Linearidade de Sinais e Sistemas, Peres e Bonatti

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Linearidade em Sinais e Sistemas
Ivanil S. Bonatti
Amauri Lopes
Pedro L. D. Peres
Faculdade de Engenharia Ele´trica e de Computac¸a˜o,
Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP, Brasil
Fevereiro de 2008
“Deve-se escrever da mesma maneira como as lavadeiras la´ de Alagoas
fazem seu of´ıcio. Elas comec¸am com uma primeira lavada, molham a
roupa suja na beira da lagoa ou do riacho, torcem o pano, molham-no
novamente, voltam a torcer. Colocam o anil, ensaboam e torcem uma,
duas vezes. Depois enxa´guam, da˜o mais uma molhada, agora jogando a
a´gua com a ma˜o. Batem o pano na laje ou na pedra limpa, e da˜o mais
uma torcida e mais outra, torcem ate´ na˜o pingar do pano uma so´ gota.
Somente depois de feito tudo isso e´ que elas dependuram a roupa lavada
na corda ou no varal, para secar. Pois quem se mete a escrever devia
fazer a mesma coisa. A palavra na˜o foi feita para enfeitar, brilhar como
ouro falso; a palavra foi feita para dizer.”
Graciliano Ramos, em entrevista concedida em 1948
http://www.graciliano.com.br/
Suma´rio
I SISTEMAS DISCRETOS 1
1 Sinais Discretos e Convoluc¸a˜o 2
2 Transformada Z 14
3 Transformada Z Aplicada a Probabilidade 30
4 Se´rie de Fourier de Sinais Discretos 40
5 Equac¸o˜es a Diferenc¸as 60
II SISTEMAS CONTI´NUOS 83
6 Sinais Cont´ınuos e Convoluc¸a˜o 84
7 Se´rie de Fourier de Sinais Cont´ınuos 104
8 Transformada de Fourier de Sinais Cont´ınuos 126
9 Amostragem de Sinais Cont´ınuos 146
10 Ortogonalizac¸a˜o 156
11 Resposta em Frequ¨eˆncia 166
12 Transformada de Laplace 188
13 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais por transformada de Laplace 199
14 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais por Coeficientes a Determinar 212
15 Varia´veis de Estado 224
16 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es de Estado 245
17 Observabilidade e Controlabilidade SISO 269
18 Introduc¸a˜o a` Realimentac¸a˜o 286
19 Estabilidade 291
19.1 BIBO Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
19.2 Estabilidade do Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
i
ii SUMA´RIO
III Apeˆndices 305
A Notac¸a˜o 306
B Fundamentos 311
C Propriedades de Matrizes 315
Bibliografia 324
Bonatti, Lopes & Peres
Parte I
SISTEMAS DISCRETOS
1
Cap´ıtulo 1
Sinais Discretos e Convoluc¸a˜o
Definic¸a˜o: Sinais Discretos
Um sinal discreto, denotado x[n], e´ uma func¸a˜o (real ou complexa) cujo domı´nio e´ o conjunto dos
inteiros Z = {0,±1,±2, . . .}, como por exemplo o sinal x[n] = sen(n) mostrado na Figura 1.1. Si-
nais discretos tambe´m podem ser interpretados como sequ¨eˆncias enumera´veis de escalares reais ou
complexos.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
Figura 1.1: Sinal x[n] = sen(n) mostrado (comando stem do Matlab) no intervalo n ∈ [0, 20].
Definic¸a˜o: Degrau Unita´rio
Considere n ∈ Z. O sinal discreto u[n] (degrau unita´rio) e´ definido como
u[n] =
{
0 para n = −∞, . . . ,−2,−1
1 para n = 0, 1, 2, . . . ,+∞
Para a ∈ R na˜o inteiro, u[a] = 0. Assim, x[n] = u[n/2], n ∈ Z, e´ a sequ¨eˆncia que vale 1 para
n = 0, 2, 4, 6, . . . e zero para os demais inteiros (negativos e positivos ı´mpares).
Definic¸a˜o: Impulso
Considere n ∈ Z. O sinal discreto δ[n] (impulso unita´rio) e´ definido como
2
3
δ[n] =
{
1 , n = 0
0 , n 6= 0
Note que δ[n + 3] = 1 para n = −3 e δ[n + 3] = 0 para n 6= −3. Para a ∈ R na˜o inteiro, δ[a] = 0.
Assim, δ[2n+ 3] = 0 para todo n, pois na˜o existe n ∈ Z tal que 2n+ 3 = 0.
Exemplo 1.1
O impulso unita´rio pode ser escrito em termos da diferenc¸a de dois degraus
δ[n] = u[n]− u[n− 1]
e o degrau unita´rio pode ser escrito como uma soma infinita de impulsos
u[n] =
n∑
k=−∞
δ[k]
W
Exemplo 1.2
Dado
x[n] = δ[n+ 2] + δ[n− 2]
tem-se
y[n] = x[2n] = δ[2n+ 2] + δ[2n− 2] = δ[n+ 1] + δ[n− 1]
Observe que trata-se de uma compressa˜o.
W
Exemplo 1.3
O sinal
x[n] = u[n− 1]− u[n] + (2− n)
(
u[n− 1]− u[n− 2]
)
pode ser representado como uma soma de impulsos
x[n] = −δ[n] + δ[n− 1]
A partir de x[n], tem-se
x[n− 1] = −δ[n− 1] + δ[n− 2]
que e´ um deslocamento para a direita.
Note que
x[2n+ 1] = −δ[2n+ 1] + δ[2n] = δ[n]
W
Sistemas Discretos
Sa˜o sistemas cujas entradas e sa´ıdas sa˜o sequ¨eˆncias enumera´veis de escalares reais ou complexos.
Notac¸a˜o: y[n] = G{x[n]}, sendo x[n] a entrada e y[n] a sa´ıda.
Bonatti, Lopes & Peres
4 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convoluc¸a˜o
Exemplo 1.4
Filtro passa-alta
y[n] =
x[n]− x[n− 1]
2
, n ∈ Z
Para x[n] = (−1)n, a sa´ıda e´ y[n] = (−1)n. Para x[n] = 1n, tem-se y[n] = 0.
W
Exemplo 1.5
Filtro passa-baixa
y[n] =
x[n] + x[n− 1]
2
, n ∈ Z
Para x[n] = (−1)n, a sa´ıda e´ y[n] = 0. Para x[n] = 1n, tem-se y[n] = 1n.
W
Exemplo 1.6
A populac¸a˜o anual de peixes em um lago (em termos percentuais) pode ser descrita de maneira
aproximada por
y[n+ 1]− ay[n](1− y[n]) = 0 , 0 ≤ y[0] ≤ 1
sendo a um paraˆmetro real que representa as condic¸o˜es ambientais do lago. Observe que um sistema
pode ser descrito por uma equac¸a˜o a diferenc¸as sem envolver explicitamente a entrada x[n].
W
Sistemas Lineares
Um sistema e´ linear se satisfaz o princ´ıpio da superposic¸a˜o, isto e´,
G{a1x1[n] + a2x2[n]} = a1G{x1[n]}+ a2G{x2[n]}
Observe que, para sistemas lineares, G{0} = 0. Os exemplos 1.4 e 1.5 sa˜o sistemas lineares e o
Exemplo 1.6 e´ um sistema na˜o-linear, que pode apresentar comportamento cao´tico para alguns valores
de a.
Definic¸a˜o: Invariante no tempo
Um sistema e´ invariante no tempo se um deslocamento da entrada produzir igual deslocamento na
sa´ıda, isto e´,
y[n−m] = G{x[n−m]}
para qualquer m ∈ Z.
Os exemplos 1.4, 1.5 e 1.6 sa˜o sistemas invariantes no tempo.
Exemplo 1.7
y[n] = sen(x[n])
e´ um sistema na˜o linear, pois
sen(x1[n] + x2[n]) 6= sen(x1[n]) + sen(x2[n])
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5
e e´ invariante no tempo, pois
y1[n] = sen(x1[n])
x2[n] = x1[n− k] ⇒ y2[n] = sen(x2[n]) = sen(x1[n− k]) = y1[n− k]
W
Exemplo 1.8
y[n] = nx[n]
e´ um sistema linear, pois
y1[n] = nx1[n] , y2[n] = nx2[n] ⇒ n(ax1[n] + bx2[n]) = ay1[n] + by2[n]
e na˜o e´ invariante no tempo, pois
x2[n] = x1[n− k] ⇒ y2[n] = nx2[n] = nx1[n− k] 6= y1[n− k] = (n− k)x1[n− k]
W
Definic¸a˜o: Sistema sem Memo´ria
Um sistema e´ sem memo´ria se a sa´ıda no instante n depende apenas do sinal de entrada no instante n.
Exemplo 1.9
O somador (ou acumulador)
y[n] =
n∑
k=−∞
x[k]
e´ um sistema discreto com memo´ria, que pode ser descrito pela equac¸a˜o a diferenc¸as y[n]−y[n−1] =
x[n].
W
Definic¸a˜o: Sistema Causal
Um sistema e´ causal ou na˜o antecipativo quando a sa´ıda na˜o depende de valores futuros da entrada.
Exemplo 1.10
O sistema
y[n] =
1
2M + 1
+M∑
k=−M
x[n− k] , M > 0
e´ na˜o causal.
O somador do Exemplo 1.9 e´ causal.
W
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6 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convoluc¸a˜o
Definic¸a˜o: Sistema BIBO Esta´vel
Um sistema e´ BIBO esta´vel (Bounded-Input Bounded-Output) se a sa´ıda e´ limitada para toda entrada
limitada.
|x[n]| < b ⇒ |y[n]| < +∞
Exemplo 1.11
y[n] = nx[n]
e´ um sistema causal na˜o BIBO esta´vel.
y[n] = x[−n]
e´ um sistema na˜o causal e BIBO esta´vel.
W
Definic¸a˜o: Resposta ao Impulso
Resposta ao impulso e´ a sa´ıda do sistema quando a entrada e´ a func¸a˜o impulso e as condic¸o˜es iniciais
sa˜o nulas (sistema em repouso), isto e´
h[n] = G{δ[n]}
Exemplo 1.12
A resposta ao impulso do filtro passa-alta do Exemplo 1.4 e´ dada por
h[n] =
δ[n]− δ[n− 1]
2
e a resposta ao impulso do filtro passa-baixa do Exemplo 1.5 e´ dada por
h[n] =
δ[n] + δ[n− 1]
2
W
Exemplo 1.13
Somador
y[n] =
n∑
k=−∞
x[k]
A resposta ao impulso e´
h[n]=
n∑
k=−∞
δ[k] = u[n]
W
Bonatti, Lopes & Peres
7
Definic¸a˜o: Convoluc¸a˜o
Convoluc¸a˜o e´ a operac¸a˜o
x[n] = x1[n] ∗ x2[n] =
+∞∑
k=−∞
x1[k]x2[n− k]
Propriedade 1.1
Se
x1[n] = x1[n]u[n] e x2[n] = x2[n]u[n]
enta˜o
x1[n] ∗ x2[n] = u[n]
n∑
k=0
x1[k]x2[n− k]
⋄
Propriedade 1.2
O impulso e´ o elemento neutro da convoluc¸a˜o, pois
x[n] =
+∞∑
k=−∞
x[k]δ[n− k]
⋄
Propriedade 1.3
A convoluc¸a˜o e´ comutativa, associativa e distributiva em relac¸a˜o a` soma. ⋄
Propriedade 1.4
x[n] ∗ δ[n− k] = x[n− k]
pois
+∞∑
m=−∞
x[m]δ[n− k −m] = x[n− k]
⋄
Teorema 1.1
A sa´ıda de um sistema linear invariante no tempo e´ a convoluc¸a˜o da resposta ao impulso com a entrada,
isto e´
y[n] = G{x[n]} = x[n] ∗ h[n] , h[n] = G{δ[n]}
pois
G{x[n]} = G
{ +∞∑
k=−∞
x[k]δ[n− k]
}
=
+∞∑
k=−∞
x[k]G{δ[n− k]} = +∞∑
k=−∞
x[k]h[n− k]
v
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8 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convoluc¸a˜o
Exemplo 1.14
No Exemplo 1.13 (somador), a sa´ıda e´ a convoluc¸a˜o da entrada com o degrau
y[n] =
n∑
k=−∞
x[k] = x[n] ∗ u[n]
pois
x[n] ∗ u[n] =
+∞∑
k=−∞
x[k]u[n− k] =
n∑
k=−∞
x[k]u[n− k]︸ ︷︷ ︸
=1
+
+∞∑
k=n+1
x[k]u[n− k]︸ ︷︷ ︸
=0
W
Propriedade 1.5
Considere o sinal
x2[n] =
∑
k∈I
akδ[n− bk] , I = {conjunto finito de ı´ndices}
Enta˜o,
x1[n] ∗ x2[n] =
∑
k∈I
akx1[n− bk]
⋄
Exemplo 1.15
Dados
x1[n] = δ[n] + δ[n− 1] + δ[n− 2] , x2[n] = −δ[n] + δ[n− 1]
tem-se
x1[n] ∗ x2[n] = −δ[n]− δ[n− 1]− δ[n− 2] + δ[n− 1] + δ[n− 2] + δ[n− 3] = −δ[n] + δ[n− 3]
Observe que a largura do sinal resultante e´ igual a` soma das larguras dos sinais originais.
W
Propriedade 1.6
Sistemas lineares invariantes no tempo sa˜o causais se e somente se a resposta ao impulso e´ nula para
instantes negativos, ou seja
h[n] = 0 para n < 0 ⇔ sistema causal
pois
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
−1∑
k=−∞
x[n− k]h[k] +
+∞∑
k=0
x[n− k]h[k]
e, se h[k] 6= 0 para k < 0, a sa´ıda y[n] dependeria de valores futuros da entrada x[n].
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
9
Exemplo 1.16
Observe que os filtros passa-alta e passa-baixa, cujas respostas ao impulso foram calculadas no
Exemplo 1.12, sa˜o sistemas causais.
O sistema linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso e´
h[n] = δ[n+ 1]
e´ na˜o causal, pois h[−1] = 1. Note que y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[n+ 1].
W
Propriedade 1.7
Sistemas lineares invariantes no tempo sa˜o BIBO esta´veis se e somente se a resposta impulso e´ abso-
lutamente soma´vel, isto e´
+∞∑
n=−∞
|h[n]| < +∞ ⇔ BIBO esta´vel
Prova:
Suficieˆncia: se
+∞∑
n=−∞
|h[n]| < +∞
enta˜o
|y[n]| ≤
+∞∑
k=−∞
|x[n− k]||h[k]| ≤ b
+∞∑
k=−∞
|h[k]| < +∞
Necessidade: considere a entrada limitada
x[n] = sinal(h[−n])
sendo a func¸a˜o sinal definida como
sinal(v) =
{
1 , v > 0
−1 , v < 0
A sa´ıda y[n], para n = 0, e´
y[0] =
+∞∑
k=−∞
x[−k]h[k] =
+∞∑
k=−∞
sinal(h[k])h[k] =
+∞∑
k=−∞
|h[k]| < +∞
pois a sa´ıda y[n] e´ limitada.
⋄
Definic¸a˜o: Auto-func¸a˜o
Um sinal de entrada e´ denominado auto-func¸a˜o de um sistema se a sa´ıda correspondente for igual ao
sinal de entrada multiplicado por uma constante (em geral complexa).
Bonatti, Lopes & Peres
10 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convoluc¸a˜o
Propriedade 1.8
O sinal zn, z ∈ C, e´ uma auto-func¸a˜o para sistemas lineares discretos invariantes no tempo se a
somato´ria
H(z) =
+∞∑
k=−∞
h[k]z−k
for finita, ou seja, se z pertence ao domı´nio Ωh de H(z), pois
y[n] = zn ∗ h[n] =
+∞∑
k=−∞
h[k]zn−k = H(z)zn
⋄
H(z) e´ denominada transformada Z da resposta ao impulso do sistema, ou func¸a˜o de transfereˆncia.
A relac¸a˜o (temporal) entre sa´ıda e entrada em um sistema linear discreto invariante no tempo e´ dado
pelo “ganho complexo” H(z) quando x[n] = zn.
Definic¸a˜o: Resposta em frequ¨eˆncia
Se z = exp(jω) (c´ırculo unita´rio) pertence ao domı´nio da func¸a˜o de transfereˆncia do sistema linear
invariante no tempo H(z), a resposta em frequ¨eˆncia do sistema e´ o valor de H(z) computado para
z = exp(jω).
A resposta em frequ¨eˆncia escreve-se como
M(ω) exp(jφ(ω)) = H(z)
∣∣∣∣∣
z=exp(jω)
= H
(
exp(jω)
)
sendo M(ω) o mo´dulo e φ(ω) a fase de H(z)
∣∣∣
z=exp(jω)
Em geral, e´ desenhada na forma de mo´dulo e fase (diagrama de Bode1) ou na forma polar, para
ω ∈ [−π,+π]. Representa a resposta em regime permanente de sistemas lineares invariantes no tempo
esta´veis para entradas senoidais.
Propriedade 1.9
Se h[n] e´ real, enta˜o H
(
exp(jω)
)∗
= H
(
exp(−jω)), isto e´ M(ω) e´ uma func¸a˜o par e φ(ω) e´ uma
func¸a˜o ı´mpar.
Prova:
H
(
exp(jω)
)∗
=
+∞∑
k=−∞
h[k] exp(jωk) = H
(
exp(−jω))
H
(
exp(jω)
)
=M(ω) exp(jφ(ω)) ⇒ H( exp(jω))∗ =M(ω) exp(−jφ(ω))
Como
H
(
exp(−jω)) =M(−ω) exp(jφ(−ω))
enta˜o M(ω) =M(−ω) (func¸a˜o par) e −φ(ω) = φ(−ω) (func¸a˜o ı´mpar).
⋄
1Hendrik Wade Bode, engenheiro eletricista americano do se´culo XX.
Bonatti, Lopes & Peres
11
Propriedade 1.10
A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo com func¸a˜o de transfereˆncia H(z),
com h[n] real e z = exp(jω) ∈ Ωh, para a entrada x[n] = cos(ωn), e´
y[n] =M(ω) cos(ωn+ φ(ω))
Prova:
y[n] = G{cos(ωn)} = 1
2
G{exp(jωn)}+ 1
2
G{exp(−jωn)} =
=
1
2
H
(
exp(jω)
)
exp(jωn) +
1
2
H
(
exp(−jω)) exp(−jωn) =
=
1
2
M(ω) exp(jωn+ jφ(ω)) +
1
2
M(ω) exp(−jωn− jφ(ω)) =M(ω) cos(ωn+ φ(ω))
Para a entrada x[n] = sen(ωn), tem-se
y[n] =M(ω)sen(ωn+ φ(ω))
⋄
Exemplo 1.17
Considere o Exemplo 1.4 (filtro passa-alta), dado por
y[n] =
x[n]− x[n− 1]
2
, n ∈ Z
Para x[n] = zn tem-se y[n] = H(z)zn, resultando na func¸a˜o de transfereˆncia
H(z) =
(1− z−1)
2
Portanto, a resposta em frequ¨eˆncia e´
H(z)
∣∣∣∣∣
z=exp(jω)
=
1− exp(−jω)
2
=
= j exp(−jω/2)
(exp(jω/2)− exp(−jω/2)
2j
)
= j exp(−jω/2)sen(ω/2)
Portanto, tem-se
M(ω) = |sen(ω/2)|
φ(ω) =
π
2
sinal(ω)− ω
2
M(ω) e φ(ω) sa˜o mostrados na Figura 1.2. Observe o crescimento deM(ω) para ω de 0 a +π (filtro
passa-alta) e a entrada z = (1)n corresponde a` frequ¨eˆncia ω = 0 e que z = (−1)n corresponde a`
frequ¨eˆncia ω = +π. Note tambe´m que, para ω > 0 ou para ω < 0, a fase varia linearmente com a
frequ¨eˆncia.
W
Bonatti, Lopes & Peres
12 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convoluc¸a˜o
−4 −2 0 2 4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−4 −2 0 2 4
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
ωω
Figura 1.2: M(ω) (mo´dulo) e φ(ω) (fase) do filtro passa-alta do Exemplo 1.17.
Exemplo 1.18
No Exemplo 1.5 (filtro passa-baixa),
H(z) =
(1 + z−1)
2
; H(z)
∣∣∣
z=exp(jω)
= exp(−jω/2) cos(ω/2)
implicando em
M(ω) = | cos(ω/2)| ; φ(ω) = −ω
2
Neste caso, M(ω) decresce quando ω varia de 0 a +π (filtro passa-baixa), como mostrado na
Figura 1.3, juntamente com a fase (que tambe´m varia linearmente com a frequ¨eˆncia).
−4 −2 0 2 4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−4 −2 0 2 4
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
ωω
Figura 1.3: M(ω) (mo´dulo) e φ(ω) (fase) do filtro passa-baixa do Exemplo 1.18.
Bonatti, Lopes & Peres
13
W
Exemplo 1.19
Considere o sistema descrito pela equac¸a˜o a diferenc¸as de primeira ordem
y[n+ 1] = ρy[n] + x[n+ 1] ⇒ (p− ρ)y[n] = px[n]
sendo p o operador deslocamento em n, ou seja, px[n] = x[n+ 1], . . . , pkx[n] = x[n+ k].
Para x[n] = zn, tem-se
(z − ρ)H(z) = z ⇒ H(z) = z
z − ρ =
1
1− ρz−1
Supondo-se que z = exp(jω) ∈ Ωh, a resposta em frequ¨eˆncia pode ser computada
H(z)
∣∣∣
z=exp(jω)
=
1
1− ρ exp(−jω)
Para 0 < ρ, trata-se de um filtro passa-baixa.
W
A equac¸a˜o a diferenc¸as
D(p)y[n] = N(p)x[n] , D(p) =
m∑
k=0
αkp
k ; N(p) =
ℓ∑
k=0
βkp
k
com αm = 1, αk e βkcoeficientes constantes e condic¸o˜es iniciais nulas descreve um sistema linear
invariante no tempo, cuja func¸a˜o de transfereˆncia e´
H(z) =
N(z)
D(z)
pois
D(p)H(z)zn = N(p)zn ⇒ H(z)D(z) = N(z)
Exemplo 1.20
O sistema
y[n+ 2] + 2αy[n+ 1] + ω20y[n] = ω
2
0x[n]
pode ser escrito como
D(p)y[n] = N(p)x[n]
com
D(p) = p2 + 2αp+ ω20 , N(p) = ω
2
0
que resulta na func¸a˜o de transfereˆncia
H(z) =
N(z)
D(z)
=
ω20
z2 + 2αz + ω20
W
Bonatti, Lopes & Peres
Cap´ıtulo 2
Transformada Z
Definic¸a˜o: Transformada Z
A transformada Z da sequ¨eˆncia x[n] e´ dada por
X(z) = Z{x[n]} =
+∞∑
k=−∞
x[k]z−k
para z ∈ Ωx, isto e´, conjunto dos z ∈ C (complexos) para os quais a soma e´ finita.
Propriedade 2.1
Transformada Z da func¸a˜o impulso
Z{δ[n]} = +∞∑
k=−∞
δ[k]z−k = 1 , Ωδ = C
⋄
Exemplo 2.1
Z{δ[n−m]} = +∞∑
k=−∞
δ[k −m]z−k = z−m , m ∈ Z+
sendo Z+ o conjunto dos nu´meros inteiros positivos. O domı´nio da transformada e´ o conjunto dos
complexos, com excec¸a˜o de z = 0.
W
Exemplo 2.2
Z{δ[n+m]} = +∞∑
k=−∞
δ[k +m]z−k = zm , m ∈ Z+
e o domı´nio e´ o conjunto dos complexos, com excec¸a˜o de |z| → +∞.
W
14
15
Propriedade 2.2
Soma
Se o limite
lim
z→1
Z{x[n]}
e´ finito e u´nico, enta˜o
lim
z→1
Z{x[n]} = lim
m→+∞
m∑
k=−∞
x[k]
Portanto, se
z = 1 ∈ Ωx
enta˜o
Z{x[n]}
∣∣∣
z=1
=
+∞∑
k=−∞
x[k]
⋄
Propriedade 2.3
Soma Geome´trica
m∑
k=0
ak =
1− am+1
1− a , a ∈ C
pois
m∑
k=0
ak − a
m∑
k=0
ak = 1− am+1 ⇒
m∑
k=0
ak =
1− am+1
1− a
|a| < 1 ⇒
+∞∑
k=0
ak =
1
1− a
⋄
Propriedade 2.4
Transformada Z de x[n] = anu[n]
X(z) = Z{x[n]} = Z{anu[n]} = 1
1− az−1 = (1− az
−1)−1 =
z
z − a , Ωx = {z ∈ C, |z| > |a|}
Note que o domı´nio de existeˆncia Ωx e´ o exterior do c´ırculo de raio |a| centrado na origem e, portanto,
o po´lo (isto e´, a raiz z = a do denominador) na˜o pertence ao domı´nio. ⋄
Bonatti, Lopes & Peres
16 Cap´ıtulo 2. Transformada Z
Exemplo 2.3
Transformada Z do degrau
Z{u[n]} =
+∞∑
n=−∞
z−nu[n] =
1
1− z−1 =
z
z − 1 , Ωu = {z ∈ C : |z| > 1}
W
Exemplo 2.4
x[n] = exp(jβn)u[n] =
(
exp(jβ)
)n
u[n] , β > 0
cuja transformada Z e´ dada por
X(z) =
z
z − exp(jβ) , Ωx = {z ∈ C : |z| > 1}
W
Exemplo 2.5
x[n] = exp(−jβn)u[n] =
(
exp(−jβ)
)n
u[n] , β > 0
cuja transformada Z e´ dada por
X(z) =
z
z − exp(−jβ) , Ωx = {z ∈ C : |z| > 1}
W
Propriedade 2.5
Z{x[n] = −anu[−n− 1]} = −
+∞∑
n=−∞
anz−nu[−n− 1] = −
−1∑
n=−∞
(z/a)−n
= −
+∞∑
n=1
(z/a)n =
−(z/a)
1− (z/a) =
z
z − a
Ωx = {z ∈ C : |z| < |a|}
Observe que a expressa˜o da transformada Z e´ a mesma da transformada apresentada na Proprie-
dade 2.4, pore´m o domı´nio de convergeˆncia e´ o interior do c´ırculo de raio |a| centrado na origem.
⋄
Exemplo 2.6
x[n] = an
(
u[n]− u[n−m]
)
, m ∈ Z+
Z{x[n]} =
m−1∑
k=0
akz−k =
1− (a/z)m
1− (a/z) =
1
zm−1
zm − am
z − a
Bonatti, Lopes & Peres
17
Observe (por exemplo, usando a regra de l’Hoˆpital1) que a transformada e´ finita quando z → a,
implicando que a na˜o e´ um po´lo de X(z). O domı´nio da transformada e´ o conjunto dos complexos
exceto z = 0.
W
Exemplo 2.7
x[n] = a|n| = anu[n] + a−nu[−n− 1]
Z{x[n]} =
−1∑
k=−∞
a−kz−k +
+∞∑
k=0
akz−k
O segundo termo converge para
z
z − a , |z| > |a|
e o primeiro termo produz
(az)
−1∑
k=−∞
a−k−1z−k−1 = (az)
0∑
k=−∞
(az)−k = (az)
+∞∑
k=0
(az)k =
az
1− az , |z| < |1/a|
Para |a| > 1, na˜o ha´ intersec¸a˜o entre as regio˜es e portanto a transformada Z na˜o existe. De fato, a
se´rie a|n|, para |a| > 1, diverge para n→ −∞ e para n→ +∞.
O domı´nio da transformada para |a| < 1 e´ o anel centrado na origem dado por
|a| < |z| < 1|a|
W
Propriedade 2.6
Domı´nio da Transformada Z
• O que determina o domı´nio da transformada Z de uma func¸a˜o x[n] e´ a convergeˆncia da soma que
define a transformada Z{x[n]}, isto e´, o domı´nio e´ o conjunto de valores de z para os quais a soma e´
finita.
• Os po´los (valores de z para os quais a func¸a˜o tende para infinito; em geral, sa˜o as ra´ızes do denomi-
nador) na˜o pertencem ao domı´nio.
• O domı´nio na˜o pode ser obtido apenas a partir da expressa˜o da transformada X(z). Por exemplo,
a transformada Z do degrau e´ dada por
z
z − 1
e existe para todo z 6= 1. No entanto, o domı´nio e´ a regia˜o |z| > 1.
• O domı´nio e´ definido por restric¸o˜es sobre o mo´dulo de z.
• Se x[n] tem durac¸a˜o finita, o domı´nio Ωx e´ todo o plano complexo, exceto (possivelmente) z = 0
e/ou |z| → +∞.
1Guillaume De l’Hoˆpital, matema´tico franceˆs do se´culo XVII.
Bonatti, Lopes & Peres
18 Cap´ıtulo 2. Transformada Z
• Se x[n] = 0 para n < m, m ∈ Z (sinal a` direita), o domı´nio (se existir) e´ o exterior do menor c´ırculo
que conte´m todos os po´los.
• Se x[n] = 0 para n > m, m ∈ Z (sinal a` esquerda), o domı´nio (se existir) e´ o interior do maior c´ırculo
que na˜o conte´m nenhum po´lo.
⋄
Propriedade 2.7
Transformada Z de x[n] = an
X(z) = Z{x[n]} =
+∞∑
k=−∞
akz−k =
+∞∑
k=0
(a/z)k +
−1∑
k=−∞
(a/z)k
Para |z| ≤ |a|, o primeiro termo diverge e, para |z| ≥ |a|, o segundo termo diverge. Portanto, na˜o
existe a transformada Z de x[n] = an (a soma diverge em todo z ∈ C). ⋄
Propriedade 2.8
Z{x[n] = ax1[n] + bx2[n]} = aZ{x1[n]}+ bZ{x2[n]} , Ωx = Ωx1 ∩ Ωx2
ou seja, a transformada Z e´ linear e o domı´nio de convergeˆncia e´ (no mı´nimo) a intersec¸a˜o dos domı´nios.
⋄
Exemplo 2.8
x[n] = 2n+1 cos(3n)u[n] =
(
2 exp(j3)
)n
u[n] +
(
2 exp(−j3)
)n
u[n]
X(z) =
z
z − 2 exp(j3) +
z
z − 2 exp(−j3) , Ωx = {z ∈ C : |z| > 2}
W
Propriedade 2.9
Teorema da Convoluc¸a˜o
A transformada Z da convoluc¸a˜o de dois sinais e´ o produto das transformadas, ou seja,
Z{x[n] = x1[n] ∗ x2[n]} = Z{x1[n]}Z{x2[n]} , Ωx = Ωx1 ∩ Ωx2
Prova:
Z{x1[n] ∗ x2[n]} = +∞∑
k=−∞
(
+∞∑
n=−∞
x1[n]x2[k − n]
)
z−k =
+∞∑
k=−∞
+∞∑
n=−∞
x1[n]z
−nx2[k − n]z−(k−n)
=
+∞∑
n=−∞
x1[n]z
−n
+∞∑
k=−∞
x2[k − n]z−(k−n) =
+∞∑
n=−∞
x1[n]z
−n
+∞∑
m=−∞
x2[m]z
−m = X1(z)X2(z)
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
19
Propriedade 2.10
Operador Derivada
Z{y[n] = nx[n]} =
(
−z d
dz
)
X(z) , Ωy = Ωx
pois
d
dz
Z{x[n]} = d
dz
{ +∞∑
n=−∞
x[n]z−n
}
= −z−1
+∞∑
n=−∞
nx[n]z−n ⇒ −z d
dz
Z{x[n]} = Z{nx[n]}
Z{y[n] = n2x[n]} =
(
−z d
dz
)2
X(z) , Ωy = Ωx
pois
Z{n2x[n]} = Z{nv[n]} =
(
−z d
dz
)
V (z) =
(
−z d
dz
)(
−z d
dz
)
X(z)
Generalizando,
Z{y[n] = nmx[n]} =
(
−z d
dz
)m
X(z) , Ωy = Ωx
⋄
Exemplo 2.9
Considere a distribuic¸a˜o de probabilidade x[n] = (1− ρ)ρnu[n], para 0 < ρ < 1.
Note que x[n] e´ sempre maior ou igual a zero e a soma de x[n] para todo n e´ igual a 1 (veja a
Propriedade 2.3 da soma geome´trica).
A me´dia da varia´vel aleato´ria X e´
E{X} =
+∞∑
n=−∞
nx[n] = Z{nx[n]}
∣∣∣
z=1
sendo E o operador esperanc¸a.
Como
X(z) = (1− ρ) z
z − ρ = (1− ρ)(1− ρz
−1)−1 , |z| > ρ
tem-se
(
−z d
dz
)
X(z) = Z{nx[n]} = (1− ρ)ρz−1(1− ρz−1)−2
Em z = 1,
E{X} =
+∞∑
n=−∞
nx[n] =
ρ
1− ρ
O momento de segunda ordem da varia´vel aleato´ria X e´ dado por
Bonatti, Lopes & Peres
20 Cap´ıtulo 2. Transformada Z
E{X2} =
+∞∑
n=−∞
n2x[n]
(
−z d
dz
)2
X(z) = Z{n2x[n]} = (1− ρ)ρ (z−1(1− ρz−1)−2 + 2ρz−2(1− ρz−1)−3)
Em z = 1,
E{X2} = ρ+ ρ
2
(1− ρ)2
A variaˆncia de X e´ dada por
E{X2} − E{X}2 = ρ
(1− ρ)2
W
Exemplo 2.10
Z{nanu[n]} =
(
−z d
dz
)
(1− az−1)−1 = az
−1
(1− az−1)2 =
az
(z − a)2 , |z| > |a|
W
Exemplo 2.11
Z{n2anu[n]} =
(
−z d
dz
)
(az−1)(1− az−1)−2 = az
−1
(1− az−1)2 +2a2z−2
(1− az−1)3 =
=
az−1
(1− az−1)2 +
2a2z−2
(1− az−1)3 =
az2 + a2z
(z − a)3 , |z| > |a|
W
Propriedade 2.11
Deslocamento a` Direita (atraso)
Z{y[n] = x[n−m]u[n−m]} = z−mZ{x[n]u[n]} , m ∈ Z+ , Ωy = Ωx
pois
Z{x[n−m]u[n−m]} =
+∞∑
k=−∞
x[k −m]u[k −m]z−k =
+∞∑
k=m
x[k −m]u[k −m]z−k =
=
+∞∑
k=−∞
x[k]u[k]z−(k+m) = z−mZ{x[n]u[n]}
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
21
Propriedade 2.12
Deslocamento Unita´rio a` Esquerda (avanc¸o)
Z{x[n+ 1]u[n]} = z
(
Z{x[n]u[n]} − x[0]
)
pois
Z{x[n+ 1]u[n]} =
+∞∑
n=−∞
x[n+ 1]u[n]z−n = z
+∞∑
n=−∞
x[n+ 1]u[n]z−(n+1)
= z
+∞∑
n=−∞
x[n]u[n− 1]z−n = z
( +∞∑
n=−∞
x[n]u[n]z−n − x[0]
)
Observe que, se x[0] = 0, multiplicar a transformada por z equivale a deslocar x[n] para x[n+ 1] ⋄
Propriedade 2.13
Z{x[n+ 2]u[n]} = z2
(
Z{x[n]u[n]} − x[0]− z−1x[1]
)
pois
y[n] = x[n+ 1]u[n] ⇒ y[0] = x[1] , y[n+ 1] = x[n+ 2]u[n+ 1]
Z{x[n+ 2]u[n]} = Z{y[n+ 1]u[n]} = z
(
Z{y[n]u[n]} − y[0]
)
=
= z
(
Z{x[n+ 1]u[n]} − x[1]
)
= z
(
z
(
Z{x[n]u[n]} − x[0]
)
− x[1]
)
Generalizando,
Z{x[n+m]u[n]} = zm
(
Z{x[n]u[n]} −
m−1∑
k=0
x[k]z−k
)
, m ∈ Z+
⋄
Exemplo 2.12
Z{(n+ 1)anu[n]} = z
(
Z{nan−1u[n]}− (nan−1)∣∣∣
n=0
)
pela Propriedade 2.12 (avanc¸o).
Utilizando a Propriedade 2.10 (operador derivada), tem-se
Z{nan−1u[n]} =
(
−z d
dz
)
Z{an−1u[n]}
Como
Z{an−1u[n]} = 1
a
(1− az−1)−1
⇒ Z{(n+ 1)anu[n]} = Z
{(
n+ 1
1
)
anu[n]
}
= (1− az−1)−2 , |z| > |a|
Bonatti, Lopes & Peres
22 Cap´ıtulo 2. Transformada Z
sendo a combinac¸a˜o de n termos m a m dada por
(
n
m
)
=
n!
m!(n−m)! , 0 ≤ m ≤ n , m, n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}
W
Exemplo 2.13
Z
{(
n+ 2
2
)
anu[n]
}
= Z
{ (n+ 2)(n+ 1)
2
anu[n]
}
= zZ
{ (n+ 1)n
2
an−1u[n]
}
=
= z
(
−z d
dz
)
Z
{ (n+ 1)
2
an−1u[n]
}
=
z
2a
(
−z d
dz
)
(1− az−1)−2
pelo resultado do Exemplo 2.12. Portanto,
Z
{(
n+ 2
2
)
anu[n]
}
= (1− az−1)−3 , |z| > |a|
W
Propriedade 2.14
Combinato´ria
Generalizando os exemplos 2.12 e 2.13, tem-se
Z
{(
n+m
m
)
anu[n]
}
= (1− az−1)−(m+1) , m ∈ N , |z| > |a|
⋄
Propriedade 2.15
Combinato´ria com Deslocamento
Z
{(
n
m
)
an−mu[n−m]
}
=
z
(z − a)m+1 , |z| > |a| , m ∈ N
pois, aplicando a Propriedade 2.11 (atraso) na Propriedade 2.14 (combinato´ria), tem-se
z−mZ
{(
n+m
m
)
anu[n]
}
= Z
{(
n
m
)
an−mu[n−m]
}
=
z−m
(1− az−1)m+1 =
z
(z − a)m+1
Observe que a combinac¸a˜o de n elementos m a m na˜o estaria definida para n < m, mas, para n ≥ 0,
tem-se (
n
m
)
=
1
m!
(n−m+ 1) · · ·n
que e´ igual a zero para n < m. Assim,
Z
{(
n
m
)
an−mu[n]
}
=
z
(z − a)m+1 , |z| > |a| , m ∈ N
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
23
Propriedade 2.16
Valor Inicial
Considere x[n] um sinal a` direita de n = 0, isto e´, x[n] = x[n]u[n] com x[0] finito, cuja transformada
X(z) possui domı´nio Ωx na˜o vazio. Enta˜o,
x[0] = lim
|z|→+∞
X(z)
Prova:
Como x[n] = 0 para n < 0, o domı´nio Ωx e´ o exterior de um c´ırculo de raio limitado (para X(z)
racional, o domı´nio e´ o exterior do c´ırculo de menor raio que conte´m os po´los), e portanto |z| → +∞
pertence a Ωx.
X(z) =
+∞∑
n=−∞
x[n]u[n]z−n = x[0] +
+∞∑
n=1
x[n]z−n ⇒ lim
|z|→+∞
X(z) = x[0]
Observe que se X(z) for racional (raza˜o de dois polinoˆmios em z), a ordem do numerador e´ necessa-
riamente menor ou igual a` do denominador para que o limite exista. Nesse caso, X(z) e´ denominada
func¸a˜o pro´pria.
⋄
Propriedade 2.17
Valor Final
Considere X(z) com domı´nio |z| > ρ, 0 < ρ ≤ 1.
Se o limite
lim
z→1
(z − 1)X(z)
e´ finito, enta˜o
lim
m→+∞
x[m] = lim
z→1
(z − 1)X(z)
Prova:
Considere a sequ¨eˆncia a` direita y[n] dada por
y[n] = x[n+ 1]u[n]− x[n]u[n] ⇒
m∑
k=−∞
y[k] = x[m+ 1]− x[0] , m ≥ 0
Pela Propriedade 2.2 (soma), tem-se
lim
z→1
Y (z) = lim
m→+∞
m∑
k=−∞
y[k] = lim
m→+∞
x[m]− x[0]
Aplicando a transformada Z em y[n], tem-se
Y (z) = Z{x[n+ 1]u[n]} − Z{x[n]u[n]} = zX(z)− zx[0]−X(z) = (z − 1)X(z)− zx[0]
Bonatti, Lopes & Peres
24 Cap´ıtulo 2. Transformada Z
Portanto,
lim
z→1
Y (z) = lim
z→1
(z − 1)X(z)− x[0] ⇒ lim
z→1
(z − 1)X(z) = lim
m→+∞
x[m]
Observe que, como (z−1)X(z) deve ser finito em z = 1, X(z) pode no ma´ximo ter um po´lo em z = 1.
⋄
Exemplo 2.14
Considere
X(z) =
z + 1
z + 1/3
, |z| > 1/3
Enta˜o,
x[0] = lim
|z|→+∞
X(z) = 1
+∞∑
k=−∞
x[k] = lim
z→1
X(z) = 3/2
lim
n→+∞
x[n] = lim
z→1
(z − 1)X(z) = lim
z→1
(z − 1)(z + 1)
z + 1/3
= 0
W
Propriedade 2.18
Transformada Inversa
• A transformada inversa da transformada Z de func¸o˜es racionais pode ser computada pelo algoritmo
de Briot-Ruffini2 de divisa˜o de polinoˆmios.
• A transformada inversa da transformada Z cujo domı´nio e´ o exterior de um c´ırculo e´ uma sequ¨eˆncia
a` direita.
• A transformada inversa da transformada Z cujo domı´nio e´ o interior de um c´ırculo e´ uma sequ¨eˆncia
a` esquerda.
• A transformada inversa da transformada Z cujo domı´nio e´ um anel e´ uma sequ¨eˆncia que existe a`
esquerda e a` direita do zero.
• A transformada inversa da transformada Z cujo domı´nio e´ todo o plano complexo, exceto possivel-
mente ou z = 0, ou |z| → +∞ ou ambos, e´ dada por uma sequ¨eˆncia de durac¸a˜o finita.
⋄
Exemplo 2.15
Considere
X(z) =
z
z − a , |z| > |a|
2Charles Auguste Briot, franceˆs do se´culo XIX e Paolo Ruffini, italiano do se´culo XVIII.
Bonatti, Lopes & Peres
25
Enta˜o
z ∠z − a
z − a 1 + az−1 + a2z−2 + · · ·
a
a− a2z−1
a2z−1
X(z) =
z
z − a = 1 + az
−1 + a2z−2 + · · · ⇒ x[n] = anu[n]
pois, comparando X(z) com a definic¸a˜o de transformada Z, obteˆm-se os termos x[n] (identidade de
polinoˆmios).
Note que a se´rie converge apenas para |z| > |a|.
W
Exemplo 2.16
Considere
X(z) =
z
z − a , |z| < |a|
Enta˜o
z ∠− a+ z
z − a−1z2 −a−1z − a−2z2 + · · ·
a−1z2
a−1z2 − a−2z3
a−2z3
X(z) =
z
z − a = −a
−1z
(
1 + a−1z + a−2z2 + · · · ) = −a−1z +∞∑
k=0
a−kzk
= −
+∞∑
k=0
a−k−1zk+1 = −
−1∑
n=−∞
anz−n = −
+∞∑
n=−∞
anu[−n− 1]z−n
Comparando polinoˆmios, trata-se da transformada Z de x[n] = −anu[−n − 1] (veja a Proprie-
dade 2.5). Note que a se´rie converge apenas para
|za−1| < 1 ⇒ |z| < |a|
W
Exemplo 2.17
Transformada inversa
X(z) =
2z2 − 5z
(z − 2)(z − 3) =
z
z − 2 +
z
z − 3 , |z| > 3
Para o domı´nio em questa˜o, tem-se
x[n] = (2n + 3n)u[n]
Bonatti, Lopes & Peres
26 Cap´ıtulo 2. Transformada Z
Note que a Propriedade 2.2 (soma) na˜o se aplica, pois z = 1 na˜o pertence ao domı´nio. De fato,
X(1) = −3/2 e a soma diverge.
A Propriedade 2.16 (valor inicial) e´ verificada, pois
X(+∞) = 2 e x[0] = 2
Neste caso, tambe´m na˜o se aplica a Propriedade 2.17 (valor final), pois o domı´nio na˜o verifica a
hipo´tese |z| > ρ com ρ ≤ 1.
W
Exemplo 2.18
Transformada inversa
X(z) =
2z2 − 5z
(z − 2)(z − 3) =
z
z − 2 +
z
z − 3 , |z| < 2
Neste caso, e´ melhor escrever
X(z) = (−z2−1) 1
1− 2−1z + (−z3
−1)
1
1− 3−1z ⇒ x[n] = −(2
n + 3n)u[−n− 1]
A Propriedade 2.2 (soma) e´ verificada, pois z = 1 pertence ao domı´nio
X(1) = −3/2 e
+∞∑
n=−∞
x[n] = −3/2
Na˜o se aplicam as propriedades 2.16 (valor inicial) e 2.17 (valor final), pois z → +∞ na˜o pertence
ao domı´nio e o domı´nio e´ o interior de um c´ırculo (e, portanto, a func¸a˜o x[n] na˜o e´ a` direita).
W
Exemplo 2.19
Transformada inversa
X(z) =
2z2 − 5z
(z − 2)(z − 3) =
z
z − 2 +
z
z − 3 , 2 < |z| < 3
X(z) =
z
z − 2 + (−z3
−1)
1
1− 3−1z ⇒ x[n] = 2
nu[n]− 3nu[−n− 1]
Na˜o se aplicam as propriedades 2.2 (soma),2.16 (valor inicial) e 2.17 (valor final).
W
Bonatti, Lopes & Peres
27
Exemplo 2.20
Transformada inversa
X(z) =
1
z − a , |z| > |a|
e´ dada por (usando Briot-Ruffini)
X(z) =
1
z − a = z
−1 + az−2 + a2z−3 + · · · ⇒ x[n] = an−1u[n− 1]
Observe que
X(z) = z−1
z
z − a = z
−1Z{anu[n]} ⇒ x[n] = an−1u[n− 1]
pela Propriedade 2.11 (atraso).
W
A transformada Z inversa de func¸o˜es racionais pro´prias X(z) com domı´nio no exterior de um c´ırculo
(se´ries a` direita) pode ser obtida pela Propriedade 2.15 (combinato´ria com deslocamento) por meio
da expansa˜o em frac¸o˜es parciais de X(z)/z na varia´vel z.
Exemplo 2.21
Po´los distintos
Considere ρ 6= 1 e Y (z) dado por
Y (z) =
z2
(z − ρ)(z − 1) , |z| > max{|ρ|, 1}
Y (z)
z
=
z
(z − ρ)(z − 1) =
a
z − ρ +
b
z − 1
a = − ρ
1− ρ , b =
1
1− ρ
Usando a Propriedade 2.15 (combinato´ria com deslocamento), tem-se
y[n] = aρnu[n] + bu[n] =
1− ρn+1
1− ρ u[n]
W
Exemplo 2.22
Po´los mu´ltiplos
Para a transformada X(z) dada por
X(z)
z
=
z
(z − 1)3 =
a1
z − 1 +
a2
(z − 1)2 +
a3
(z − 1)3 , |z| > 1
tem-se a1 = 0, a2 = 1 e a3 = 1. Portanto,
x[n] =
(
n
1
)
u[n] +
(
n
2
)
u[n] =
n(n+ 1)
2
u[n]
W
Bonatti, Lopes & Peres
28 Cap´ıtulo 2. Transformada Z
Exemplo 2.23
Considere ρ 6= 1 e a transformada Y (z) dada por
Y (z) =
ρz2
(z − 1)(z − ρ)2 , |z| > max{|ρ|, 1}
Y (z)
z
=
ρz
(z − 1)(z − ρ)2 =
a
z − 1 +
b
z − ρ +
c
(z − ρ)2
cujos coeficientes sa˜o
a =
ρ
(1− ρ)2 , b =
−ρ
(1− ρ)2 , c =
−ρ2
(1− ρ)
Portanto,
y[n] = au[n] + bρnu[n] + c
(
n
1
)
ρn−1u[n] =
=
(
a+ bρn + cnρn−1
)
u[n] =
ρ
(1− ρ)2
(
1− (n+ 1)ρn + nρn+1)u[n]
W
A transformada Z inversa de func¸o˜es racionais pro´prias com domı´nio no exterior de um c´ırculo (se´ries
a` direita) tambe´m pode ser obtida pela Propriedade 2.14 (combinato´ria) por meio da expansa˜o em
frac¸o˜es parciais na varia´vel z−1.
Exemplo 2.24
Retomando o Exemplo 2.21, com ρ 6= 1 e Y (z) dado por
Y (z) =
z2
(z − ρ)(z − 1) =
1
(1− ρz−1)(1− z−1) =
a
1− ρz−1 +
b
1− z−1 , |z| > max{|ρ|, 1}
tem-se
a =
1
1− z−1
∣∣∣
1−ρz−1=0
= − ρ
1− ρ , b =
1
1− ρz−1
∣∣∣
1−z−1=0
=
1
1− ρ
Usando a Propriedade 2.14 (combinato´ria), obte´m-se a sequ¨eˆncia
y[n] = aρnu[n] + bu[n] =
1− ρn+1
1− ρ u[n]
Para ρ = 1, tem-se
Y (z) =
1
(1− z−1)2 , |z| > 1
y[n] = Z−1
{ 1
(1− z−1)2
}
= (n+ 1)u[n] =
n∑
k=0
1
O mesmo resultado pode ser obtido aplicando a regra de l’Hoˆpital3 na expressa˜o de y[n]
y[n] = lim
ρ→1
1− ρn+1
1− ρ = limρ→1
−(n+ 1)ρn
−1 = n+ 1
W
3Guillaume De l’Hoˆpital, matema´tico franceˆs do se´culo XVII.
Bonatti, Lopes & Peres
29
Exemplo 2.25
Retomando o Exemplo 2.22, com a transformada Z
Y (z) =
z2
(z − 1)3 =
z−1
(1− z−1)3 =
a
1− z−1 +
b
(1− z−1)2 +
c
(1− z−1)3 , |z| > 1
Os coeficientes sa˜o: a = 0, b = −1 e c = 1. Portanto,
y[n] =
(
(−1)
(
n+ 1
1
)
+
(
n+ 2
2
))
u[n] =
n(n+ 1)
2
u[n]
W
Exemplo 2.26
O Exemplo 2.23, com ρ 6= 1 e a transformada Y (z) dada por
Y (z) =
ρz2
(z − 1)(z − ρ)2 =
ρz−1
(1− z−1)(1− ρz−1)2 , |z| > max{|ρ|, 1}
Y (z) =
a
1− z−1 +
b
1− ρz−1 +
c
(1− ρz−1)2
cujos coeficientes sa˜o
a =
ρ
(1− ρ)2 , b =
−ρ2
(ρ− 1)2 , c =
ρ
(ρ− 1)
produz
y[n] = (a+ bρn + c(n+ 1)ρn)u[n] =
ρ
(1− ρ)2
(
1− (n+ 1)ρn + nρn+1)u[n]
W
Exemplo 2.27
Considere Y (z) dado por
Y (z) =
z
z2 − z − 1 , |z| > λ1
sendo λ1 =
1 +
√
5
2
e λ2 =
1−√5
2
as ra´ızes do denominador.
Y (z) =
z
(z − λ1)(z − λ2) =
z−1
(1− λ1z−1)(1− λ2z−1) =
a1
1− λ1z−1 +
a2
1− λ2z−1
cujos coeficientes sa˜o
a1 =
1
λ1 − λ2 =
√
5
5
, a2 =
1
λ2 − λ1 =
−√5
5
resultando em
y[n] = a1λ
n
1 + a2λ
n
2 ≈ a1λn1 para n grande, pois |λ2| < 1
W
Bonatti, Lopes & Peres
Cap´ıtulo 3
Transformada Z Aplicada a
Probabilidade
A transformada Z e´ um operador matema´tico eficiente no tratamento de varia´veis aleato´rias discretas,
como por exemplo nas distribuic¸o˜es de Bernoulli, Binomial, Geome´trica, Poisson, Erlang, etc.
A Figura 3.1 ilustra a relac¸a˜o entre algumas dessas distribuic¸o˜es.
30
31
Considere a sequ¨eˆncia enumera´vel p[k] de escalares reais (positivos ou nulos) tal que
+∞∑
k=−∞
p[k] = 1
na qual, frequ¨entemente, p[k] = 0 para k = −1,−2,−3, . . .
Definic¸a˜o: Varia´vel Aleato´ria Discreta
E´ uma func¸a˜o X a` qual esta´ associada uma distribuic¸a˜o de probabilidade
Pr{X = k} = p[k] ≥ 0 ;
+∞∑
k=−∞
p[k] = 1
Definic¸a˜o: Esperanc¸a Matema´tica
Poisson
Axioma´tico
Axioma´tico
limite
BinomialBernoulli
transformada
Exponencial
Dual
Pr{X = 1} = p
(
n
k
)
pk(1− p)(n−k)
ρk
k!
exp(−ρ)
pT (t) = λ exp(−λt)
• Sem eventos simultaˆneos
• Intervalos independentes
• Cont´ınua
• Sem memo´ria
Figura 3.1: Relac¸o˜es entre distribuic¸o˜es de probabilidades discretas.
Bonatti, Lopes & Peres
32 Cap´ıtulo 3. Transformada Z Aplicada a Probabilidade
E{f(X)} =
∑
k
f(k)p[k]
Definic¸a˜o: Momento de ordem m
E{Xm} =
∑
k
kmp[k] , m ∈ Z+
Definic¸a˜o: Me´dia
x¯ = E{X} =
∑
k
kp[k]
ou seja, a me´dia e´ o momento de primeira ordem.
Definic¸a˜o: Variaˆncia
σ2X =
∑
k
(k − x¯)2p[k]
Propriedade 3.1
A variaˆncia da varia´vel aleato´ria X e´ igual ao momento de segunda ordem menos o momento de
primeira ordem ao quadrado, ou seja,
σ2X = E{X2} − E{X}2
pois ∑
k
(k − x¯)2p[k] =
∑
k
k2p[k]− 2x¯
∑
k
kp[k] + x¯2
∑
k
p[k] = E{X2} − 2x¯2 + x¯2
⋄
Exemplo 3.1
Considere a equac¸a˜o a diferenc¸as de primeira ordem com 0 < ρ < 1 que descreve a cadeia marko-
viana da fila M/M/1, dada por
p[n+ 1] = ρp[n] , n ∈ N ; p[n] = 0 , n < 0 ,
+∞∑
n=−∞
p[n] = 1
Por substituic¸a˜o sistema´tica, tem-se
p[1] = ρp[0] ; p[2] = ρp[1] = ρ2p[0] ; p[3] = ρp[2] = ρ3p[0] ; . . . ; p[n] = ρnp[0]
Como
+∞∑
k=0
ρk =
1
1− ρ
tem-se
p[n] = (1− ρ)ρnu[n] (u[n] = func¸a˜o degrau)
que e´ a distribuic¸a˜o geome´trica.
Observe que p[0] = 1 − ρ e´ a probabilidade do sistema estar vazio (servidor desocupado na teoria
de filas).
W
Bonatti, Lopes & Peres
33
Exemplo 3.2
Bernoulli
Pr{X = 1} = p > 0 ; Pr{X = 0} = 1− p = q > 0
A varia´vel aleato´ria de Bernoulli1 modela processos com duas possibilidades; por exemplo, proba-
bilidade de um servidor estar livre ou ocupado.
E{X} =
∑
k
kp[k] = 1p+ 0(1− p) = p ; E{X2} =
∑
k
k2p[k] = 1p+ 0(1− p) = p
σ2
X
= E{X2} − E{X}2 = p(1− p) = pq
W
Definic¸a˜o: Independeˆncia
Duas varia´veis aleato´rias discretas sa˜o independentes se a probabilidade conjunta for igual ao produto
das probabilidades, isto e´,
Pr{X = x,Y = y} = Pr{X = x}Pr{Y = y}
Propriedade 3.2
Independeˆncia
Pr{X = x,Y = y} = Pr{X = x}Pr{Y = y} ⇒ E{f(X)g(Y)} = E{f(X)}E{g(Y)}
pois
E{f(X)g(Y)} =
∑
k
∑
m
f(k)g(m) Pr{X = k,Y = m} =
=
∑
k
f(k) Pr{X = k}
∑
m
g(m) Pr{Y = m}
⋄
Definic¸a˜o: Transformada Z
A transformada Z da se´rie p[n] e´ dada por2
GX(z) = Z{p[n]} =
+∞∑
k=−∞
p[k]zk
Propriedade 3.3
Z{p[n]} = E{zX}
pois
f(X) = zX ⇒ E{f(X)} =
∑
k
f(k) Pr{X = k} =
∑
k
zkp[k] = Z{p[n]}
⋄
1Jacob (Jacques) Bernoulli, matema´tico suic¸o 1654–1705.
2Note que a transformada Z e´ definida com zk (e na˜o z−k) para ficar de acordo com a maior parte dos livros de
probabilidade. Duas consequ¨eˆncias importantes disso sa˜o: a regia˜o de convergeˆncia para sequ¨eˆncias a` direita e´ o interior
de um c´ırculo (e na˜o o exterior), e na Propriedade do Operador Derivada na˜o aparece o sinal negativo.
Bonatti, Lopes & Peres
34 Cap´ıtulo 3. Transformada Z Aplicada a Probabilidade
Exemplo 3.3Seja X a varia´vel aleato´ria que descreve o nu´mero de elementos na fila M/M/1 do Exemplo 3.1. A
distribuic¸a˜o de probabilidade e´ dada por
p[n] = (1− ρ)ρnu[n] , 0 < ρ < 1
A transformada Z de p[n] e´ dada por
GX(z) = (1− ρ)
+∞∑
k=−∞
(ρz)ku[k] =
1− ρ
1− ρz , |z| <
1
ρ
Observe que a divisa˜o dos polinoˆmios da transformada Z produz a func¸a˜o inversa, isto e´, a sequ¨eˆncia
p[n].
GX(z) =
1− ρ
1− ρz = (1− ρ)(1 + ρz + ρ
2z2 + · · · )
W
Propriedade 3.4
Soma
Z{p[n]}
∣∣∣
z=1
= GX(1) =
∑
k
p[k] = 1
Note que esta propriedade pode ser usada para testar eventuais erros nas expresso˜es das transformadas
Z das distribuic¸o˜es de probabilidade.
⋄
Propriedade 3.5
Operador Derivada
(
zd
dz
)m
Z{p[n]} = Z{nmp[n]} , m ∈ Z+
pois
z
d
dz
Z{p[n]} = z
∑
k
kzk−1p[k] =
∑
k
kp[k]zk = Z{np[n]}
e a aplicac¸a˜o recorrente do operador
(
zd
dz
)
prova a propriedade.
⋄
Propriedade 3.6
Momentos
E{Xm} =
(
zd
dz
)m
Z{p[n]}
∣∣∣
z=1
= Z{nmp[n]}
∣∣∣
z=1
, m ∈ Z+
Bonatti, Lopes & Peres
35
Esta propriedade pode ser usada para o ca´lculo dos momentos de ordem m.
⋄
Propriedade 3.7
Variaˆncia
σ2X =
(
zd
dz
)2
Z{p[n]}
∣∣∣
z=1
−
((
zd
dz
)
Z{p[n]}
∣∣∣
z=1
)2
⋄
Propriedade 3.8
Se´rie de Taylor
Sequ¨eˆncias p[n] a` direita do zero podem ser calculadas a partir da se´rie de Taylor3 de GX(z) em z = 0,
pois
GX(z) =
+∞∑
n=0
1
n!
dn
dzn
GX(z)
∣∣∣
z=0
zn ⇒ p[n] = G
(n)
X
(0)
n!
⋄
Exemplo 3.4
Considere novamente a varia´vel aleato´ria de Bernoulli do Exemplo 3.2, para a qual
Pr{X = 1} = p > 0 ; Pr{X = 0} = 1− p = q > 0 ⇒ p[n] = qδ[n] + pδ[n− 1]
No Exemplo 3.2, me´dia e variaˆncia foram obtidas pela definic¸a˜o. Neste exemplo, a me´dia e variaˆncia
sa˜o determinadas pelas propriedades da transformada Z.
A transformada Z de p[n] e´ dada por
GX(z) =
+∞∑
k=−∞
p[k]zk = (1− p) + zp = q + zp
O teste da soma e´ verificado, pois
GX(1) = q + p = 1
O momento de primeira ordem fornece
(
zd
dz
)
GX(z) = zp ⇒ E{X} = p
e o momento de segunda ordem e´ dado por
3Brook Taylor, matema´tico ingleˆs (1685–1731).
Bonatti, Lopes & Peres
36 Cap´ıtulo 3. Transformada Z Aplicada a Probabilidade
(
zd
dz
)2
GX(z) = zp =⇒ E{X2} = p
A variaˆncia e´
σ2
X
= p− p2 = pq
A expansa˜o em se´rie de Taylor produz
GX(z) = q + zp ⇒ p0 = q , p1 = p
que confirma a expressa˜o da transformada.
W
Propriedade 3.9
Soma de Varia´veis Aleato´rias
Sejam X e Y varia´veis aleato´rias discretas e independentes. Enta˜o
GX+Y(z) = GX(z)GY(z)
pois, definindo-se W = X + Y, tem-se
GW(z) = E{zW} = E{z(X+Y)} = E{zX}E{zY} = GX(z)GY(z)
ou seja, a transformada Z da soma de varia´veis aleato´rias independentes e´ o produto das transformadas
Z.
⋄
A Propriedade 3.9 e´ uma versa˜o em termos de varia´veis aleato´rias da propriedade de que a transfor-
mada Z da convoluc¸a˜o e´ o produto das transformadas Z individuais.
A propriedade seguinte mostra que a distribuic¸a˜o de probabilidade associada ao produto de duas
transformadas Z e´ a convoluc¸a˜o das distribuic¸o˜es individuais.
Propriedade 3.10
Sejam
GX(z) =
∑
k
x[k]zk , GY(z) =
∑
k
y[k]zk
Enta˜o,
GX(z)GY(z) =
∑
k
p[k]zk ⇒ p[n] =
∑
k
x[k]y[n− k] = x[n] ∗ y[n]
pois
GX(z)GY(z) =
∑
k
x[k]zk
∑
m
y[m]zm =
∑
k
∑
m
x[k]y[m]zk+m =
∑
n
∑
k
x[k]y[n− k]
︸ ︷︷ ︸
p[n]
zn
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
37
O resultado da Propriedade 3.9 permite uma abordagem alternativa (ao processo de contagem) para
a definic¸a˜o da varia´vel aleato´ria binomial.
Exemplo 3.5
Varia´vel Aleato´ria Binomial
Considere X1,X2, . . .Xn varia´veis aleato´rias de Bernoulli, independentes e com a mesma distribuic¸a˜o
de probabilidade
Pr{Xi = 1} = p > 0 , Pr{Xi = 0} = 1− p = q > 0 , i = 1, . . . , n
Seja
Y = X1 + X2 + · · ·+ Xn
Observe que Pr{Y = k} = p[k] e´ a probabilidade de ocorrerem k acertos em n testes.
Pela Propriedade 3.9, tem-se
GY(z) = GX1(z) · · ·GXn(z) = (q + zp)n
Expandindo o binoˆmio de Newton4, tem-se
GY(z) = (q + zp)
n =
n∑
k=0
(
n
k
)
(zp)kq(n−k) =
n∑
k=0
zk
n!
k!(n− k)!p
kq(n−k)︸ ︷︷ ︸
p[k]
Observe que a frac¸a˜o na expressa˜o indica o nu´mero de possibilidades de ocorrer k acertos em n
testes, e o produto pkqn−k indica a probabilidade de haver k acertos e n− k erros.
A me´dia e a variaˆncia podem ser calculadas a partir da transformada Z
GY(z) = (q + zp)
n
GY(1) = (q + p)
n = 1
(
zd
dz
)
GY(z) = zn (q + zp)
(n−1)
p ⇒ y¯ = E{Y} = np
(
zd
dz
)2
GY(z) = z
(
np (q + zp)
(n−1)
+ npz(n− 1) (q + zp)(n−2) p)
⇒ E{Y 2} = n2p2 + np(1− p)
σ2
Y
= n2p2 + np(1− p)− n2p2 = npq
Este resultado confirma que a me´dia da soma de varia´veis aleato´rias e´ a soma das me´dias e que,
para varia´veis aleato´rias independentes, a variaˆncia da soma e´ a soma das variaˆncias.
W
4Sir Isaac Newton, ingleˆs (1643–1727).
Bonatti, Lopes & Peres
38 Cap´ıtulo 3. Transformada Z Aplicada a Probabilidade
A distribuic¸a˜o binomial (n, p) tende para a distribuic¸a˜o de Poisson5 quando n tende para infinito
mantendo-se constante o valor valor me´dio ρ = np, isto e´, considerando-se que p = ρ/n decresc¸a de
maneira apropriada.
Propriedade 3.11
Poisson como limite da binomial
lim
n→+∞ , p=ρ/n
(q + zp)n = exp
(
ρ(z − 1)
)
pois
GY(z) = lim
n→+∞ , p=ρ/n
(q + zp)n = lim
n→+∞
(
1 +
ρ(z − 1)
n
)n
= exp
(
ρ(z − 1)
)
pois
lim
n→+∞
(
1 +
a
n
)n
= exp(a)
Expandindo em se´rie de Taylor, tem-se
exp(−ρ)
+∞∑
k=0
(zρ)k
k!
⇒ p[k] = Pr{Y = k} = ρ
k
k!
exp(−ρ) , k ∈ N
Uma demonstrac¸a˜o alternativa pode ser feita diretamente da expressa˜o da distribuic¸a˜o da binomial.
Assim,
p[k] = Pr{Y = k} = n!
k!(n− k)!p
k(1− p)n−k = n!
k!(n− k)!
ρk
nk
(
1− ρ
n
)n−k
Portanto,
lim
n→+∞
n!
k!(n− k)!
ρk
nk
(
1− ρ
n
)n−k
=
ρk
k!
(
lim
n→+∞
(
1− ρ
n
)n−k)
︸ ︷︷ ︸
exp(−ρ)
(
lim
n→+∞
n!
nk(n− k)!
)
︸ ︷︷ ︸
1
pois
lim
n→+∞
n!
(n− k)!
1
nk
= lim
n→+∞
n
n
(n− 1)
n
· · · (n− k + 1)
n
= 1
resultando em
p[k] = Pr{Y = k} = ρ
k
k!
exp(−ρ) , k ∈ N
⋄
5Sime´on Denis Poisson, matema´tico franceˆs (1781-1840).
Bonatti, Lopes & Peres
39
Exemplo 3.6
A me´dia e a variaˆncia da distribuic¸a˜o de Poisson podem ser calculadas a partir da transformada Z.
Para uma varia´vel aleato´ria de Poisson, tem-se
GY(z) = exp(−ρ) exp(ρz) ⇒ GY(1) = 1
(
zd
dz
)
GY(z) = exp(−ρ)ρz exp(ρz) ⇒ y¯ = E{Y} = ρ
(
zd
dz
)2
GY(z) = z exp(−ρ)
(
ρ exp(ρz) + ρ2z exp(ρz)
)
⇒ E{Y2} = ρ+ ρ2
σ2
Y
= ρ+ ρ2 − ρ2 = ρ
Note que a me´dia de uma varia´vel aleato´ria poissoniana e´ igual a` variaˆncia.
W
Propriedade 3.12
A soma de varia´veis aleato´rias poissonianas independentes e´ poissoniana pois, para Y = Y1 + Y2
GY(z) = E{z(Y1+Y2)} = E{zY1} E{zY2} = GY1(z) GY2(z)
GY(z) = exp
(
ρ1(z − 1)
)
exp
(
ρ2(z − 1)
)
= exp
(
(ρ1 + ρ2)(z − 1)
)
que trata-se de uma distribuic¸a˜o poissoniana com me´dia ρ1 + ρ2.
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
Cap´ıtulo 4
Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Definic¸a˜o: Sinal Perio´dico
Um sinal x[n] e´ perio´dico se existe um inteiro positivo N tal que x[n] = x[n + N ] para ∀n ∈ Z.
Nesse caso, N e´ um per´ıodo e, se for o menor inteiro que satisfaz a relac¸a˜o, e´ chamado de per´ıodo
fundamental.
Sinais perio´dicos representam uma classe importante de sinais de poteˆncia, que podem ser represen-
tados por se´ries de Fourier1.
Propriedade 4.1
A func¸a˜o
x[n] = exp(jβn) , β ∈ R , n ∈ Z
e´ perio´dica se e somente se
β = 2π
p
q
, p, q ∈ Z
Se q = N e´ omenor inteiro positivo que satisfaz a relac¸a˜o, enta˜o N e´ o per´ıodo fundamental.
Prova:
Se
β = 2π
p
q
, p, q ∈ Z
enta˜o
exp
(
jβ(n+ q)
)
= exp(jβn) exp(jβq) = exp(j2πp) exp(jβn) = exp(jβn) ⇒ perio´dica
Por outro lado, se x[n] = exp(jβn) e´ perio´dica, ou seja, se
x[n] = x[n+ q] ⇒ exp(jβn) = exp (jβ(n+ q))
enta˜o
exp(jβn) = exp(jβn) exp(jβq) ⇒ exp(jβq) = 1 ⇒ βq = 2πp , p, q ∈ Z
⋄
1Jean Baptiste Joseph Fourier, matema´tico franceˆs (1768–1830).
40
41
Exemplo 4.1
Para que o sinal
x[n] = sen(an) =
1
2j
exp(jan)− 1
2j
exp(−jan)
seja perio´dico, e´ necessa´rio que
a = 2π
p
q
, p, q ∈ Z
W
Propriedade 4.2
Se x1[n] e x2[n] sa˜o perio´dicos, enta˜o a soma
x[n] = c1x1[n] + c2x2[n]
e´ perio´dica e o per´ıodo fundamental e´ (em geral) mu´ltiplo dos per´ıodos individuais. ⋄
Exemplo 4.2
O per´ıodo fundamental (menor per´ıodo) do sinal
x[n] = exp(j3πn/5)− exp(jπn/2) = exp(j2π 3
10
n)− exp(j2π 1
4
n)
e´ obtido a partir dos menores valores de m1 e m2 inteiros que verificam
N = 10m1 = 4m2 ⇒ m1 = 2,m2 = 5 ⇒ N = 20
sendo N1 = 10 e N2 = 4 os per´ıodos das componentes.
W
Definic¸a˜o: Produto Escalar de Sinais Perio´dicos
O produto escalar dos sinais perio´dicos gk[n] e gℓ[n], de per´ıodo N , e´ dado por
< gk[n]g
∗
ℓ [n] >=
∑
n∈N¯
gk[n]g
∗
ℓ [n]
sendo
N¯ = {0, 1, 2, . . . , N − 1}
ou qualquer conjunto de N inteiros consecutivos.
Definic¸a˜o: Ortogonalidade de Sinais Perio´dicos
Os sinais perio´dicos gk[n], de per´ıodo N , sa˜o ortogonais se∑
n∈N¯
|gk[n]|2 > 0 e
∑
n∈N¯
gk[n]g
∗
ℓ [n] = 0 , k 6= ℓ , k, ℓ ∈ Z
Bonatti, Lopes & Peres
42 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Exemplo 4.3
Considere os sinais
p[n] = δ[n− 1] + δ[n+ 1] , q[n] = δ[n− 1]− δ[n+ 1]
e os sinais perio´dicos, de periodo N > 2, N ∈ Z+, dados por
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , y[n] =
+∞∑
k=−∞
q[n− kN ]
O produto escalar e´ dado por
< x[n]y∗[n] >=< p[n]q∗[n] >=
∑
k∈N¯
p[k]q[k] = 1 + 0− 1 = 0
implicando que os sinais x e y sa˜o ortogonais.
As normas de x[n] e y[n] sa˜o dadas por
‖x[n]‖ =
√
< x[n]x∗[n] > =
√
1 + 1 =
√
2 , ‖y[n]‖ =
√
< y[n]y∗[n] > =
√
1 + 1 =
√
2
W
Exemplo 4.4
Considere o sinal
p[n] = δ[n− 1] + δ[n+ 1]
e os sinais perio´dicos
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− k6] , y[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− 3− k6]
Os sinais x[n] e y[n] sa˜o ortogonais. Note que, embora os per´ıodos de x[n] e y[n] sejam ambos
iguais a 6, a soma x[n] + y[n] possui per´ıodo fundamental igual a 3.
W
Exemplo 4.5
Considere os N sinais perio´dicos
gk[n] = exp
(
jk
2π
N
n
)
, n ∈ Z , N ∈ Z+ , k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}
O produto escalar αkℓ e´ dado por
αkℓ =
∑
n∈N¯
gk[n]g
∗
ℓ [n] =
∑
n∈N¯
exp
[
j(k − ℓ)2π
N
n
]
=
∑
n∈N¯
zn = zn1
N−1∑
n=0
zn
com z = exp
[
j(k − ℓ)2π
N
]
e n1 o menor inteiro pertencente ao conjunto N¯ .
Bonatti, Lopes & Peres
43
Portanto,
αkℓ =


N, para k = ℓ
(zn1)
1− zN
1− z = 0, para k 6= ℓ
implicando que os sinais gk[n] sa˜o ortogonais e teˆm norma
√
N , ou seja,
‖gk[n]‖2 = ‖ exp
(
jk
2π
N
n
)
‖2 = N , ∀k ∈ N¯
W
Definic¸a˜o: Sinais Linearmente Independentes
Um conjunto de sinais {gk[n], k = 1, . . . ,m} e´ linearmente independente se e somente se
m∑
k=1
ckgk[n] = 0 , ∀n ∈ Z ⇒ ck = 0 , k = 1, . . . ,m
Definic¸a˜o: Espac¸o Linear
A combinac¸a˜o linear de um conjunto de m sinais gk[n], isto e´,
g[n] =
m∑
k=1
ckgk[n]
com escalares ck ∈ C gera um espac¸o linear, cuja dimensa˜o e´ dada pelo nu´mero r de sinais linearmente
independentes do conjunto (r ≤ m). Qualquer conjunto de r sinais que gere o mesmo espac¸o e´ uma
base para esse espac¸o.
Exemplo 4.6
Os sinais
x1[n] = 1 , x2[n] = n , x3[n] = n
2 , n ∈ Z
sa˜o linearmente independentes, pois
c1x1[n] + c2x2[n] + c3x3[n] = 0 ⇒ c1 = c2 = c3 = 0, pois det

 1 0 01 1 1
1 2 4

 = 2 6= 0
W
Exemplo 4.7
Os sinais
y1[n] = λ
n
1 e y2[n] = λ
n
2 , λ1, λ2 ∈ C
sa˜o linearmente independentes se e somente se λ1 6= λ2, pois a1λn1 + a2λn2 = 0 implica
a1 + a2 = 0
a1λ1 + a2λ2 = 0
}
⇒ a1 = a2 = 0
W
Bonatti, Lopes & Peres
44 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Propriedade 4.3
Sinais ortogonais sa˜o linearmente independentes.
Prova:
∑
k
ckgk[n] = 0 ∀n ∈ Z ⇒
∑
k
ckgk[n]g
∗
ℓ [n] = 0 ∀n ∈ Z
∑
n
∑
k
ckgk[n]g
∗
ℓ [n] = 0 ⇒
∑
k
ck
∑
n
gk[n]g
∗
ℓ [n] = 0
∑
k 6=ℓ
ck
∑
n
gk[n]g
∗
ℓ [n]︸ ︷︷ ︸
=0
+cℓ
∑
n
gℓ[n]g
∗
ℓ [n]︸ ︷︷ ︸
>0
= 0 ⇒ cℓ = 0 ∀ℓ
⋄
Propriedade 4.4
Representac¸a˜o do Sinal em uma Base
Considere o sinal perio´dico x[n], de per´ıodo N , e uma base de dimensa˜o N de sinais perio´dicos gk[n]
ortogonais com per´ıodo N .
A representac¸a˜o do sinal x[n] na base gk[n] e´ dada por
x[n] =
∑
k
ckgk[n] , n ∈ Z
sendo
ck =
< x[n]g∗k[n] >
< gk[n]g
∗
k[n] >
pois
∑
n∈N¯
x[n]g∗k[n] =
∑
ℓ
cℓ
∑
n∈N¯
gℓ[n]g
∗
k[n] = ck
∑
n∈N¯
|gk[n]|2 ⇒ ck =
∑
n∈N¯
x[n]g∗k[n]∑
n∈N¯
|gk[n]|2
⋄
Propriedade 4.5
Teorema de Parseval2
Considere o sinal perio´dico x[n], de per´ıodo N , e uma base de dimensa˜o N de sinais perio´dicos gk[n]
ortogonais com per´ıodo N , tais que
x[n] =
∑
k
ckgk[n]
Enta˜o,
2Marc-Antoine Parseval des Cheˆnes, matema´tico franceˆs (1755–1836).
Bonatti, Lopes & Peres
45
∑
n∈N¯
|x[n]|2 =
∑
k
|ck|2
∑
n∈N¯
|gk[n]|2
Prova:
∑
n∈N¯
|x[n]|2 =
∑
n∈N¯
x[n]
∑
k
c∗kg
∗
k[n] =
∑
k
c∗k
∑
n∈N¯
x[n]g∗k[n] =
∑
k
c∗kck
∑
n∈N¯
|gk[n]|2
⋄
Propriedade 4.6
Se´rie exponencial de Fourier para sinais discretos perio´dicos
x[n] =
∑
k∈N¯
ck exp
(
jk
2π
N
n
)
com
ck =
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
− jk2π
N
n
)
pois, como calculado no Exemplo 4.5,
‖ exp
(
jk
2π
N
n
)
‖2 = N , ∀k ∈ N¯
exp
(
jk
2π
N
n
)∗
= exp
(
− jk2π
N
n
)
com coeficientes perio´dicos, de per´ıodo (no ma´ximo) igual a N
ck+N = ck = c[k]
Notac¸a˜o:
FS{x[n]}N = {ck}N ⇔ x[n] =
∑
k∈N¯
ck exp
(
jk
2π
N
n
)
, ck =
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
− jk2π
N
n
)
⋄
Propriedade 4.7
Linearidade
FS{α1x1[n] + α2x2[n]}N = α1FS{x1[n]}N + α2FS{x2[n]}N
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
46 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Propriedade 4.8
Soma
FS{x[n]}N = {ck}N ⇒ c0 = 1
N
∑
n∈N¯
x[n] , x[0] =
∑
k∈N¯
ck
⋄
Propriedade 4.9
Teorema de Parseval para se´rie exponencial de Fourier
FS{x[n]}N = {ck}N ⇒ 1
N
∑
n∈N¯
|x[n]|2 =
∑
k∈N¯
|ck|2 (poteˆncia me´dia)
⋄
Exemplo 4.8
A se´rie exponencial de Fourier de x[n] dado por
x[n] = sen(
2π
5
n)
pode ser obtida a partir do Teorema de Euler
x[n] = sen(
2π
5
n) = − 1
2j
exp(−j 2π
5
n) +
1
2j
exp(j
2π
5
n)
N = 5 , c−1 = − 1
2j
, c1 =
1
2j
, c0 = c2 = c3 = 0
c4 = c−1 = − 1
2j
⇒ x[n] = 1
2j
exp(j
2π
5
n)− 1
2j
exp(j4
2π
5
n)
A poteˆncia me´dia e´ 1/4 + 1/4 = 1/2.
W
Exemplo 4.9
A se´rie exponencial de Fourier de x[n] dado por
x[n] = sen(
2π
5
n) + cos(
π
5
n)
pode ser obtida a partir do Teorema de Euler
x[n] = − 1
2j
exp(−j 2π
5
n) +
1
2j
exp(j
2π
5
n) +
1
2
exp(j
2π
10
n) +
1
2
exp(−j 2π
10
n)
= − 1
2j
exp(−j22π
10
n) +
1
2j
exp(j2
2π
10
n) +
1
2
exp(j
2π
10
n) +
1
2
exp(−j 2π
10
n)
N = 10 , c−2 = − 1
2j
, c−1 =
1
2
, c1 =
1
2
, c2 =
1
2j
c8 = c−2 = − 1
2j
, c9 = c−1 =
1
2
, ci = 0 , i ∈ {0, 3, 4, 5, 6, 7}
Bonatti, Lopes & Peres
47
x[n] = − 1
2j
exp(j8
2π
10
n) +
1
2j
exp(j2
2π
10
n) +
1
2
exp(j2π
10
n) +
1
2
exp(j9
2π
10
n)
A poteˆncia me´dia e´ 1.
W
Exemplo 4.10
A se´rie exponencial de Fourier de x[n] dado por
x[n] = 2 cos(
2π
5
n+
π
4
)
pode ser obtida a partir do Teorema de Euler. Note que o per´ıodo e´ N = 5 e os coeficientes da
se´rie sa˜o
c1 = exp(jπ/4) , c−1 = c4 = exp(−jπ/4) , c0 = c2 = c3 = 0
A poteˆncia me´dia de x[n] e´ dada por
|c1|2 + |c4|2 = 2
W
Exemplo 4.11
Considere um sinal discreto x[n] perio´dico, de per´ıodo N = 5, cujos coeficientes da primeira e
terceira harmoˆnicas da se´rie exponencial de Fourier do sinal sa˜o, respectivamente, 1 e 4. Os demais
coeficientes sa˜o nulos.
Portanto,
x[n] = c1 exp(j
2π
5
n) + c3 exp(j3
2π
5
n) , c1 = 1 , c3 = 4
x[0] = x[5] = 5 perio´dico, de per´ıodo N = 5
x[1] ≈ −2.93− j1.40 , x[2] ≈ 0.43 + j4.39 , x[3] ≈ 0.43− j4.39 , x[4] ≈ −2.93 + j1.40
O Teorema de Parseval pode ser verificado numericamente, pois
12 + 42 = 17 =
1
5
( 4∑
n=0
|x[n]|2
)
W
Bonatti, Lopes & Peres
48 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Exemplo 4.12
Trem de impulsos
A se´rie de Fourier do trem perio´dico de impulsos
δN [n] =
+∞∑
ℓ=−∞
δ[n− ℓN ]
e´ dada por
ck =
1
N
∑
n∈N¯
+∞∑
ℓ=−∞
δ[n− ℓN ] exp(−jk 2π
N
n) =
1
N
∑
n∈N¯
δ[n] exp(−jk 2π
N
n) =
1
N
, k ∈ N¯
Portanto,
FS{δN [n]}N =
{ 1
N
}
N
,
+∞∑
k=−∞
δ[n− kN ] = 1
N
∑
k∈N¯
exp(jk
2π
N
n)
Observe que os coeficientes da se´rie sa˜o constantes (isto e´, o per´ıodo e´ 1 qualquer que seja N).
W
Exemplo 4.13
Considere o sinal perio´dico, de per´ıodo N = 10, dado por
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , p[n] = δ[n+ 1] + δ[n] + δ[n− 1]
Os coeficientes da se´rie de Fourier sa˜o dados por
ck =
1
10
5∑
n=−4
(
δ[n+ 1] + δ[n] + δ[n− 1]
)
exp(−jk 2π
10
n)
=
1
10
(
1 + exp(−jk 2π
10
) + exp(jk
2π
10
)
)
=
1
10
(
1 + 2 cos(k
π
5
)
)
c0 =
3
10
(valor me´dio) =
1
10
5∑
n=−4
p[n]
ck,k=0,...,9 ≈
[
0.30 0.26 0.16 0.04 −0.06 −0.10 −0.06 0.04 0.16 0.26 ]
Note que
9∑
k=0
ck = x[0] = 1 ,
1
10
9∑
n=0
|x[n]|2 =
9∑
k=0
|ck|2 = 0.3
W
Bonatti, Lopes & Peres
49
Propriedade 4.10
Complexo conjugado
FS{x[n]}N = {ck}N e y[n] = x∗[n] ⇒ FS{y[n]}N = {c∗−k}N
pois
y[n] = x∗[n] =
∑
k∈N¯
c∗k exp
(
− jk2π
N
n
)
=
∑
k∈N¯
c∗−k exp
(
jk
2π
N
n
)
⋄
Definic¸a˜o: Func¸a˜o Par e Func¸a˜o I´mpar
x[n] = x[−n] e´ par , x[n] = −x[−n] e´ ı´mpar
Propriedade 4.11
Sinais Pares e I´mpares
• Combinac¸o˜es lineares de sinais pares produzem sinais pares;
• Combinac¸o˜es lineares de sinais ı´mpares produzem sinais ı´mpares;
• O produto de func¸a˜o par por func¸a˜o ı´mpar e´ ı´mpar;
• O produto de func¸a˜o par por func¸a˜o par e´ par;
• O produto de func¸a˜o ı´mpar por func¸a˜o ı´mpar e´ par;
• x[n] par ⇒
+∞∑
n=−∞
x[n] = x[0] + 2
+∞∑
n=1
x[n]
• x[n] ı´mpar ⇒
+∞∑
n=−∞
x[n] = 0 , x[0] = 0
• xp[n] = 1
2
(
x[n] + x[−n]
)
e´ par
• xi[n] = 1
2
(
x[n]− x[−n]
)
e´ ı´mpar
• x[n] = xp[n] + xi[n] xp[n] e´ a parte par e xi[n] e´ a parte ı´mpar de x[n]
⋄
Exemplo 4.14
O sinal
x[n] = −δ[n+ 1] + 2δ[n− 1] + δ[n− 2]
pode ser escrito como
x[n] = xp[n] + xi[n]
Bonatti, Lopes & Peres
50 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
com
2xp[n] = δ[n+2]+δ[n+1]+δ[n−1]+δ[n−2] , 2xi[n] = −δ[n+2]−3δ[n+1]+3δ[n−1]+δ[n−2]
W
Propriedade 4.12
FS{x[n]}N = {ck}N e x[n] e´ real ⇔ c∗k = c−k
Prova:
Se x[n] e´ real, enta˜o
c∗k =
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
jk
2π
N
n
)
= c−k
Se c∗k = c−k, enta˜o
x∗[n] =
∑
k∈N¯
c−k exp
(
− jk2π
N
n
)
=
∑
k∈N¯
ck exp
(
jk
2π
N
n
)
= x[n] ⇒ x[n] e´ real
c∗k = c−k ⇒ |ck| = |c−k| (par) , ∠c∗k = −∠c−k (´ımpar)
⋄
Propriedade 4.13
Se´rie trigonome´trica de Fourier para sinais discretos perio´dicos
Considere
FS{x[n]}N = {ck}N , x[n] e´ real
Enta˜o, para N ı´mpar, N > 1, tem-se
x[n] = a0 +
(N−1)/2∑
k=1
ak cos
(
k
2π
N
n
)
+
(N−1)/2∑
k=1
bksen
(
k
2π
N
n
)
com
a0 = c0 , ak = ck + c−k , bk = j(ck − c−k)
pois, pela Propriedade 4.12, c∗k = c−k e
ck exp
(
jk
2π
N
n
)
+ c−k exp
(
− jk2π
N
n
)
= (ck + c−k)︸ ︷︷ ︸
ak
cos
(
k
2π
N
n
)
+ j(ck − c−k)︸ ︷︷ ︸
bk
sen
(
k
2π
N
n
)
Para N par, N > 1,
Bonatti, Lopes & Peres
51
x[n] = a0 + aN/2(−1)n +
N/2−1∑
k=1
ak cos
(
k
2π
N
n
)
+
N/2−1∑
k=1
bksen
(
k
2π
N
n
)
com
a0 = c0 , aN/2 = cN/2 , ak = ck + c−k , bk = j(ck − c−k)
pois, para k = 0, 1, . . . , N/2− 1, vale o argumento do caso N ı´mpar. O coeficiente cN/2 e´ real, pois o
termo
cN/2 exp
(
j
N
2
2π
N
n
)
︸ ︷︷ ︸
(−1)n
somado aos demais termos tem que reproduzir x[n] real.
⋄
Propriedade 4.14
FS{x[n]}N = {ck}N e x[n] e´ real e par ⇒ ck = c∗k = c−k (real e par)
Prova:
Se x[n] e´ real e par, enta˜o
c∗k =
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
jk
2π
N
n
)
=
1
N
∑
n∈N¯
x[−n] exp
(
jk
2π
N
n
)
=
=
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
− jk2π
N
n
)
= ck
Pela Propriedade 4.12,
c∗k = c−k = ck
Note que, neste caso, a se´rie trigonome´trica na˜o possui termos em seno (bk = 0).
⋄
Exemplo 4.15
A se´rie exponencial de Fourier do sinal x[n], real e par, dado por
x[n] = 2 cos(
π
2
n) , N = 4
e´ dada por
c1 = 1 , c−1 = c3 = 1 , c0 = c2 = 0 coeficientes reais
Outro sinal real e par e´ o do Exemplo 4.13.
W
Bonatti, Lopes & Peres
52 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Propriedade 4.15
FS{x[n]}N = {ck}N e x[n] e´ real e ı´mpar ⇒ c∗k = −ck = c−k (imagina´rio puro e ı´mpar)
Prova:
Se x[n] e´ real e ı´mpar, enta˜o
c∗k =
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
jk
2π
N
n
)
=
1
N
∑
n∈N¯
−x[−n] exp
(
jk
2π
N
n
)
=
= − 1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
− jk2π
N
n
)
= −ck
Pela Propriedade 4.12,
c∗k = c−k = −ck
Note que, neste caso, a se´rie trigonome´trica na˜o possui termos em cosseno (ak = 0) e a0 = 0.
⋄
Exemplo 4.16
Considere o sinal perio´dico e ı´mpar, de per´ıodo N = 5, dado por
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , p[n] = −δ[n+ 1] + δ[n− 1]
Os coeficientes da se´rie de Fourier sa˜o dados por
ck =
1
5
2∑
n=−2
(
− δ[n+ 1] + δ[n− 1]
)
exp(−jk 2π
5
n)
=
1
5
(
− exp(jk 2π
5
) + exp(−jk 2π
5
)
)
=
−2j
5
(
sen(k
2π
5
)
)
c0 = 0 (valor me´dio) =
1
5
2∑
n=−2
p[n]
ck,k=0,...,4 ≈
[
0 −0.38j −0.24j 0.24j 0.38j ]
Note que os coeficientes sa˜o imagina´rios puros (pois o sinal e´ real e ı´mpar), como no caso do
Exemplo 4.8, e tambe´m que
4∑
k=0
ck = x[0] = 0 ,
1
5
4∑
n=0
|x[n]|2 =
4∑
k=0
|ck|2 = 0.4
W
Bonatti, Lopes & Peres
53
Propriedade 4.16
Deslocamento no tempo
FS{x[n]}N = {ck}N , m ∈ Z ⇒ FS{x[n−m]} = {ck exp(−jk2π
N
m)}N
pois
x[n−m] =
∑
k∈N¯
ck exp(−jk2π
N
m) exp(jk
2π
N
n)
O deslocamento no tempo altera a fase (e na˜o o mo´dulo) dos coeficientes da se´rie de Fourier. Como
consequ¨eˆncia, na˜o altera a poteˆncia me´dia do sinal.
⋄
Propriedade 4.17
Diferenc¸a de primeira ordem
FS{x[n]}N = {ck}N e y[n] = x[n]−x[n− 1] ⇒ FS{x[n]−x[n− 1]} =
{(
1− exp (− jk2π
N
))
ck
}
N
⋄
Propriedade 4.18
Soma
FS{x[n]}N = {ck}N e c0 = 0 ⇒ FS{
n∑
k=−∞
x[k]} =
{ ck
1− exp(−jk 2πN )
, k 6= 0
}
N
Prova:
O sinal y[n] e´ perio´dico, com per´ıodo N , pois
y[n] =
n∑
k=−∞
x[k] ⇒ y[n+N ] =
n∑
k=−∞
x[k] +
∑
k∈N¯
x[k] = y[n]
Para k 6= 0, tem-se
FS{y[n]}N = {dk}N , x[n] = y[n]− y[n− 1] ⇒ ck = dk
(
1− exp (− jk2π
N
))
⇒ dk = ck
1− exp(−jk 2πN )
Para k = 0,
d0 =
1
N
∑
n∈N¯y[n]
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
54 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Exemplo 4.17
A se´rie de Fourier dos sinais perio´dicos, de per´ıodo N = 10,
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , p[n] = −δ[n+ 2] + δ[n+ 1] + δ[n− 1]− δ[n− 2]
y[n] =
+∞∑
k=−∞
q[n− kN ] , q[n] = −δ[n+ 2] + δ[n− 1]
FS{x[n]}N = {ck}N , ck = 1
10
(
− exp(jk2π/5)− exp(−jk2π/5) + exp(jkπ/5) + exp(−jkπ/5)
)
⇒ ck = 1
5
(
cos(kπ/5)− cos(k2π/5)
)
x[n] real e par, ck real e par
ck,k=0,...,9 ≈
[
0 0.10 0.22 0.10 −0.22 −0.40 −0.22 0.10 0.22 0.10 ]
c0 = 0 ,
9∑
k=0
ck = x[0] = 0 ,
1
10
9∑
n=0
|x[n]|2 =
9∑
k=0
|ck|2 = 0.4
FS{y[n]}N = {dk}N , dk = 1
10
(
− exp(jk2π/5) + exp(−jkπ/5)
)
dk,k=0,...,9 ≈
[
0 0.05− 0.15j 0.11− 0.15j 0.05− 0.04j −0.11 + 0.04j
−0.20 −0.11− 0.04j 0.05 + 0.04j 0.11 + 0.15j 0.05 + 0.15j ]
d0 = 0 ,
9∑
k=0
dk = y[0] = 0 ,
1
10
9∑
n=0
|y[n]|2 =
9∑
k=0
|dk|2 = 0.2
Observe que
y[n] =
n∑
k=−∞
x[k] , q[n] =
n∑
k=−∞
p[k]
e, pela Propriedade 4.18,
ck = dk
(
1− exp(−jk 2π
N
)
)
W
Propriedade 4.19
Inversa˜o no tempo
FS{x[n]}N = {ck}N e y[n] = x[−n] ⇒ FS{y[n]}N = {dk}N = {c−k}N
pois
dk =
1
N
∑
n∈N¯
y[n] exp
(
− jk2π
N
n
)
=
1
N
∑
n∈N¯
x[−n] exp
(
− jk2π
N
n
)
=
Bonatti, Lopes & Peres
55
=
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
jk
2π
N
n
)
=
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
− j(−k)2π
N
n
)
= c−k
⋄
Propriedade 4.20
Expansa˜o no tempo
FS{x[n]}N = {ck}N , m ∈ Z+ e y[n] =


x[n/m] , n/m ∈ Z
0 , n/m 6∈ Z
Enta˜o,
FS{y[n]}N = { 1
m
ck}mN
Prova:
O per´ıodo de y[n] e´ mN , pois, para n/m ∈ Z tem-se
y[n+mN ] = x[(n+mN)/m] = x[n/m+N ] = x[n/m] = y[n]
e, para n/m na˜o inteiro, y[n+mN ] = y[n] = 0.
Os coeficientes dk, para k ∈ mN da se´rie de Fourier de y[n] sa˜o
dk =
1
mN
∑
ℓ∈mN
y[ℓ] exp
(
− jk 2π
mN
ℓ
)
=
1
mN
∑
n∈N¯
x[n] exp
(
− jk2π
N
n
)
=
1
m
ck
pois y[ℓ] = 0 para
( ℓ
m
)
6∈ Z e y[ℓ = nm] = x[n].
Observe que o per´ıodo dos mN coeficientes dk e´ N (igual ao per´ıodo do sinal x[n]), ou seja, os
coeficientes dk sa˜o obtidos por m repetic¸o˜es dos N coeficientes ck.
⋄
Exemplo 4.18
Considere o sinal perio´dico de per´ıodo N = 6, dado por
y[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , p[n] = 6δ[n] + 6δ[n− 2]
Os coeficientes da se´rie de Fourier sa˜o dados por
dk =
1
6
5∑
n=0
(
6δ[n] + 6δ[n− 2]
)
exp(−jk 2π
6
n) = 1 + exp(−jk 2π
3
)
d0 = 2 (valor me´dio) =
1
6
5∑
n=0
p[n]
Bonatti, Lopes & Peres
56 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
dk,k=0,...,5 ≈
[
2 0.50− j0.87 0.50 + j0.87 2 0.50− j0.87 0.50 + j0.87 ]
5∑
k=0
dk = y[0] = 6 ,
1
6
5∑
n=0
|y[n]|2 =
5∑
k=0
|dk|2 = 12
Considere o sinal perio´dico de per´ıodo N = 3, dado por
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , p[n] = 6δ[n] + 6δ[n− 1]
Os coeficientes da se´rie de Fourier sa˜o dados por
ck =
1
3
2∑
n=0
(
6δ[n] + 6δ[n− 1]
)
exp(−jk 2π
3
n) = 2 + 2 exp(−jk 2π
3
)
c0 = 4 (valor me´dio) =
1
3
2∑
n=0
p[n]
ck,k=0,...,2 ≈
[
4 1.00− j1.73 1.00 + j1.73 ]
2∑
k=0
ck = x[0] = 6 ,
1
3
2∑
n=0
|x[n]|2 =
2∑
k=0
|ck|2 = 24
Note que y[n] e´ a expansa˜o do sinal x[n] para m = 2, sendo portanto o per´ıodo de y[n] o dobro
do per´ıodo de x[n]. Pela Propriedade 4.20, os coeficientes da se´rie de y[n] sa˜o obtidos da repetic¸a˜o
(duas vezes) dos coeficientes da se´rie de x[n] divididos por 2.
W
Definic¸a˜o: Convoluc¸a˜o Perio´dica
A convoluc¸a˜o perio´dica de x[n] e y[n] (sinais perio´dicos de per´ıodo N) e´ dada por
x[n]⊛ y[n] =
∑
k∈N¯
x[k]y[n− k]
Exemplo 4.19
Considere os sinais perio´dicos, com per´ıodo N = 3
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , p[n] = δ[n+ 1] + δ[n− 1]
y[n] =
+∞∑
k=−∞
q[n− kN ] , q[n] = −δ[n+ 1] + δ[n− 1]
FS{x[n]}N = {ck}N , ck = 1
3
(
exp(jk2π/3) + exp(−jk2π/3)
)
=
2
3
cos(k2π/3)
Bonatti, Lopes & Peres
57
ck,k=0,1,2 =
[
2/3 −1/3 −1/3 ]
c0 = 2/3 ,
2∑
k=0
ck = x[0] = 0 ,
1
3
2∑
n=0
|x[n]|2 =
2∑
k=0
|ck|2 = 2/3
FS{y[n]}N = {dk}N , dk = 1
3
(
− exp(jk2π/3) + exp(−jk2π/3)
)
=
2
3j
sen(k2π/3)
dk,k=0,1,2 =
[
0 −j/√3 j/√3 ]
d0 = 0 ,
2∑
k=0
dk = y[0] = 0 ,
1
3
2∑
n=0
|y[n]|2 =
2∑
k=0
|dk|2 = 2/3
A convoluc¸a˜o perio´dica v[n] = x[n]⊛ y[n] produz
v[n] = x[n]⊛ y[n] =
2∑
k=0
x[k]y[n− k] = x[0]y[n] + x[1]y[n− 1] + x[2]y[n− 2] = δ3[n+ 1]− δ3[n− 1]
cujos coeficientes sa˜o dados por ek = −dk, pois v[n] = −y[n].
W
Propriedade 4.21
Convoluc¸a˜o Perio´dica
• A convoluc¸a˜o perio´dica produz func¸o˜es perio´dicas, pois para
f [n] = x[n]⊛ y[n] ⇒ f [n+N ] =
∑
k∈N¯
x[k]y[n+N − k] =
∑
k∈N¯
x[k]y[n− k] = f [n]
• A convoluc¸a˜o perio´dica e´ comutativa, associativa e distributiva em relac¸a˜o a` soma;
• O elemento neutro da convoluc¸a˜o perio´dica de per´ıodo N e´ o trem perio´dico de impulsos, dado por
δN [n] =
+∞∑
k=−∞
δ[n− kN ]
Prova:
x[n]⊛ δN [n] =
∑
k∈N¯
x[k]δN [n− k] , δN [n− k] =
+∞∑
ℓ=−∞
δ[n− k − ℓN ]
⇒
∑
k∈N¯
+∞∑
ℓ=−∞
x[k]δ[n− k − ℓN ] = x[n]
pois
δ[n− k − ℓN ] = 1 com n, k ∈ {0, . . . , N − 1} ⇒ n = k , ℓ = 0
⋄
Bonatti, Lopes & Peres
58 Cap´ıtulo 4. Se´rie de Fourier de Sinais Discretos
Propriedade 4.22
Convoluc¸a˜o Perio´dica
FS{x[n]}N = {ck}N , FS{y[n]}N = {dk}N
Enta˜o,
FS{x[n]⊛ y[n]}N = {Nckdk}N
pois
1
N
∑
n∈N¯
(x[n]⊛ y[n]) exp(−jk2π
N
n) =
∑
ℓ∈N¯
x[ℓ]
1
N
∑
n∈N¯
y[n− ℓ] exp(−jk2π
N
n) =
=
∑
ℓ∈N¯
x[ℓ] exp(−jk2π
N
ℓ)
1
N
∑
m∈N¯
y[m] exp(−jk2π
N
m)
︸ ︷︷ ︸
dk
= Nckdk
⋄
Exemplo 4.20
Retomando o Exemplo 4.19, com os coeficientes
ck,k=0,1,2 =
[
2/3 −1/3 −1/3 ] , dk,k=0,1,2 = [ 0 −j/√3 j/√3 ]
tem-se
ek = Nckdk = −dk =
[
0 j/
√
3 −j/√3 ]
⇒ v[n] = −2√
3
sen(2πn/3) = δ3[n+ 1]− δ3[n− 1]
Observe que
p[n] ∗ q[n] = −δ[n+ 2] + δ[n− 2] 6= x[n]⊛ y[n]
W
Propriedade 4.23
Multiplicac¸a˜o no Tempo
FS{x[n]}N = {ck}N , FS{y[n]}N = {dk}N
Enta˜o,
FS{x[n]y[n]}N = {ck ⊛ dk}N
Prova:
Denominando ek os coeficientes da se´rie associada ao produto, tem-se
Bonatti, Lopes & Peres
59
ek =
1
N
∑
n∈N¯
x[n]y[n] exp(−jk2π
N
n) =
1
N
∑
n∈N¯
x[n]
∑
ℓ∈N¯
dℓ exp(jn
2π
N
ℓ) exp(−jk2π
N
n)
=
∑
ℓ∈N¯
dℓ
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp(−j(k − ℓ)2π
N
n)
︸ ︷︷ ︸
ck−ℓ
=
∑
ℓ∈N¯
dℓck−ℓ = ck ⊛ dk
⋄
Exemplo 4.21
Considere os sinais perio´dicos do Exemplo 4.19, com per´ıodo N = 3
x[n] =
+∞∑
k=−∞
p[n− kN ] , p[n] = δ[n+ 1] + δ[n− 1]
y[n] =
+∞∑
k=−∞
q[n− kN ] , q[n] = −δ[n+ 1] + δ[n− 1]
FS{x[n]}N = {ck}N , ck = 2
3
cos(k2π/3) , ck,k=0,1,2 =
[
2/3 −1/3 −1/3 ]
FS{y[n]}N = {dk}N , dk = 2
3j
sen(k2π/3) , dk,k=0,1,2 =
[
0 −j/√3 j/√3 ]
Seja
v[n] = x[n]y[n] = y[n] ⇒ FS{v[n]}N = {ek}N , ek = 2
3j
sen(k2π/3)
que e´ a convoluc¸a˜o perio´dica de c[k]⊛ d[k].
W
Propriedade 4.24
Deslocamento na Frequ¨eˆncia
FS{x[n]}N = {ck}N , m ∈ Z ⇒ FS{y[n] = x[n] exp(jm2π
N
n)} = {ck−m}N
pois
dk =
1
N
∑
n∈N¯
y[n] exp(−jk2π
N
n) =
1
N
∑
n∈N¯
x[n] exp(jm
2π
N
n) exp(−jk2π
N
n) = ck−m
O deslocamento na frequ¨eˆncia provoca um deslocamento c´ıclico nos coeficientes da se´rie, e portanto
na˜o altera a poteˆncia me´dia do sinal. ⋄
Bonatti, Lopes & Peres
Cap´ıtulo 5
Equac¸o˜es a Diferenc¸as
Definic¸a˜o: Equac¸o˜es a Diferenc¸as
Equac¸o˜es envolvendo sequ¨eˆncias enumera´veis e seus deslocamentos sa˜o denominadas equac¸o˜es a dife-
renc¸as.
Exemplo 5.1
Filtro passa-alta
y[n] =
x[n]− x[n− 1]
2
, n ∈ Z
Para a entrada x[n] = (−1)n, a sa´ıda e´ y[n] = (−1)n. Para x[n] = 1n, tem-se y[n]= 0.
W
Exemplo 5.2
Filtro passa-baixa
y[n] =
x[n] + x[n− 1]
2
, n ∈ Z
Para x[n] = (−1)n, a sa´ıda e´ y[n] = 0. Para x[n] = 1n, tem-se y[n] = 1n.
W
Exemplo 5.3
Populac¸a˜o anual de peixes em um lago (em termos percentuais)
y[n+ 1]− ay[n](1− y[n]) = x[n] , 0 ≤ y[0] ≤ 1
sendo a um paraˆmetro real que representa as condic¸o˜es ambientais do lago.
W
Equac¸o˜es a diferenc¸as lineares descrevem sistemas lineares, isto e´, sistemas para os quais vale o
princ´ıpio da superposic¸a˜o. Os sistemas descritos nos exemplos 5.1 e 5.2 sa˜o lineares, enquanto que o
Exemplo 5.3 descreve um sistema na˜o-linear.
60
61
Equac¸o˜es a diferenc¸as lineares com coeficientes constantes e condic¸o˜es iniciais nulas descrevem sistemas
lineares invariantes no tempo.
Exemplo 5.4
Somador
y[n] =
n∑
k=−∞
x[k]
A resposta ao impulso e´
h[n] =
n∑
k=−∞
δ[k] = u[n] =
{
1 , n ≥ 0
0 , n < 0
sendo u[n] a func¸a˜o degrau. Note que o somador pode ser descrito pela equac¸a˜o a diferenc¸as de
primeira ordem
y[n+ 1] = y[n] + x[n+ 1] , y[0] = y0 condic¸a˜o inicial
Utilizando o operador de deslocamento p, tem-se
(p− 1)y[n] = px[n]
As equac¸o˜es a diferenc¸as resultantes para x[n] = ρn, x[n] = n e x[n] = nρn sa˜o tratadas nos
exemplos 5.10, 5.11 e 5.12.
W
Equac¸o˜es a diferenc¸as lineares a coeficientes constantes podem ser resolvidas por substituic¸a˜o sis-
tema´tica, por meio da transformada Z ou pelo me´todo dos coeficientes a determinar.
Exemplo 5.5
A equac¸a˜o homogeˆnea a diferenc¸as de primeira ordem
y[n+ 1] = ρy[n] , y[0] = 1, ρ ∈ R
pode ser resolvida por substituic¸a˜o sistema´tica, resultando em
y[n] = ρn
e vale para todo n, de −∞ a +∞. Observe que a sequ¨eˆncia y[n] na˜o possui transformada Z, pois
Z{y[n]} =
+∞∑
k=−∞
y[k]z−k =
+∞∑
k=−∞
(ρ/z)k
na˜o converge para nenhum z.
O artif´ıcio utilizado para resolver essa classe de equac¸o˜es a diferenc¸as utilizando transformada Z
consiste em alterar o problema impondo que
y[n] = 0 para n < 0
Bonatti, Lopes & Peres
62 Cap´ıtulo 5. Equac¸o˜es a Diferenc¸as
e que y[n] satisfaz a equac¸a˜o para n ≥ 0. Dessa forma, Z{y[n]u[n]} existe e e´ dada por
Z{y[n]u[n]} =
+∞∑
k=−∞
y[k]u[k]z−k =
+∞∑
k=0
(ρ/z)k =
z
z − ρ , |z| > |ρ|
W
Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es a Diferenc¸as por meio da Transformada Z
Treˆs propriedades da transformada Z sa˜o relevantes para a resoluc¸a˜o das equac¸o˜es a diferenc¸as lineares
a coeficientes constantes.
Propriedade 5.1
Deslocamento
Z{x[n+m]u[n]} = zmZ{x[n]u[n]} −
m−1∑
k=0
x[k]zm−k , m ∈ Z+
⋄
Exemplo 5.6
Para y[n] = y[n]u[n] e x[n] = x[n]u[n], tem-se
y[n+ 2] + α1y[n+ 1] + α0y[n] = β1x[n+ 1] + β0x[n]
z2Y (z)− z2y[0]− zy[1] + α1(zY (z)− zy[0]) + α0Y (z) = β1(zX(z)− zx[0]) + β0X(z)
(z2 + α1z + α0)Y (z) = (β1z + β0)X(z) + (z
2 + α1z)y[0] + zy[1]− β1zx[0]
A func¸a˜o de transfereˆncia H(z) e´ dada por (y[0] = y[1] = 0 e x[0] = 0)
H(z) =
Y (z)
X(z)
=
β1z + β0
z2 + α1z + α0
W
Propriedade 5.2
Combinato´ria
Z
{(
n+m
m
)
anu[n]
}
=
z(m+1)
(z − a)(m+1) , m ∈ N , |z| > |a|
⋄
Exemplo 5.7
Z{nanu[n]} = z2
(z − a)2 −
z
z − a =
az
(z − a)2 , |z| > |a|
pois
Bonatti, Lopes & Peres
63
Z
{(
n
0
)
anu[n]
}
= Z {anu[n]} = z
z − a
Z
{(
n+ 1
1
)
anu[n]
}
= Z {(n+ 1)anu[n]} = z
2
(z − a)2
W
Exemplo 5.8
Z{n2anu[n]} = az2 + a2z
(z − a)3 , |z| > |a|
pois
Z
{(
n+ 2
2
)
anu[n]
}
= Z
{
(n+ 2)(n+ 1)
2
anu[n]
}
=
z3
(z − a)3
W
Propriedade 5.3
Combinato´ria com Deslocamento
Z
{(
n
m
)
an−mu[n]
}
=
z
(z − a)m+1 , m ∈ N , |z| > |a|
O resultado pode ser demonstrado pela aplicac¸a˜o da propriedade de deslocamento de m a` direita na
Propriedade 5.2, que implica na multiplicac¸a˜o por z−m. Observe que(
n
m
)
u[n−m] = n(n− 1) · · · (n−m+ 1)
m!
u[n−m] =
(
n
m
)
u[n]
A propriedade e´ utilizada no ca´lculo de transformada Z inversa a partir de frac¸o˜es parciais.
⋄
Exemplo 5.9
Progressa˜o geome´trica
y[n+ 1] = ρy[n] , y[0] = 1 , ρ > 0
Aplicando a transformada Z, tem-se
Z{y[n+ 1]u[n]} = ρZ{y[n]u[n]} ⇒ Y (z) = z
z − ρ
O domı´nio e´ Ω = {z ∈ C, |z| > ρ} (se´rie a` direita).
Fazendo a divisa˜o de polinoˆmios (algoritmo de Briot-Ruffini1), obte´m-se a se´rie
1Charles Auguste Briot, franceˆs do se´culo XIX e Paolo Ruffini, italiano do se´culo XVIII.
Bonatti, Lopes & Peres
64 Cap´ıtulo 5. Equac¸o˜es a Diferenc¸as
z
z − ρ = 1 + ρz
−1 + ρ2z−2 + · · ·
Comparando-se com a definic¸a˜o da transformada Z de ρnu[n], obte´m-se a transformada inversa
y[n] = Z−1
{
z
z − ρ
}
= ρnu[n]
O mesmo resultado poderia ser obtido pela aplicac¸a˜o da Propriedade 5.3 (combinato´ria com deslo-
camento) para m = 0.
W
Exemplo 5.10
Soma geome´trica
A soma geome´trica
y[n] =
n∑
k=0
ρk
pode ser obtida pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o a diferenc¸as
y[n+ 1]− y[n] = ρn+1 , y[0] = 1
zY (z)− zy[0]− Y (z) = ρz
z − ρ
Portanto, para ρ 6= 1, tem-se
Y (z) =
z2
(z − ρ)(z − 1) , |z| > max{|ρ|, 1}
Y (z)
z
=
z
(z − ρ)(z − 1) =
a
z − ρ +
b
z − 1
a = − ρ
1− ρ , b =
1
1− ρ
Usando a Propriedade 5.3 (combinato´ria com deslocamento), tem-se
y[n] = aρnu[n] + bu[n] =
1− ρn+1
1− ρ u[n]
Esse resultado tambe´m pode ser obtido da definic¸a˜o de y[n], observando-se que
y[n]− ρy[n] =
n∑
k=0
ρk − ρ
n∑
k=0
ρk = 1− ρn+1 ⇒ y[n] = 1− ρ
n+1
1− ρ
Para ρ = 1, tem-se
Bonatti, Lopes & Peres
65
Y (z) =
z2
(z − 1)2
Y (z)
z
=
z
(z − 1)2 =
a
(z − 1) +
b
(z − 1)2 ⇒ a = 1 , b = 1
y[n] = (1 + n)u[n] =
n∑
k=0
1
O mesmo resultado pode ser obtido aplicando a regra de l’Hoˆpital2 na expressa˜o de y[n]
y[n] = lim
ρ→1
1− ρn+1
1− ρ = limρ→1
−(n+ 1)ρn
−1 = n+ 1
W
Exemplo 5.11
Soma aritme´tica
A soma aritme´tica
y[n] =
n∑
k=0
k
pode ser obtida pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o a diferenc¸as
y[n+ 1]− y[n] = n+ 1 , y[0] = 0
Aplicando transformada Z e a Propriedade 5.2 com m = 1, tem-se
zY (z)− zy[0]− Y (z) = Z{(n+ 1)u[n]} = z
2
(z − 1)2
Y (z)
z
=
z
(z − 1)3 =
a1
z − 1 +
a2
(z − 1)2 +
a3
(z − 1)3 ⇒ a1 = 0, a2 = 1, a3 = 1
E, pela Propriedade 5.3,
y[n] =
(
n
1
)
u[n] +
(
n
2
)
u[n] =
n(n+ 1)
2
u[n]
Observe que esse resultado pode ser obtido somando-se membro a membro a sequ¨eˆncia 0, 1, 2, . . . , n
nos sentidos direto e reverso e constatando-se que a soma consiste de n+1 termos de valor constante
n. Portanto a soma total produz 2y[n] = n(n+ 1).
W
2Guillaume De l’Hoˆpital, matema´tico franceˆs do se´culo XVII.
Bonatti, Lopes & Peres
66 Cap´ıtulo 5. Equac¸o˜es a Diferenc¸as
Exemplo 5.12
Soma aritme´tica-geome´trica
A soma aritme´tica-geome´trica
y[n] =
n∑
k=0
kρk
pode ser obtida pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o a diferenc¸as
y[n+ 1]− y[n] = (n+ 1)ρn+1 , y[0] = 0
zY (z)− zy[0]− Y (z) = ρz
2
(z − ρ)2
Portanto, para ρ 6= 1, tem-se
Y (z) =
ρz2
(z − 1)(z − ρ)2 , |z| > max{|ρ|, 1}
Y (z)
z
=
ρz
(z − 1)(z − ρ)2 =
a
z − 1 +
b
z − ρ +
c
(z − ρ)2
cujos coeficientes sa˜o
a =
ρ
(1− ρ)2 , b =
−ρ
(1− ρ)2 , c =
−ρ2
(1− ρ)
Portanto,
y[n] = au[n] + bρnu[n] + c
(
n
1
)
ρn−1u[n] =
=
(
a+ bρn + cnρn−1
)
u[n] =
ρ
(1− ρ)2
(
1− (n+ 1)ρn + nρn+1)u[n]
Para ρ = 1, o problema se reduz ao de soma aritme´tica.
W
Exemplo 5.13
Sequ¨eˆncia de Fibonacci
A sequ¨eˆncia de Fibonacci3 e´ uma sequ¨eˆncia de nu´meros inteiros em que cada elemento e´ obtido pela
soma dos dois anteriores. A equac¸a˜o descreve uma populac¸a˜o de casais de coelhos, composta de
casais adultos e filhotes. Cada casal adulto gera um casal de filhotes todo meˆs, e o casal de filhotes
torna-se