Derivada Aula 01

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Curso de Matema´tica 1
Aula 05 - Derivada
Objetivos da aula:
aprender o conceito de derivada;
entender a derivada como uma taxa de variac¸a˜o;
entender a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada;
aprender a derivada das func¸o˜es ba´sicas.
A derivada
Seja f uma func¸a˜o definida em todo um intervalo aberto contendo
o ponto a ∈ R. Dizemos que f e´ deriva´vel no ponto x = a se
existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limh→0
f (a + h)− f (a)
h
.
O nu´mero f ′(a) e´ chamado derivada da func¸a˜o f no ponto x = a.
Para ver que os limites acima, quando existem, sa˜o iguais, basta
fazer x = a + h no primeiro e observar que h→ 0, quando x → a.
Interpretac¸a˜o dinaˆmica da derivada
Se f mede a posic¸a˜o de um mo´vel, o quociente que aparece na
definic¸a˜o de derivada
f (a + h)− f (a)
h
e´ a velocidade me´dia entre
os instantes a e a + h. Quando h→ 0, o quociente acima se
aproxima da velocidade no instante a, isto e´,
f ′(a) = lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
= velocidade no instante a
Logo, no caso em que f mede a posic¸a˜o de um carro, a derivada
f ′(a) fornece a velocidade no instante a.
Se f mede a velocidade, enta˜o o quociente
f (a + h)− f (a)
h
fornece a acelerac¸a˜o me´dia. Logo, a derivada vai medir a
acelerac¸a˜o no instante a.
Interpretac¸a˜o dinaˆmica da derivada
Para uma func¸a˜o f qualquer, o quociente
f (x)− f (a)
x − a
e´ chamado de variac¸a˜o me´dia da funca˜o f no intervalo [a, x ].
Quando fazemos x → a, obtemos a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o em
x = a.
a derivada f ′(a) e´ a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o f no ponto x = a
Exemplo 1
Se a posic¸a˜o de um carro e´ s(t) = t3, enta˜o a sua velocidade e´
v(t) = s ′(t) = lim
h→0
s(t + h)− s(t)
h
= lim
h→0
(t + h)3 − t3
h
= · · · = lim
h→0
h(3t2 + 3th + h2)
h
= 3t2,
para cada t > 0. A sua acelerac¸a˜o e´ dada por
a(t) = v ′(t) = lim
h→0
v(t + h)− v(t)
h
= lim
h→0
3(t + h)2 − 3t2
h
= · · · = lim
h→0
h(6t + 3h)
h
= 6t,
para cada t > 0.
Exemplo 2
Se o volume ga´s dentro de um pista˜o e´ V (p) = 200/p, enta˜o a
taxa de variac¸a˜o do volume em relac¸a˜o a` pressa˜o e´
V ′(p) = lim
h→0
V (p + h)− V (p)
h
= lim
h→0
200
p+h − 200p
h
= · · · = lim
h→0
−200 · h
h(p + h)p
= −200
p2
,
para cada p > 0. Note que a derivada V ′(p) e´ negativa, o que
significa que, quando a pressa˜o aumenta, o volume diminui. Em
outras palavras, a func¸a˜o volume e´ decrescente.
Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada
Se x 6= a, sabemos que o quociente f (x)− f (a)
x − a e´ a inclinac¸a˜o da
reta secante ao gra´fico de f pelos pontos (x , f (x)) e (a, f (a)).
Quando x → a, obtemos a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico
no ponto (a, f (a)), que e´
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a .
a derivada f ′(a) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no
ponto (a, f (a))
Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada
Quando a derivada f ′(a) existe, a reta tangente tambe´m existe e
tem equac¸a˜o dada por
y = f (a) + f ′(a)(x − a).
Ela passa pelo ponto (a, f (a)) e tem inclinac¸a˜o igual a f ′(a).
Na expressa˜o acima, o valor a esta´ fixado. A varia´vel e´ portanto x ,
de modo que a func¸a˜o y = ya(x) e´ de fato uma reta, pois ela pode
ser colocada na forma
y(x) = mx + b,
com
m = f ′(a), b = (f (a)− f ′(a)a).
Exemplo 3
Vamos calcular a reta tangente ao gra´fico de f (x) = x2 em um
ponto gene´rico (a, f (a)), com a ∈ R. A inclinac¸a˜o da reta, isto e´, a
derivada de f em x = a, e´
f ′(a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a = limx→a
x2 − a2
x − a
= lim
x→a
(x − a)(x + a)
x − a = limx→a(x + a) = 2a.
Assim, a equac¸a˜o e´
ya(x) = a
2 + 2a · (x − a),
ou ainda
ya(x) = 2ax − a2.
1 2
4
Relac¸a˜o entre derivada e continuidade
A existeˆncia da reta tangente no ponto (a, f (a)) implica na
continuidade de f em x = a. O contra´rio na˜o e´ verdade em geral.
Uma func¸a˜o pode ser cont´ınua em x = a sem que exista reta
tangente no ponto (a, f (a)).
−1 1 3
Os pontos em que a func¸a˜o ao lado
na˜o e´ deriva´vel sa˜o x = −1, x = 1
e x = 3. Ela e´ cont´ınua nos dois
primeiros e na˜o e´ cont´ınua no u´ltimo.
A func¸a˜o derivada
A func¸a˜o derivada de f , que denotamos por f ′, e´ a func¸a˜o que
associa para cada a ∈ dom(f ), a derivada de f no ponto x = a.
O seu dom´ınio e´ o conjunto de todos os pontos onde a func¸a˜o f
possui derivada. Quando este conjunto coincide com o dom´ınio de
f dizemos que f e´ uma func¸a˜o deriva´vel.
Podemos ainda usar a notac¸a˜o d
dx
f (x) para denotar a func¸a˜o
derivada de f . Assim,
(t3)′ = 3t2,
d
dt
(3t2) = 6t,
d
dx
x2 = (x2)′ = 2x .
Exemplo 4 - derivada de uma func¸a˜o constante
Se b ∈ R e f (x) = b, para todo x ∈ R, enta˜o
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limx→a
b − b
x − a = limx→a 0 = 0,
para todo a ∈ R. Assim,
a func¸a˜o constante e´ deriva´vel e sua derivada e´ igual a zero em
todos os pontos.
Como a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o e a
func¸a˜o constante na˜o varia, e´ natural que a sua derivada
tenha que ser a func¸a˜o nula.
Geometricamente, isso significa que em qualquer ponto
(a, f (a)) a reta tangente ao gra´fico e´ horizontal.
Exemplo 5 - derivada de uma func¸a˜o afim
Se m, b ∈ R e f (x) = mx + b, temos que
f ′(a) = lim
x→a
f (a + h)− f (a)
h
= lim
h→0
[m(a + h) + b]− [ma + b]
h
= lim
h→0
m · h
h
= m,
para todo a ∈ R.
O gra´fico da func¸a˜o f e´ uma reta de inclinac¸a˜o m, e a conta acima
mostra que, em cada ponto (a, f (a)), a inclinac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico e´ tambe´m igual a m. De fato, o que ocorre e´ que a reta
tangente coincide com a pro´pria reta.
Exemplo 6 - derivada de poteˆncias
Se f (x) = xn, com n ∈ N, enta˜o
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limx→a
xn − an
x − a
= lim
x→a
(x − a)(xn−1 + axn−2 + a2xn−2 + · · ·+ an−2x + an−1)
(x − a)
= an−1 + a · an−2 + a2 · an−2 + · · ·+ an−2 · a + an−1
= nan−1,
para cada a ∈ R. Em particular, temos que
(x3)′ = 3x2, (x2)′ = 2x , (x)′ = 1.
Exemplo 7 - derivada de poteˆncias
A regra para a derivada de poteˆncias naturais pode ser estendida
para qualquer tipo de poteˆncia. Vale o seguinte:
se r ∈ R, enta˜o
(x r )′ = rx r−1.
Em particular, temos que
(
1
x
)
′
= (x−1)′ = −1x−2 = −1
x2
(
√
x)′ = (x1/2)′ =
1
2
x−1/2 =
1
2
√
x
Propriedades ba´sicas da derivada
Teorema 1
Se c ∈ R e as func¸o˜es f e g sa˜o deriva´veis em x = a, enta˜o
1 (cf )′(a) = cf ′(a);
2 (f + g)′(a) = f ′(a) + g ′(a);
3 (f − g)′(a) = f ′(a)− g ′(a).
Para provar o item 2 acima note que
(f + g)′(a) = lim
x→a
(f + g)(x)− (f + g)(a)
x − a
= lim
x→a
f (x) + g(x)− f (a)− g(a)
x − a
= lim
x→a
[
f (x)− f (a)
x − a +
g(x)− g(a)
x − a
]
= f ′(a) + g ′(a).
Os outros itens podem ser provados de maneira ana´loga.
A derivada de produtos e quocientes
Se f (x) = x3 e g(x) = x2, temos que
f ′(x) · g ′(x) = (x3)′ · (x2)′ = 3x2 · 2x = 6x3
e
(f · g)′(x) = (x3 · x2)′ = (x5)′ = 5x4.
Assim, o produto das derivadas e´ 6x3, que e´ um polinoˆmio de grau
3, enquanto que a derivada do produto e´ 5x4, que e´ um polinoˆmio
de grau 4.
ATENC¸A˜O !
a derivada de um produto NA˜O E´ o produto das derivadas
a derivada de um quociente NA˜O E´ o quociente das derivadas
A derivada de produtos e quocientes
Teorema 2
Se as func¸o˜es f e g sa˜o deriva´veis em x = a, enta˜o
1 (f · g)′(a) = f (a)g ′(a) + f ′(a)g(a);
2
(
f
g
)
′
(a) =
g(a)f ′(a)− f (a)g ′(a)
g(a)2
, desde que g(a) 6= 0.
Assim,
(x3 · x2)′ = x3(x2)′ + (x3)′x2 = x3 · (2x) + (3x3) · x2 = 5x4,
e
(
x3
x2
)′
=
x2(x3)′ − x3(x2)′
(x2)2
=
x2 · (3x2)− x3 · (2x)
x4
=
x4x4
= 1,
sempre que x 6= 0, neste u´ltimo caso.
Exemplo 8
Suponha que a concentrac¸a˜o de medicamento no sangue de um
paciente, t > 0 horas apo´s a ingesta˜o de um comprimido, seja
dada por
C (t) =
3t
2t2 + 8
.
Neste caso, a taxa de variac¸a˜o da concentrac¸a˜o pode ser calculada
usando-se a fo´rmula da poteˆncia e do quociente:
C ′(t) =
(2t2 + 8) · (3t)′ − 3t · (2t2 + 8)′
(2t2 + 8)2
=
(2t2 + 8) · 3− 3t · (4t)
(2t2 + 8)2
,
e portanto
C ′(t) =
24− 6t2
(2t2 + 8)2
, t > 0.
Exemplo 8
A derivada
C ′(t) =
24− 6t2
(2t2 + 8)2
, t > 0,
se anula quando t = 2. Ale´m disso, temos que
C ′(t) > 0, se t ∈ (0, 2);
C ′(t) < 0, se t ∈ (2,∞).
Sendo C ′ a taxa de variac¸a˜o da concentrac¸a˜o, o estudo de sinal
acima nos permite intuir que a func¸a˜o C cresce no intervalo (0, 2),
pois neste intervalo a sua taxa de variac¸a˜o e´ positiva.
Analogamente, a func¸a˜o C decresce no intervalo (2,∞).
Exemplo 8
As informac¸o˜es acima e o fato de que lim
t→+∞
C (t) = 0 nos levam
ao seguinte gra´fico:
Observe que, no instante
t = 2, a reta tangente
ao gra´fico de C e´ horizon-
tal. Este e´ exatamente o
instante em que a concen-
trac¸a˜o de medicamento e´
ma´xima.
2
0.1
0.2
0.3
0.4
Exemplo 9
Veremos adiante que
d
dx
sen(x) = cos(x),
d
dx
cos(x) = −sen(x).
Assim, podemos facilmente calcular
d
dx
tan(x) =
(
sen(x)
cos(x)
)
′
=
cos(x)(sen(x))′ − sen(x)(cos(x))′
cos2(x)
=
cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
.
Usando a regra do quociente podemos ainda calcular as derivadas
das outras 3 func¸o˜es trigonome´tricas 1cos(x) ,
1
sen(x) ,
cos(x)
sen(x) .
Exemplo 10
Usando a regra do produto temos que
d
dx
√
x cos(x) = (
√
x)′ cos(x) +
√
x(cos(x))′
=
1
2
√
x
cos(x)−√x sen(x),
para todo x > 0.
Note que o ponto x = 0 na˜o esta´ no dom´ınio da derivada. Isso
ocorre porque o dom´ınio da func¸a˜o f (x) =
√
x cos(x) e´ o intervalo
[0,+∞), de modo que na˜o e´ poss´ıvel calcular o limite lateral pela
esquerda lim
x→0−
f (x)−f (0)
x−0 .
A derivada do seno
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o sen(x). Para tanto, note
incialmente que a fo´rmula do seno de uma soma nos permite
escrever
sen(x + h)− sen(x)
h
=
sen(x) cos(h) + sen(h) cos(x) − sen(x)
h
= sen(x)
(
cos(h)− 1
h
)
+ cos(x)
(
sen(h)
h
)
.
Como lim
h→0
sen(h)
h
= 1 e lim
h→0
cos(h)− 1
h
= 0, temos que
(sen(x))′ = lim
h→0
[
sen(x)
(
cos(h)− 1
h
)
+ cos(x)
(
sen(h)
h
)]
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
A derivada do cosseno
O argumento acima e a fo´rmula
cos(x + h) = cos(x) cos(h)− sen(x)sen(h),
permitem mostrar que
(cos(x))′ = −sen(x).
As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o deriva´veis, com
d
dx
sen(x) = cos(x),
d
dx
cos(x) = −sen(x).