. 7 
 
( ) 0dy y x x y dx xdy
dx x
−
= → − + = 
Onde M x y= − e N x= . Como a equação é homogênea de primeiro grau, 
poderemos dividi-la por x , obtendo: 
 
 
 
 
 52 
( ) 0x y dx dy
x
−
+ = 
Em que teremos ( )1
x y
M
x
−
= e 1 1N = . Mas, com a substituição de variáveis 
da Eq. 35, em que yu
x
= , 
( )
1 1
x y x yM u
x x x
−
= = − = − . 
Agora, usando a Eq. 37: 
( )
( ) ( )
1
1 1
1,
0
1, 1,
N u dudx
x M u uN u
+ =
+
 Eq. 37 
 
Teremos: 
0
1
dx du dx dxdu du
x u u x x
+ = → = − → = −
− +
 
Uma integração e o retorno das variáveis levam à mesma solução obtida 
anteriormente. Este caminho é mais rápido para se obter a equação primitiva, 
porém se deve-se seguir os seguintes passos: 
a) Determinar o grau de homogeneidade; 
b) Escrever a equação no formato de equação diferencial exata e 
dividir a equação exata por x elevado ao grau de 
homogeneidade; 
c) Fazer a substituição de variáveis proposta pela Eq. 35, definindo 
1M e 1N ; 
d) Aplicar a Eq. 37; 
e) Integrar; 
f) Retornar as variáveis. 
 
 
Veja outros exemplos, querido (a) aluno (a): 
 
 
 
 
 53 
 
EExxeemmpplloo 2200:: 
Verifique se a equação abaixo é homogênea. Sendo, determine o seu grau de 
homogeneidade e encontre sua equação primitiva. 
2 22dy x y
dx xy
+
= 
SSoolluuççããoo:: 
a) Verificando a homogeneidade da equação e determinando seu 
grau de homogeneidade: 
( )
2 22, x yf x y
xy
+
= 
( ) ( ) ( )
( )2 2 2 2 22 2 2 2
2
2 2,
t x ytx ty t x t yf tx ty
txty txty t xy
++ +
= = = 
Como ( ) ( ), ,f x y f tx ty= , a equação é homogênea. Como surgiu o termo 2t , 
este é o grau de homogeneidade, ou seja, a equação é homogênea do segundo 
grau. 
b) Escrevendo a equação no formato de equação diferencial exata e, 
posteriormente, dividindo-a por 2x : 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 0
2
0
1 2 0
dy x y x y dx xydy
dx xy
x y xydx dy
x x
y ydx dy
x x
+
= → + − =
+
→ − =
⎛ ⎞
→ + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
c) Façamos a substituição de variáveis yu
x
= , e teremos: 
( )
2
2
21 2 0 1 2 0
y ydx dy u dx udy
x x
⎛ ⎞
+ − = → + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 
 
 
 54 
Em que 21 1 2M u= + e 1N u= − . 
d) Aplicando na Eq. 37: 
( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
2
1,
0 0
1, 1, 1 2
0
1
N u dudx dx udu
x M u uN u x u u
dx udu
x u
−
+ = → + =
+ + −
→ − =
+
 
e) Com as variáveis separadas, poderemos integrar: 
2 201 1
dx udu dx udu
x u x u
− = → =
+ +∫ ∫
 
A integral do segundo membro da equação pode ser resolvida por 
uma substituição simples de variáveis: 
21 2
2
dm dmm u u du
du u
= + → = → = 
Aplicando: 
 
21 2
1
2
1ln ln
2
dx udu dx udm
x u x um
dx dm
x m
x m C
= → =
+
→ =
→ = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 
 
Aplicando exponencial: 
( )
( )
1
21
1
1 lnln ln2
1
1 2 22
2 2
2
3
1ln ln .
2
m C Cx mx m C e e x e e
x C m x C m
x C m
+
= + → = → =
→ = → =
→ =
 
f) Retornando as variáveis: 
 
 
 
 
 55 
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
3 3 3 2
4
4 2 2 2 2
3
3
2 2 4 2 4 2
4 4
2 2 2
4
1 1
1
yx C m x C u x C
x
xx C x y x y
C
x y C x y C x x
y x C x
⎛ ⎞
= → = + → = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ = + → + =
→ + = → = −
→ = −
 
 
 
 
 
EExxeemmpplloo 2211:: 
Verifique se a equação abaixo é homogênea. Sendo, determine o seu grau de 
homogeneidade e encontre sua equação primitiva. Ao final, determine a 
solução particular para o problema de valor inicial (PVI), em que ( )0 1y = 
2
2 2
2dy xy x
dx x y
+
= −
+
 
 
 
SSoolluuççããoo:: 
a) Verificando a homogeneidade da equação e determinando seu 
grau de homogeneidade: 
( )
2
2 2
2, xy xf x y
x y
+
= −
+
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 .
,
t xy xtx ty tx t xy t xf tx ty
t x t y t x ytx ty
++ +
= − = − = −
+ ++
 
 
 
 
 
 56 
Como ( ) ( ), ,f x y f tx ty= , a equação é homogênea. Como surgiu o 
termo 2t , este é o grau de homogeneidade, ou seja, a equação é 
homogênea do segundo grau. 
b) Escrevendo a equação no formato de equação diferencial exata e, 
posteriormente, dividindo-a por 2x : 
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 0
2
0
2 1 1 0
dy xy x xy x dx x y dy
dx x y
xy x x y
dx dy
x x
y ydx dy
x x
+
= − → + + + =
+
+ +
→ + =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
c) Façamos a substituição de variáveis yu
x
= , e teremos: 
( ) ( )
2
22 1 1 0 2 1 1 0y ydx dy u dx u dy
x x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = → + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Em que 1 2 1M u= + e 
2
1 1N u= + . Observe que, mais uma vez, 
propositalmente, não substituímos dy udx xdu= + , a afim de que 
pudéssemos usar diretamente a Eq. 37, no próximo passo. 
d) Aplicando na Eq. 37: 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
2
1 1
2
3
11,
0 0
1, 1, 2 1 1
1
0
3 1
u duN u dudx dx
x M u uN u x u u u
u dudx
x u u
+
+ = → + =
+ + + +
+
→ + =
+ +
 
e) Com as variáveis separadas, poderemos integrar: 
( ) ( )2 2
3 3
1 1
0
3 1 3 1
u du u dudx dx
x u u x u u
+ +
+ = → = −
+ + + +∫ ∫
 
A integral do segundo membro da equação pode ser resolvida por uma 
substituição simples de variáveis: 
 
 
 
 
 57 
( )
3 2
2
3 1 3 3
3 1
dm dmm u u u du
du u
= + + → = + → =
+
 
Aplicando: 
( ) ( )
( )
2 2
3 2
1 1
3 1 3 1
1
3
1ln ln
3
u du u dmdx dx
x u u x u m
dx dm
x m
x m C
+ +
= − → = −
+ + +
→ = −
→ = − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 
Aplicando exponencial: 
( )
( )
( )
1
31
1
1 lnln ln3
1
1
23
2 1
3
3
3 32 4
1ln ln .
3
m C Cx mx m C e e x e e
Cx C m x
m
C Cx x
m m
−− +
−
= − + → = → =
→ = → =
→ = → =
 
f) Retornando as variáveis: 
3 3 34 4 4
33
3
3 2 3 3
4 4
3 1
3 1
3 1 3
C C Cx x x
m u u y y
x x
y yx C x y x y C
x x
= → = → =
+ + ⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞
→ + + = → + + =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
g) Determinando o valor da constante 4C em função do PVI em que 
( )0 1y = : 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 32 3 3 4 4
4
3 3 0 1 0 1
1
x y x y C C
C
+ + = → + + =
→ =
 
Logo, a solução particular para o PVI é: 
2 3 3 2 3 3
43 3 1x y x y C x y x y+ + = → + + = 
 
 
 
 
 58 
 
 
Equações diferenciais lineares de primeira ordem não homogêneas 
 
Para se determinar uma solução geral para este tipo de equação diferencial, 
precisamos determinar um ffaattoorr iinntteeggrraannttee que dependa exclusivamente de 
x. 
Rearranjemos a Eq. 31: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0'f x y x f x y x g x+ = Eq. 31 
 
Da seguinte maneira: 
( ) ( )'y f x y g x+ = EEqq.. 3388 
 
Ou 
( ) ( ) 0dy f x y g x
dx
+ − = → 
 
( ) ( ) 0dy f x y g x dx⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦ EEqq.. 3399 
Apliquemos um fator integrante que seja dependente exclusivamente de x, ou 
seja, o fator ( )F x , 
( ) ( ) ( ) ( ) 0F x dy F x f x y g x dx⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦ EEqq.. 4400 
 
Tornando-a exata, ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( ){ }F x f x y g xF x
x y
⎡ ⎤∂ −∂ ⎣ ⎦=
∂ ∂
 
 
 
 
 
 
 59 
Observe, no segundo membro: se ( )F x , ( )f x e ( )g x só dependem de x, 
derivá-lo parcialmente em relação a y (ou seja, sua derivada parcial em y, 
y
∂
∂ 
) 
levará a: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
. 0 1 0
F x f