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Métodos Estatísticos Aplicados à Produção Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Profa. Ms. Luciana Borin de Oliveira Revisão Técnica: Prof. Me. Carlos Henrique de Jesus Costa Revisão Textual: Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos Medidas de Posição • Medidas de posição • Cálculo da média aritmética pelo método simplificado O objetivo desta unidade é conhecer as definições envolvidas em Estatística aplicada à produção: · Média; · Moda; · Mediana. OBJETIVO DE APRENDIZADO Caro(a) aluno(a), Leia atentamente o conteúdo desta unidade, que lhe possibilitará conhecer as aplicações do estudo de Medidas de Posição em Engenharia. Você também encontrará nesta unidade uma atividade composta por questões de múltipla escolha, relacionadas com o conteúdo estudado. Além disso, terá a oportunidade de trocar conhecimentos e debater questões no Fórum de discussão. É extremamente importante que você consulte os materiais complementares, pois são ricos em informações, possibilitando-lhe o aprofundamento de seus estudos sobre este assunto. ORIENTAÇÕES Medidas de Posição UNIDADE Medidas de Posição Contextualização Medidas de Posição são tópicos utilizados para controlar um processo. O conhecido CEP, ou Controle Estatístico do Processo, avalia a estabilidade ou não de um processo. Escolha a área em que você atua ou próxima a ela e busque dados que possam ser agrupados. Você pode usar também dados do dia a dia, como, por exemplo, a quantidade de calorias que você consome por dia. Aplique o conceito estudado, faça tabelas e gráficos, use planilhas eletrônicas. Avalie seu processo, calcule sua média, moda e mediana. Compare os dados! 6 7 Medidas de posição Também chamadas de Medidas de tendência central, pois tais medidas tendem a se acumularem em torno dos valores centrais da distribuição, são os valores utilizados em auxílio para análise da posição de uma distribuição em relação aos valores observados no estudo da variável. Dentre tais medidas de tendência central, estudaremos: · Média aritmética (x) · Moda (Mo) · Mediana (Md) Para efetuarmos os cálculos dessas medidas, necessitamos primeiramente verificar se os dados estão agrupados ou não e se as variáveis são contínuas ou discretas. Medidas de posição para dados não agrupados Média aritmética ( x ): É o valor da divisão da soma dos valores observados da variável em estudo pela quantidade de valores observados: x x n i i = 1 n = ∑ (I) Sendo: x= a média aritmética; x i = os valores da variável;n= quantidade de valores observados. Por exemplo, vamos calcular a média aritmética das notas de Cálculo I dos alunos de Engenharia de uma faculdade, que foram: 4,0; 8,5; 7,0; 5,0; 5,5; 3,5; 6,5; 6,0; 9,0; 8,0; 5,0; 7,5; 5,5; 4,5; 2,5; 8,0 n= 16, que corresponde à quantidade total de notas. x = + + + + + + + + + + + + + + +4 8 5 7 5 5 5 3 5 6 5 6 9 8 5 7 5 5 5 4 5 2 5 8 16 , , , , , , , , x = =96 16 6 00, A média aritmética é bastante utilizada, pois para obtê-la é relativamente fácil; trabalha-se na destruição com todos os valores da mesma e para uma distribuição temos somente um valor associado. 7 UNIDADE Medidas de Posição Mediana (Md): É o valor que se encontra na posição central de um determinado rol. Por exemplo, qual é a mediana dos seguintes valores: 3, 8, 12, 5, 7, 14, 5, 9, 4? Organizando os dados em rol, temos: 3, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 12, 14 – temos nesse rol 9 elementos. Como nesse exemplo o número n de elementos é um número ímpar, 9 elementos, a posição da moda será o valor n + = + = 1 2 9 1 2 5 A mediana corresponderá, então, ao 5º elemento do rol. O valor da mediana será, então, 7. No caso de uma quantidade par de valores, calculamos a posição da mediana como sendo a média aritmética entre os elementos das posições n n 2 2 1+ + . Por exemplo, qual é a mediana dos seguintes valores: 6, 5, 11, 5, 8, 5, 7, 4? Organizando os dados em rol, temos: 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 11 – temos nesse rol 8 elementos. Como n=8, teremos, então, que o valor da mediana é o valor posicionado entre a 4ª e 5ª posição. Md = + = 5 6 2 5 5, A mediana desse rol, então, é calculada pela média aritmética do valor encontrado entre os valores 5 e 6, que correspondem respectivamente ao 4º e 5º valor: Utilizamos o cálculo da mediana sempre que desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais. Utilizamos preferencialmente a mediana em relação à média aritmética quando há valores muito grandes que podem distorcer o valor médio da distribuição. Caso os valores calculados da média aritmética e mediana sejam muito diferentes, é mais aconselhável a utilização do valor da mediana como medida de posição central. 8 9 Moda (Mo): Definimos como moda de um conjunto de elementos o valor que ocorre com maior frequência dentro desse conjunto de elementos. Por exemplo, consideremos a seguinte sequência de números: 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 6, 5, 2, 8, 4, 5. Organizando a sequência em um rol, temos: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5,6, 8. O número de maior frequência desse rol é o número 2, que será a sua moda. Numa sequência, podemos ter mais de uma moda ou até mesmo ela pode não ocorrer. Por exemplo, chamamos de uma distribuição amodal (sem moda) quando todos os elementos da distribuição apresentarem a mesma frequência. Por exemplo, na sequência: 1, 1, 4, 4, 3, 3, 5, 5, todos os elementos apresentam uma frequência igual a 2; logo, a distribuição é amodal, pois não há um elemento que apresenta uma maior frequência do que outro. Quando temos em uma distribuição duas modas, dizemos que a distribuição é bimodal; por exemplo, na seguinte distribuição: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5. Os valores de 2 e 5 apresentam as maiores frequências dessa distribuição, 3 elementos cada, logo a distribuição possui 2 modas (bimodal). Como para o cálculo da moda só é necessário sabermos o valor da frequência absoluta de uma distribuição, é bastante utilizada tanto para variável discreta quanto para variável contínua. Medidas de posição para dados agrupados – variável discreta a) Média aritmética Será obtida pelo cálculo de: Σ Σ xi fi fi * (II) Por exemplo, vamos considerar a tabela 1 a seguir: xi fi 3 2 5 4 6 3 7 2 9 UNIDADE Medidas de Posição Calculamos, então, o valor x fi * i , completando a tabela: xi fi xi*fi 3 1 3 5 4 20 6 3 18 7 2 14 ∑= 10 55 A média aritmética é igual a: x = =55 10 5 5, b) Média aritmética ponderada (x p) Utilizamos a média aritmética ponderada quando temos vinculados aos elementos x1, x2,x3,……..xn outros elementos que ponderam os primeiros, “pesos” associados aos primeiros elementos. O cálculo da média aritmética ponderada é dado pela fórmula: x xi pi pi p = Σ Σ * (III), sendo pi os pesos Como exemplo, vamos considerar a tabela 2 a seguir, referente às notas anuais de uma aluna de Métodos estatísticos aplicados à produção. A partir dela, calcularemos a média aritmética ponderada da aluna. 1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre Nota 4,0 7,5 6,0 8,5 Peso 1 2 3 4 A média aritmética será: x x p p = + + + + + + = = = + + + = = 4 0 1 7 5 2 6 0 3 8 5 4 1 2 3 4 4 0 15 18 34 10 71 10 , , , , , * * * * 77 1, Perceba que se não houvesse a ponderação, teríamos uma média com outro valor: 10 11 Média aritmética: x = + + + = = 4 0 7 5 6 0 8 5 4 26 4 6 5 , , , , , A média aritmética ponderada nesse exemplo é maior que a média aritmética, pois o valor de nota do 4º bimestre, o qual apresenta o maior “peso”, é o maior valor entre todas as notas, “puxando” a média para cima.c) Mediana A mediana neste caso é facilmente identificada quando os dados estão dispostos em uma tabela de frequência, pois será identificada através de sua posição na tabela de frequências. Por exemplo, qual será a mediana referente à tabela 3 de frequências a seguir? xi fi 1 8 4 10 6 2 13 5 11 5 Acrescentamos uma coluna na tabela com a frequência acumulada Fi e então determinamos o valor da mediana, que corresponderá ao valor xi associado à frequência absoluta n 2 para um valor da somatória de frequência par e n +1 2 para um valor ímpar. Então, a tabela ficará: xi fi Fi 1 8 8 4 10 18 6 2 20 13 5 25 11 5 30 Σ=30 Temos, então, n = 30 e a mediana será, então, o valor da 15ª posição n = 30 2 . O valor da mediana, que será o da 15ª posição, é de 4. d) Moda O valor associado à moda será àquele que apresentará o dado com maior frequência, o qual é facilmente identificado na tabela de frequências. 11 UNIDADE Medidas de Posição Considerando a tabela 4 a seguir, qual o valor da moda? xi fi 1 1 3 4 7 9 8 4 11 3 O valor da moda é aquele correspondente ao de maior frequência e na nossa tabela corresponde ao número 7. Exemplo: Segue a tabela 5 com a distribuição de salários de uma empresa metalúrgica: Salários Empregados R$ 1.100 15 R$ 1.650 3 R$ 3.250 6 R$ 6.150 3 R$ 12.500 1 TOTAL 28 Quais são os valores da média aritmética, da moda e mediana desses trabalhadores? Média aritmética: x x = + + + + = = 1100 15 1650 3 3250 6 6150 3 12 500 1 28 71900 28 256 * * * * *. $� R 88 Moda (Mo) Como a moda é o valor associado à maior frequência, temos o valor da moda em R$ 1.100, pois esse é o valor associado à maior frequência da tabela, que é valor pago a 15 dos trabalhadores da empresa. Mediana (Md) A mediana corresponderá no nosso exemplo, que tem número par de elementos, ao 14º elemento n = 28 2 . Acrescentando à tabela a coluna de frequência acumulada, identificamos exatamente a qual valor corresponde a 14º posição. 12 13 Salários Empregados Fi R$ 1.100 15 15 R$ 1.650 3 18 R$ 3.250 6 24 R$ 6.150 3 27 R$ 12.500 1 28 TOTAL 28 O valor da mediana é, então, R$ 1.100,00 também. Medidas de posição para dados agrupados – variável contínua a) Média aritmética Com os dados apresentando-se em uma distribuição de frequências em intervalo de classes, calcularemos a média através da seguinte fórmula: xi xi fi fi = Σ Σ * (IV) Sendo xi , o ponto médio do intervalo. Como exemplo de cálculo, calcularemos a média aritmética a partir da tabela 6 a seguir: Classe:(i) Peso (kg) fi 1 5|–10 2 2 10|–15 8 3 15|–20 7 4 20|–25 1 Para o cálculo da média aritmética, completamos a tabela com o ponto médio dos intervalos de classes (xi) e a multiplicação de xi com fi (xi*fi): Classe: (i) Peso(kg) fi xi xi*fi 1 5|–10 2 7,5 15 2 10|–15 8 12,5 100 3 15|–20 7 17,5 122,5 4 20|–25 1 22,5 22,5 ∑= 18 260 A média aritmética é então: x = ≅ 260 18 14 45, 13 UNIDADE Medidas de Posição Cálculo da média aritmética pelo método simplificado Com a intenção de simplificar o grande número de cálculos que eventualmente ocorrem para a determinação da média x , podemos utilizar um método prático, utilizando mudança de variável x por outra z, de forma que: z xi xo n = − (V) Onde xo é uma constante escolhida entre os pontos médios da distribuição, sendo preferencialmente o ponto de maior frequência. Sendo assim, temos a média aritmética de x através da equação: x z h xo= +* (VI) Por exemplo, vamos calcular a média aritmética dos dados apresentados na tabela 7 a seguir: Altura (cm) fi 165|–168 2 168|–171 10 171|–174 13 174|–177 8 177|–180 5 180|–183 2 1º - Calculamos o ponto médio dos intervalos de classe e acrescentamos uma nova coluna à tabela com esses pontos médios. Altura (cm) fi xi 165|–168 2 166,5 168|–171 10 169,5 171|–174 13 172,5 174|–177 8 175.5 177|–180 5 178,5 180|–183 2 181,5 2º - Promovemos a transformação da variável x para z, com a escolha dos valores arbitrários de xo e h. Por exemplo, escolheremos xo = 172,5 e h = 3. 14 15 Temos, então, a equação da variável transformada: z xii = −172 5 3 , 3º - Calculamos os valores de zi e acrescentamos à tabela. Acrescentamos também a coluna zi * fi Altura (cm) fi xi zi zi*fi 165|–168 2 166,5 -2 -4 168|–171 10 169,5 -1 -10 171|–174 13 172,5 0 0 174|–177 8 175,5 1 8 177|–180 5 178,5 2 10 180|–183 2 181,5 3 6 ∑ 40 10 4º - Calculamos a média aritmética da variável transformada z utilizando a fórmula do cálculo de média aritmética z zi fi fi i = Σ Σ * , z = =10 40 1 4 5º - Calculamos a média aritmética da variável x, utilizando a fórmula x z h xo= +* Assim, temos: x = + = + =1 4 3 172 5 0 75 172 5 173 25* , , , , b) Moda No cálculo da moda em distribuição em intervalo de classes, calculamos a moda através de fórmulas ou através da interpolação linear. Vamos utilizar os dados da tabela 7, que utilizamos para o cálculo da média aritmética, como exemplo: Altura (cm) fi 165|–168 2 168|–171 10 171|–174 13 174|–177 8 177|–180 5 180|–183 2 A classe de frequência associada à moda é do intervalo entre 171|––174, pois apresenta o maior valor de frequência (f=13). 15 UNIDADE Medidas de Posição b.1. Moda bruta O valor se da moda é obtido através do cálculo do ponto médio da classe onde se encontra a moda. Mo lMo LMo= + 2 (VII) Sendo lMo o limite inferior da classe onde se encontra a moda e LMo o limite superior da classe. Mo = + =171 174 2 172 5, b.2. Moda de King O cálculo da moda é dado através da fórmula: Mo lMo h fposterior fposteriorfanterior = + + * (VIII) Do nosso exemplo, temos que: lMo = 171 cm h = 3 , amplitude da classe modal fposterior = 8 fanterior = 10 Aplicando a fórmula, temos: Mo Mo = + + = + = 171 3 8 8 10 171 24 18 172 33 * , b.3. Moda de Czuber A moda é calculada através da fórmula: Mo lMo h fMo fanterior fMo fanterior fMo fposterior = + − − + − * ( ) ( ) (IX) 16 17 Sendo fMo = 13, que é o valor da frequência simples associada à classe onde se encontra a moda. Aplicando a fórmula, temos: Mo Mo = + − − + − = + = 171 3 13 10 13 10 13 8 171 3 3 8 172 125 * * ( ) ( ) , A moda calculada pelo método de Czuber é a mais precisa, enquanto a média bruta não traz um resultado muito preciso, porém é de muito fácil cálculo e dá uma “noção” do valor da moda. b.4. Método rápido – interpolação 1º - Coletamos os valores dos limites inferior e superior da classe onde a moda está inserida. Coletamos também os valores das frequências simples da classe onde se encontra a moda e as frequências simples anterior e superior à classe da moda. 2º - Dispomos os dados na grade da seguinte forma: IMo MODA LMo fanterior fMo fposterior 3º - Calculamos a Moda através da equação montada da seguinte forma: LMo Moda fMo fposterior Moda lMo fMo fanterior − − = − − Coletando os valores da nossa tabela, temos: 174 13 8 171 13 10 174 3 5 171 522 3 − − = − − − = − − Moda Moda Moda Mo ( ) (Moda )* * dda Moda Moda Moda = − = = = 5 855 8 1377 1377 8 172 125, Obs: Podemos chamar esse método rápido da divisão dos valores maior – menor pelo valor do maior – menor. 17 UNIDADE Medidas de Posição c) Mediana A mediana também, como a moda, será calculada através de fórmula ou então por interpolação. c.1. Mediana calculada através dafórmula: M I n Fanterior hmediana fmedianad = + − inf * 2 (X) Onde: Md = Mediana. linf = limite inferior da classe onde se encontra a mediana. Fanterior = Frequência acumulada anterior à da classe onde se encontra a mediana. hmediana = amplitude da classe onde se encontra a mediana. fmediana = frequência simples da classe onde se encontra a mediana. n = quantidade de elementos. Utilizando a tabela 7 para o cálculo da média aritmética e moda, temos: Altura (cm) fi 165|–168 2 168|–171 10 171|–174 13 174|–177 8 177|–180 5 180|–183 2 1º - Acrescentamos à tabela uma coluna com as frequências acumuladas. Altura (cm) fi Fi 165|–168 2 2 168|–171 10 12 171|–174 13 25 174|–177 8 33 177|–180 5 38 180|–183 2 40 18 19 2º - Identificamos a classe onde a mediana se encontra. Temos a quantidade de elementos n=40, então a classe que a mediana se encontra é aquela onde encontramos a frequência acumulada n 2 20= . Então, a classe correspondente é a de 171|––174. 3º - Aplicamos a fórmula com todos os elementos identificados: M M M d d d = + − = + ( ) = + ≅ 171 40 2 12 3 13 171 8 3 13 171 24 13 172 85 * * , c.2. Cálculo por interpolação da Ogiva de Galton 1º Passo: Coletamos os valores dos limites inferior e superior da classe onde se encontra a mediana. Coletamos também os valores da frequência acumulada da classe onde se encontra a mediana e a frequência acumulada anterior à classe onde se encontra a mediana e o valor de n 2 . 2º Passo: Considerando o valor a ser determinado, a mediana c, determinamos os limites superior e abaixo com as frequências acumuladas desses limites dispostos na tabela a seguir: Limites da classe onde está a mediana Inferior Mediana Superior Fi Anterior à classe da mediana n 2 Da classe da mediana 3º Passo: Montamos, então, uma proporção entre as diferenças dos maiores valores com os menores valores da seguinte forma: LMo lMo Fclasse mediana Fanterior LMo mediana Fclasse median − − = − aa n− 2 19 UNIDADE Medidas de Posição Substituindo os dados de nosso exemplo: 174 171 25 12 174 25 20 3 13 174 5 15 2262 13 − − = − − = − = − Mediana Mediana Me diana Mediana= ≅2247 13 172 85, Obs: No cálculo da interpolação, utilizamos também o artifício do cálculo do “maior – menor”. Valores separatrizes: São aqueles que dividem a sequência de uma distribuição em partes as quais apresentam a mesma quantidade de valores. 1. Mediana: divide a distribuição em 2 partes iguais. 2. Quartil: divide a série em 4 partes iguais. a) O primeiro quartil separa a sequência ordenada, em 25% / 50%. b) O segundo quartil separa a sequência ordenada, em 50% / 50% e é igual à mediana. 3. Decil: divide a série em 10 partes, e o 5º decil é igual à mediana. 4. Percentil: divide a série em 100 partes e o 50º percentil equivale à mediana. 20 21 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade: Para complementar os conhecimentos adquiridos e enriquecer sua compreensão sobre o assunto tratado nesta unidade, consulte os livros a seguir, disponíveis na Minha Biblioteca: Livros Estatística para cursos de engenharia e informática. BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio Cezar. Estatística para cursos de engenharia e informática. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. Curso de estatística. FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2012. Controle estatístico de processos LOUZADA, Francisco et al. Controle estatístico de processos: uma abordagem prática para cursos de engenharia e administração. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 21 UNIDADE Medidas de Posição Referências BOTTER, Denise Aparecida. Noções de estatística. São Paulo: EDUSP, 1996. CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística. Porto Alegre: Artmed, 2003. FRANCISCO, Walter de. Estatística. São Paulo: Atlas, 1982. GRIFFITHS, A. J. F. et al. Introdução à genética. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2006. MENDENHALL, W. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: Campus, 1985. MEYER, P. Probabilidade – aplicações à estatística. Rio de Janeiro: 2.ª ed. Livros Técnicos e Científicos Editora, 1984. MILONE, G.; ANGELINI, F. Estatística geral. São Paulo: Ed. Atlas, 1993. STANSFIELD, W. D. Genética. São Paulo: McGraw Hill do Brasil, 1985. TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística básica. São Paulo: Atlas, 1994. 22
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