AVA Cálculo III U1 e U2

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U1S1 - ATIVIDADE DIAGNÓSTICA
1 - Assinale a alternativa que contém o vetor normal à equação do plano 2x + 4y - z + d = 0  
2 - Dada a superfície z = x2 + 3y2 + 4 = 0, assinale a alternativa que demonstra corretamente as derivadas parciais do vetor gradiente.
(2x,6y,-1)
3 - Para determinar a equação do plano e plano tangente, é preciso haver um vetor normal e um gradiente, respectivamente. Esses vetores formam um ângulo com os planos. Sendo assim, o ângulo referente a esses vetores é de:
90°
U1S1 - ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1 - O sistema cartesiano é formado por três eixos (x,y,z) que correspondem a profundidade, largura e altura. Esses eixos podem possuir vetores unitários, que formam uma base do tipo . Essa base é nomeada por:
Escolha uma: 
Base ortonormal
2 - Entre os vetores a seguir, qual possui as suas componentes definidas a partir de derivadas parciais?
Escolha uma:
Vetor gradiente
3 - No produto escalar entre dois vetores, quando  ou forem nulos, ou ainda:
Escolha uma:
os dois forem diferentes de zero e ortogonais
U1S2 - Atividade Diagnóstica
Dada a região R = {(x,y)|y = x2, y = x} representada pela figura,
As integrais sobre as regiões do tipo I e II correspondem, respectivamente, a:
Escolha uma:
 
O valor da Integral  é: 
2
Sobre o teorema fundamental do cálculo, é correto afirmar que:
Estabelece uma relação entre os conceitos de derivada e integral
U1S2 - Atividade de Aprendizagem
De acordo a região , temos os intervalos . Desta forma, qual integral expressa à região do tipo II?
Em integral dupla, uma função constante determina a área. Na integral tripla esta função calcula o volume. Esta função é dada pelo valor:
1
Dadas as superfícies z = 2x2 + 2y2  e z = 4 - 2x2 - 2y2  (conforme figura) a interseção entre elas é dada no plano:
Superfícies z = 2x2 + 2y2  e z = 4 - 2x2 - 2y2(Visualização dinâmicadisponível).
Fonte: <http://www.geogebra.org/m/2639737>. Acesso em: 11 fev. 2016.
z = 1
U1S3 - ATIVIDADE DIAGNÓSTICA
Nas integrais triplas, quando a densidade é constante, chamamos o centro de massa do sólido de centroide, onde os seus momentos de inércia estão relacionados aos eixos coordenados no plano tridimensional. Desta forma, podemos afirmar que o ly pode ser expresso por:
Assinale a alternativa CORRETA que contém a localização do centro de massa em uma determinada região.
Dados: 
Determine a massa de uma lâmina, dada pela integral , onde (2 + x + y) representa a variação da densidade.
 3
U1S3 - Atividade de Aprendizagem
O volume da placa triangular localizada no primeiro octante, limitada pela equação matemática 2x + y + 2z = 4 é:  
8/3
Seja uma lâmina triangular com densidade p(2x - y). A massa da lâmina corresponde a integral , cujo valor é:
7/6
Dada uma lâmina com função densidade p(x,y,z) = 3xz, cuja massa é m = 6 e os momentos em relação a dois dos seus três planos dados por  e , assinale a alternativa correta que contém a localização do seu centro de massa.
U1S4 - Atividade Diagnóstica
Dada a superfície z + 4x - 5y = 1, a sua representação paramétrica é:
z = 1 - 4u + 5v
Sendo  e , o produto vetorial entre eles e seu respectivo módulo é:
Derivando a função z(x,y) = x2y - y3 + 5x2y2 em relação a x e y, respectivamente, temos:
U1S4 - Atividade de Aprendizagem
Derivando z(x,y) = x2 + xy3 + 3y3 para determinar fx = (0,1) e fy = (1,2) obtemos respectivamente:
1 e 24
O produto vetorial entre dois vetores linearmente independentes gerará?
Outro vetor.
Superfície parametrizada é uma aplicação que possui duas variáveis no domínio, associando três variáveis na imagem. Desta forma, ao fazemos a parametrização de uma superfície, ela poderia ser denotada por:
U1 - Avaliação da Unidade
A derivada parcial de uma função z = f(x,y) em relação a x considera apenas x como variável, mantendo y constante. Analogamente temos que a derivada parcial em relação a y considera apenas y como variável, mantendo xconstante. Dessa forma, podemos entender que ela é obtida considerando-se apenas uma variável de cada vez, podendo ser escrita por  .
Sendo assim, ao derivarmos a função z(x,y) = 4x2y3 + x2y para determinar fx = (1,1) e fy = (-2,2), obteremos, respectivamente:
10 e 196
O produto escalar entre dois vetores pode ser representado por  (lemos  escalar , e o seu resultado será sempre um valor numérico. Vale lembrar que, de acordo com o ângulo formado entre eles, esse valor poderá ser positivo (se o ângulo formado entre eles for agudo, ou seja, α < 90º), negativo (se o ângulo formado entre eles for obtuso, ou seja, α > 90º) ou nulo (se o ângulo formado entre eles for reto, ou seja, α = 90º).
Para que o produto escalar entre dois vetores seja nulo, os dois precisam ser ortogonais, diferentes de zero ou:
Ser zero o resultado  de escalar .
Matematicamente, temos que o produto vetorial entre dois vetores  e  resulta em um terceiro vetor . Ou seja, (, que é perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b. O sentido desse novo vetor gerado é dado por um recurso utilizado quando precisamos diferenciar ou estabelecer um padrão entre duas orientações espaciais possíveis. Este recurso foi originalmente estabelecido pelo físico John Ambrose Fleming, que o nomeou com o seu sobrenome, chamando-o assim de regra de Fleming.
Esta regra é popularmente conhecida como:
Regra da mão direita.
A integral definida representa a área de uma curva, a dupla representa o volume sob uma superfície e a tripla representa um hipervolume (quatro dimensões), que caracteriza um objeto de difícil visualização. Entre algumas aplicações direcionadas à integral tripla, podemos citar a densidade de uma região E(p(x,y,z)), que é dada em unidades de massa por unidade de volume em qualquer ponto (x,y,z). Para calcularmos a sua massa, devemos utilizar a lei matemática .
Quando a densidade é constante, determinamos o momento de inércia de um sólido em relação aos eixos coordenados e chamamos o centro de massa desse sólido de:
Centroide.
Considere a mudança de coordenadas:
 
Assinale a alternativa que apresenta o determinante jacobiano desta transformação:
–30
Calcule a integral  considerando V a região definida por 
Assinale a alternativa que apresenta a resolução correta.
Considere a integral , em que V é dada por Efetuando a mudança de coordenadas  a escrita da integral, com os limites de integração nas novas variáveis (u,v,w), é
U2S1 - Atividade de Aprendizagem
Considere a mudança de variáveis: u = x + 2y + z, v = 3x - z, w = y + 2z. Vamos denotar por T a mudança de coordenadas (x,y,z) nas coordenadas (u,v,w). Então, o determinante de T e o determinante da transformação inversa T-¹ são, respectivamente. 
 –1/8 e –8
Considere o paralelepípedo definido por  O volume deste paralelepípedo é:
6/5
Considere a mudança de coordenadas x = u cos(v), y = sen(v) e z = w . Então, o determinante do jacobiano para esta mudança de coordenadas é:
U
U2S2 - Atividade Diagnóstica
Assinale a alternativa que apresenta o valor da integral:
Nas coordenadas cilíndricas, conserva-se a coordenada z. No plano (x,y) são adotadas as coordenadas polares. Considere o ponto P = (0,3,2) escrito em coordenadas cartesianas. Ao representarmos este ponto em coordenadas cilíndricas, obtemos:
Uma região sólida é limitada por um cilindro de raio igual a R, interior à esfera de equação Determine a massa delimitada por esta região sólida, supondo que a função densidade seja dada por  , em que C é um número real positivo, e assinale a alternativa com a resposta correta.
U2S2 - Atividade de Aprendizagem
Considere a região V delimitada inferiormente pela superfície x²+y²-9z=0 e superiormente...
U2S3 - Atividade Diagnóstica
Determine o valor da integral ( ver imagem) e assinale a alternativa com a resposta correta. Escolha uma: 
Determine o volume da região sólida limitada inferiormente pelo cone Ø = pi/3 e superiormente pela esfera de equação (em coordenadas esféricas) ρ = 2Rcos(Ø). Da própria equação da esfera, temos que o raio da esfera é R. Escolha uma:
O ponto P ( 3 , π/3 , π/4 ) esta escrito em coordenadas esféricas. Ao representarmos este ponto em coordenadas cartesianas, temos:
Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies inferiormente pela superfície e pela esfera , considere ainda para o cálculo apenas a região em que Z>0
Apresente a expressão, em coordenadas esféricas, para a integral de f (p,teta,0) sobre a região limitada pelo cone Z^2 = 3(x^2+y^2) e pelos pianos z = a e z = b. Suponha 0 < a < b.
 
Considere a integral (ver imagem). Esta integral, em coordenadas esféricas, é igual a: 
U2S4 - Atividade Diagnóstica
Determine a massa da esfera de raio a. Suponha que a função densidade seja constante e igual a K. Assinale a alternativa com a resposta correta.
 
U2S4 - Atividade de Aprendizagem
Determine o centro de massa do sólido delimitado pela esfera de , . Suponha que a função densidade seja dada por .
Considere um sólido delimitado pelas superfícies  e  com  e pelos planos z=a e z=b - y com a < b. Considere a densidade constante e igual a C. O centro de massa é dado por:
Considere a região limitada inferiormente pelo cone , superiormente pelo cone  e pelo plano z = c. Determine a massa deste sólido, supondo que a densidade seja constante e igual a K.
O cálculo do momento de inércia é de extrema relevância em muitas subáreas da Engenharia. Seja em estruturas de engenharia civil ou em máquinas e equipamentos da engenharia mecânica, naval e aeronáutica, determinar a resistência a movimentos de rotação é muito importante para o correto projeto destes equipamentos e estruturas.
Existem situações práticas nas quais é bastante conveniente que se efetue uma mudança de coordenadas na integral tripla para coordenadas cilíndricas. Podem os dizer que as coordenadas cilíndricas são as mesmas que as coordenadas polares ( variáveis r e °), com a variável do eixo Z permanece inalterada. Não devemos esquecer que o determinante do jacobiano, no caso de coordenadas cilíndricas, é r.
Calcule a integral...
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O momento de inércia possui grande importância em várias áreas da Engenharia. Ele mede a resistência a movimentos de rotação. Isso justifica o estudo de métodos para facilitar o cálculo de integrais múltiplas em problemas com simetrias específicas. Nessa situação entram em cena as mudanças de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas e esféricas.
Determine o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido definido pelas superfícies:  Considere densidade constante.