Introdução a Derivadas

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Ficha 02: Derivadas
Institucionalização
A Reta Tangente
a) Vamos definir o coeficiente angular da reta tangente em um ponto P a fim de obtermos uma equação para essa reta.
Para definir o coeficiente angular da reta t no ponto 
 escolhemos um outro ponto de f, 
 e consideramos a reta s que passa por P e Q secante ao gráfico de f. 
Seja 
 o coeficiente angular da reta s e 
 o coeficiente angular da reta tangente t.
Considerando o triângulo PMQ retângulo em M sabemos que 
Se fizermos Q se aproximar de P o mais possível parece que 
 é uma aproximação de 
 e esperamos que esta aproximação melhore cada vez que Q se aproxime mais de P com 
.
Podemos fazer isso de várias maneiras: Q tendendo a P tomando pontos pela direita, tomando pontos pela esquerda ou tomando pontos alternadamente à esquerda e à direita de P.
Se o coeficiente angular 
tem um valor limite, isto é, se 
se aproxima de algum número quando Q se aproxima de P, então esse número é o coeficiente angular 
 da reta tangente.
Definição
Dados uma curva 
 e 
 um ponto sobre ela. O coeficiente angular (inclinação) da reta tangente à curva no ponto P é dado por: 
 desde que esse limite exista.
Podemos usar uma forma alternativa para 
 por meio da mudança da variável x para a variável h ou 
, considerando assim o intervalo.
No primeiro caso estamos considerando 
 ou 
, como 
 então 
 e podemos escrever que 
, 
.
No segundo caso estamos considerando 
 ou 
 e se 
 então 
 e teremos então 
, 
.
b) Equação da reta tangente
Se a função f é contínua em 
 então a reta tangente à curva 
 em 
 é a reta que passa por P e tem inclinação 
 e a equação da reta é: 
.
Não podemos esquecer que quando a reta é perpendicular ao eixo x o coeficiente angular não existe.
c) Equação da reta normal à tangente
Para escrever essa equação é necessário lembrar a propriedade que diz que se duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é igual a – 1, ou seja 
 sendo 
 o coeficiente angular da normal.
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