Teoria dos Números Questionário Unidade 2

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Pergunta 1
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	b. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	e. 
Somente a afirmativa (i) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "a". Comentário: A afirmativa (i) é correta uma vez que ela é reflexiva, simétrica e transitiva (ver o livro-texto). As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e autoexplicativas.
	
	
	
Pergunta 2
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) Escrevendo o número (10)10 na base 2, obtém-se (1010)2
(ii) O número 123.456 é divisível por 9.
(iii) O número 123.456 é divisível por 11.
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
Somente a afirmativa (i) é correta.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	b. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	e. 
Somente a afirmativa (i) é correta.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "e". Comentário: A afirmativa (i) é correta uma vez que: 1.23+0.22+1.21+0.20
= 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A afirmativa (ii) é falsa uma vez que 1+2+3+4+5+6=21 e 9 não divide 21. A afirmativa (iii) é falsa uma vez que 6-5+4-3+2-1= 3 e 11 não divide 3.
	
	
	
Pergunta 3
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) Escrevendo o número(235) na base decimal, obtém-se 157.
(ii) O número inteiro 3 divide 123.456.
(iii) Segundo o teorema fundamental da aritmética, a decomposição de -100 em fatores primos é dada pelo produto (-2) ao quadrado por 5 ao quadrado.
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	b. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	e. 
Somente a afirmativa (iii) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "a". Comentário: A afirmativa (i) é correta uma vez que:2.82+3.81+5.80=
= 2.64 + 3.8 + 5.1 = 128 + 24 + 5 = 157. A afirmativa (ii) é correta uma vez que 1+2+3+4+5+6=21, que é um múltiplo de 3. A resolução da afirmativa (iii) é imediata.
	
	
	
Pergunta 4
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) No sistema decimal de numeração, um número de dois algarismos é tal que, invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número com 9 unidades a mais que o anterior. Se a soma desses algarismos é 5, o produto dos algarismos é 6.
(ii) Os números de base 2 são amplamente utilizados na computação.
(iii) Considere um número inteiro positivo n. Então, o máximo divisor comum entre ele e seu sucessor não pode ser igual a 1.
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	b. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	e. 
Somente a afirmativa (i) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	.
	
	
	
Pergunta 5
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) O máximo divisor comum de 36 e 42 é 6.
(ii) O número inteiro 252 é múltiplo comum de 36 e 42.
(iii) Se um número inteiro primo p divide um produto de inteiros, então p não divide nenhum deles.
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	b. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	e. 
Somente a afirmativa (i) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "c". Comentário: A afirmativa (i) é verdadeira uma vez que: 42 = 1.36 + 6 36 = 6.6 + 0 A afirmativa (ii) é verdadeira uma vez que 6 divide 36, 42 e 252. A afirmativa (iii) é falsa porque facilmente se obtém o contraexemplo: 5.6 = 30. O número inteiro primo divide 30 e divide a parcela 5.
	
	
	
Pergunta 6
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) O número 123.455 é divisível por 5.
(ii) O número 123.450 é divisível por 5.
(iii) O número 108.636 é divisível por 11.
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	b. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	e. 
Somente a afirmativa (i) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "a". Comentário: As afirmativas (i) e (ii) estão corretas uma vez que atendem aos critérios de divisibilidade por 5: 5 é divisor de 5 e de 0. A afirmativa (iii) é falsa uma vez que 6-3+6-8+0-1= 0 e 11 divide 0.
	
	
	
Pergunta 7
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) O número inteiro 3 divide 324.
(ii) O número inteiro 18 tem 6 divisores naturais.
(iii) Numa divisão de números naturais, o dividendo é 21, e o resto, 2. Somando-se o divisor ao quociente, o resultado é 20. Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	b. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	e. 
Somente a afirmativa (iii) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "d". Comentário: A afirmativa (i) é verdadeira e facilmente verificável; a afirmativa (ii) é verdadeira, pois os divisores naturais de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9 e 18; a afirmativa (iii) é verdadeira, pois sendo o divisor b e o quociente q, podemos escrever: 21 = b.q + 2. Logo, b.q = 19. Como o resto é menor que o divisor (2 < b), a única possibilidade é que b = 19 e q = 1. Logo, b + q = 20.
	
	
	
Pergunta 8
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) Se um número é par, então é múltiplo de 4.
(ii) Todo número par pode ser escrito na forma n = 2k -1, em que k é um número inteiro.
(iii) Se um número é múltiplo de 12, então é múltiplo de 3.
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
Somente a afirmativa (iii) é verdadeira.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	b. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
	
	e. 
Somente a afirmativa (iii) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "e". Comentário:A resposta correta é a alternativa "e", pois se n = k.12, então n = k.4.3 para qualquer k inteiro. É possível obter um contraexemplo para as outras duas alternativas. No caso da afirmativa (i), 6 é um número par, e não é múltiplo de 4; no caso da afirmativa (ii), considere o número inteiro k = 1; logo, n = 2.1 – 1, ou seja, n é ímpar.
	
	
	
Pergunta 9
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Leia atentamente as afirmações a seguir:
(i) Todo inteiro é múltiplo de zero.
(ii) 1 é múltiplo de qualquer inteiro.
(iii) Nenhum inteiro é múltiplo de si mesmo.
Assinale a alternativa correta:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são falsas.
	Respostas:
	a. 
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e a (i) é falsa.
	
	b. 
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e a (iii) é falsa.
	
	c. 
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e a (ii) é falsa.
	
	d. 
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são falsas.
	
	e. 
Somente a afirmativa (iii) é verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "d". Comentário: A afirmativa (i) é obviamente falsa, uma vez que não existe um número inteiro n que possa ser escrito na forma n = p.m, sendo m=0; A afirmativa (ii) é falsa porque 1 é divisor de qualquer inteiro e não múltiplo; a afirmativa (iii) é falsa, uma vez que só existe um número inteiro p que permite escrever um número inteiro na forma n = p.m, ou seja, p = 1.
	
	
	
Pergunta 10
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Se n é um número natural, é correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
1 = 2 + 3 + ... + n = [n(n+1)]/2
	Respostas:
	a. 
1 = 2 + 3 + ... + n = [n(n+1)]/2
	
	b. 
1 = 2 + 3 + ... + n = [n(n-1)]/2
	
	c. 
1 = 2 + 3 + ... + n = [(n-1)(n+1)]/2
	
	d. 
1 = 2 + 3 + ... + n = [n(n+2)]/2
	
	e. 
1 = 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
	Feedback da resposta:
	Alternativa correta: "a". Comentário: A resposta correta é a alternativa "a", pois: 1) A afirmação é válida para n = 1. Neste caso: 1 = [1(1+1)]/2. 2) Supondo que a afirmação seja válida para n = k, vamos provar que é válida para n = k + 1. Sendo assim: 1 + 2 + 3 + ... + k = [k(k+1)]/2. Somando-se (k + 1) a ambos os membros da equação, temos:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = [k(k+1)]/2 + (k + 1)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = [k(k+1)]/2 + [2 (k + 1)]/2
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k.k +k + 2k + 2)]/2
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k.k +3k + 2)]/2
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = [(k+1)(k+2)]/2
c.q.d.